强基培优2 指数、对数、幂值的比较大小(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学高考复习教案聚焦指数、对数、幂值比较大小这一高考热点，按利用函数单调性、借助临界值、运算性质应用、构造函数四大类型系统梳理考点，通过考点解析、解题技法总结、真题例题精讲及分层训练，帮助学生构建完整解题体系，突破比较大小的思维难点。 教案创新采用“类型突破+素养导向”教学策略，如构造函数比较大小时，引导学生通过求导分析函数单调性，培养数学思维和逻辑推理能力。设置基础到综合的分层训练题组，配合即时方法反馈，确保学生在有限时间内掌握比较大小的通性通法，既提升学生解题速度与准确率，也为教师精准把控复习进度提供清晰路径。

强基培优2 指数、对数、幂值的比较大小 高考考情 指数、对数及幂的大小比较是高考的热点题型,主要考查指数、对数的互化、运算性质以及指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质.比较大小时,既有常规方法,也有一些灵活巧妙的方法,一般以选择题或填空题的形式出现. 类型一利用函数单调性比较大小 【例1】设a=(),b=(),c=lo,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.c>a>b C.b>c>a D.b>a>c 【解析】选D.因为函数y=()x为减函数, 则0<a=<()0=1, 因为函数y=()x为增函数, 则b=()>()0=1, 因为函数y=x为减函数, 则c=<lo1=0,因此b>a>c. 解题技法 利用指数、对数、幂函数的单调性比较大小 (1)底数相同,指数不同,如和,利用指数函数y=ax(a>0且a≠1)的单调性比较大小. (2)指数相同,底数不同,如和,利用幂函数y=xa的单调性比较大小. (3)底数相同,真数不同,如logax1和logax2,利用对数函数y=logax(a>0且a≠1)的单调性比较大小. 【训练1】　(1)已知a=log23,b=log46,c=log89,则a,b,c的大小顺序为(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<c<a 【解析】选C.由于b=log46=log2,c=log89=log2,又因为3>>,且函数y=log2x为增函数,所以c<b<a. (2)设a=(),b=(),c=(),则a,b,c的大小关系是(　　) A.a>c>b B.a>b>c C.c>b>a D.b>c>a 【解析】选C.因为函数y=()x为增函数, 所以()<(),即a<b, 又因为函数y=为增函数, 所以()<(),即b<c,故c>b>a. 类型二借助临界值比较大小 【例2】已知a=log52,b=,c=0.70.3,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 【解析】选A.因为log51<log52<log5, 所以0<a<, 因为b==log0.70.1>log0.70.7, 所以b>1,因为0.71<0.70.3<0.70, 所以0.7<c<1,所以a<c<b. 解题技法 当底数、指数、真数等都不相同时,可寻找中间量0,1或者其他能判断大小关系的中间量,借助中间值进行大小关系的判定. 【训练2】　(1)已知a=20.2,b=1-2lg 2,c=2-log310,则a,b,c的大小关系是(　　) A.b>c>a B.a>b>c C.a>c>b D.b>a>c 【解析】选B.由题意可得a=20.2>20=1, b=1-2lg 2=1-lg 4,且0<lg 4<1,则0<b<1, 因为log310>log39=2,则c=2-log310<0, 所以c<b<a. (2)设a=2 02,b=log2 023,c=log2 024,则(　　) A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c 【解析】选D.a=2 02>2 0230=1,0=log2 0231<b=log2 023< log2 0232 023=1,c=log2 024<log2 0241=0, 故c<0<b<1<a.即a>b>c. 类型三利用指数、对数及幂的运算性质比较大小 【例3】(1)(作差法)已知3m=4,a=2m-3,b=4m-5,则(　　) A.a>0>b B.b>0>a C.a>b>0 D.b>a>0 【解析】选B.由3m=4,得m=log34, 因为log23-log34=- => ==>0, 所以log23>log34,log34-log45=-=> ==>0, 所以log34>log45, 所以b=4m-5=-5>-5=0, a=2m-3=-3<-3=0, 所以b>0>a. (2)(作商法)已知x=6log643,y=log364,z=log83,则(　　) A.x>y>z B.z>x>y C.y>z>x D.y>x>z 【解析】选A.x=6log643=log23=log23>0,y=log364=log34=>0, z=log83=log23>0. 由==()2>1,所以y>z, 由==()2, 而log23>log22=,则>()2>1, 所以x>y.综上,x>y>z. (3)(乘方法)已知a=log35,b=log57,c=,则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.a>c>b 【解析】选D.因为53=125>()3=81, 所以5>,所以log35>log3=,即a>c. 因为73=343<=625,所以7<, 所以log57<log5=,即b<c.综上,a>c>b. 解题技法 利用比较法比较大小的方法 若待比较大小的式子或值,底数、指数、真数均不相同,且不能找到中间量,可考虑利用比较法:通过作差与0的比较来判断两数的大小,有时需要变形后(如平方变形后等)作差,而且作差后为判断差的符号,需要借助基本不等式等工具;通过作商与1的比较来判断两数的大小应注意作商的前提是参与作商的式子均为同号. 【训练3】　(1)设a=log62,b=log123,c=log405,则(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.a<c<b 【解析】选D.因为=log312=1+log34=1+=1+,=log540=1+log58=1+=1+,所以-=-= ==<0, 所以<,又b>0,c>0,所以b>c; 因为=1+log58<1+log5 =1+log5=,所以c>, 因为=log26=1+log23>1+log2 =1+log2=,所以a<, 所以a<c.综上,a<c<b. (2)已知a=0.8-0.4,b=log53,c=log85,则(　　) A.a<b<c B.b<c<a C.c<b<a D.a<c<b 【解析】选B.由==<=<1,得b<c, 又因为c<1<a=0.8-0.4,所以b<c<a. 类型四构造函数比较大小 【例4】(1)(2020·全国Ⅰ卷)若2a+log2a=4b+2log4b,则(　　) A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a<b2 【解析】选B.设f(x)=2x+log2x, 则f(x)为增函数, 因为2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b, 所以f(a)-f(2b)=2a+log2a-(22b+log22b)=22b+log2b-(22b+log22b)=log2=-1<0, 所以f(a)<f(2b),所以a<2b,排除A选项. f(a)-f(b2)=2a+log2a-(+log2b2)=22b+log2b-(+log2b2)=22b--log2b, 当b=1时,f(a)-f(b2)=2>0, 此时f(a)>f(b2),有a>b2, 当b=2时,f(a)-f(b2)=-1<0, 此时f(a)<f(b2),有a<b2,所以排除C,D选项. 【光速解题】选B.因为2a+log2a=4b+2log4b=4b+log2b,且a>0,b>0, 令b=1,则2=21+log21<2a+log2a=4<22+log22=5,则1<a<2,可排除A,D选项. 令b=2,则23+log23<2a+log2a=17<24+log24=18,则3<a<4,可排除C选项. (2)已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.b<c<a 【解析】选B.a==,c==, 令f(x)=,所以a=f(),b=f(2),c=f(e), 所以f'(x)=,所以当x∈(0,e)时,f'(x)>0, 当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0, 所以f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(e)==c, 所以a<c,b<c,又b====f(4), 因为4>,所以f(4)<f(),所以b<a,所以b<a<c. 解题技法 构造函数比较大小的方法 若待比较的式子或数中具有相同的结构形式或者在适当变形后具有相同的结构形式,常将式子或数中相同部分看作变量x,通过灵活构造函数并利用函数的单调性,巧妙比较大小. 常见的方法是: (1)直接或根据变形后的关系式构造函数; (2)将待求的式子或数变形后构造函数. 【训练4】　已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为(　　) A.b>c>a B.a>b>c C.b>a>c D.c>b>a 【解析】选D.因为a===,c==,设f(x)=,x>0, 则f'(x)==, 所以当x∈(0,e)时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减. 所以a=f(2)<f(e)=c,b=f(3)<f(e)=c, 又因为a===<===b,所以c>b>a. - 8 - 学科网（北京）股份有限公司 $