教考衔接3 复合函数的单调性问题(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学教案聚焦函数单调性核心考点，涵盖复合函数单调性判定及参数问题，以教材典题演变为主线，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建从基础到高考的知识体系，突破复合函数单调性分析难点，体现复习的系统性与针对性。 资料突出教考衔接特色，采用分层变式训练，如变式1通过划分内外层函数单调区间培养数学思维，真题讲解中抽象参数问题逻辑发展数学眼光。助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏提供实战指导，提升复习效果。

教考衔接3 复合函数的单调性问题 题在书外根植书内典题演变直通高考 高考考情 函数单调性问题是每年高考必考内容,考题多源自教材例题或习题,主要考查函数单调性的判定或利用函数单调性求参数问题. 教材类题·慧聚 题号 类题说明 题源(1) 人教A版必修第一册P86第7题 题源(2) 人教A版必修第一册P120第10题 题源(1)已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=x2-2x(x∈[2,4]),求f(x),g(x)的单调区间. 【解析】因为函数f(x)=x2-2x的对称轴为x=1,所以函数f(x)在(-∞,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;函数g(x)在[2,4]上单调递增. 题源(2)已知f(x)=ax,g(x)=()x(a>0,且a≠1),讨论函数f(x)和g(x)的单调性. 【解析】当a>1时,函数f(x)在R上单调递增,函数g(x)在R上单调递减;当0<a<1时,函数f(x)在R上单调递减,函数g(x)在R上单调递增. [选题说明]两道题分别以二次函数、指数函数为情境,考查函数的单调区间及函数的单调性. 创新拓宽·变式 [变式1]已知函数f(x)=x2-2x-3,g(x)=f(5-x2),试求g(x)的单调区间. 【解析】令u(x)=5-x2,则u(x)在(-∞,0]上单调递增,在[0,+∞)上单调递减,且u(0)=5. f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增. 即u(x)的单调性是以“0”为界划分的,f(x)的单调性是以“1”为界划分的,由此可确定g(x)的单调性. 令5-x2=1,则x=±2. x (-∞,-2] [-2,0] [0,2] [2,+∞) u(x)=5-x2 增 增 减 减 u (-∞,1] [1,5] [1,5] (-∞,1] f(u) 减 增 增 减 f(5-x2) 减 增 减 增 所以函数g(x)的单调递减区间是(-∞,-2],[0,2],单调递增区间是[-2,0],[2,+∞). [变式2]已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数).若f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,1) B.(-∞,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞) 【解析】选B.因为函数y=ex为增函数,若f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,由复合函数的单调性知,必有t=|x-a|在区间[1,+∞)上单调递增,又t=|x-a|在区间[a,+∞)上单调递增,所以[1,+∞)⊆[a,+∞),故有a≤1. [变式3]已知函数f(x)是R上的减函数,若f(ax2-2x)在(1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是________.  【解析】由题意知函数y=ax2-2x在(1,+∞)上单调递减,故,或a=0,解得a≤0. 答案:(-∞,0] 高考真题·链接 1.(一题多法)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) 多想少算 路径1:利用指数型复合函数的单调性,将问题转化为函数y=x(x-a)在区间(0,1)上单调递减. 路径2:求出函数的导数,利用函数的导数小于等于0但不恒为0在区间(0,1)上恒成立. 路径3:利用特值法,取a=3,进行验证排除. 【解析】选D. 法一(复合函数法):函数y=2x在R上单调递增,而函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,则函数y=x(x-a)= (x-)2-在区间(0,1)上单调递减,因此≥1,解得a≥2,所以a的取值范围是[2,+∞). 法二(导数法):函数f(x)=2x(x-a)的导数为f'(x)=2x(x-a)·(2x-a)ln 2,因为f(x)在(0,1)上单调递减,所以f'(x)=2x(x-a)·(2x-a)ln 2≤0但不恒为0,即a≥2x,又x∈(0,1),所以a≥2,即a的取值范围是[2,+∞). 法三(特值法):取a=3,则y=x(x-3)= (x-)2-在(0,1)上单调递减,所以f(x)=2x(x-3)在(0,1)上单调递减,所以a=3符合题意,排除A,B,C. 2.(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数为f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) 【解析】选B.因为函数f(x)在R上单调递增,且当x<0时,f(x)=-x2-2ax-a,所以f(x)=-x2-2ax-a在(-∞,0)上单调递增,所以-a≥0,即a≤0;当x≥0时,f(x)=ex+ln(x+1),所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增.若函数f(x)在R上单调递增,则-a≤f(0)=1,即a≥-1.综上,实数a的取值范围是[-1,0]. - 4 - 学科网（北京）股份有限公司 $