核心素养测评(第2章 第12讲 对数与对数函数)(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学高考复习教案聚焦对数与对数函数核心考点，涵盖定义、运算性质、反函数、图象性质及实际应用，按“基础运算-函数性质-综合应用”逻辑架构知识点。通过考点梳理、一题多法指导、分层真题训练，帮助学生突破对数运算、单调性判断等难点，体现复习系统性与针对性。 教案特色在于分层设计与素养导向，基础保分练夯实运算能力，创新提分练如“进步落后率”问题培养数学思维与应用意识。通过特值法、排除法等策略训练，结合即时反馈，助力学生高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

核心素养测评　(时间:45分钟　分值:85分) 十二　对数与对数函数 基础保分练 一、单选题 1.(5分)已知alog43=2,则3-a=(　　) A. B.9 C. D.16 【解析】选C.因为alog43=2, 则log43a=2, 因此3a=42=16, 所以3-a==. 2.(5分)若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=(　　) A.log2 x B. C.lox D. 【解析】选A.函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数是f(x)=loga x,又f(2)=1,即loga 2=1,所以a=2.故f(x)=log2 x. 3.(5分)(一题多法)函数f(x)=2log4 (1-x)的大致图象是(　　) 【解析】选C.法一(排除法):函数f(x)=2log4 (1-x)的定义域为(-∞,1),排除A,B;函数f(x)=2log4 (1-x)在定义域上单调递减,排除D. 法二(特值法):分别取x=及x=-1验证即可. 【加练备选】 函数y=loga x与y=-x+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) 【解析】选A.当a>1时,函数y=loga x的图象为选项B,D中过点(1,0)的曲线,此时函数y=-x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a>1,选项B,D中的图象都不符合要求; 当0<a<1时,函数y=loga x的图象为选项A,C中过点(1,0)的曲线,此时函数y=-x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0<a<1,只有选项A中的图象符合要求. 4.(5分)设a,b,c均为正数,且2a=loa,=b,=log2 c则(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 【解析】选A.因为a,b,c均为正数,将a,b,c分别看成是函数图象的交点的横坐标.在同一平面直角坐标系内分别画出y=2x,y=,y=log2 x,y=lox的图象如图. 由图可知a<b<c. 5.(5分)设函数f(x)=则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　) A.[-1,2] B.[0,2] C.[1,+∞) D.[0,+∞) 【解析】选D.当x≤1时,由≤2得1-x≤1,所以0≤x≤1;当x>1时,由1-log2 x≤2得x≥,所以x>1.综上,x的取值范围为[0,+∞). 【加练备选】 设函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是(　　) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) 【解析】选C.由题意可得 或 解得a>1或-1<a<0. 6.(5分)我们可以把(1+1%)365看作每天的“进步”率都是1%,一年后是1.01365;而把(1-1%)365看作每天的“落后”率都是1%,一年后是0.99365.可以计算得到,一年后的“进步”是“落后”的≈1 481倍.如果每天的“进步”率和“落后”率都是10%,若“进步”是“落后”的1 000倍,则需要经过的天数至少为(lg 3≈0.477,lg 11≈1.041)(　　) A.31 B.33 C.35 D.37 【解析】选C.根据题意,如果每天的“进步”率和“落后”率都是10%,假设经过n天后,“进步”是“落后”的1 000倍,得≥1 000,即n(lg 11-lg 9)≥3,所以n(lg 11-2lg 3)≥3,代入参考数据可得n(1.041-2×0.477)≥3, 得n≥=≈34.5, 所以,至少经过35天后,“进步”是“落后”的1 000倍. 二、多选题 7.(5分)已知函数f(x)=ln (x-2)+ln (6-x),则(　　) A.f(x)在(2,6)上的最大值为2ln 2 B.f(x)在(2,6)上单调递增 C.f(x)在(2,6)上无最小值 D.f(x)的图象关于直线x=4对称 【解析】选ACD.由题意得f(x)=ln (x-2)+ln (6-x)=ln [(x-2)(6-x)],由得函数f(x)的定义域为(2,6),令t=(x-2)(6-x),则t>0,设y=ln t,二次函数t=(x-2)(6-x)=-x2+8x-12的图象开口向下,其对称轴为直线x=4,所以t=(x-2)(6-x)在(2,4)上单调递增,在(4,6)上单调递减, 所以t=(x-2)(6-x)∈(0,4], 又函数y=ln t在(0,4]上单调递增,由复合函数的单调性,可得f(x)在(2,4)上单调递增,在(4,6)上单调递减,故B错误. 因为当t∈(0,4]时,y=ln t∈(-∞,2ln 2],即f(x)∈(-∞,2ln 2], 所以f(x)在(2,6)上的最大值为2ln 2,无最小值,故A,C正确. 因为f(4-x)=ln (4-x-2)+ln (6-4+x)=ln (2-x)+ln (2+x), f(4+x)=ln (4+x-2)+ln (6-4-x)=ln (2+x)+ln (2-x), 所以f(4-x)=f(4+x),所以f(x)的图象关于直线x=4对称,故D正确. 8.(5分)函数f(x)=loga |x-1|(a>0,且a≠1)在(0,1)上单调递减,那么(　　) A.f(x)在(1,+∞)上单调递增且无最大值 B.f(x)在(1,+∞)上单调递减且无最小值 C.f(x)在定义域内是偶函数 D.f(x)的图象关于直线x=1对称 【解析】选AD.因为函数f(x)=loga |x-1|在(0,1)上单调递减,所以f(x)=loga (1-x)在(0,1)上单调递减,而y=1-x是减函数,故a>1, 所以当x>1时,f(x)=loga (x-1), 而y=x-1是增函数,且a>1,则f(x)在(1,+∞)上单调递增且无最大值,故A正确,B错误; 又f(-x)=loga |-x-1|=loga |x+1|≠f(x),故C错误; 因为f(2-x)=loga |2-x-1|=loga |x-1|=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,故D正确. 【加练备选】 已知函数f(x)=|loga(x+1)|(a>1),下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的图象恒过定点(0,0) B.函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减 C.函数f(x)在区间[-,1]上的最小值为0 D.若对任意x∈[1,2],f(x)≥1恒成立,则实数a的取值范围是(1,2] 【解析】选ACD.将(0,0)代入函数 f(x)=|loga(x+1)|(a>1), 可得f(0)=|loga1|=0,故A正确; 当x∈(0,+∞)时,x+1∈(1,+∞),又a>1,所以f(x)=|loga (x+1)|=loga(x+1),由复合函数单调性可知,当x∈(0,+∞)时, f(x)=|loga(x+1)|=loga(x+1)单调递增,故B错误; 当x∈[-,1]时,x+1∈[,2],所以f(x)=|loga(x+1)|≥loga 1=0,故C正确; 当x∈[1,2]时,f(x)=|loga (x+1)|=loga (x+1)≥1恒成立,所以由函数为增函数知 loga 2≥1,解得1<a≤2,故D正确. 三、填空题 9.(5分)已知lg 2=a,lg 3=b,用a,b表示log1815=________.  【解析】log1815====. 答案: 10.(5分)(2024·邯郸模拟)若函数f(x)=loga(x2-ax+)(a>0,且a≠1)有最小值,则实数a的取值范围是________.  【解析】令u(x)=x2-ax+=(x-)2+-,则u(x)有最小值-, 欲使函数f(x)=loga(x2-ax+)有最小值, 则有解得1<a<,即实数a的取值范围为(1,). 答案:(1,) 四、解答题 11.(10分)已知函数f(x)=log2(1+x),g(x)=log2(1-x). (1)求函数f(x)-g(x)的定义域; 【解析】(1)由题意,得解得-1<x<1,所以函数f(x)-g(x)的定义域是(-1,1). (2)判断函数f(x)-g(x)的奇偶性,并说明理由; 【解析】(2)函数f(x)-g(x)是奇函数. 理由如下: 因为函数f(x)-g(x)的定义域是(-1,1),所以其定义域关于原点对称. 又因为f(-x)-g(-x)=log2(1-x)-log2(1+x)=-[log2(1+x)-log2(1-x)]= -[f(x)-g(x)],所以函数f(x)-g(x)是奇函数. (3)求使得不等式f(x)-g(x)>1成立的x的取值范围. 【解析】(3)因为f(x)-g(x)>1,即log2(1+x)-log2(1-x)>1,所以log2>1=log2 2. 所以解得<x<1. 所以使得不等式f(x)-g(x)>1成立的x的取值范围是(,1). 12.(10分)已知函数f(x)=loga (ax2-x). (1)若a=,求函数f(x)的单调区间; 【解析】(1)当a=时,f(x)=lo(x2-x). 令x2-x>0,解得x<0或x>2. 所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞). 令y=x2-x. 因为函数y=x2-x=(x-1)2-在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增, 所以函数f(x)=lox2-x)在区间(-∞,0)上单调递增,在区间(2,+∞)上单调递减. 所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(2,+∞). (2)若f(x)在区间[2,4]上是增函数,求实数a的取值范围. 【解析】(2)根据题意,知a>0,且a≠1. 令g(x)=ax2-x,则函数g(x)的图象的对称轴为直线x=. 因为f(x)在区间[2,4]上是增函数,则 ①当a>1时,显然≤2,g(x)在区间[2,4]上单调递增,又因为g(x)在区间[2,4]上恒大于0, 所以g(2)>0,即4a-2>0, 解得a>. 所以a>1; ②当0<a<1时,由题意,得≥4, 解得a≤,所以0<a≤. 因为g(x)在区间[2,4]上恒大于0, 所以g(4)>0. 所以16a-4>0, 解得a>,与0<a≤矛盾, 则此种情况不存在. 综上所述,实数a的取值范围是(1,+∞). 创新提分练 13.(5分)(2024·保定模拟)已知函数f(x)=x+,x∈(2,8),当x=m时,f(x)有最小值n.则在平面直角坐标系中,函数g(x)=lo|x+n|的图象是(　　) 【解析】选A.因为x∈(2,8),所以x-2>0,所以f(x)=x-2++2≥2+2=4,当且仅当x-2=,即x=3时取等号,所以m=3,n=4. 则函数g(x)=lo|x+4|的图象在(-4,+∞)上单调递减,在(-∞,-4)上单调递增. 14.(10分)因为运算,数的威力是无限的,没有运算,数就只能成为一个符号.把一些已知量进行组合,通过数学运算可以获得新的量,从而解决一些新的问题. (1)对数运算与指数幂运算是两类重要的数学运算,请你根据对数定义推导对数的一个运算性质:如果a>0,a≠1,M>0,n∈R,那么logaMn=nlogaM; 【解析】(1)设M=ax,则Mn=anx. 根据对数定义有logaM=x,logaMn=nx, 因此logaMn=nlogaM. (2)请你运用上述对数运算性质,计算·(+)的值; 【解析】(2)由logaMn=nlogaM可得(+)=(+)=(+) =×+×=+=. (3)对数的运算性质降低了数学运算的级别,简化了数学运算,是数学史上的伟大成就.例如,因为210=1 024∈(103,104),所以210是一个4位数,我们取lg 2≈0.301 0,请你运用上述对数运算性质,判断250的位数是多少? 【解析】(3)设250的位数为k,则10k-1≤250≤10k, 所以lg 10k-1≤lg 250≤lg 10k, 即k-1≤50lg 2≤k. 因为lg 2≈0.301 0, 所以50lg 2≈15.05. 由k-1≤15.05≤k得15.05≤k≤16.05. 因为k∈N*,所以k=16. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $