核心素养测评(第2章 第11讲 指数与指数函数)(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学高考复习教案聚焦指数与指数函数核心考点，涵盖指数运算、函数性质（奇偶性、单调性）、图像变换、实际应用及新定义问题，按“概念-性质-应用”逻辑架构知识体系。通过考点梳理、真题精讲（如2022北京卷）、分层训练（基础保分练、创新提分练）等环节，帮助学生构建解题框架，突破图像变换、复合函数单调性等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料突出真题导向与素养融合，采用“数学思维”引导（如新定义“局部奇函数”问题，培养抽象与推理能力）和“数学语言”表达（如细沙泄漏问题建立指数模型）。设置基础、提升、创新三级练习，配合加练备选，确保分层突破。助力学生高效掌握考点，提升应考能力，为教师把控复习节奏提供实用指导。

核心素养测评　(时间:45分钟　分值:80分) 十一　指数与指数函数 基础保分练 一、单选题 1.(5分)若m=,n=,则m+n的值为(　　) A.-7 B.-1 C.1 D.7 【解析】选C.m+n=π-3+|π-4|=π-3+4-π=1. 2.(5分)下列函数中,值域是(0,+∞)的为(　　) A.y= B.y=()x C.y= D.y= 【解析】选B.函数y=的值域为[0,+∞); 函数y=()x的值域为(0,+∞); 函数y=的值域为[0,1); 函数y=的值域为(0,1)∪(1,+∞). 3.(5分)(2022·北京卷)已知函数f(x)=,则对任意实数x,有(　　) A.f(-x)+f(x)=0 B.f(-x)-f(x)=0 C.f(-x)+f(x)=1 D.f(-x)-f(x)= 【命题意图】考查函数的奇偶性、对称性,中档题. 【解析】选C.因为f(x)=,所以f(-x)==,f(x)+f(-x)==1. 4.(5分)函数f(x)= ()|x+1|的图象大致为(　　) 【解析】选B.作出函数y=()|x|=的图象,如图所示,将y=()|x|的图象向左平移1个单位长度得到f(x)= ()|x+1|的图象. 5.(5分)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是(　　) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[-2,+∞) D.(-∞,-2] 【解析】选B.由f(1)=,得a2=,所以a=或a=-(舍去),即f(x)= ()|2x-4|,由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,y=()x在(-∞,+∞)上单调递减,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减. 6.(5分)一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底部一个细微的小孔漏出,t min后剩余的细沙量(单位:cm3)为y=a.6 min后发现容器内还有一半的细沙,要使容器内的细沙只有开始时的八分之一,则需再经过(　　) A.6 min B.12 min C.18 min D.32 min 【解析】选B.当t=0时,y=a;当t=6时,y=a=a,所以=.若容器内的细沙只有开始时的八分之一,则y=a=a,所以e-bt==()3=,则t=18,18-6=12(min),所以再经过12 min,容器内的细沙只有开始时的八分之一. 二、多选题 7.(5分)(2024·广州模拟)已知函数y=(),则下列说法正确的是(　　) A.定义域为R B.值域为(0,2] C.在[-2,+∞)上单调递增 D.在[-2,+∞)上单调递减 【解析】选ABD.函数y=()的定义域为R,A正确; 因为x2+4x+3=(x+2)2-1≥-1,所以0<()≤2,故函数y=()的值域为(0,2],B正确; 因为y=()u在R上是减函数,u=x2+4x+3在(-∞,-2]上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增, 所以函数y=()在[-2,+∞)上单调递减,C错误,D正确. 8.(5分)(2025·杭州模拟)已知函数f(x)=,下列说法正确的有(　　) A.f(x)的图象关于原点对称 B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)的值域为(-1,1) D.∀x1,x2∈R,且x1≠x2,<0 【解析】选AC.对于A,由f(-x)==-=-f(x),可得函数f(x)为奇函数,函数f(x)的图象关于原点对称,故选项A正确,选项B错误; 对于C,设y=,可得3x=,所以>0,即<0,解得-1<y<1,即函数f(x)的值域为(-1,1),所以C正确; 对于D,对∀x1,x2∈R,且x1≠x2,<0,可得函数f(x)为减函数, 而f(x)==1-为增函数,所以D错误. 【加练备选】 已知函数f(x)=,则下列结论中正确的是(　　) A.f(x)的定义域为R B.f(x)是奇函数 C.f(x)在定义域上是减函数 D.f(x)无最小值,无最大值 【解析】选BD.对于A,由ex-e-x≠0,解得x≠0,故f(x)的定义域为{x|x≠0},故A错误; 对于B,函数f(x)的定义域关于原点对称,且f(-x)==-f(x),故f(x)是奇函数,故B正确; 对于C,f(x)===1+, 故函数f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上分别单调递减,当x→-∞时,f(x)→-1,x→0-时,f(x)→-∞,x→0+时,f(x)→+∞,x→+∞时,f(x)→1, 所以f(x)在定义域上不是减函数,故C错误; 对于D,由选项C的分析可知,函数f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞),无最小值,无最大值,故D正确. 三、填空题 9.(5分)(一题多法)(2024·东莞调研)已知函数f(x)=+是奇函数,则a=________.  【解析】法一:f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以+=-(+), 即+=--, 所以+=-1, 即=-1,所以a=1. 法二:f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1), 即+=-(+),解得a=1. 当a=1时,f(x)=+, f(-x)=+=+=-+=-+ =--=-(+)=-f(x), 所以当a=1时,f(x)为奇函数. 答案:1 10.(5分)(2025·深圳质检)若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个交点,则a的取值范围是________.  【解析】y=|ax-1|的图象是由y=ax的图象先向下平移1个单位长度,再将x轴下方的图象翻折到x轴上方,保持x轴上及其上方的图象不变得到的. 当a>1时,如图1,两图象只有一个交点,不符合题意;当0<a<1时,如图2,要使两个图象有两个交点,则0<2a<1,即0<a<. 综上可知,a的取值范围是(0,). 答案: (0,) 四、解答题 11.(10分)已知函数f(x)=4x-a·2x-1+4. (1)若a=4,求f(x)在[0,1]上的值域; 【解析】(1)当a=4时,f(x)=4x-2·2x+4=(2x-1)2+3,令2x=t,则y=(t-1)2+3. 因为x∈[0,1],所以2x∈[1,2],即t∈[1,2], 而y=(t-1)2+3的对称轴为直线t=1, 所以函数y=(t-1)2+3在[1,2]上单调递增, 所以3≤(t-1)2+3≤4,即3≤f(x)≤4. 所以f(x)在[0,1]上的值域为[3,4]. (2)若关于x的方程f(x)=0有解,求a的取值范围. 【解析】(2)f(x)=4x-·2x+4, 令2x=m(m>0),则y=m2-·m+4. 因为f(x)=0有解,所以m2-·m+4=0在(0,+∞)上有解,所以解得a≥8,所以a的取值范围为[8,+∞). 12.(10分)已知函数f(x)=(x∈R). (1)求证:函数f(x)是R上的减函数; 【解析】(1)设任意的x1,x2∈R,x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-==,因为x1,x2∈R,x1<x2, 所以->0,(+1)(+1)>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)是R上的减函数. (2)已知函数f(x)的图象存在对称中心(a,b)的充要条件是g(x)=f(x+a)-b的图象关于原点中心对称,判断函数f(x)的图象是否存在对称中心?若存在,求出该对称中心的坐标;若不存在,请说明理由. 【解析】(2)假设函数f(x)的图象存在对称中心(a,b),则g(x)=f(x+a)-b=-b的图象关于原点中心对称,由于函数的定义域为R, 所以g(-x)+g(x)=-b+-b=0恒成立,即(1-2b)(+)+2-2b-2b·=0恒成立, 所以解得a=0,b=, 所以函数f(x)的图象存在对称中心(0,). 【加练备选】 定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有-M≤f(x)≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知f(x)=4x+a·2x-2. (1)当a=-2时,求函数f(x)在(0,+∞)上的值域,并判断函数f(x)在(0,+∞)上是否为有界函数,请说明理由; 【解析】(1)当a=-2时,f(x)=4x-2×2x-2=(2x-1)2-3,令2x=t,由x∈(0,+∞),可得t∈(1,+∞). 令g(t)=(t-1)2-3,有g(t)>-3,可得函数f(x)的值域为(-3,+∞), 故函数f(x)在(0,+∞)上不是有界函数. (2)若函数f(x)在(-∞,0)上是以2为上界的有界函数,求实数a的取值范围. 【解析】(2)由题意有,当x∈(-∞,0)时,-2≤4x+a·2x-2≤2,可化为0≤4x+a·2x≤4, 必有a·2x≥0且a≤-2x. 令2x=k,由x∈(-∞,0),可得k∈(0,1), 由a·2x≥0恒成立,可得a≥0, 令h(k)=-k(0<k<1),可知函数h(k)为减函数,有h(k)>h(1)=4-1=3, 由a≤-2x恒成立,可得a≤3, 若故函数f(x)在(0,+∞)上是以2为上界的有界函数,则实数a的取值范围为[0,3]. 创新提分练 13.(5分)(2025·邯郸模拟)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x0,满足f(-x0)=-f(x0),则称f(x)为“局部奇函数”.已知f(x)=-aex-1在R上为“局部奇函数”,则a的取值范围是(　　) A.[-1,+∞) B.(-∞,-1] C.[-1,0) D.(-∞,1] 【解析】选C.因为f(x)=-aex-1在R上为“局部奇函数”, 所以存在实数x0,使得-a-1=a+1, 所以方程-ae-x-1=aex+1在R上有解, 所以方程=a在R上有解, 又ex+e-x=ex+≥2,当且仅当x=0时等号成立,所以-1≤a<0, 所以a的取值范围是[-1,0). 14.(5分)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x0满足f(-x0)=-f(x0),则称函数f(x)为“倒戈函数”.设f(x)=3x+m-1(m∈R,m≠0)是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”,则实数m的取值范围是________.  【解析】因为f(x)=3x+m-1是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”, 所以存在x0∈[-1,1]满足f(-x0)=-f(x0), 所以+m-1=--m+1, 所以2m=--+2, 构造函数y=--+2, x0∈[-1,1],令t=,t∈[,3], 则y=--t+2=2-(t+)在[,1]上单调递增,在(1,3]上单调递减,所以当t=1时,函数取得最大值0, 当t=或t=3时,函数取得最小值-, 所以y∈[-,0], 又因为m≠0,所以-≤2m<0,所以-≤m<0. 答案: [-,0) - 7 - 学科网（北京）股份有限公司 $