核心素养测评(第2章 第10讲 二次函数与幂函数)(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

核心素养测评　(时间:45分钟　分值:80分) 十　二次函数与幂函数 基础保分练 一、单选题 1.(5分)如果二次函数y=2x2+mx-3的图象的对称轴方程是x=,那么当x=1时,y=(　　) A.-7 B.-5 C.-3 D.-1 【解析】选C.由题意得,二次函数图象的对称轴方程为x=-=,得m=-2,则y=2x2-2x-3,把x=1代入得y=-3. 2.(5分)已知f(x)=(m2+m-5)xm为幂函数,则(　　) A.f(x)在(-∞,0)上单调递增 B.f(x)在(-∞,0)上单调递减 C.f(x)在(0,+∞)上单调递增 D.f(x)在(0,+∞)上单调递减 【解析】选B.因为f(x)=(m2+m-5)xm是幂函数,所以m2+m-5=1,解得m=2或m=-3,所以f(x)=x2或f(x)=x-3, 对于f(x)=x2,函数在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减;对于f(x)=x-3,函数在(0,+∞)上单调递减,且为奇函数,故在(-∞,0)上单调递减; 故只有B选项“f(x)在(-∞,0)上单调递减”符合这两个函数的性质. 3.(5分)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,那么实数a的取值范围是(　　) A.a≥3 B.a≤-3 C.a<5 D.a≥-3 【解析】选B.函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,所以-≥4, 解得a≤-3. 4.(5分)(2024·石家庄调研)已知a=(,b=(,c=(,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.c<a<b C.a>b>c D.b<c<a 【解析】选B.由a=(,b=(,c=(, 得a=(,b=(,c=(. 因为幂函数y=在区间(0,+∞)上单调递增,且<<,所以(<(<(,即c<a<b. 5.(5分)已知函数f(x)=x2+2kx-5在[-2,4]上具有单调性,则实数k的取值范围为(　　) A.k≤-4 B.k≥2 C.k≤-4或k≥2 D.k<-4或k>2 【解析】选C.函数f(x)=x2+2kx-5的对称轴为x=-k, 因为函数f(x)=x2+2kx-5在[-2,4]上具有单调性,所以-k≥4或-k≤-2,即k≤-4或k≥2. 6.(5分)已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=f(4)>f(1),则(　　) A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0 【解析】选A.由f(0)=f(4),得f(x)图象的对称轴为直线x=-=2,所以4a+b=0,又f(0)=f(4)>f(1),所以f(x)的图象开口向上,a>0. 【加练备选】 已知函数f(x)=x2-4x+1的定义域为[1,t],在该定义域内函数的最大值与最小值之和为-5,则实数t的取值范围是(　　) A.(1,3] B.[2,3] C.(1,2] D.(2,3) 【解析】选B.易知f(x)=x2-4x+1的图象是一条开口向上,对称轴为直线x=2的抛物线, 当x=1时,y=-2,当x=2时,y=-3,由y=-2,得x=1或x=3,因为f(x)在定义域内的最大值与最小值之和为-5,所以2≤t≤3. 二、多选题 7.(5分)若幂函数f(x)的图象经过点(9,3),则下列结论中正确的是(　　) A.f(x)为偶函数 B.f(x)为增函数 C.若x>1,则f(x)>1 D.若x1>x2>0,则f()> 【解析】选BCD.若幂函数f(x)=xα经过点(9,3),则9α=3,则α=,则幂函数f(x)=在定义域[0,+∞)上为增函数,故B正确;因为函数f(x)=的定义域为[0,+∞),关于原点不对称,所以函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,故A错误; 当x>1时,f(x)=>1,故C正确; 函数f(x)=的图象如图,其图象在[0,+∞)上是上凸的, 则有不等式<f()成立,所以D正确. 8.(5分)如图,函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,且对称轴为直线x=1,点B的坐标为(-1,0),则(　　) A.f(1-x)=f(x) B.f(2)>0 C.f()<f(0) D.b2-4ac>0 【解析】选BD.因为函数f(x)的对称轴为直线x=1,所以f(2-x)=f(x),故A错误;因为函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,点B的坐标为(-1,0),所以f(2)=f(0)>0,故B正确;因为函数图象开口向下,在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,且图象关于直线x=1对称,所以f()=f()>f(0),故C错误;由于ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,故b2-4ac>0,故D正确. 三、填空题 9.(5分)若f(x)=,则不等式f(x)>f(8x-16)的解集是[2,).  【解析】因为f(x)=在定义域[0,+∞)上为增函数,且f(x)>f(8x-16),所以即2≤x<,所以不等式的解集为[2,). 10.(5分)已知二次函数y=ax2+bx+c满足以下条件:图象与x轴交于(-2,0),(4,0)两点,且过点(1,-),则函数解析式为y=x2-x-4.  【解析】设函数解析式为y=a(x+2)(x-4),则-=a(1+2)(1-4),解得a=.故所求函数的解析式为y=(x+2)(x-4),即y=x2-x-4. 【加练备选】 若函数φ(x)=x2+m|x-1|在[0,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是[-2,0].  【解析】当0≤x≤1时,φ(x)=x2-mx+m,此时φ(x)单调递增,则≤0,即m≤0; 当x>1时,φ(x)=x2+mx-m, 此时φ(x)单调递增,则-≤1,则m≥-2. 综上,实数m的取值范围是[-2,0]. 四、解答题 11.(10分)若二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,f(0)=1. (1)求f(x)的解析式; 【解析】(1)由题意,设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 因为f(0)=1,可得c=1,即f(x)=ax2+bx+1, 又因为f(x+1)-f(x)=2x, 可得a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=2x, 即2ax+b+a=2x,可得 解得a=1,b=-1, 所以f(x)=x2-x+1. (2)若f(x)>2x+m在[-1,1]上恒成立,求m的取值范围. 【解析】(2)由(1)知函数f(x)=x2-x+1, 因为f(x)>2x+m在[-1,1]上恒成立, 即x2-3x+1>m在[-1,1]上恒成立, 令g(x)=x2-3x+1,x∈[-1,1], 根据二次函数的性质,可得函数g(x)在[-1,1]上单调递减, 所以g(x)min=g(1)=-1, 所以m<-1, 所以实数m的取值范围是(-∞,-1). 12.(10分)已知二次函数g(x)=mx2-2mx+n+1(m>0)在区间[0,3]上有最大值4,最小值0. (1)求函数g(x)的解析式; 【解析】(1)由题意知二次函数g(x)=mx2-2mx+n+1(m>0)的图象开口向上,对称轴为x=1, 所以⇒ 所以g(x)=x2-2x+1. (2)设f(x)=g(x)+(2-a)x,且f(x)在[-1,2]上的最小值为-3,求a的值. 【解析】(2)f(x)=g(x)+(2-a)x=x2-ax+1,其图象开口向上,对称轴为x=. 当≤-1,即a≤-2时,f(-1)=2+a=-3⇒a=-5; 当-1<<2,即-2<a<4时,f()=-+1=-+1=-3⇒a=±4(舍去); 当≥2,即a≥4时,f(2)=5-2a=-3⇒a=4. 综上所述,a的值为-5或4. 【加练备选】 设二次函数f(x)满足:①当x∈R时,总有f(-1+x)=f(-1-x);②函数f(x)的图象与x轴的两个交点为A,B,且|AB|=4;③f(0)=-. (1)求f(x)的解析式; 【解析】(1)由题意知,函数f(x)的图象关于直线x=-1对称,且方程f(x)=0的两根为-3和1, 设f(x)=a(x+3)(x-1),又f(0)=-, 则f(0)=-3a=-,解得a=. 故f(x)=x2+x-. (2)若存在t∈R,只要x∈[1,m](m>1),就有f(x+t)≤x-1成立,求满足条件的实数m的最大值. 【解析】(2)只要x∈[1,m](m>1),就有f(x+t)≤x-1,即x2+2(t-1)x+(t+1)2≤0, 取x=1,t2+4t≤0,-4≤t≤0; 取x=m,[m+(t-1)]2≤-4t,即1-t-2≤m≤1-t+2,由-4≤t≤0得0≤-t≤4, 1-t+2≤1+4+2×=9,故当t=-4时,m≤9; 当m=9时,存在t=-4,只要x∈[1,9], 就有f(x-4)-(x-1)=(x-1)(x-9)≤0成立,满足题意.故满足条件的实数m的最大值为9. 创新提分练 13.(5分)已知函数f(x)=(m2-m-5)是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,若a,b∈R,且a+b>0,则f(a)+f(b)的值(　　) A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断 【解析】选A.由题得m2-m-5=1,解得m=-2或m=3. 因为对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0, 所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以m2-6>0,所以m=3,所以f(x)=x3. 若a,b∈R,且a+b>0,则a>-b,易知f(x)为奇函数且在R上单调递增,所以f(a)>f(-b)=-f(b),所以f(a)+f(b)>0. 14.(5分)如图,正方形OABC的边长为a(a>1),函数y=3x2的图象交AB于点Q,函数y=的图象交BC于点P,则当|AQ|+|CP|最小时,a的值为.  【解析】依题意得Q(,a),P(a,), 则|AQ|+|CP|=+=+,记=t(t>1),f(t)=|AQ|+|CP|, 则f(t)=+≥2,当且仅当=, 即t2=时取等号,此时a=. - 8 - 学科网（北京）股份有限公司 $