第2章 第15讲 函数模型及其应用(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

第15讲　函数模型及其应用 复习目标 1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异. 2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义. 3.会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律,了解函数模型在社会生活中的广泛应用. 教材梳理　夯基础 主干知识 知识点1　三种函数模型的性质 性质 函数 y= ax(a>1) y= logax(a>1) y= xn(n>0) 在(0,+∞)上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大,逐渐表现为与y轴平行 随x的增大,逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0,当x>x0时, 有logax<xn<ax [注意点]“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢. 知识点2　常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 反比例函数模型 f(x)=+b(k,b为常数且k≠0) 指数函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) 对数函数模型 f(x)=bloga x+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) 幂函数模型 f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠0) [注意点]函数模型应用问题的步骤(四步八字方针):审题,建模,解模,还原. 基础自测 类型 回源教材 澄清盲点 题号 2 1,3 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.(　×　) 【解析】(1)九折出售的售价为100(1+10%)×=99(元), 所以每件赔1元,错误. (2)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.(　×　) 【解析】(2)当x=2时,2x=x2=4.错误. (3)不存在x0,使<<loga x0.(　×　) 【解析】(3)如a=x0=,n=,不等式成立,错误. (4)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a>0)的增长速度.(　√　) 2.(必修第一册P138探究变式)已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2 x,当x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是(　　) A.f(x)>g(x)>h(x) B.g(x)>f(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x) D.f(x)>h(x)>g(x) 【解析】选B.当x∈(4,+∞)时,易知增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x). 3.某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒,需对喷雾完毕后空气中每立方米药物残留量y(单位:毫克)与时间x(单位:时)的关系进行研究,为此收集部分数据并做了初步处理,得到如图散点图.现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y与x的关系,则应选用的函数模型是(　　) A.y=ax+b B.y=a·+b(a>0) C.y=xa+b(a>0) D.y=ax+(a>0,b>0) 【解析】选B.由题图可知,函数在(0,+∞)上单调递减,且散点分布在一条曲线附近,函数y=a·+b的图象为一条曲线,且当a>0时,该函数单调递减,符合题意. 考点突破　强技能 考点一用函数图象刻画变化过程 【例1】(1)(多选题)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时,该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图所示: 根据图中提供的信息,下列关于成人使用该药物的说法中,正确的是(　　) A.首次服用该药物1单位约10分钟后,药物发挥治疗作用 B.每次服用该药物1单位,两次服药间隔小于2小时,一定会产生药物中毒 C.每间隔5.5小时服用该药物1单位,可使药物持续发挥治疗作用 D.首次服用该药物1单位3小时后,再次服用该药物1单位,不会发生药物中毒 【解析】选ABC.从题图中可以看出,首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用,故A正确;根据题图可知,首次服用该药物1单位约1小时时的血药浓度达到最大值,当两次服药间隔小于2小时时,一定会产生药物中毒,故B正确;服药5.5小时时,血药浓度等于最低有效浓度,此时再服药,血药浓度增加,可使药物持续发挥治疗作用,故C正确;第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后,血药浓度之和大于最低中毒浓度,因此一定会发生药物中毒,故D错误. (2)(2022·北京高考)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献,如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是(　　) A.当T=220,P=1 026时,二氧化碳处于液态 B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态 C.当T=300,P=9 987时,二氧化碳处于超临界状态 D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态 【解析】选D.对于A选项,T=220,lg 1 026略大于lg 1 000=3,由题图知,处于固态; 对于B选项,T=270,lg 128略大于lg 100=2,由题图知,处于液态; 对于C选项,T=300,lg 9 987略小于lg 10 000=4,由题图知,处于固态; 对于D选项,T=360,lg 729大于2小于3,由题图知,处于超临界状态. 解题技法 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象; (2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案. 【训练1】　如图,在正方形ABCD中,AB=2,点M从点A出发,沿A→B→C→D→A的方向,以每秒2个单位长度的速度在正方形ABCD的边上运动;点N从点B出发,沿B→C→D→A→B的方向,以每秒1个单位长度的速度在正方形ABCD的边上运动.点M与点N同时出发,运动时间为t(单位:秒),△AMN的面积为f(t),规定A,M,N三点共线时其面积为零,则点M第一次到达点A时,y=f(t)的图象为(　　) 【解析】选A.根据题意,当0≤t≤1时,△AMN的面积为f(t)=·2t·t=t2;当1<t≤2时,△AMN的面积为f(t)=×2×[t-(2t-2)]=2-t;当2<t≤3时,△AMN的面积为f(t)=×2×[(2t-4)-(t-2)]=t-2;当3<t≤4时,△AMN的面积为f(t)=×[2-(2t-6)][2-(t-2)]=(4-t)2,所以f(t)=由此可知相应的函数图象为选项A. 考点二应用所给函数模型解决实际问题 【例2】(多选题)(2023·新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受重视,用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数不妨设p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(　　) A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100p0 D.p1≤100p2 【解析】选ACD.燃油汽车=20×lg∈[60,90],所以=1,∈[60,90],① 同理=1,∈[50,60],② =1=102=100.③ 对于A,由题表知≥,所以A正确; 对于B,②÷③得,=1∈[1,101],所以≤10,所以B错误; 对于C,=1=102=100,所以C正确; 对于D,①÷②得,=1∈[100,102], 所以∈[1,100],p1≤100p2,所以D正确. 解题技法 求解已知函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数. (3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验. 【训练2】　已知某类果蔬的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=eax+b(a,b为常数),若该果蔬在6℃的保鲜时间为216小时,在24℃的保鲜时间为8小时,那么在12℃时,该类果蔬的保鲜时间为(　　) A.72小时 B.36小时 C.24小时 D.16小时 【解析】选A.当x=6时,=216;当x=24时,=8,则==27,整理可得=.于是eb=216×3=648,当x=12时,y==()2·eb=×648=72. 【加练备选】 随着社会的发展,人与人的交流变得广泛,信息的拾取、传输和处理变得频繁,这对信息技术的要求越来越高.无线电波的技术也越来越成熟,其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式:L=32.44+20lg D+20lg F,其中D为传输距离,单位是km,F为载波频率,单位是MHz,L为传输损耗(亦称衰减),单位为dB.若载波频率增加了1倍,传输损耗增加了18 dB,则传输距离约增加了(参考数据:lg 2≈0.3,lg 4≈0.6)(　　) A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍 【解析】选C.设L,L'分别是变化前、后的传输损耗,F,F'分别是变化前、后的载波频率,D,D'分别是变化前、后的传输距离,则L'=L+18,F'=2F,18=L'-L=20lg D'+20lg F'-20lg D-20lg F=20lg +20lg ,则20lg =18-20lg 2≈12,即lg ≈0.6≈lg 4,从而D'≈4D,即传输距离增加了约3倍. 考点三构造函数模型的实际问题 角度1　构建二次函数、分段函数模型 【例3】为响应国家“降碳减排”号召,新能源汽车行业得到蓬勃发展,而电池是新能源汽车最核心的部件之一.某企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇,决定开发生产一款新能源电池设备.生产这款设备的年固定成本为200万元,每生产x台(x∈N+)需要另投入成本a(x)(万元),当年产量x不足45台时,a(x)=x2+30x-300,当年产量x不少于45台时,a(x)=61x+-900.若每台设备的售价k(万元)与销售量m(台)的关系式为k=60+,经过市场分析,该企业生产新能源电池设备能全部售完. (1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式; (2)年产量x为多少台时,该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大?最大利润是多少万元? 【解析】(1)当x<45,x∈N+时, y=(60+)x-200-a(x)=60x+100-200-(x2+30x-300)=-x2+30x+200; 当x≥45,x∈N+时,y=(60+)x-200-a(x)=60x+100-200-(61x+-900)=-x-+800. 综上所述,y=(x∈N+). (2)当x<45,x∈N+时,y=-x2+30x+200,则当x=30时,y的最大值为650; 当x≥45,x∈N+时, y=-x-+800=-[(x+1)+]+801≤-2+801=701, (当且仅当x+1=,即x=49时等号成立),当年产量为49台时,该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大,最大利润为701万元. 解题技法 利用二次函数、分段函数刻画实际问题的方法 (1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,因此需要构建分段函数模型;分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者). (2)二次函数是常用的函数模型,建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值、解决实际中的优化问题时,一定要分析自变量的取值范围.利用配方法求最值时,一定要注意对称轴与给定区间的关系. (3)涉及形如f(x)=x+(a>0,x>0)型的最值,首先考虑使用基本不等式,若使用基本不等式时取不到等号,则需要考虑函数的单调性. 角度2　构建指数函数、对数函数模型 【例4】(1)设光线通过一块玻璃后,强度损失10%.如果光线原来的强度为k(k>0),通过x块这样的玻璃以后强度为y,则y=k·0.9x(x∈N*),那么光线强度减弱到原来的以下时,至少通过了这样的玻璃块数为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)(　　) A.12 B.13 C.14 D.15 【解析】选C.由题意得k·0.9x<(k>0),解得0.9x<.两边同时取常用对数得xlg 0.9<lg ,因为lg 0.9<0,所以x>,又=≈≈13.09,则至少通过了14块玻璃. (2)里氏震级M的计算公式为M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为________级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍.  【解析】M=lg 1 000-lg 0.001=3-(-3)=6. 设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1,A2,则9=lg A1-lg A0=lg,则=109,5=lg A2-lg A0=lg ,则=105,所以=104.即9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍. 答案:6　10 000 解题技法 应用指数、对数函数模型的注意问题 1.指数、对数函数模型的应用类型,常与增长率相结合进行考查,在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数、对数函数模型来解决. 2.应用指数、对数函数模型的关键是对模型的判断,先设定模型,再将已知有关数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型. 3.y=a(1+x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解. 【训练3】　(1)血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比,即血液中血氧的浓度,它是呼吸循环的重要生理参数.正常人体的血氧饱和度一般不低于95%,在95%以下为供氧不足.在环境模拟实验室的某段时间内,可以用指数函数模型:S(t)=S0eKt描述血氧饱和度S(t)(%)随给氧时间t(单位:小时)的变化规律,其中S0为初始血氧饱和度,K为参数.已知S0=60,给氧1小时后,血氧饱和度为70%.若使得血氧饱和度达到正常值,则给氧时间至少还需要(取ln 6≈1.79,ln 7≈1.95,ln 12≈2.48,ln 19≈2.94)(　　) A.1.525小时 B.1.675小时 C.1.725小时 D.1.875小时 【解析】选D.由题意知60eK=70,则K=ln =ln 7-ln 6,由60eKt≥95,得Kt≥ln =ln 19-ln 12, 则t≥≈=2.875,则给氧时间至少还需要1.875小时. (2)中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹,用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.某中学剪纸社团开展一个趣味比赛活动,要求在一个长为a(a>2)和宽为2的矩形的对角剪掉两个全等的等腰三角形,这两个等腰三角形的底边与矩形的边交于四点,以这四点为顶点构成四边形,将其剪下来,哪一位同学剪出的四边形面积最大则为冠军.若设等腰三角形的腰长为x,四边形面积为y. ①写出y关于x的函数解析式,并求出它的定义域; ②当x为何值时,四边形面积最大?并求出最大值. 【解析】① 如图所示,由等腰三角形的腰长为x,四边形面积为y,可得==x2,S△BPE==(a-x)(2-x),所以y=-2-2=-2x2+(a+2)x,因为 所以0<x≤2,故y=-2x2+(a+2)x,定义域为(0,2]. ②由①知y=-2x2+(a+2)x=-2+. (i)当<2且a>2,即2<a<6时, 函数y=-2x2+(a+2)x在(0,)上单调递增,在(,2]上单调递减, 所以当x=时,ymax=. (ii)当≥2,即a≥6时,y=-2x2+(a+2)x在(0,2]上单调递增,所以当x=2时,ymax=2a-4. 综上所述,当2<a<6时,x=,四边形面积最大,最大值为; 当a≥6时,x=2,四边形面积最大,最大值为2a-4. 【加练备选】 智能辅助驾驶已开始得到初步应用,其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与障碍物之间的距离,并结合车速转化为所需时间,当此距离等于报警距离时就开始报警,等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为4段,分别为准备时间t0与人的反应时间t1,系统反应时间t2,制动时间t3,相应的距离分别为d0,d1,d2,d3,如图所示.当车速为v(米/秒),且0<v≤33.3时,通过大数据统计分析得到表中给出的数据(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化,且1≤k≤2). 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间/秒 t0 t1=0.8 t2=0.2 t3 距离/米 d0=10 d1 d2 d3= (1)请写出报警距离d(米)与车速v(米/秒)之间的函数关系式,并求当k=2时,当汽车达到报警距离时,若人和系统均未采取任何制动措施,仍以此速度行驶的情况下,汽车撞上固定障碍物的最短时间; (2)若要求汽车在k=1的路面上行驶时报警距离均小于50米,则汽车的行驶速度应限制在多少以下(单位:米/秒)? 【解析】(1)由题意知,d(v)=d0+d1+d2+d3=10+0.8v+0.2v+,即d(v)=10+v+, 当k=2时,d(v)=10+v+,t(v)==++1≥2×+1=2,当且仅当v=20时等号成立,0<v≤33.3,即以此速度行驶的情况下,汽车撞上固定障碍物的最短时间为2秒. (2)当k=1时,d(v)<50,即10+v+<50, 即v2+20v-800<0,-40<v<20, 又0<v≤33.3,故0<v<20, 所以汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下. - 12 - 学科网（北京）股份有限公司 $