第2章 第12讲 对数与对数函数(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学高考复习教案围绕对数与对数函数专题，涵盖对数概念、运算性质、对数函数图象与性质及反函数等核心考点，按概念-性质-应用逻辑架构知识体系。通过教材梳理夯基础、基础自测辨盲点、考点突破讲方法（含例题解析、解题技法、真题训练）的教学流程，帮助学生系统构建知识网络，针对性突破运算化简、图象分析、性质应用等难点。 教案突出易错辨析与分层训练特色，如通过基础自测澄清对数运算中真数正负、底数范围等易错点，结合一题多法（如比较对数大小时的图象法与换底公式法）培养学生数学思维。设置从基础巩固到真题应用的分层练习，配合解题技法总结，有效发展学生运算能力与逻辑推理，助力教师精准把控复习节奏，提升学生高考应考能力。

第12讲　对数与对数函数 复习目标 1.理解对数的概念及其运算性质,会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点. 3.知道对数函数y=log ax与指数函数y=ax(a>0,a≠1)互为反函数. 教材梳理　夯基础 主干知识 知识点1　对数的概念 一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=loga N,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.  以10为底的对数叫做常用对数,记作lg N.  以e为底的对数叫做自然对数,记作ln N.  知识点2　对数的性质与运算性质 (1)对数的性质:loga 1=0,loga a=1,=N(a>0,且a≠1,N>0). (2)对数的运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga (MN)=loga M+loga N;  ②loga =loga M-loga N;  ③loga Mn=nloga M(n∈R).  (3)换底公式:logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1). [注意点](1)换底公式的变形: ①loga b·logb a=1,即loga b=(a,b均大于0且不等于1). ②lobn=loga b(a,b均大于0且不等于1,m≠0,n∈R). ③logN M==(a,b,N均大于0且不等于1,M>0). (2)换底公式的推广:loga b·logb c·logc d=loga d(a,b,c均大于0且不等于1,d>0). 知识点3　对数函数的图象与性质 y=loga x a>1 0<a<1 图象 定义域 (0,+∞) 值域 R 性质 过定点(1,0),即当x=1时,y=0 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 知识点4　反函数 指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=loga x(a>0且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称. 常用结论 1.对数函数y=loga x(a>0且a≠1)的图象恒过点(1,0),(a,1), (,-1). 2.如图给出4个对数函数的图象 则b>a>1>d>c>0,即在第一象限,不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大. 基础自测 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2 1,4 3 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)log2 x2=2log2 x.(　　) (2)若MN>0,则loga(MN)=loga M+loga N.(　　) (3)函数y=ln与y=ln (1+x)-ln (1-x)的定义域相同.(　　) (4)当x>1时,若loga x>logb x,则a<b.(　　) 【解析】 (1) log2 x2=2log2 |x| × (2) 当M<0,N<0时,虽然MN>0, 但loga (MN)=loga M+loga N不成立 × (4) 若0<b<1<a,则当x>1时,loga x>logb x × 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2.(一题多法)(必修第一册P141T13(1)变式)设a=log0.2 6,b=log0.3 6,c=log0.4 6,则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a 【解析】选A.法一:如图,作出函数y1=log0.2 x,y2=log0.3 x,y3=log0.4 x的图象, 由图可知,当x=6时,log0.2 6>log0.3 6>log0.4 6,即a>b>c. 法二:易知0>log6 0.4>log6 0.3>log6 0.2, 所以<<, 即log0.4 6<log0.3 6<log0.2 6,即a>b>c. 3.函数y=loga (x-2)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点________.  【解析】因为loga 1=0,令x-2=1,则x=3, 又y=loga 1+2=2,所以原函数的图象恒过定点(3,2). 答案:(3,2) 4.若loga <1(a>0且a≠1),则实数a的取值范围是____________________.  【解析】当0<a<1时,loga <loga a=1,所以0<a<;当a>1时,loga <loga a=1,所以a>1. 综上所述,实数a的取值范围是(0,)∪(1,+∞). 答案: (0,)∪(1,+∞) 考点突破　强技能 考点一对数的运算 【例1】(1)(2025·八省联考)已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1),若f(ln 2)f(ln 4)=8,则a=__________.  【解析】因为f(ln 2)f(ln 4)=aln 2·aln 4=aln 2+ln 4=aln 8=8=eln 8,所以a=e. 答案:e (2)计算下列各式: ①lg 500+lg -lg 64+50(lg 2+lg 5)2; ②. 【解析】①原式=lg(5×100)+lg 8-lg 5-lg 26+50=lg 5+2+3lg 2-lg 5-3lg 2+50=52. ②原式= = = = = =1. 解题技法 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行运算. (2)将同底对数的和、差、积合并. (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用. (4)利用常用对数中的lg 2+lg 5=1. 【训练1】　(1)已知a=lg 2,10b=3,则log56=(　　) A. B. C. D. 【解析】选B.因为a=lg 2,10b=3, 所以b=lg 3,log56===. (2)已知2a=7b=k,若+=1,则k的值为(　　) A.28 B. C.14 D. 【解析】选A.因为2a=7b=k, 所以a=log2k,b=log7k, 所以=logk2,=logk7, 所以+=2logk2+logk7=logk28=1,所以k=28. (3)(多选题)(2024·汕头模拟)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么(　　) A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac C.=+ D.=- 【解析】选AD.由题意,设4a=6b=9c=M(M>0),则a=log4M,b=log6M,c=log9M, =logM4,=logM6,=logM9. 因为logM4+logM9=2logM6, 所以+=, 即=-, 整理得,ab+bc=2ac,易知A,D正确,B,C错误. (4)(2022·浙江卷)已知2a=5,log83=b,则4a-3b=(　　) A.25 B.5 C. D. 【解析】选C.由2a=5,所以4a=25,又log83=b,则8b=3,所以23b=3,所以43b=9,所以=,所以4a-3b=. (5)(2024·全国甲卷)已知a>1,-=-,则a=________.  【解析】因为-=-log2a=-, 所以(log2a+1)(log2a-6)=0,而a>1, 故log2a=6,即a=64. 答案:64 考点二对数函数的图象及应用 【例2】(1)函数f(x)=loga|x|+1(0<a<1)的图象大致为(　　) 【解析】选A.函数f(x)=loga|x|+1(0<a<1)的定义域为{x|x≠0},f(-x)=loga|-x|+1=loga|x|+1=f(x),函数f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=logax+1,即函数f(x)在(0,+∞)上为减函数且过点(1,1). (2)(金榜原创·易错对对碰) ①当x∈(0,]时,<loga x,则实数a的取值范围为____________.  ②当x∈(0,]时,方程=loga x有解,则实数a的取值范围为____________.  【解析】①若<loga x在x∈(0,]上成立,则0<a<1,且y=的图象在y=loga x图象的下方,则<loga ,所以解得<a<1.即实数a的取值范围是(,1). 答案: (,1) ②构造函数f(x)=和g(x)=loga x, 当a>1时,不满足条件; 当0<a<1时,由①可知,只需两图象在(0,]上有交点即可. 则f()≥g(),即≥loga ,得a≤, 所以实数a的取值范围为(0,]. 答案: (0,] 解题技法 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解. 【训练2】　(1)若函数y=a|x|(a>0且a≠1)的值域为[1,+∞),则函数y=loga |x|的大致图象是(　　) 【解析】选A.因为|x|≥0,且y=的值域为[1,+∞),所以a>1.当x>0时,y=loga |x|=loga x在(0,+∞)上单调递增.又函数y=loga |x|=loga |-x|,所以y=loga |x|为偶函数,图象关于y轴对称,所以y=loga |x|的大致图象应为选项A. (2)(2024·榆林模拟)已知函数f(x)=log2 x-(x-1)2,则不等式f(x)<0的解集为(　　) A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(0,1)∪(2,+∞) C.(1,2) D.(1,+∞) 【解析】选B.由题意知不等式f(x)<0,即log2 x-(x-1)2<0,等价于log2 x<(x-1)2在(0,+∞)上的解集,令g(x)=log2 x,h(x)=(x-1)2,则不等式为g(x)<h(x),在同一直角坐标系下作出两个函数的图象,如图所示, 可得不等式f(x)<0的解集为(0,1)∪(2,+∞). 考点三对数函数的性质及应用 角度1　比较大小 【例3】(2021·新高考Ⅱ卷)已知a=log52,b=log83,c=,则下列判断正确的是(　　) A.c<b<a B.b<a<c C.a<c<b D.a<b<c 【解析】选C.a=log52<log5==log82<log8 3=b,即a<c<b. 解题技法 比较对数大小的类型及相应方法 角度2　解对数方程、不等式 【例4】(1)已知定义域为R的偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,且f(1)=2,则不等式f(log2 x)>2的解集为(　　) A.(2,+∞) B. (0,)∪(2,+∞) C. (0,)∪(,+∞) D.(,+∞) 【解析】选B.因为偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增. 又f(1)=2,所以不等式f(log2 x)>2=f(1), 即|log2 x|>1,解得0<x<或x>2. (2)方程log2(x-1)=2-log2(x+1)的解为________.  【解析】原方程可变形为log2(x-1)+log2(x+1)=log2(x2-1)=2, 即x2-1=4,解得x=±, 又x>1,所以x=. 答案:x= 解题技法 求解对数不等式的两种类型及方法 类型 方法 loga x>loga b 借助y=loga x的单调性求解,如果a的取值不确定,那么需分a>1与0<a<1两种情况讨论 loga x>b 需先将b化为以a为底的对数式的形式,再借助y=loga x的单调性求解 角度3　对数函数性质的综合应用 【例5】(1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)= 在R 上单调递增,则a的取值范围是(　　) A. (-∞,0] B.[-1,0] C. [-1,1] D. [0,+∞) 【解析】选B.由题意知f(x)在R上单调递增,令h(x)=-x2-2ax-a,则h(x)的对称轴必大于等于0,即-a≥0⇒a≤0,排除C,D选项;又因为当x=0时,f(x)=1,所以当x=0时,h(x)≤1⇒-a≤1,即a≥-1, 所以-1≤a≤0. (2)已知函数f(x)=(x2-2ax+3), ①若f(-1)=-3,求f(x)的单调区间; ②是否存在实数a,使f(x)在(-∞,2)上单调递增?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由. 【解析】①由f(-1)=-3,得lo(4+2a)=-3. 所以4+2a=8,所以a=2. 这时f(x)=lo(x2-4x+3), 由x2-4x+3>0,得x>3或x<1. 故函数定义域为(-∞,1)∪(3,+∞). 令g(x)=x2-4x+3,则g(x)在(-∞,1)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增. 又y=log(x)在定义域上单调递减, 所以f(x)的单调递增区间是(-∞,1),单调递减区间是(3,+∞). ②不存在.理由如下: 令h(x)=x2-2ax+3,要使f(x)在(-∞,2)上单调递增,应使h(x)在(-∞,2)上单调递减,且恒大于0. 因此即此不等式组无解. 所以不存在实数a,使f(x)在(-∞,2)上单调递增. 解题技法 利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 【训练3】　(1)(2021·天津卷)设a=log20.3,b=0.4,c=0.40.3,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.a<c<b 【解析】选D.因为log20.3<log21=0,所以a<0, 因为lo0.4>lo0.5=1,所以b>1, 因为0<0.40.3<0.40=1,所以0<c<1, 所以a<c<b. (2)设函数f(x)=ln |x+3|+ln |x-3|,则f(x)(　　) A.是偶函数,且在(-∞,-3)上单调递减 B.是奇函数,且在(-3,3)上单调递减 C.是奇函数,且在(3,+∞)上单调递增 D.是偶函数,且在(-3,3)上单调递增 【解析】选A.函数f(x)的定义域为{x|x≠±3}, f(x)=ln |x+3|+ln |x-3|=ln |x2-9|, 令g(x)=|x2-9|,则f(x)=ln g(x), 函数g(x)的单调区间由图象(图略)可知, 当x∈(-∞,-3),x∈(0,3)时,g(x)单调递减, 当x∈(-3,0),x∈(3,+∞)时,g(x)单调递增, 由复合函数单调性同增异减得f(x)单调区间. 由f(-x)=ln |(-x)2-9|=ln |x2-9|=f(x),得f(x)为偶函数. (3)(多选题)已知函数f(x)=log2(x+6)+log2(4-x),则(　　) A.f(x)的定义域是(-6,4) B.f(x)有最大值 C.不等式f(x)<4的解集是(-∞,-4)∪(2,+∞) D.f(x)在[0,4]上单调递增 【解析】选AB.由题意可得解得-6<x<4,即f(x)的定义域是(-6,4),则A正确;f(x)=log2(-x2-2x+24),令t=-x2-2x+24,易得t在(-6,-1)上单调递增,在(-1,4)上单调递减,又因为y=log2 t在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-6,-1)上单调递增,在(-1,4)上单调递减,所以f(x)max=f(-1)=2log25,则B正确;因为f(x)在(-6,-1)上单调递增,在(-1,4)上单调递减,且f(-4)=f(2)=4,所以不等式f(x)<4的解集是(-6,-4)∪(2,4),则C错误;因为f(x)在(-1,4)上单调递减,所以D错误. - 13 - 学科网（北京）股份有限公司 $