第2章 第10讲 二次函数与幂函数(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学教案聚焦二次函数与幂函数高考核心考点，涵盖幂函数定义、图象、性质及二次函数解析式、图象、性质与应用，按“概念-图象-性质-应用”逻辑架构组织知识点，通过教材梳理夯实基础、基础自测澄清盲点、考点突破（题组练通、例题精讲、解题技法总结）等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破单调性、最值、恒成立等难点，体现复习教学的系统性和针对性。 教案采用“考点分层突破+解题策略建模”特色方法，如幂函数比较大小总结“指大图低/高”规律，二次函数最值问题按对称轴位置分类讨论，培养学生数学思维与逻辑推理能力。设置基础自测、题组练通、真题模拟分层练习，配合即时反馈，确保高效复习，提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第10讲　二次函数与幂函数 复习目标 1.了解幂函数的概念;结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的图象,了解它们的变化情况. 2.理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 教材梳理　夯基础 主干知识 知识点1　幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. [注意点]幂函数的特征: (1)自变量x处在幂底数的位置,幂指数α为常数; (2)xα的系数为1; (3)解析式只有一项. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0,+∞)上都有定义; ②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增; ③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减. 知识点2　二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0). (2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n). (3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点. 知识点3　二次函数的图象和性质 函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 图象 (抛物 线) 定义域 R 值域 [,+∞) (-∞,] 对称轴 x=- 顶点 坐标 (-,) 奇偶性 当b=0时是偶函数,当b≠0时 是非奇非偶函数 单调性 在(-∞,-]上是减函数; 在(-,+∞)上是增函数 在(-∞,-]上是增函数; 在(-,+∞)上是减函数 [注意点]对于函数y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就必须满足a≠0,当题目的条件中未说明a≠0时,就要讨论a=0和a≠0两种情况. 常用结论 1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限;幂函数的图象过定点(1,1),如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. 2.若幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递增,则α>0;若在(0,+∞)上单调递减,则α<0. 3.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 4.二次函数在某种特殊条件下也能具有奇偶性:b=0时,二次函数为偶函数. 基础自测 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2 1,4 3 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)函数y=2是幂函数.(　 ×　) 【解析】(1)由于幂函数的解析式为f(x)=xα, 故y=2不是幂函数,故错误. (2)二次函数y=ax2+bx+c的图象恒在x轴下方,则a<0且Δ<0.(　 √　) (3)若二次函数y=ax2+bx+c的两个零点确定,则二次函数的解析式确定.(　 ×　) 【解析】(3)二次函数y=x2-x与y=2x2-2x零点相同,但解析式不同,故错误. (4)二次函数y=ax2+bx+c(x∈[m,n])的最值一定是.(　 ×　) 【解析】(4)当对称轴x=-∉[m,n]时,最值则不是,故错误. 2.(必修第一册P91练习T1变条件、变设问)已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点(,),则k+α=(　　) A. B.1 C. D.2 【解析】选C.由题意得k=1,又函数f(x)的图象过点(,),所以=,解得α=, 则k+α=. 3.若幂函数f(x)=(a2-5a-5)在(0,+∞)上单调递增,则a等于(　　) A.1 B.6 C.2 D.-1 【解析】选D.因为函数f(x)=(a2-5a-5)是幂函数,所以a2-5a-5=1,解得a=-1或a=6. 当a=-1时,f(x)=在(0,+∞)上单调递增; 当a=6时,f(x)=在(0,+∞)上单调递减,所以a=-1. 4.若函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a的取值范围是(　　) A. (-,+∞) B. [-,+∞) C. [-,0) D. [-,0] 【解析】选D.当a=0时,f(x)=2x-3,在(-∞,4)上是单调递增的.当a≠0时,二次函数f(x)的对称轴为x=-,因为f(x)在(-∞,4)上单调递增,所以a<0,且-≥4,解得-≤a<0,综上,-≤a≤0. 考点突破　强技能 考点一 幂函数的图象和性质……题组练通 1.幂函数y=(m∈Z)的图象如图所示,则实数m的值为(　　) A.3 B.0 C.1 D.2 【解析】选C.因为函数在(0,+∞)上单调递减, 所以m2-2m-3<0,解得-1<m<3. 因为m∈Z,所以m=0,1,2. 而当m=0或2时,y=x-3为奇函数,不符合题意,舍去, 当m=1时,y=x-4为偶函数,符合题意. 所以m=1. 2.(多选题)已知函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),则(　　) A.函数f(x)在定义域内为增函数 B.函数f(x)为偶函数 C.当x>1时,f(x)>1 D.当0<x1<x2时,<f() 【解析】选ACD.由题意得4α=2,解得α=,即f(x)==,则函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且为非奇非偶函数,故A正确,B错误; 当x>1时,f(x)=>1,故C正确; 由函数图象知f(x)=为“上凸函数”,故D正确. 3.已知a=,b=,c=2,则(　　) A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 【解析】选A.由题意得b=<==a,a==<4<5=2=c,所以b<a<c. 4.(2025·潍坊模拟)若(a+1<(3-2a,则实数a的取值范围是____________.  【解析】不等式(a+1<(3-2a等价于a+1>3-2a>0或3-2a<a+1<0或a+1<0<3-2a,解得a<-1或<a<. 答案:(-∞,-1)∪(,) 解题技法 幂函数图象性质及应用 (1)幂函数的形式是y=xα(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式. (2)在区间(0,1)上,幂函数的指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);在区间(1,+∞)上,幂函数的指数越大,函数图象越远离x轴(简记为“指大图高”). (3)在比较幂函数值的大小时,必须结合幂函数的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较. 考点二 二次函数的解析式 【例1】(1)(一题多法)已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,则f(x)=________________.  【解析】法一:利用二次函数的一般式 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由题意得 解得 故所求二次函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 法二:利用二次函数的顶点式 设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). 因为f(2)=f(-1), 所以抛物线对称轴为x==. 所以m=,又根据题意函数有最大值8, 所以n=8,所以y=f(x)=a(x-)2+8. 因为f(2)=-1, 所以a(2-)2+8=-1, 解得a=-4, 所以f(x)=-4(x-)2+8=-4x2+4x+7. 法三:利用二次函数的零点式 由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值8,即=8, 解得a=-4,故所求二次函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 答案:-4x2+4x+7 (2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),则f(x)=________.  【解析】因为f(2-x)=f(2+x)对x∈R恒成立,所以f(x)的对称轴为x=2.又因为f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2,所以f(x)=0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0).又因为f(x)的图象经过点(4,3),所以3a=3,a=1.所以所求二次函数的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3. 答案:x2-4x+3 解题技法 求二次函数解析式的方法 【训练1】　已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2,则二次函数的解析式为______________________________________.  【解析】因为二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),所以可设二次函数为y=a(x+3)(x-1)(a≠0),展开得y=ax2+2ax-3a,顶点的纵坐标为=-4a, 由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2, 所以|-4a|=2,即a=±, 所以二次函数的解析式为y=x2+x-或y=-x2-x+. 答案:y=x2+x-或y=-x2-x+ 考点三 二次函数的图象和性质 角度1　二次函数的图象 【例2】(多选题)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论,其中正确的为(　　) A.b2>4ac B.2a-b=1 C.a-b+c=0 D.5a<b 【解析】选AD.因为图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,A正确. 对称轴为x=-1,即-=-1,2a-b=0,B错误. 结合题中图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,C错误. 由对称轴为x=-1知,b=2a. 根据抛物线开口向下,知a<0, 所以5a<2a,即5a<b,D正确. 解题技法 二次函数图象的特征 研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析,“三点”中有一个点是顶点,另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点,常取与x轴的交点;“一线”是指对称轴这条直线;“一开口”是指抛物线的开口方向. 角度2　二次函数的单调性 【例3】(1)(多选题)下列所给区间可以是函数f(x)=-x2+2|x|+1的单调递增区间的是(　　) A.(-∞,-1] B.[0,1] C.[-1,0] D.[1,+∞) 【解析】选AB.f(x)== 画出函数图象如图所示, 可知单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞). (2)设二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,且f(m)≤f(0),则实数m的取值范围是____________.  【解析】依题意a≠0,二次函数f(x)=ax2-2ax+c图象的对称轴是直线x=1,因为函数f(x)在区间[0,1]上单调递减,所以a>0,即函数图象的开口向上,所以f(0)=f(2),则当f(m)≤f(0)时,有0≤m≤2. 答案:[0,2] 解题技法 二次函数单调性问题的求解方法 (1)求解与二次函数有关的单调性问题,应根据二次函数图象的开口方向与对称轴确定单调区间. (2)涉及二次函数解析式中含|x|的单调区间问题,可以根据函数的奇偶性与单调区间的关系求解或转化为分段函数后求解. 角度3　二次函数的最值 【例4】已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在x∈[0,1]时,有最大值2,则a的值为________.  【解析】函数f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x-a)2+a2-a+1,对称轴方程为x=a. 当a<0时,f(x)max=f(0)=1-a=2, 所以a=-1. 当0≤a≤1时,f(x)max=f(a)=a2-a+1=2,所以a2-a-1=0,所以a=(舍去). 当a>1时,f(x)max=f(1)=a,所以a=2. 综上可知,a=-1或a=2. 答案:-1或2 解题技法 二次函数在给定区间上的最值问题的解题策略 (1)一般先用配方法化为f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,根据对称轴方程x=h和所给区间结合图象求解. (2)对称轴和区间都固定时,根据单调性和图象直接求解. (3)若区间固定,对称轴变动,这时要讨论顶点横坐标是否在区间中;若对称轴固定,区间变动,这时要讨论区间与对称轴的位置关系. 角度4　与二次函数有关的恒成立问题 【例5】(金榜原创·易错对对碰) 已知两函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x2+4x+4,其中k为实数. (1)对任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x),则k的取值范围是__________;  (2)存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,则k的取值范围是__________;  (3)对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),则k的取值范围是__________.  【解析】(1)设h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k,问题转化为x∈[-3,3]时,h(x)≤0恒成立,故h(x)max≤0. 由二次函数的性质可知h(x)max=h(3)=86-k, 由86-k≤0,得k≥86,即k的取值范围为[86,+∞). 答案:[86,+∞) (2)由题意,存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,即h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k≤0在x∈[-3,3]上有解,故h(x)min≤0. 由二次函数的性质可知h(x)min=h(-1)=-10-k,由-10-k≤0,得k≥-10,即k的取值范围为[-10,+∞). 答案:[-10,+∞) (3)对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),所以f(x)max≤g(x)min,x∈[-3,3]. 由二次函数的性质可得f(x)max=f(3)=120-k,g(x)min=g(-1)=2. 故有120-k≤2,得k≥118,即k的取值范围为[118,+∞). 答案:[118,+∞) 解题技法 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是构造新函数. (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是:a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.【训练2】　(1)(多选题)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列说法正确的是(　　) A.2a+b=0 B.4a+2b+c<0 C.9a+3b+c<0 D.abc<0 【解析】选ACD.由二次函数图象开口向下知a<0,对称轴为x=-=1,即2a+b=0,故b>0. 又因为f(0)=c>0,所以abc<0. f(2)=f(0)=4a+2b+c>0,f(3)=f(-1)=9a+3b+c<0. (2)已知函数f(x)=-2x2+bx+c,不等式f(x)>0的解集为(-1,3).若对任意的x∈[-1,0],f(x)+m≥4恒成立,则m的取值范围是(　　) A.(-∞,2] B.[4,+∞) C.[2,+∞) D.(-∞,4] 【解析】选B.因为f(x)>0的解集为(-1,3),所以-2x2+bx+c=0的两个根为-1,3, 所以即令g(x)=f(x)+m,则g(x)=-2x2+4x+6+m=-2(x-1)2+8+m,由x∈[-1,0]可得g(x)min=g(-1)=m,又g(x)≥4在[-1,0]上恒成立,故m≥4. (3)(2025·八省联考)已知函数f(x)=x|x-a|-2a2,若当x>2时,f(x)>0,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,1] B.[-2,1] C.[-1,2] D.[-1,+∞) 【解析】选B.方法一: f(x)=. 因为当x≤a时,-x2+ax-2a2≤0恒成立, 所以x≤a不成立.当x>a时,f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)在(2,+∞)上f(x)>0. ①当a>0,2a≤2,即0<a≤1; ②当a=0时,f(x)=x2>0恒成立, ③当a<0时,-a≤2,即-2≤a<0, 综上,-2≤a≤1. 方法二:因为当x>2时,f(x)>0, 所以x(x-a)-2a2>0或x(a-x)-2a2>0, 所以(a+x) (a-)<0或(a-)2+x2<0, 所以-x<a<, 所以-2≤a≤1. (4)已知函数f(x)=x2-tx-1. ①若f(x)在区间(-1,2)上不单调,求实数t的取值范围; ②若x∈[-1,2],求f(x)的最小值g(t). 【解析】f(x)=x2-tx-1=(x-)2-1-. ①依题意,-1<<2,解得-2<t<4, 所以实数t的取值范围是(-2,4). ②(i)当≥2,即t≥4时,f(x)在[-1,2]上单调递减,所以f(x)min=f(2)=3-2t. (ii)当-1<<2,即-2<t<4时,f(x)min=f()=-1-. (iii)当≤-1,即t≤-2时,f(x)在[-1,2]上单调递增,所以f(x)min=f(-1)=t. 综上,g(t)= - 11 - 学科网（北京）股份有限公司 $