第2章 第9讲 函数性质的综合应用(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学高考复习教案聚焦函数性质综合应用这一高考热点，系统整合奇偶性、单调性、周期性、对称性四大核心考点，按“考点梳理-解题技法-真题训练”逻辑分层展开。通过例题精讲、方法归纳与变式训练，帮助学生构建知识网络，突破抽象函数等难点，体现复习的系统性与针对性。 教案以数学思维与数学眼光为导向，创新采用“性质联动”教学法，如在奇偶性与单调性综合题中，引导学生通过“脱f”技巧转化不等式，培养推理能力。设置基础巩固与能力提升分层练习，结合2020-2022年新高考真题解析，助力学生高效掌握解题规律，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第9讲　函数性质的综合应用 复习目标 　　函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容,经常以客观题出现,通过分析函数的性质特点,结合图象研究函数的性质,往往多种性质结合在一起进行考查. 考点突破　强技能 考点一 函数的奇偶性与单调性 【例1】(1)(2025·潍坊模拟)已知函数f(x)=()x-3x,则f(x)(　　) A.是奇函数,且在R上是增函数 B.是偶函数,且在R上是增函数 C.是奇函数,且在R上是减函数 D.是偶函数,且在R上是减函数 【解析】选C.函数f(x)的定义域为R, 因为f(-x)=3x-()x=-f(x), 所以函数f(x)为奇函数. 又因为函数y=()x,y=-3x在R上都是减函数,所以函数f(x)=()x-3x在R上是减函数. (2)(多选题)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且在(-∞,0)上单调递增,若f(-1)=f(2)=1,则下列不等式成立的是(　　) A.f(-)>-1 B.f(-1)>f(1) C.f(3)>1 D.f()>-1 【解析】选ABC.根据题意可得函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,由f(x)为R上的奇函数且f(-1)=f(2)=1可得f(1)=f(-2)=-1.由f(x)在(-∞,0)上单调递增,得f(-)>f(-2)=-1,故A正确;由f(-1)=1,f(1)=-1,得f(-1)>f(1),故B正确;由函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,得f(3)>f(2)=1,故C正确;由函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,得f()<f(1)=-1,故D错误. 解题技法 综合应用奇偶性与单调性解题的技巧 (1)解抽象函数不等式,先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x)),利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉,得到具体的不等式(组). (2)比较大小,利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量转化到同一单调区间上,进而利用函数的单调性比较函数值的大小. 【训练1】　(1)(2025·安庆模拟)函数y=f(x)是偶函数且在(-∞,0]上单调递减,f(-2)=0,则f(2-3x)>0的解集为(　　) A.(-∞,0)∪(,+∞) B. (0,) C. (0,) D.(-∞,0)∪(,+∞) 【解析】选D.因为函数y=f(x)是偶函数且在(-∞,0]上单调递减,则该函数在[0,+∞)上单调递增,且f(2)=f(-2)=0,由f(2-3x)>0可得f(|3x-2|)>f(2),所以|3x-2|>2,可得3x-2<-2或3x-2>2,解得x<0或x>.因此,不等式f(2-3x)>0的解集为(-∞,0)∪(,+∞). (2)已知函数f(x)=lg(|x|-1)+2x+,则不等式f(x+1)<f(2x)的解集为(　　) A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-2,-1) C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D. (-∞,-)∪(1,+∞) 【解析】选C.对于函数f(x)=lg(|x|-1)+2x+,令|x|-1>0,解得x>1或x<-1,所以函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),又f(-x)=lg(|-x|-1)++2x=lg(|x|-1)+2x+=f(x),所以f(x)为偶函数,当x>1时,f(x)=lg(x-1)+2x+,则y=lg(x-1)在(1,+∞)上单调递增,令g(x)=2x+,x∈(1,+∞),所以g'(x)=2xln 2-ln 2=(2x-)ln 2>0,所以g(x)=2x+在(1,+∞)上单调递增,则f(x)在(1,+∞)上单调递增,从而得到f(x)在(-∞,-1)上单调递减,则不等式f(x+1)<f(2x)等价于解得x>1或x<-2,所以不等式的解集为(-∞,-2)∪(1,+∞). 【加练备选】 (2024·宜宾模拟)若函数f(x)=a-为奇函数,则关于x的不等式f(x2)+f(2x-3)>a的解集为________.  【解析】由f(x)为奇函数得f(-x)=-f(x),则a=0,即f(x)=-= 当x≥0时,f(x)=-1+在[0,+∞)上单调递减,又f(x)为奇函数,故f(x)在R上单调递减,则不等式f(x2)+f(2x-3)>0可化为f(x2)>f(3-2x),得x2<3-2x,解得x∈(-3,1). 答案:(-3,1) 考点二 函数的奇偶性与周期性 【例2】(1)(多选题)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x-1)=-f(x+),f(0)=-2,且f(x-)为奇函数,则(　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)是一个周期为3的周期函数 D.f(2 025)=-2 【解析】选BCD.函数f(x)的定义域为R,且f(0)=-2,则f(x)不可能是奇函数,故A错误; 定义在R上的函数f(x)满足f(x-1)=-f(x+),变形可得f(x)=-f(x-),而f(x-)为奇函数,则f(-x-)=-f(x-), 则f(-x)=-f(x-),则有f(-x)=f(x), 即函数f(x)为偶函数,故B正确; 已知函数f(x)满足f(x-1)=-f(x+), 即f(x)=-f(x+), 则有f(x+3)=-f(x+)=f(x), 即函数f(x)是一个周期为3的周期函数,故C正确;f(x)是偶函数且周期为3, 则f(2 025)=f(0)=-2,故D正确. (2)(多选题)(2025·青岛模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f(2x+1)是偶函数,f(x-1)是奇函数,则下列正确的是(　　) A.f(x)=f(x-16) B.f(19)=0 C.f(2 024)=f(0) D.f(2 023)=f(1) 【解析】选ABC.因为f(2x+1)是偶函数,所以f(-2x+1)=f(1+2x), 即f(1-x)=f(1+x),即函数关于x=1对称,则f(x)=f(2-x), 因为f(x-1)是奇函数,所以f(-x-1)=-f(x-1), 则f(-x-2)=-f(x)=-f(2-x),即f(x-2)=-f(2+x), 则f(x)=-f(x+4),即f(x+8)=-f(x+4)=f(x),即函数的周期是8. 则f(x)=f(x-16)成立,故A正确; 令x=0,由f(-x-1)=-f(x-1), 得f(-1)=-f(-1),得f(-1)=0,f(3)=0, 则f(19)=f(3)=0,故B正确; f(2 024)=f(8×253+0)=f(0)成立,故C正确; f(2 023)=f(8×253-1)=f(-1),故D错误. 解题技法 综合应用奇偶性与周期性解题的技巧 (1)根据已知条件及相关函数的奇偶性推出函数的周期; (2)利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值,直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系,必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化; (3)代入已知的解析式求解,即得欲求的函数值. 【训练2】　(1)已知函数f(x)为奇函数,且周期为4,f(3)=-2,则f(2 025)=(　　) A.2 B.0 C.-2 D.-4 【解析】选A.依题意,函数f(x)是奇函数,又f(x)的周期为4,且f(3)=-2,则有 f(2 025)=f(-3+507×4)=f(-3)=-f(3)=2,所以f(2 025)=2. (2)(多选题)(2024·湖州模拟)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是偶函数,则(　　) A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x+3)是偶函数 D.f(x)=f(x+4) 【解析】选CD.因为f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),从而f(-x)=f(x+2). 因为f(x-1)是偶函数,所以f(-x-1)=f(x-1),从而f(-x)=f(x-2). 所以f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数. 因为f(-x-1)=f(x-1),所以f(-x-1+4)=f(x-1+4),即f(-x+3)=f(x+3),所以f(x+3)是偶函数. 考点三 函数的奇偶性与对称性 【例3】(1)若定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),在区间(0,1)上,有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的图象关于点(1,0)对称 B.函数f(x)的图象关于直线x=2对称 C.在区间(2,3)上,f(x)单调递减 D.f(-)>f() 【解析】选C.f(4-x)=f(2-(x-2))=f(x-2)=-f(2-x)=-f(x),即f(4-x)+f(x)=0,故f(x)的图象关于点(2,0)对称,因为f(2-x)=f(x),则f(x)的图象关于直线x=1对称,故A,B错误; 根据题意可得,f(x)在(0,1)上单调递增,因为f(x)的图象关于直线x=1对称,关于点(2,0)对称,则f(x)在(2,3)上单调递减,故C正确; 又因为f(x)=f(2-x)=-f(x-2),则f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),可知f(x)的周期为4,则f(-)=f()<f(),故D错误. (2)(多选题)已知定义域为R的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0,且f(1-x)=f(1+x),则下列结论一定正确的是(　　) A.f(x+2)=f(x) B.函数y=f(x)的图象关于点(2,0)对称 C.函数y=f(x+1)是偶函数 D.f(2-x)=f(x-1) 【解析】选BC.对于A选项,因为f(-x)+f(x)=0,且f(1-x)=f(1+x), 则f(1-(1+x))=f(1+(1+x)),即f(x+2)=f(-x)=-f(x),A错; 对于B选项,因为f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),因为f(-x)+f(x)=0,则f(-(2+x))+f(2+x)=0,即f(2+x)=-f(-2-x)=-f(2-x),即f(2+x)+f(2-x)=0, 故函数y=f(x)的图象关于点(2,0)对称,B对; 对于C选项,因为f(1-x)=f(1+x),故函数y=f(x+1)是偶函数,C对; 对于D选项,因为f(1-x)=f(1+x),则f(1-(x-1))=f(1+(x-1)),即f(2-x)=f(x)≠f(x-1),D错. 解题技法 由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期,常用于化简求值、比较大小等. 【训练3】　(1)已知函数f(x)的定义域为R,且y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)成中心对称.当x>0时,f(x)=,则f(-2)=(　　) A.1 B.3 C.-1 D.-3 【解析】选C.因为将y=f(x+1)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y=f(x)的图象且y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)成中心对称,所以y=f(x)的图象关于原点成中心对称,则y=f(x)在R上是奇函数, 所以f(-2)=-f(2)=-=-1. (2)(2024·保定模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,则下列函数的图象一定关于点(-1,0)成中心对称的是(　　) A.y=(x-1)f(x-1) B.y=(x+1)f(x+1) C.y=xf(x)+1 D.y=xf(x)-1 【解析】选B.构造函数g(x)=xf(x),该函数的定义域为R, 所以g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x),函数g(x)为奇函数,故函数g(x)图象的对称中心为坐标原点. 对于A选项,函数y=(x-1)f(x-1)的图象由函数g(x)的图象向右平移1个单位长度得到,故函数y=(x-1)f(x-1)图象的对称中心为(1,0); 对于B选项,函数y=(x+1)f(x+1)的图象由函数g(x)的图象向左平移1个单位长度得到,故函数y=(x+1)f(x+1)图象的对称中心为(-1,0); 对于C选项,函数y=xf(x)+1的图象由函数g(x)的图象向上平移1个单位长度得到, 故函数y=xf(x)+1图象的对称中心为(0,1); 对于D选项,函数y=xf(x)-1的图象由函数g(x)的图象向下平移1个单位长度得到,故函数y=xf(x)-1图象的对称中心为(0,-1). 考点四 函数的周期性与对称性 【例4】(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且f(x-)为偶函数,当x∈[-,]时,f(x)=x3,则f(2 023)=(　　) A.0 B. C.- D.1 【解析】选A.因为f(x+2)=-f(x),所以f(x)的周期为4.又f(x-)为偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=-对称,则f(2 023)=f(506×4-1)=f(-1)=f(0)=0. (2)(多选题)已知f(x)是定义在R上的函数,f(x)-f(-x)=0,且满足f(x+1)为奇函数,当x∈[0,1)时,f(x)=-cos,下列结论正确的是(　　) A.f(1)=0 B.f(x)的周期为2 C.f(x)的图象关于点(1,0)中心对称 D.f()=- 【解析】选ACD.因为f(x+1)为奇函数, 所以f(-x+1)=-f(x+1),所以f(-0+1)=-f(0+1),所以f(1)=0,故A正确; 因为当x∈[0,1)时,f(x)=-cos, 所以f(0)=-cos 0=-1, 因为f(-x+1)=-f(x+1), 所以f(2)=-f(0)=1,故f(2)≠f(0), 所以2不是f(x)的周期,故B错误; 因为f(x+1)为奇函数,所以函数f(x+1)的图象关于原点对称,所以f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,故C正确; 由f(-x+1)=-f(x+1),f(x)-f(-x)=0,可得f(x+2)=-f(-x-1+1)=-f(-x)=-f(x),所以f(x+4)= f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)为周期函数,周期为4,所以f()= f(4×254-)=f(-)=f(), 又当x∈[0,1)时,f(x)=-cos, 所以f()=-cos=-,D正确. 解题技法 函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b-x)表明的是函数图象的对称性,函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期性,在使用这两个关系时不要混淆. 【训练4】　(1)(多选题)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且f(x)在[-1,0]上是增函数.则下列命题正确的是(　　) A.f(x)是周期函数 B.f(x)的图象关于直线x=1对称 C.f(x)在[1,2]上是增函数 D.f(2)=f(0) 【解析】选ABD.因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为4,即f(x)是周期函数,故A正确; 因为f(x+2)=-f(x),所以f(-x+2)=-f(-x).又因为f(x)为奇函数,所以f(2-x)=f(x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,故B正确; 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.因为f(x)在[-1,0]上为增函数,且f(x)为奇函数,所以f(x)在[0,1]上为增函数.因为f(x)关于直线x=1对称,所以f(x)在[1,2]上为减函数,故C错误; 因为f(x+2)=-f(x),令x=0得f(2)=-f(0)=f(0),故D正确. (2)(多选题)已知f(x)是定义域为R的函数,满足f(x+1)=f(x-3),f(1+x)=f(3-x),当0≤x≤2时,f(x)=x2-x,则下列说法正确的是(　　) A.f(x)的周期为4 B.f(x)的图象关于直线x=2对称 C.当0≤x≤4时,函数f(x)的最大值为2 D.当6≤x≤8时,函数f(x)的最小值为- 【解析】选ABC.对于A,因为f(x+1)=f(x-3),所以f(x+3+1)=f(x+3-3),则f(x)=f(x+4),即f(x)的周期为4,故A正确; 对于B,由f(1+x)=f(3-x)知f(x)的图象关于直线x=2对称,故B正确; 对于C,当0≤x≤2时,f(x)=x2-x在(0,)上单调递减,在(,2)上单调递增,根据对称性可知,函数f(x)在(0,),(2,)上单调递减,在(,2),(,4)上单调递增,则函数f(x)在[0,4]上的最大值为f(2)=4-2=2,故C正确; 对于D,根据周期性以及单调性可知,函数f(x)在(6,)上单调递减,在(,8)上单调递增,则函数f(x)在[6,8]上的最小值为f()=f(4+)=f()=f()=-=-,故D错误. 微拓展 抽象函数 抽象函数是指只给出函数的某些性质,而未给出函数具体的解析式及图象的函数,其概念抽象,性质隐而不显,技巧性强.抽象函数是高中数学的难点,也是近几年来高考的热点.考查方法往往基于一般函数,综合考查函数的各种性质. [典例](1)(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(　　) A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1] C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3] 【解析】选D.因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,则f(0)=0.又f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0,画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示,则函数f(x-1)的大致图象如图(2)所示. 当x≤0时,要满足xf(x-1)≥0,则f(x-1)≤0,得-1≤x≤0. 当x>0时,要满足xf(x-1)≥0,则f(x-1)≥0,得1≤x≤3. 故满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3]. (2)(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函数,则(　　) A.f(-)=0 B.f(-1)=0 C.f(2)=0 D.f(4)=0 【解析】选B.因为f(x+2)为偶函数,所以f(-x+2)=f(x+2).又因为f(2x+1)为奇函数,所以f(-2x+1)=-f(2x+1),所以f(1)=-f(1),可得f(1)=0,所以f(-1)=-f(3)=-f(1)=0,故B正确. (3)(2022·全国乙卷)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则f(k)=(　　) A.-21 B.-22 C.-23 D.-24 【解析】选D.因为y=g(x)的图象关于直线x=2对称,所以g(2-x)=g(x+2), 因为g(x)-f(x-4)=7, 所以g(x+2)-f(x-2)=7, 即g(x+2)=7+f(x-2),因为f(x)+g(2-x)=5,所以f(x)+g(x+2)=5, 代入得f(x)+[7+f(x-2)]=5,即f(x)+f(x-2)=-2,所以f(3)+f(5)+…+f(21)=(-2)×5=-10, f(4)+f(6)+…+f(22)=(-2)×5=-10. 因为f(x)+g(2-x)=5,所以f(0)+g(2)=5, 即f(0)=1,所以f(2)=-2-f(0)=-3. 因为g(x)-f(x-4)=7, 所以g(x+4)-f(x)=7, 又因为f(x)+g(2-x)=5, 联立得,g(2-x)+g(x+4)=12, 所以y=g(x)的图象关于点(3,6)中心对称,因为函数g(x)的定义域为R, 所以g(3)=6,因为f(x)+g(x+2)=5, 所以f(1)=5-g(3)=-1. 所以f(k)=f(1)+f(2)+[f(3)+f(5)+…+f(21)]+[f(4)+f(6)+…+f(22)]=-1-3-10-10=-24. (4)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则f(k)=(　　) A.-3 B.-2 C.0 D.1 【解析】选A.因为f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),令x=1,y=0可得,2f(1)=f(1)f(0),所以f(0)=2,令x=0可得,f(y)+f(-y)=2f(y),即f(y)=f(-y),所以函数f(x)为偶函数,令y=1得, f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)=f(x),即有f(x+2)+f(x)=f(x+1),从而可知f(x+2)=-f(x-1), f(x-1)=-f(x-4),故f(x+2)=f(x-4),即f(x)=f(x+6),所以函数f(x)的一个周期为6, 因为f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(-2)=f(2)=-1,f(5)=f(-1)= f(1)=1,f(6)=f(0)=2,所以一个周期内的f(1)+f(2)+…+f(6)=0.由于22除以6余4,所以f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1=-3. - 13 - 学科网（北京）股份有限公司 $