第2章 第8讲 函数的奇偶性与周期性(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学高考复习教案围绕函数奇偶性与周期性专题，按“定义-性质-应用”逻辑架构整合核心考点，涵盖奇偶性判定、周期性应用及对称性综合问题。通过教材梳理夯基础、基础自测澄清盲点、考点突破（题组练通+解题技法）、真题训练等环节，帮助学生构建知识网络，突破综合应用难点。 资料特色在于融合高考真题与分层训练，如用定义法与特殊值法分析奇偶性参数问题（数学思维），结合三角函数实例探究周期性本质（数学眼光）。设置微拓展补充对称性考点，通过题组进阶实现能力分层，有效提升学生解题逻辑与应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第8讲　函数的奇偶性与周期性 复习目标 1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性. 2.结合三角函数,了解周期性的概念和几何意义.会判断、应用简单函数的周期性解决问题. 3.能综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等解决相关问题. 教材梳理　夯基础 主干知识 知识点1　函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象 偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 关于 y轴对称 奇函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 关于坐标原点对称 [注意点]奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称,函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件. 知识点2　函数的周期性 (1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期(若不特别说明,T一般都是指最小正周期). [注意点]存在一个非零常数T,使f(x+T)=f(x)为恒等式,即自变量x每增加一个T后,函数值就会重复出现一次. 常用结论 函数奇偶性的常用结论 1.如果函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0; 2.如果函数f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|). 3.如果函数f(x)是定义在区间D上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且0∈D,则f(0)=0. 基础自测 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 3 1 2,4 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)函数y=x2在x∈(0,+∞)上是偶函数.(　 ×　) (2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.(　 ×　) (3)若T是函数f(x)的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数f(x)的周期.(　 √　) (4)对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数.(　 ×　) 2.设偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=(　　) A.{x|x<-2或x>4} B.{x|x<0或x>4} C.{x|x<0或x>6} D.{x|x<-2或x>2} 【解析】选B.由f(x)=x3-8,知f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(2)=0.由结论2及已知条件可知f(x-2)>0⇒f(|x-2|)>f(2).所以|x-2|>2,解得x<0或x>4. 3.(必修第一册P86习题T11变式)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),则f(-1)=________.  【解析】f(1)=1×2=2,又f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2. 答案:-2 4.设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=________.  【解析】函数f(x)的定义域为R,f(x)==1+,设g(x)=,则g(-x)=-g(x),所以g(x)为奇函数,由结论3可知,g(x)max+g(x)min=0,所以M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2. 答案:2 考点突破　强技能 考点一 函数奇偶性的判断……题组练通 【例1】(多选题)下列对函数的奇偶性判断正确的是(　　) A.f(x)=(x-1)是偶函数 B.f(x)=是奇函数 C.f(x)=-x2+是非奇非偶函数 D.f(x)=是奇函数 【解析】选BD.对于A,由≥0,解得-1≤x<1, 所以该函数的定义域是[-1,1),不关于原点对称,是非奇非偶函数,故A错误; 对于B,设x<0,则-x>0, 所以f(-x)=-x2-x,则f(-x)=-f(x), 同理当x>0时,f(-x)=-f(x), 所以该函数是奇函数,故B正确; 对于C,由x2-3≥0,解得x≥或x≤-, 所以函数的定义域是(-∞,-]∪[,+∞),关于原点对称,又f(-x)=-(-x)2+=-x2+=f(x), 所以该函数是偶函数,故C错误; 对于D,由即 所以该函数的定义域为[-1,0)∪(0,1],f(x)=. 又f(-x)==-=-f(x), 所以该函数是奇函数,故D正确. 解题技法 判断函数的奇偶性的两个必备条件 (1)定义域关于原点对称,否则即为非奇非偶函数. (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 题|组|进|阶 1.(2025·芜湖模拟)下列函数中是奇函数的是(　　) A.f(x)=x3+1 B.f(x)=ln|x| C.f(x)=sin(x+) D.f(x)=ex-e-x 【解析】选D.对于A,f(x)=x3+1,f(1)=2,f(-1)=0,故f(x)为非奇非偶函数; 对于B,f(x)=ln|x|,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=ln|-x|=ln|x|,f(x)为偶函数; 对于C,函数定义域为R,f(x)=sin(x+)=cos x,f(x)为偶函数; 对于D,易知定义域为R,f(x)=ex-e-x,f(-x)=e-x-ex=-f(x),f(x)为奇函数. 2.(多选题)设函数f(x)=,则下列结论正确的有(　　) A.|f(x)|是偶函数 B.-f(x)是奇函数 C.f(x)|f(x)|是奇函数 D.f(|x|)f(x)是偶函数 【解析】选ABC.因为f(x)=,定义域为R,则f(-x)==-f(x),所以f(x)是奇函数,|f(x)|为偶函数,-f(x)为奇函数,f(x)|f(x)|为奇函数. 因为f(|-x|)=f(|x|),所以f(|x|)是偶函数,所以f(|x|)f(x)是奇函数. 考点二 函数奇偶性的应用 角度1　利用奇偶性求值(解析式) 【例2】(1)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x-a,则f(-1)=(　　) A.3 B.-3 C.-2 D.-1 【解析】选B.因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=1-a=0,所以a=1. 又当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,所以f(-1)=-f(1)=-(2+2-1)=-3. (2)已知奇函数f(x)=则g(x)=________.  【解析】当x>0时,-x<0,f(x)=g(x)+1=-f(-x)=-[(-x)2-3-(-x)]=-x2+3x,则g(x)=-x2+3x-1. 答案:-x2+3x-1 角度2　根据函数的奇偶性求参数 【例3】(1)(一题多法)(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)=(x+a)ln 为偶函数,则a=(　　) A.-1 B.0 C. D.1 【解析】选B.法一　设g(x)=ln ,易知g(x)的定义域为(-∞,-)∪(,+∞), 且g(-x)=ln =ln =-ln =-g(x),所以g(x)为奇函数. 若f(x)=(x+a)ln 为偶函数, 则y=x+a也应为奇函数,所以a=0. 法二　因为f(x)=(x+a)ln 为偶函数, f(-1)=(a-1)ln 3,f(1)=(a+1)ln =-(a+1)ln 3,所以(a-1)ln 3=-(a+1)ln 3,解得a=0(经检验,此时f(x)为偶函数). (2)已知函数f(x)=-为奇函数,则a=________.  【解析】由题意知f(-x)=-f(x), 即-=-(-),整理得=1, 所以解得a=-1. 答案:-1 解题技法 函数奇偶性的应用类型及解题策略 (1)求解析式:先将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出f(x)的解析式,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程式(组),从而得到f(x)的解析式. (2)求函数值:将待求函数值利用函数的奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (3)求参数值:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性,得出参数的值.对于在x=0处有定义的奇函数f(x),可考虑列等式f(0)=0求解. 【训练1】　(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),则f(2 023)+f(2 025)的值为__________.  【解析】由题意得,g(-x)=f(-x-1),因为f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,所以g(-x)=-g(x),f(-x)=f(x), 所以f(x-1)=-f(x+1), 即f(x-1)+f(x+1)=0,所以f(2 023)+f(2 025)=f(2 024-1)+f(2 024+1)=0. 答案:0 (2)(2021·新高考Ⅰ卷)(一题多法)已知函数f(x)=x3(a·2x-)是偶函数,则a=________.  【解析】法一(定义法):因为f(x)=x3(a·2x-)的定义域为R,且是偶函数,所以f(-x)=f(x)对任意的x∈R恒成立,所以(-x)3(a·-2x)=x3(a·2x-)对任意的x∈R恒成立,所以x3(a-1)(2x+)=0对任意的x∈R恒成立,所以a=1. 法二(取特殊值检验法):因为f(x)=x3(a·2x-)的定义域为R,且是偶函数,所以f(-1)=f(1),所以-(-2)=2a-,解得a=1,经检验,f(x)=x3(2x-)为偶函数,所以a=1. 法三(转化法):由题意知f(x)=x3(a·2x-)的定义域为R,且是偶函数. 设g(x)=x3,h(x)=a·2x-,因为g(x)=x3为奇函数,所以h(x)=a·2x-为奇函数,所以h(0)=a·20-=0,解得a=1,经检验,f(x)=x3(2x-)为偶函数,所以a=1. 答案:1 微拓展 函数的对称性 1.奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数关于原点对称,偶函数关于y轴对称. (2)若f(x+a)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴为直线x=a;若f(x+a)是奇函数,则函数f(x)图象的对称中心为(a,0). 2.若函数y=f(x)满足f(a-x)=f(a+x),则函数的图象关于直线x=a对称; 若函数y=f(x)满足f(a-x)=-f(a+x),则函数的图象关于点(a,0)对称. 3.两个函数图象的对称 (1)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称; (2)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称; (3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称. 4.函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b⇔2b-f(x)=f(2a-x);若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点(,)中心对称. 类型一　轴对称问题 [典例1](2024·株洲模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且函数f(x+1)为偶函数,当-1≤x≤0时,f(x)=x3,则f()等于(　　) A. B.- C. D.- 【解析】选A.由函数f(x+1)为偶函数,可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(2+x)=f(-x),因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(4+x)=f(-2-x)=-f(2+x)=-f(-x)=f(x),可得函数f(x)的周期为4,所以f()=f()=-f(-)=-(-)3=. 类型二　中心对称问题 [典例2](2024·南京模拟)已知函数y=f(x)的图象既关于直线x=1对称,又关于点(2,0)对称,且当x∈[0,1]时,f(x)=,则f(2 025)=(　　) A. B. C.1 D.0 【解析】选B.由题意,函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(2-x)=f(x)①, 又函数y=f(x)的图象关于点(2,0)对称, 所以f(2+x)+f(2-x)=0②, 由①②得,f(2+x)=-f(x), 所以f(4+x)=-f(x+2)=f(x), 即函数f(x)的周期为4. 所以f(2 025)=f(4×506+1)=f(1)=. 类型三　两个函数图象的对称 [典例3]已知函数y=f(x)是定义域为R的函数,则函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象(　　) A.关于直线x=1对称 B.关于直线x=3对称 C.关于直线y=3对称 D.关于点(3,0)对称 【解析】选A.设P(x0,y0)为y=f(x+2)图象上任意一点,则y0=f(x0+2)=f(4-(2-x0)),所以点Q(2-x0,y0)在函数y=f(4-x)的图象上,而点P(x0,y0)与点Q(2-x0,y0)关于直线x=1对称,所以函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象关于直线x=1对称. 考点三 函数的周期性及应用 【例4】(1)已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x+1)=-,当x∈[-1,1]时,f(x)=|x|,那么当x∈[-7,-5]时,f(x)=(　　) A.|x+3| B.|x-3| C.|x+6| D.|x-6| 【解析】选C.由f(x+1)=-,可知f(x+2)=-=f(x),因此函数的一个周期是2. 当x∈[-7,-5]时,x+6∈[-1,1]. 所以f(x)=f(x+6)=|x+6|. (2)(2024·成都模拟)若函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=,则f(23)=(　　) A.-1 B.- C.0 D. 【解析】选B.因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的一个周期为4,所以f(23)=f(4×5+3)=f(3). 又因为f(x+2)=-f(x),所以f(3)=-f(1),当x∈[0,1]时,f(x)=,所以f(1)==,所以f(3)=-f(1)=-. 解题技法 1.利用函数周期性解题的方法 求解函数的周期性问题,首先应根据题意求出函数的周期,利用函数的周期性将函数在未知区间上的函数值、解析式、图象转化到已知区间上. 2.关于函数周期性的常见结论 对f(x)定义域内任意的自变量x: (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a≠0). (2)若f(x+a)=,则T=2a(a≠0). (3)若f(x+a)=-,则T=2a(a≠0). (4)若f(x+a)+f(x)=c,则T=2a(a≠0,c为常数). 【训练2】　(1)(多选题)已知定义在R上的偶函数f(x),其周期为4,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2,则(　　) A.f(2 024)=-1 B.f(x)的值域为[-1,2] C.f(x)在[4,6]上单调递减 D.f(x)在[-6,6]上有8个零点 【解析】选AB.f(2 024)=f(506×4)=f(0)=-1,所以A正确; 当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2单调递增,所以当x∈[0,2]时,函数的值域为[-1,2],由于函数是偶函数,所以函数的值域为[-1,2],所以B正确; 当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2单调递增,又函数的周期是4,所以f(x)在[4,6]上单调递增,所以C错误; 令f(x)=2x-2=0,所以x=1,所以f(1)=f(-1)=0,由于函数的周期为4,所以f(5)=f(-5)=0,f(3)=f(-3)=0,所以f(x)在[-6,6]上有6个零点,所以D错误. (2)函数f(x)满足f(x)f(x+2)=13,且f(3)=2,则f(2 025)=________.  【解析】因为f(x)f(x+2)=13,所以f(x+2)=,所以f(x+4)===f(x), 所以f(x)的周期为4,所以f(2 025)=f(1)==. 答案: (3)设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数,且当x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1),则函数f(x)在[2,4]上的解析式为________________________.  【解析】根据题意,设x∈[2,4],则x-4∈[-2,0],则有4-x∈[0,2],又x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1),则f(4-x)=log2[(4-x)+1]=log2(5-x),又f(x)为周期为4的偶函数,所以f(x)=f(x-4)=f(4-x)=log2(5-x),x∈[2,4],则有f(x)=log2(5-x),x∈[2,4]. 答案:f(x)=log2(5-x),x∈[2,4] - 3 - 学科网（北京）股份有限公司 $