教考衔接2 双变量为载体的取值范围问题(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学高考复习教案聚焦双变量取值范围问题，整合基本不等式应用、方程与根关系、换元法等核心考点，按教材典题溯源、变式拓宽训练、高考真题链接的逻辑架构展开，通过题源分析、方法提炼、真题演练环节，帮助学生构建解题框架，突破难点。 资料以“题在书外根植书内”为特色，通过教材例2、习题5演变设计变式训练，结合2022新高考Ⅱ卷、2023全国乙卷真题强化应用，培养学生用数学思维分析变量关系、用数学语言表达推理过程的能力。设置基础变式、综合真题分层练习，配合即时方法总结，确保高效复习，为教师把控复习节奏提供清晰路径，助力学生提升应考能力。

教考衔接2 双变量为载体的取值范围问题 题在书外根植书内典题演变直通高考 教材类题·慧聚 题号 源自教材 题源(1) 人教A版必修第一册第45页例2 题源(2) 人教A版必修第一册第58页第5题 题源(1)已知x,y都是正数,求证: ①如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2; ②如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值S2. 【证明】因为x,y都是正数,所以≥. ①当积xy等于定值P时,≥, 所以x+y≥2,当且仅当x=y时,上式等号成立.于是,当x=y时,和x+y有最小值2. ②当和x+y等于定值S时,≤, 所以xy≤S2,当且仅当x=y时,上式等号成立.于是,当x=y时,积xy有最大值S2. 题源(2)若a,b>0,且ab=a+b+3,则ab的取值范围为________.  【解析】法一: (基本不等式法)由已知得a+b=ab-3,又当a,b>0时,a+b≥2,所以ab-3≥2,所以-2-3≥ 0,则(-3)(+1)≥0,所以≥3或≤-1(舍去),所以≥3,则ab≥9,当且仅当a=b=3时,等号成立,所以ab的取值范围为[9,+∞). 　[选题说明]本题(1)实际上给出基本不等式求最值的原理“积定和最小”及“和定积最大”.(2)以双变量为载体,求解代数式的取值范围,探索创新情境,体现综合性. 创新拓宽·变式 [变式1]已知x>0,y>0,且x+y=2,则x2+y2-xy的取值范围为________.  【解析】由x+y=2,两边平方化简得x2+y2=4-2xy.因为0<xy≤=1, 当且仅当x=y=1时,等号成立, 所以x2+y2-xy的取值范围为[1,4). 答案: [1,4) [变式2]已知x>0,y>0,且xy=2x+y+1,则x+2y的最小值为________.  【解析】由xy=2x+y+1得,x== 1+>0,则y-2>0,所以x+2y= 1++2y=2(y-2)++5≥2+5, 当且仅当=2(y-2),即y=2+时等号成立,所以x+2y的最小值为2+5. 答案: 2+5 [变式3](多选题)已知实数a,b是方程x2-(k-3)x+k=0的两个根,且a>1,b>1,则(　　) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.ab的最小值为9 B.a2+b2的最小值为18 C.+的最小值为 D.a+4b的最小值为12 【解析】选ABC.因为实数a,b是方程 x2-(k-3)x+k=0的两个根, 所以(k-3)2-4k≥0,所以k≥9或k≤1,由根与系数的关系得,a+b=k-3,ab=k, 又a>1,b>1,所以k-3>2,且k>1, 综上得k≥9. 消去k,得ab=a+b+3, 由基本不等式得ab=a+b+3≥2+3, 即ab-2-3≥0,令=t>1, 则t2-2t-3≥0,解得t≥3或t≤-1(舍去), 　法二: (换元法)令ab=t(t>0),则a=(t>0),代入ab=a+b+3,整理得b2+(3-t)b+t=0.因为该方程有正根, 所以即 解得t≥9, 所以ab的取值范围为[9,+∞). 答案: [9,+∞) 　当t≥3时,≥3,解得ab≥9,当且仅当a=b=3时,ab取得最小值9,故A正确; 因为a2+b2≥2ab≥18,当且仅当a=b=3时取等号,所以a2+b2的最小值为18,故B正确; +≥2=,当且仅当=,即a=2+1,b=+1时取等号, 所以+的最小值为,故C正确; 因为ab=a+b+3,所以(a-1)(b-1)=4, a+4b=a-1+4(b-1)+5≥2+5=13,当且仅当a-1=4(b-1),即a=5,b=2时等号成立, 此时a+4b的最小值为13,故D错误. 高考真题·链接 1.(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)对任意x,y,x2+y2-xy=1,则(　　) A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 【解析】选BC.对于A,B: 由x2+y2-xy=1,得(x+y)2-3xy=1,则(x+y)2-1= 3xy≤3, 则(x+y)2-1≤(x+y)2,所以(x+y)2≤1,则|x+y|≤2,所以-2≤x+y≤2,当且仅当x=y时取等号,故B正确. 对于C,D: 由x2+y2-xy=1及基本不等式得, x2+y2-1=xy≤,当且仅当x=y时取等号,所以x2+y2≤2,故C正确. 2.(2023·全国乙卷)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是(　　) A.1+ B.4 C.1+3 D.7 【解析】选C.法一: (换元法) 令x-y=t,则x=t+y,代入x2+y2-4x-2y-4=0,整理得2y2+(2t-6)y+t2-4t-4=0. 因为存在实数y,则Δ≥0,即(2t-6)2-4×2(t2-4t-4)≥0,化简得t2-2t-17≤0,解得1-3≤t≤1+3,所以x-y的最大值为1+3. 法二: (基本不等式法) 由a2+b2≥2ab(a,b∈R)得,≥,由已知得(x-2)2+(y-1)2=9, 所以==≥,当且仅当x-2=1-y, 即x=,y=或x=,y=时,等号成立,即≥, 所以(x-y-1)2≤18,则|x-y-1|≤3,所以1-3≤x-y≤1+3,故x-y的最大值为1+3. - 3 - 学科网（北京）股份有限公司 $