核心素养测评(第1章 第4讲 基本不等式)(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

核心素养测评(时间: 45分钟　分值: 80分) 四　基本不等式 基础保分练 一、单选题 1.(5分)已知a>0,则m=a+的最小值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】选C.因为a>0,所以m=a+≥ 2=4(当且仅当a=,即a=2时取等号). 所以m=a+的最小值为4. 2.(5分)已知a,b∈R,且ab≠0,则下列结论恒成立的是(　　) A.a+b≥2 B.()2>ab C.≥2 D.a2+b2>2ab 【解析】选C.因为和同号, 所以=+≥2=2. 3.(5分)设实数x满足x>0,则函数y=2+3x+的最小值为(　　) A.4-1 B.4+2 C.4+1 D.6 【解析】选A.因为x>0,所以x+1>0,所以y=2+3x+=3(x+1)+-1≥ 2-1=4-1, 当且仅当3(x+1)=,即x=-1时等号成立,所以函数y=2+3x+的最小值为4-1. 4.(5分)下列选项正确的是(　　) A.+≥2 B.x+≥4 C.+的最小值为2 D.x2+的最小值为 【解析】选D.对于A,当与为负数时,+≥2显然不成立,A不正确; 对于B,当x为负数时,x+≥4显然不成立,B不正确; 对于C,令t=∈(0,1],所以t+的最小值为3,当且仅当=1时,取到最小值,C不正确; 对于D,x2+=x2+2+-2,令u=x2+2≥2,函数y=u+-2在[2,+∞)上单调递增,因此当u=2,即x=0时,x2+取得最小值,D正确. 5.(5分)(2025·镇江模拟)已知x>1,y>0,x+y=2,则(x-1)·y的最大值是(　　) A. B. C. D.1 【解析】选A.因为x>1,y>0,x+y=2,则x-1>0,(x-1)+y=1,可得(x-1)·y≤=,当且仅当x-1=y,即x=,y=时,等号成立,所以(x-1)·y的最大值是. 6.(5分)已知x>0,y>0,且2x+y=1,则的最小值为(　　) A. B.2+1 C.4 D.2+4 【解析】选D.==≥= =2+4,当且仅当x2=2y2,即x=,y=时,等号成立. 二、多选题 7.(5分)下列命题正确的是(　　) A.若a,b∈R,且ab>0,a+b≥2 B.已知正数x,y满足x+y=1,则+的最小值为 C.若x>0,则2-3x-的最大值是2-4 D.若x=(x-2)y,x>0,y>0,则x+2y的最小值是9 【解析】选BC.对于选项A,若a,b均为负数,不等式不成立,所以A错误; 对于选项B,因为x+y=1,所以x+(1+y)=2,则2(+)=[x+(1+y)](+) =++5≥2+5=9, 所以+≥,当且仅当, 即时,等号成立,故B正确; 对于选项C,因为x>0,3x+≥2=4,当且仅当3x=,即x=时,等号成立,所以2-3x-≤2-4,故C正确; 对于选项D,因为x=(x-2)y,所以+=1, 所以x+2y=(x+2y)(+)=++4≥ 2+4=8,当且仅当=,即x=4,y=2时,等号成立,所以x+2y的最小值是8,故D错误. 8.(5分)(2025·烟台模拟)已知a>0,b>0且4a+b=2,则(　　) A.ab的最大值为 B.2+的最大值为2 C.+的最小值为6 D.4a+2b的最小值为4 【解析】选BC.对于A,因为2=4a+b≥2=4,所以ab≤,当且仅当a=,b=1时,等号成立,故A错误; 对于B,因为4a+b≥4,所以8a+2b≥4+4a+b=(2+)2,即(2+)2≤4, 2+≤2,当且仅当a=,b=1时,等号成立,故B正确; 对于C,由4a+b=2得a=-,所以+=+-. 因为+=+) (4a+b)=++)≥+2)=,所以+=+-≥-=6,当且仅当a=b=时,等号成立,故C正确; 对于D,令a=,b=,则4a+2b=+=2×<4,所以4a+2b的最小值不是4,D错误. 三、填空题 9.(5分)函数y=(x>-1)的最小值为________.  【解析】因为y==x-1+=x+1+-2(x>-1),所以y≥2-2=0,当且仅当x=0时,等号成立. 所以y=(x>-1)的最小值为0. 答案: 0 10.(5分)(一题多法)已知x>0,y>0,xy=x+4y+12,则xy的最小值为________.  【解析】法一: 由xy=x+4y+12, 移项得(x-4)y=x+12,显然x≠4, 所以y=,由y>0,得x>4, 所以xy=x·===x-4++20≥2+20=36, 当且仅当x=12,y=3时等号成立,所以xy的最小值为36. 法二: 因为xy=x+4y+12≥2+12, 所以()2-4-12≥0, 解得≥6,即xy≥36,当且仅当x=4y,即x=12,y=3时,等号成立,所以xy的最小值为36. 答案: 36 11.(10分)已知正实数x,y满足等式+=2. (1)求xy的最小值; (2)若3x+y≥m2-m恒成立,求实数m的取值范围. 【解析】(1)2=+≥2, 即xy≥3,当且仅当x=1,y=3时等号成立, 所以xy的最小值为3. (2)3x+y=(3x+y)(+) =(6++)≥(6+2)=6, 当且仅当x=1,y=3时等号成立. 即(3x+y)min=6. 所以m2-m≤6,解得-2≤m≤3. 所以实数m的取值范围是[-2,3]. 12.(10分)某市为迎接国庆节提出的文化强国建设的号召,市政府计划建立一个文化产业园区,计划在等腰三角形OAB的空地上修建一个占地面积为S平方米的矩形CDEF文化园展厅,如图,点C,D在底边AB上,E,F分别在腰OB,OA上,已知OA=OB=30 m,AB=30 m,OE=x m,x∈[14,20]. (1)试用x表示S,并求S的取值范围; (2)若矩形CDEF展厅的每平方米造价为,绿化区(图中阴影部分)的每平方米造价为(k为正常数),求总造价W关于S的函数W=f(S),并求当OE为何值时总造价W最低. 【解析】(1)由题意得,△OAB为等腰直角三角形,则EF=x,DE=(30-x), S=x(30-x)=-(x-15)2+225. 因为x∈[14,20], 所以S∈[200,225], 所以S=-(x-15)2+225,S∈[200,225]. (2)由题意得,矩形展厅的造价为·S,绿化区(图中阴影部分)的造价为·(×30×30-S),W=·S+·(450-S)=25k(+)≥300k,当且仅当S=12×18=x(30-x),即x=18时等号成立, 所以W=f(S)=25k(+),当OE为18 m时,总造价W最低. 创新提分练 13.(5分)(2025·潍坊模拟)若直线ax-by-3=0(a>0,b>0)过点(1,-1),则+的最大值为________.  【解析】直线ax-by-3=0过点(1,-1),则a+b=3. 又a>0,b>0,设t=+, 则t>0,t2=a+1+b+2+2=6+2≤6+2()=12,即t≤2,当且仅当a+1=b+2,即a=2,b=1时等号成立, 所以+的最大值为2. 答案: 2 14.(5分)(2025·德州模拟)已知a>0,b>0,且a+b=1,记+的最小值为M,记的最小值为N,则M+N=__________.  【解析】a>0,b>0,a+b=1,故+=+=+-4,其中+=(+)·(a+b)=1+4++≥ 5+2=9,当且仅当=,即a=,b=时,等号成立,故+=+-4≥5,即M=5; ====-1+, 因为a>0,b>0,故b=1-a>0,所以0<a<1,令a+1=t,则1<t<2, 故===,其中t+≥2=2,当且仅当t=,即t=时,等号成立,故=≥=3+2,故=-1+≥2+2,即N=2+2; 所以M+N=5+2+2=7+2. 答案: 7+2 - 7 - 学科网（北京）股份有限公司 $