第1章 第4讲 基本不等式(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学高考复习教案聚焦基本不等式专题，覆盖不等式推导、成立条件、最值应用等高考核心考点，按“基础梳理-考点突破-拓展应用”逻辑架构知识，通过教材主干知识梳理、常用结论归纳、基础自测辨析，结合拼凑法、常数代换法等方法指导及真题训练，帮助学生系统构建知识网络，突破“一正二定三相等”难点。 资料以“问题驱动-方法提炼-素养落地”为特色，创新采用分角度突破策略，如常数代换法中通过“1”的代换转化最值问题，培养学生数学思维。设计基础自测、真题模拟、实际应用（如海报设计优化）等分层训练，结合解题技法总结，助力学生快速掌握考点，提升用数学语言表达和解决实际问题的能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第4讲　基本不等式 复习目标 1.了解基本不等式的推导过程. 2.掌握基本不等式≤(a,b>0). 3.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 教材梳理　夯基础 主干知识 知识点1　基本不等式: ≤ (1)基本不等式成立的条件: a>0,b>0. (2)等号成立的条件: 当且仅当a=b时,等号成立. 知识点2　算术平均数与几何平均数 设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式表明: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 知识点3　利用基本不等式求最值 (1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2. (2)已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值S2. [注意点]利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”. 常用结论 几个重要不等式 1.a2+b2≥2ab(a,b∈R). 2.+≥2(a,b同号,且不为0). 3.ab≤(a,b∈R). 4.≥(a,b∈R). 以上不等式等号成立的条件均为a=b. 基础自测 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 3,4 1 2 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)两个不等式a2+b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.(　×　) (2)函数y=x+(x>0)的最小值是2.(　√　) (3)函数f(x)=sin x+的最小值为4.(　×　) (4)x>0且y>0是+≥2的充分不必要条件.(　√　) 2.(多选题)若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是(　　) A.≥ B.+≥2 C.≥2 D.a2+b2≥8 【解析】选AD.对于A,C,因为a>0,b>0,所以a+b=4≥2,即≤2,当且仅当a=b=2时等号成立,故0<ab≤4,则≥,故A正确,C错误;对于B,代入a=b=2,+=+1=<2,故B错误;对于D,a2+b2≥=8,当且仅当a=b=2时等号成立,故D正确. 3.(必修第一册P49T5变式)已知x>0,则2-3x-的最大值是________.  【解析】因为x>0,所以3x>0,>0,所以2-3x-=2-(3x+)≤2-2=2-4, 当且仅当3x=,即x=时,等号成立,所以2-3x-的最大值是2-4. 答案: 2-4 4.(必修第一册P58T5变式)若a>0,b>0,且ab=a+b+3,则ab的最小值为________.  【解析】因为a>0,b>0,所以ab=a+b+3≥2+3,即ab-2-3≥0,解得≥3或≤-1(舍去),当且仅当a=b=3时,等号成立,所以ab≥9,即ab的最小值为9. 答案: 9 考点突破　强技能 考点一 利用基本不等式求最值…………题组练通 角度1　拼凑法 1.设0<x<,则函数y=4x(3-2x)的最大值为(　　) A. B.4 C. D.9 【解析】选C.因为0<x<,所以3-2x>0,y=4x(3-2x)=2×2x×(3-2x)≤2×()2=,当且仅当2x=3-2x,即x=时取等号,所以当x=时,ymax=. 2.已知a>2,则2a+的最小值是(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 【解析】选D.因为a>2,所以a-2>0,所以2a+=2(a-2)++4≥2+4=12,当且仅当2(a-2)=,即a=4时,等号成立. 所以2a+的最小值为12. 3.(2025·福州模拟)若0<x<,则y=x的最大值为(　　) A.1 B. C. D. 【解析】选C.因为0<x<,所以y=x==≤ ×=.当且仅当4x2=1-4x2,即x=时取等号.则y=x的最大值为. 4.(2025·重庆模拟)已知a>0,b>0,则+的最小值为________.  【解析】当a>0,b>0时,+=+-1≥2-1=3,当且仅当=,即a=b时等号成立. 答案: 3 解题技法 配凑法求最值的实质及关键点 配凑法就是将相关代数式进行适当变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键. 角度2　常数代换法 【例1】(1)已知正数x,y满足x+2y=4,则 ①xy的最大值为________;  ②+的最小值为________.  【解析】①因为x>0,y>0,所以x+2y≥2, 当且仅当时,等号成立, 所以2≤4,所以xy≤2. ②+=(+) (x+2y)×=(4++)≥(4+2)=2. 当且仅当时取等号. 答案: ①2　②2 (2)已知正数x,y满足+=1,则 ①xy的最小值为________;  ②x+2y的最小值为________.  【解析】①因为x>0,y>0,所以+≥2. 当且仅当时,等号成立. 所以2≤1,所以xy≥32. ②x+2y=(+)·(x+2y)=10++≥10+2=18, 当且仅当 即时,等号成立,故x+2y的最小值是18. 答案: ①32　②18 解题技法 常数代换法求最值的基本步骤 第一步: 根据已知条件或其变形确定定值(常数); 第二步: 把确定的定值(常数)变形为1; 第三步: 把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积为定值的形式; 第四步: 利用基本不等式求最值. 【训练1】(1)若正实数x,y满足+y=2,则x+的最小值是(　　) A.4 B. C.5 D.9 【解析】选B.因为x,y是正实数,所以xy>0,故x+=+y) (x+)=(5+xy+) ≥×(5+2)=,当且仅当xy=,即x=,y=时取等号. (2)(2025·邵阳模拟)若a>0,b>0,a+b=9,则+的最小值为________.  【解析】由a>0,b>0,a+b=9,得+=+=4++≥4+2 =8(当且仅当=,即a=6,b=3时等号成立),故+的最小值为8. 答案: 8 角度3　消元(换元)法 【例2】(2025·潍坊模拟)设x>0,xy+y=4,则z=3x+y+2的最小值为(　　) A.4-1 B.4+2 C.4+1 D.6 【解析】选A.由题意得x>0,xy+y=4,所以y=>0,所以z=3x++2=3(x+1)+-1 ≥2-1=4-1, 当且仅当3(x+1)=,即x=-1>0时,等号成立,所以z的最小值为4-1. 解题技法 利用消元法、换元法求最值的方法 (1)消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解. (2)换元法,求较复杂的式子的最值时,通常利用换元法将式子恰当变形,简化式子,再利用基本不等式求解. 【训练2】(一题多法)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为__________.  【解析】方法一(换元消元法): 由已知得9-(x+3y)=xy=·x·3y≤·()2,当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号.即(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0, 令x+3y=t,则t>0且t2+12t-108≥0, 得t≥6,即x+3y的最小值为6. 方法二(代入消元法): 由x+3y+xy=9,得x=, 所以x+3y=+3y= == =3(1+y)+-6≥2-6 =12-6=6, 当且仅当3(1+y)=, 即y=1,x=3时取等号,所以x+3y的最小值为6. 答案: 6 微拓展基本不等式链 若a>0,b>0,则≤≤≤,当且仅当a=b时,等号成立,这是一个基本不等式链.其中,,,分别叫做正数a,b的平方平均数、算术平均数、几何平均数和调和平均数. [典例](1)(多选题)设正实数a,b满足a+b=1,则(　　) A.有最大值 B.+有最小值3 C.a2+b2有最小值 D.+有最大值 【解析】选ACD.对于A,由基本不等式可得≤=,当且仅当a=b=时,等号成立,A正确; 对于B,由≤==,得+≥,当且仅当a+2b=2a+b,即a=b=时等号成立,B错误; 对于C,由≥=,得a2+b2≥,当且仅当a=b=时等号成立,C正确; 对于D,由≤=,得+≤,当且仅当a=b=时等号成立,D正确. (2)函数y=+的最大值为________. 【解析】函数的定义域为x∈[,], 由≤,得a+b≤2, 则y=+≤2=2,当且仅当=,即x=时等号成立. 答案: 2 考点二 基本不等式的实际应用  【例3】(2025·哈尔滨模拟)已知某商品近期价格起伏较大,假设第一周和第二周该商品的单价分别为m元和n元(m≠n),甲、乙两人购买该商品的方式不同,甲每周购买100元的该商品,乙每周购买20件该商品,若甲、乙两次购买平均单价分别为a1,a2,则(　　) A.a1=a2 B.a1<a2 C.a1>a2 D.a1,a2的大小无法确定 【解析】选B.由题意得a1==,a2==,因为m>0,n>0,m≠n,故>,<=,即a1<a2. 解题技法 利用基本不等式解决实际问题的方法 (1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值. (2)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围. (3)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解. 【训练3】　某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD,如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形),宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观,要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为________cm时,用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小).  【解析】设直角梯形的高为x cm, 因为宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2,且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm, 所以海报宽AD=x+4,海报长DC=+8, 故S矩形ABCD=AD·DC=(x+4)(+8) =8x++1 472≥2+1 472 =192+1 472,当且仅当8x=, 即x=12时,等号成立. 所以当直角梯形的高为12 cm时,用纸量最少. 答案: 12 - 10 - 学科网（北京）股份有限公司 $