第1章 第3讲 等式与不等式的性质(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学教案聚焦等式与不等式性质、比较大小等高考核心考点，按“主干知识-常用结论-基础自测”架构梳理知识，通过考点梳理、方法指导（作差作商法）、真题训练（题组练通）等环节，帮助学生构建知识网络，突破性质应用难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以“一题多法”和分层练习为特色，如比较大小考点中结合作差法、构造函数法分析，培养学生数学思维与推理意识。设置基础自测、考点突破、加练备选三级练习，配合解题技法总结，确保高效突破难点。助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供明确指导。

第3讲　等式与不等式的性质 复习目标 1.掌握等式的性质,会比较两个数的大小. 2.理解不等式的性质,并能简单应用. 教材梳理　夯基础 主干知识 知识点1　两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 知识点2　等式的性质 性质1　对称性: 如果a=b,那么b=a; 性质2　传递性: 如果a=b,b=c,那么a=c; 性质3　可加(减)性: 如果a=b,那么a±c=b±c; 性质4　可乘性: 如果a=b,那么ac=bc; 性质5　可除性: 如果a=b,c≠0,那么=. 知识点3　不等式的性质 (1)对称性: a>b⇔b<a; (2)传递性: a>b,b>c⇒a>c; (3)同向可加性: a>b⇔a+c>b+c;a>b,c>d⇒a+c>b+d; (4)可乘性: a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc;a>b>0,c>d>0⇒ac>bd; (5)可乘方性: a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1); (6)可开方性: a>b>0⇒>(n∈N,n≥2). 常用结论 　倒数性质 (1)a>b,ab>0⇒<. (2)a<0<b⇒<. (3)a>b>0,0<c<d⇒>. (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 基础自测 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 3 1,2 4 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种.(　 √　) (2)同向不等式具有可加性和可乘性.(　 ×　) (3)如果a>b,那么<.(　 ×　) (4)如果c>a>b>0,那么>.(　 √　) 2.若a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是(　　) A.a+d>b+c B.a+c>b+d C.ac>bd D.ad>bc 【解析】选B.对于A,令a=2,b=1,c=-1,d=-2,满足a>b>c>d,但a+d=b+c,故A错误; 对于B,因为a>b>c>d,即a>b,c>d, 所以由不等式的同向可加性可得,a+c>b+d,故B正确; 对于C,令a=2,b=1,c=-1,d=-2,满足a>b>c>d,但ac=bd,故C错误; 对于D,令a=2,b=1,c=-1,d=-2,满足a>b>c>d,但ad<bc,故D错误. 3.(必修第一册P43·习题2.1T3变式)已知a1,a2∈(2,+∞),记M=a1a2,N=a1+a2,则M与N的大小关系是(　　) A.M<N B.M>N C.M=N D.不确定 【解析】选B.由作差法得M-N=a1a2-(a1+a2)=(a1-1)(a2-1)-1,因为a1,a2∈(2,+∞),所以a1-1>1,a2-1>1,所以(a1-1)(a2-1)>1,所以(a1-1)(a2-1)-1>0,所以M>N. 4.(多选题)已如实数a,b,c满足<<0<c,则下列选项正确的是(　　) A.< B.< C.a2c<b2c D.a+<b+ 【解析】选AD.因为<<0<c,所以c>0>b>a,所以<,>,故A正确,B错误; 而a2>b2,则a2c>b2c,故C错误; a+-(b+)=a-b+-=a-b+=, 因为a-b<0,ab>0,所以a+-(b+)=<0,即a+<b+,故D正确. 考点突破　强技能 考点一 比较两个数(式)的大小…………题组练通 1.已知x=-a2-2a+3,y=4-3a,则(　　) A.x<y B.x=y C.x>y D.x与y的大小无法判断 【解析】选A.因为x=-a2-2a+3,y=4-3a, 所以x-y=-a2+a-1=-(a-)2-<0,故x<y. 2.设a>1,且m=loga(a2+1),n=loga(a-1),p=loga(2a),则m,n,p的大小关系为(　　) A.n>m>p B.m>p>n C.m>n>p D.p>m>n 【解析】选B.当a>1时,易知a2+1>2a.又以a为底的对数函数在定义域上单调递增,所以m>p.又因为(a2+1)-(a-1)= (a-)2+>0,即a2+1>a-1,所以m>n.又因为当a>1时,2a显然大于a-1,同上可知p>n. 综上,m>p>n. 3.已知P=a2+b2++c2,Q=2a+2b,则(　　) A.P≤Q B.P=Q C.P≥Q D.P,Q的大小无法确定 【解析】选C.P-Q=(a2+b2++c2)-(2a+2b)=(a-1)2+(b-1)2+(c-)2≥0, 所以P≥Q. 4.(一题多法)若a=,b=,c=,则(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 【解析】选B.法一　易知a,b,c都是正数, ==log8164<1,所以a>b. ==log6251 024>1,所以b>c. 即c<b<a. 法二　构造函数f(x)=, 则f'(x)=, 由f'(x)>0,得0<x<e,由f'(x)<0,得x>e, 所以f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减, 所以f(3)>f(4)>f(5),即a>b>c. 解题技法 比较大小的常用方法 1.作差法 (1)作差;(2)变形(常采用配方、因式分解、有理化法);(3)定号;(4)结论. 2.作商法 (1)作商;(2)变形;(3)判断商与1的大小;(4)结论. 【加练备选】 (2025·本溪模拟)已知x>0,则“x>|y|”是“>”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选A.由x>|y|,x>0,可知x-y>0,则-=>0,所以>,充分性成立; 由-=>0,x>0,可得x>y,但是x>|y|不一定成立,故必要性不成立; 综上,“x>|y|”是“>”的充分不必要条件. 考点二 不等式性质的基本应用 【例1】(1)若a>0>b,则(　　) A.a3>b3 B.|a|>|b| C.< D.ln(a-b)>0 【解析】选A.因为a>0>b,所以a3>0,b3<0, 即a3>b3,故A正确; 取a=1,b=-2,则|a|>|b|不成立,<不成立,故B,C错误; 取a=,b=-,则ln(a-b)=ln 1=0,故D错误. (2)(多选题)若<<0,则下列不等式正确的是(　　) A.< B.|a|+b>0 C.a->b- D.ln a2>ln b2 【解析】选AC.由<<0,可知b<a<0. A中,因为a+b<0,ab>0, 所以<0,>0,则<,故A正确; B中,因为b<a<0,所以-b>-a>0, 故-b>|a|,即|a|+b<0,故B错误; C中,因为b<a<0,<<0, 则->->0,所以a->b-,故C正确; D中,因为b<a<0,根据y=x2在(-∞,0)上单调递减,可得b2>a2>0, 而y=ln x在定义域(0,+∞)上单调递增, 所以ln b2>ln a2,故D错误. 解题技法 解决不等式性质应用的三种方法 (1)直接法: 直接利用不等式的性质逐个验证,要特别注意前提条件; (2)利用特殊值排除法; (3)单调性法: 当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断. 【训练1】(1)若a,b,c为实数,且a<b,c>0,则下列不等关系一定成立的是(　　) A.a+c<b+c B.< C.ac>bc D.b-a>c 【解析】选A.对于A,由不等式的性质知,c>0,a<b⇒a+c<b+c,正确; 对于B,若a=-2,b=-1, 则>,错误; 对于C,由不等式的性质知,c>0,a<b⇒ac<bc,错误; 对于D,a<b⇒b-a>0,又c>0,所以无法判断b-a与c的大小关系,错误. (2)(多选题)(2025·济南模拟)已知实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,则下列说法正确的是(　　) A.> B.a-c>2b C.a2>b2 D.ab+bc>0 【解析】选BC.对于A,因为a>b>c, 所以a-c>b-c>0, 所以<,A错误; 对于B,因为a>b>c,a+b+c=0, 所以a>0,c<0,a-b>0, 所以b+c=-a<0,所以a-b>b+c, 即a-c>2b,B正确; 对于C,因为a-b>0,a+b=-c>0, 所以a2-b2=(a+b)(a-b)>0, 即a2>b2,C正确; 对于D,ab+bc=b(a+c)=-b2≤0,D错误. 考点三 利用不等式的性质求代数式的取值范围 【例2】(2025·大庆模拟)已知1≤a≤4,-1≤b≤2,则3a-b的取值范围是(　　) A.[-13,1] B.[-1,8] C.[-1,13] D.[1,13] 【解析】选D.因为1≤a≤4,-1≤b≤2,所以-2≤-b≤1,3≤3a≤12,所以1≤3a-b≤13. 解题技法 已知M1<f1(a,b)<N1,M2<f2(a,b)<N2,求g(a,b)的取值范围的步骤: (1)设g(a,b)=pf1(a,b)+qf2(a,b); (2)根据恒等变形求得待定系数p,q; (3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a,b)的取值范围. 【训练2】　已知实数a,b满足a-b∈[0,1],a+b∈[2,4],则a的取值范围为______,4a-2b的取值范围是______.  【解析】由0≤a-b≤1,2≤a+b≤4, 两式相加得2≤2a≤5,故1≤a≤. 因为4a-2b=3(a-b)+(a+b), 0≤3(a-b)≤3,2≤a+b≤4, 所以4a-2b=3(a-b)+a+b∈[2,7]. 答案: [1,]　[2,7] - 8 - 学科网（北京）股份有限公司 $