第1章 第2讲 常用逻辑用语(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学教案聚焦常用逻辑用语高考核心考点，涵盖充分必要条件判断、全称与存在量词命题及其否定，按“定义-关系-应用”逻辑架构知识点，通过教材梳理夯实基础，考点突破分层次讲解，真题训练对接高考，帮助学生系统构建知识网络，突破逻辑推理难点。 资料采用“问题链驱动”教学法，结合数学思维与数学语言，如通过集合法转化参数范围问题培养逻辑推理，分解命题否定步骤提升表达精确性。设置分层练习与真题精讲，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

第2讲　常用逻辑用语 复习目标 1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 2.通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 教材梳理　夯基础 主干知识 知识点1　充分条件、必要条件与充要条件 若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp [注意点]在判断充分、必要条件时,小范围可以推大范围,大范围不可以推小范围,如x>2(小范围)⇒x>1(大范围),x>1(大范围)x>2(小范围). 知识点2　全称量词和存在量词 (1)全称量词: 所有的、任意一个等,用符号“∀”表示. (2)存在量词: 存在一个、至少有一个等,用符号“∃”表示. (3)含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x). (4)含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M,p(x). 知识点3　含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M, ¬p(x) ∃x∈M,p(x) ∀x∈M,¬p(x) 常用结论 1.若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即p: A={x|p(x)},q: B={x|q(x)},则 (1)若A⊆B,则p是q的充分条件; (2)若B⊆A,则p是q的必要条件; (3)若A⫋B,则p是q的充分不必要条件; (4)若B⫋A,则p是q的必要不充分条件; (5)若A=B,则p是q的充要条件. 2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”. 3.命题p和¬p的真假性相反,若判断一个命题的真假有困难时,可判断此命题的否定的真假. 基础自测 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2 1 3,4 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)至少有一个三角形的内角和为π是全称量词命题.(　 ×　) 【解析】(1)错误,至少有一个三角形的内角和为π是存在量词命题. (2)写全称量词命题的否定时,全称量词变为存在量词.(　 √　) (3)当p是q的充分条件时,q是p的必要条件.(　 √　) (4)已知p: x>1和q: x≥1,则p是q的充分不必要条件.(　 √　) 2.(必修第一册P18例1变条件)已知a∈R,则“a>1”是“a2>1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选A.由不等式的性质,当a>1时,一定有a2>1; 当a2>1时,有a>1或a<-1,不能得到a>1. 则“a>1”是“a2>1”的充分不必要条件. 3.(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p: ∀x∈R,|x+1|>1,命题q: ∃x>0,x3=x,则(　　) A.p和q都是真命题　 B.¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题　 D.¬p和¬q都是真命题 【解析】选B.由x=0时p不成立知p是假命题,由x=1时q成立知q是真命题,所以B选项正确. 4.关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数解的一个必要不充分条件是(　　) A.m< B.m≤ C.m<- D.m< 【解析】选A.因为一元二次方程x2+x+m=0有实根,所以Δ=1-4m≥0,解得m≤.又(-∞,]是(-∞,)的真子集,所以“(-∞,)”是“(-∞,]”的必要不充分条件. 考点突破　强技能 考点一 充分、必要条件的判定 【例1】(1)(2025·天津模拟)设x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选A.由|x-2|<1可得-1<x-2<1,解得1<x<3,所以由1<x<2推得出|x-2|<1,故充分性成立; 由|x-2|<1推不出1<x<2,故必要性不成立,所以“1<x<2”是“|x-2|<1”的充分不必要条件. (2)(2023·北京卷)若xy≠0,则“x+y=0”是“+=-2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选C.因为xy≠0,x+y=0,所以y=-x≠0,所以+=-2;令=t,则t+=-2,化为t2+2t+1=0,解得t=-1,即=-1.故“x+y=0”是“+=-2”的充要条件. 解题技法 判断充分条件、必要条件的三种方法 定义 法 直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假.在判断时,确定条件是什么、结论是什么 集合 法 利用集合中包含思想判定的特点,抓住“以小推大”的技巧,即小范围推得大范围,即可解决充分性、必要性问题 等价 转化 法 对于带有否定性词语的命题,要判断p是q的什么条件,只需判断¬q是¬p的什么条件 [提醒]定义法适用于推理判断性问题;集合法适用于涉及字母范围的推断问题. 【训练1】(1)对于实数x,“x≠5”是“|x-3|≠2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选B.因为|x-3|≠2,等价于x≠1且x≠5,且(-∞,1)∪(1,5)∪(5,+∞)是(-∞,5)∪(5,+∞)的真子集,所以“x≠5”是“|x-3|≠2”的必要不充分条件. (2)明罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公,宜用火攻;万事倶备,只欠东风”,比喻一切都准备好了,只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选B.“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件,但不是充分条件. 考点二 充分、必要条件的应用 【例2】(1)(2025·济南模拟)已知p: 1<2x<4,q: x2-ax-1<0,若p是q的充分不必要条件,则(　　) A.a≥ B.0<a≤ C.a>2 D.0<a≤2 【解析】选A.命题p: 1<2x<4,即p: 0<x<2,因为p是q的充分不必要条件,显然当x=0时满足q: x2-ax-1<0, 所以当0<x<2时,x2-ax-1<0恒成立, 则a>x-在0<x<2上恒成立, 又函数f(x)=x-在(0,2)上单调递增,且f(2)=,所以a≥. (2)(金榜原创·易错对对碰) ①已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,则m的取值范围是__________.  【解析】由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10, 所以P={x|-2≤x≤10},由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P,则所以0≤m≤3. 所以当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,即所求m的取值范围是[0,3]. 答案: [0,3] ②已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m},若¬p是S的必要不充分条件,则m的取值范围是__________.  【解析】由已知可得P={x|-2≤x≤10}, 因为¬p是¬S的必要不充分条件, 所以S是P的必要不充分条件, 所以x∈P⇒x∈S且x∈Sx∈P. 所以[-2,10]⫋[1-m,1+m]. 所以或 所以m≥9,即m的取值范围是[9,+∞). 答案: [9,+∞) 解题技法 由充分条件、必要条件求参数范围的策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系,然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解,注意条件的等价变形. (2)在求参数范围时,要注意端点值的检验,处理不当容易造成漏解或增解. 【训练2】(1)(2025·南昌模拟)已知p: “x>2”,q: “x2-x-a>0”,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是(　　) A. [-,2] B.(-∞,2] C. (-,+∞) D.[2,+∞) 【解析】选B.若p是q的充分不必要条件,故x2-x-a>0在x>2时恒成立,故得a<x2-x,令f(x)=x2-x,由二次函数性质得f(x)在(2,+∞)上单调递增,则f(x)>f(2)=2,可得a∈(-∞,2]. (2)设条件p: |x|≤m(m>0),q: -1≤x≤4,若p是q的充分条件,则m的最大值为________,若p是q的必要条件,则m的最小值为________.  【解析】因为|x|≤m(m>0),所以-m≤x≤m. ①由p是q的充分条件,得, 解得0<m≤1,所以m的最大值为1, ②由p是q的必要条件,得, 解得m≥4,所以m的最小值为4. 答案: 1　4 【加练备选】 (多选题)(2024·东莞模拟)已知关于x的方程x2+(m-3)x+m=0,下列结论正确的是(　　) A.方程有一个正根一个负根的充要条件是m<0 B.方程有两个正根的充要条件是0<m≤1 C.方程无实数根的充要条件是m>1 D.当m=3时,方程的两个实数根之和为0 【解析】选AB.关于x的方程x2+(m-3)x+m=0中,Δ=(m-3)2-4m=m2-10m+9,两根和为3-m、两根积为m. 若方程有一个正根和一个负根, 则,解得m<0,故A对; 若方程有两个正根,则, 解得0<m≤1,故B对; 若方程无实数根,则Δ=m2-10m+9<0,解得1<m<9,故C错; 当m=3时,方程x2+(m-3)x+m=0可化为x2+3=0,显然无实数解,故D错. 考点三 全称量词与存在量词 角度1　含量词命题的否定 【例3】(2025·郑州模拟)命题“∃x>0,x2+x-1>0”的否定是(　　) A.∀x>0,x2+x-1>0 B.∀x>0,x2+x-1≤0 C.∃x≤0,x2+x-1>0 D.∃x≤0,x2+x-1≤0 【解析】选B.根据存在量词命题的否定为全称量词命题,即命题“∃x>0,x2+x-1>0”的否定为“∀x>0,x2+x-1≤0”. 解题技法 含量词的命题的否定步骤 (1)改写量词: 确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写. (2)否定结论: 对原命题的结论进行否定. 【训练3】(2025·青岛模拟)已知命题p: ∀x∈(0,),sin x<x,则¬p为(　　) A.∃x∉(0,),sin x>x B.∃x∈(0,),sin x>x C.∃x∉(0,),sin x≥x D.∃x∈(0,),sin x≥x 【解析】选D.命题p: ∀x∈(0,),sin x<x为全称量词命题,则¬p为∃x∈(0,),sin x≥x. 角度2　含量词命题的真假判断 【例4】(2025·九江联考)下列命题的否定是真命题的为(　　) A.任意两个等边三角形都相似 B.∃x∈R,x2-x+1=0 C.存在一个四边形,它的两条对角线互相垂直 D.∀x∈R,x+|x|≥0 【解析】选B.对于A,任意两个等边三角形都相似是真命题,所以其否定是假命题,故A错误; 对于B,x2-x+1=0,Δ=1-4<0,所以方程无解,所以该命题是假命题,其否定是真命题,故B正确; 对于C,存在一个四边形,它的两条对角线互相垂直,是真命题,其否定是假命题,故C错误; 对于D,∀x∈R,x+|x|≥0是真命题,其否定是假命题,故D错误. 解题技法 含量词的命题的真假判断的方法 要判断全称量词命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;要判断存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题,只要在限定集合M内找到一个x,使p(x)成立即可. 【训练4】　下列命题中的假命题是(　　) A.∃x∈R,lg x=0 B.∃x∈R,tan x=0 C.∀x∈R,3x>0 D.∀x∈R,x2>0 【解析】选D.∃x=1,lg x=0;∃x=0,tan x=0; ∀x∈R,3x>0;∀x∈R,x2≥0,所以D为假命题. 角度3　由含量词命题的真假求参数的值(范围) 【例5】(2025·漳州模拟)若∃α∈[0,+∞),cos α<m为真命题,则实数m的取值范围为(　　) A.{m|m≥1} B.{m|m>1} C.{m|m≥-1} D.{m|m>-1} 【解析】选D.若∃α∈[0,+∞),cos α<m为真命题,则m>(cos α)min.因为cos α在[0,+∞)上的最小值为-1,所以m>-1. 解题技法 根据命题的真假求参数取值范围的步骤 (1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围; (2)根据题意确定每个命题的真假; (3)由各个命题的真假列出关于参数的不等式(组)求解. 【训练5】(2025·成都模拟)已知命题“∀x∈[1,4],ex--m≥0”为真命题,则实数m的取值范围为(　　) A.(-∞,e-2] B. (-∞,e4-] C.[e-2,+∞) D. [e4-,+∞) 【解析】选A.因为命题“∀x∈[1,4],ex--m≥0”为真命题,所以∀x∈[1,4],m≤ex-. 令f(x)=ex-,x∈[1,4],y=ex与y=-在[1,4]上均为增函数,故f(x)为增函数, 当x=1时,f(x)有最小值e-2,即m≤e-2. - 11 - 学科网（北京）股份有限公司 $