精品解析：浙江省绍兴市新昌县七星中学2024-2025学年九年级11月期中考数学试卷

七星中学2024学年第一学期九年级数学期中质量检测 (本试卷满分120分，考试时间120分钟) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，) 1. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 乘坐公共汽车恰好有座位 B. 小明期末考试会考满分 C. 西安明天会下雪 D. 三角形的内角和是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的判断，根据随机事件和必然事件的定义逐项判断即可． 【详解】因为乘坐公共汽车可能会有座位，也可能没有座位，属于随机事件，所以A不符合题意； 因为小明期末考试可能会考满分，也可能不会，属于随机事件，所以B不符合题意； 因为西安明天可能下雪，也可能不下雪，属于随机事件，所以C不符合题意； 因为三角形内角和是180°，属于必然事件，所以D符合题意． 故选：D． 2. 抛物线可由抛物线如何平移得到的（ ） A. 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B. 先向左平移6个单位，再向上平移7个单位 C. 先向上平移2个单位，再向左平移3个单位 D. 先回右平移3个单位，再向上平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律解答即可． 【详解】解：抛物线可由抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位平移得到， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 3. 如图，是的直径，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半． 由圆周角定理得到，据此即可求解． 【详解】解：∵是的直径，， ∴根据圆周角定理得，． 则的度数为， 故选：B． 4. 已知（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（　　） A. B. 2a=3b C. D. 3a=2b 【答案】B 【解析】 【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：由得，3a=2b， A、由比例的基本性质得： 3a=2b，正确，不符合题意； B、由比例的基本性质得3a=2b，错误，符合题意； C、由比例的基本性质得：3a=2b，正确，不符合题意； D、由比例的基本性质得：3a=2b，正确，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积． 5. 如图，已知、分别在的、边上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例，根据相似三角形的对应边成比例列式解答即可． 【详解】解：∵相似， ∴， ∴， ∴A、C、D错误，不符合题意，B正确，符合题意 故选：B． 6. 已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用排除法，由得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和D选项，根据B选项和C选项中对称轴，得出，抛物线开口向下，排除B选项，即可得出C为正确答案． 【详解】解：对于二次函数， 令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为 ∵， ∴， ∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上， ∴可以排除A选项和D选项； B选项和C选项中，抛物线的对称轴， ∵ ， ∴， ∴抛物线开口向下，可以排除B选项， 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键． 7. 已知是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将抛物线的表达式改写为顶点式，确定函数对称轴和开口方向，再根据二次函数的对称性即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴该抛物线的开口向下，对称轴为：， ∴当时，函数取最大值， ∵点距离对称轴1个单位长度，点距离对称轴3个单位长度， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的对称性和增减性，解题的关键是将二次函数的表达式化为顶点式，根据函数的顶点式分析函数的对称轴和增减性． 8. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50°，则∠DBC的度数为（　　） A. 50° B. 60° C. 80° D. 90° 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质得：∠GBC=∠ADC=50°，由垂径定理得：，则∠DBC=2∠EAD=80°． 【详解】如图，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠GBC=∠ADC=50°． ∵AE⊥CD，∴∠AED=90°，∴∠EAD=90°﹣50°=40°，延长AE交⊙O于点M． ∵AO⊥CD，∴，∴∠DBC=2∠EAD=80°． 故选C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，还考查了垂径定理的应用，属于基础题． 9. 抛物线如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】①由抛物线的开口方向、对称轴及抛物线与轴交点的位置，可得出，，，当时，进而可判断①； ②由抛物线的开口方向、对称轴，，，从而可判断②； ③由抛物线的开口方向、，间的关系及抛物线的顶点总坐标，可得出进而可判断③； ④由抛物线与轴有两个交点，可得出b2-4ac＞0，进而可判断④． 【详解】解：①当时，， ∴， ∴结论①正确； ②∵，，， ∴， ∴， ∴结论②正确； ③∵当时抛物线有最大值， ∴， ∴， ∴结论③正确； ④∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴， ∴结论④正确； 综上所述，正确的结论有①②③④． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征以及二次函数图像与系数的关系，逐一分析各结论的正误是解题的关键． 10. 如图，在平行四边形中，、相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，已知，则下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（ ）     A. ①②③④ B. ①④ C. ②③④ D. ①② 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到；故①正确；根据相似三角形的性质得到；故②正确；根据三角形的面积公式得到，故③错误；由于与只有一个角相等，于是得到与不一定相似，故④错误． 【详解】解：在中，，，， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ；故①正确； ，， ；故②正确； ， ， ，故③错误； 不平行于， 与只有一个角相等， 与不一定相似，故④错误， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 已知，且，则的值为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b-2c=6，得出答案． 【详解】解：∵， ∴设a=6x，b=5x，c=4x， ∵a+b-2c=6， ∴6x+5x-8x=6， 解得：x=2， 故a=12． 故答案为12． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键． 12. 木箱里装有仅颜色不同的15个红球和若干个蓝球，随机从朱箱里摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次的重复实验，发现摸到红球的频率稳定在附近，则估计木箱中蓝球有________个． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．解答本题的关键是根据摸到红球的频率得到相应的等量关系．根据摸到红球的频率可得摸到红球的概率，根据概率公式即可求出蓝球的数量． 【详解】解：设木箱中蓝球有x个， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 则估计木箱中蓝球有10个． 故答案为：10． 13. 抛物线与双曲线的交点的横坐标为，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象直接可得结论． 【详解】解：∵抛物线与双曲线的交点的横坐标为， ∴的解集为， 即不等式的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据函数图象交点求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 14. 如图，在，，分别以三边为直径向上作三个半圆．若，，则阴影部分图形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不规则图形面积，涉及圆的面积、勾股定理等知识，根据题中图形，间接表示出不规则图形面积没利用三角形面积公式及圆的面积公式代值求解即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：在，，，， ， ， 故答案为：． 15. 如图，是的外接圆，，把弧沿弦向下折叠交于点，若点为中点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】 由等腰三角形的性质可得，由折叠的性质和圆周角定理可得可得，可证，可得，即可求解． 【详解】解：如图，设D点的对应点为，连接， ∵， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∵， ∴， ∵弧沿弦向下折叠交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键． 图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． 16. （1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为______； 17. （2）如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（）设点的坐标为，则抛物线的表达式为则点的坐标为： ，点再用待定系数法即可求解； （）确定直线的表达式为，求出，进而求解； 本题考查了二次函数 ，一次函数 以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】（）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图： 设点的坐标为：，则抛物线的表达式为， 则点的坐标为，点， 将点的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得：， 即抛物线的表达式为：， ∴， 故答案为：； （）将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止， ∴所以旋转前与水平方向的夹角为， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入上式的：直线的表达式为：， 联立并整理得：， 则，， 则， 则， 由的表达式知，其和轴的夹角为，则， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）． 18. 小明和小亮对航天知识都非常感兴趣，他们在中国载人航天网站上了解到，航天知识分为“梦圆天路”“飞天英雄”“探秘太空”“巡天飞船”等模块．他们决定先从“梦圆天路”“飞英雄”“探秘太空”三个模块中各随机选择一个进行学习，分别设这三个模块为A、B、C．请用画树状图（或列表）的方法，求小明和小亮选择相同模块的概率． 【答案】 画树状图如下： ， 设：小明和小亮选择相同模块的事件为M， 由树状图可知，共分为种情况， 选择相同模块的情况为：，共3种情况， ∴， 故答案为：． 【解析】 【分析】本题考查用列表法或树状图法求概率．根据题意画出树状图即可得到本题答案． 【详解】略 19. 如图，在中，点是边上的一点. （1）请用尺规作图法，在内，求作，使，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求的值. 【答案】 （1）如图所示； （2）. 【解析】 【分析】(1)以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交BA、BC于点F、G，以点D为圆心，以BF长为半径画弧，交DA于点M，再以M为圆心，以FG长为半径画弧，与前弧交于点H，过点D、H作射线，交AC于点E，由此即可得； (2)由(1)可知DE//BC ，利用平行线分线段成比例定理进行求解即可. 【详解】(1)略 (2)∵， ∴. ∴. 【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，平行线分线段成比例定理，熟练掌握利用尺规作一个角等于已知角的作图方法是解题的关键. 20. 如图，是的两条弦，点分别在上，且是弧的中点．求证：． 【答案】 证明：∵是的中点， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是同圆中弧、弦的关系，关键是明确在同圆中等弦对等弧、等弧对等弦． 首先由点是的中点，得出，再由根据等弦对等弧得出，然后由等式的性质和等弧对等弦证出结论． 【详解】略 21. 在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上． （1）将绕点顺时针旋转得到（旋转角小于）使得点落在x轴正半轴上，画出； （2）在（1）的条件下，求线段所扫过的面积． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换，扇形的面积，解决本题的关键是掌握旋转的性质． （1）绕点顺时针旋转得到使得点落在x轴正半轴上，可得旋转角，根据旋转的性质即可画出； （2）根据旋转可知，线段所扫过的图形为圆心角为，半径为的扇形，根据扇形面积公式，可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵小正方形的边长均为1， ∴， ∵在（1）的条件下， ∴线段所扫过的部分是一个扇形， ∴. 22. 已知二次函数. （1）求出该函数图象的顶点坐标，图象与x轴的交点坐标． （2）当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？ （3）当x在什么范围内时，？ 【答案】（1）顶点为，与x轴的交点为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，求抛物线与坐标轴的交点，根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键． （1）把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标和对称轴即可，然后令解方程求出的值，即可得到与轴的坐标即可； （2）根据二次函数的性质解答即可； （3）根据函数图象性质解答即可． 【小问1详解】 解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， 令，则， 整理得， 解得，， ∴函数图象与x轴的交点坐标为； 【小问2详解】 当时，y随x的增大而增大； 【小问3详解】 当时，， 解得， 当或时，． 23. 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是元．调查发现：销售单价是元时，月销售量是件，而销售单价每上涨元，月销售量就减少件，但每件玩具售价不能高于元．设每件玩具的销售单价上涨了元时（为正整数），月销售利润为元． （1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为元？ （3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 【答案】（1）（） （2）元 （3）每件玩具的售价定为元或元时，可使月销售利润最大，最大月利润是元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用； （1）根据利润数量每件的利润，求出关系式即可； （2）当时代入（1）的解析式可以求出结论； （3）根据（1）中解析式，由函数的性质求最值． 【小问1详解】 解：依题意得：， 每件首饰售价不能高于40元，即， ． 答：与的函数关系式为：，的取值范围为； 【小问2详解】 解：当时，， ， ，， ， ， 当时，； 【小问3详解】 解：由（1）知，， ，． 当时，最大，根据题意，取正整数， ∴当时，（元）； 当时，（元）； ∴当或时，有最大值，最大值为，此时或， 答：每件玩具的售价定为元或元时，可使月销售利润最大，最大月利润是元． 24. 已知，直角中，， ， ，过A、B两点作圆交射线于点D，交射线于点E． （1）如图1，当点D在线段中点时，求的长． （2）如图2，当点D在线段上时，若点D为中点，求的长． （3）如图3，连接，若为等腰三角形，求所有满足条件的的值． 【答案】（1）； （2）； （3）或或； 【解析】 【分析】（）利用勾股定理和线段中点的性质即可求解； （）连接，由得是的直径，则，再根据点为中点证明，再通过角平分线性质和等面积法求出，最后由勾股定理即可求解； （）分当时，当时，当时三种情况讨论即可； 【小问1详解】 解：∵， ∴在中，由勾股定理得：， ∵点是线段中点， ∴， 在中，由勾股定理得：， 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴是的直径， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， 由（）得：， 设，则 ∵， ∴， 解得：，即， 在中，由勾股定理得：； 【小问3详解】 解：分三种情况， 当时，连接，过作于点，由（）得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 由（2）得：，即， ∴． 设，则， ∴在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ∴； 如图，当时，过作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，连接，过作于点，由（）得：， ∴， 在和中 ∵， ∴ ∴， 在中，由勾股定理得：； 综上可知：或或． 【点睛】此题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理和等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 25. 解答下列各题 （1）【基础巩固】如图1，在四边形中，对角线平分，求证：； （2）【尝试应用】如图2，四边形为平行四边形，F在边上，，点E在延长线上，连结，若,求的长； （3）【拓展提高】如图3，在中，D是上一点，连结，点E，F分别在，上，连结．若，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质、平行四边形的性质、平行线的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据角平分线的定义及相似三角形的判定可知，再根据相似三角形的性质即可解答； （2）根据平行四边形的性质及相似三角形的判定可知，再根据相似三角形的性质即可解答； （3）根据平行线的性质可知即相似三角形的判定可知、，再根据相似三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴； 【小问3详解】 解：如图：过点C作交的延长线于点M， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七星中学2024学年第一学期九年级数学期中质量检测 (本试卷满分120分，考试时间120分钟) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，) 1. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 乘坐公共汽车恰好有座位 B. 小明期末考试会考满分 C. 西安明天会下雪 D. 三角形的内角和是 2. 抛物线可由抛物线如何平移得到的（ ） A. 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B. 先向左平移6个单位，再向上平移7个单位 C. 先向上平移2个单位，再向左平移3个单位 D. 先回右平移3个单位，再向上平移2个单位 3. 如图，是的直径，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 已知（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（　　） A. B. 2a=3b C. D. 3a=2b 5. 如图，已知、分别在的、边上，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50°，则∠DBC的度数为（　　） A. 50° B. 60° C. 80° D. 90° 9. 抛物线如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在平行四边形中，、相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，已知，则下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（ ）     A. ①②③④ B. ①④ C. ②③④ D. ①② 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 已知，且，则的值为__________． 12. 木箱里装有仅颜色不同的15个红球和若干个蓝球，随机从朱箱里摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次的重复实验，发现摸到红球的频率稳定在附近，则估计木箱中蓝球有________个． 13. 抛物线与双曲线的交点的横坐标为，则不等式的解集为________． 14. 如图，在，，分别以三边为直径向上作三个半圆．若，，则阴影部分图形的面积为__________． 15. 如图，是的外接圆，，把弧沿弦向下折叠交于点，若点为中点，则的长为______． 图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． 16. （1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为______； 17. （2）如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）． 18. 小明和小亮对航天知识都非常感兴趣，他们在中国载人航天网站上了解到，航天知识分为“梦圆天路”“飞天英雄”“探秘太空”“巡天飞船”等模块．他们决定先从“梦圆天路”“飞英雄”“探秘太空”三个模块中各随机选择一个进行学习，分别设这三个模块为A、B、C．请用画树状图（或列表）的方法，求小明和小亮选择相同模块的概率． 19. 如图，在中，点是边上的一点. （1）请用尺规作图法，在内，求作，使，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求的值. 20. 如图，是的两条弦，点分别在上，且是弧的中点．求证：． 21. 在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上． （1）将绕点顺时针旋转得到（旋转角小于）使得点落在x轴正半轴上，画出； （2）在（1）的条件下，求线段所扫过的面积． 22. 已知二次函数. （1）求出该函数图象的顶点坐标，图象与x轴的交点坐标． （2）当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？ （3）当x在什么范围内时，？ 23. 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是元．调查发现：销售单价是元时，月销售量是件，而销售单价每上涨元，月销售量就减少件，但每件玩具售价不能高于元．设每件玩具的销售单价上涨了元时（为正整数），月销售利润为元． （1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为元？ （3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 24. 已知，直角中，， ， ，过A、B两点作圆交射线于点D，交射线于点E． （1）如图1，当点D在线段中点时，求的长． （2）如图2，当点D在线段上时，若点D为中点，求的长． （3）如图3，连接，若为等腰三角形，求所有满足条件的的值． 25. 解答下列各题 （1）【基础巩固】如图1，在四边形中，对角线平分，求证：； （2）【尝试应用】如图2，四边形为平行四边形，F在边上，，点E在延长线上，连结，若,求的长； （3）【拓展提高】如图3，在中，D是上一点，连结，点E，F分别在，上，连结．若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $