数学（新高考I卷）（新教材）-学科网2023届高三5月大联考考后强化卷

2023年高三5月大联考考后强化卷（新高考I卷）（新教材） 数学·全解全析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B A C A D C B ACD AD BD BCD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．C 【解析】，，.故选C. 2．B 【解析】由.故选B. 3．A 【解析】分三种情况：①当因式中取2时，项为，其系数为30； ②当因式中取时，项为，其系数为； ③当因式中取时，项为，其系数为. 因为，所以. 故选A. 4．C 【解析】，解得，.故选C. 5．A 【解析】不等式可以化为解得或，则或，所以满足题意的选项为A.故选A. 6．D 【解析】依题意，， 所以，所以.故选D. 7．C 【解析】圆的圆心的坐标为，半径， 因为是圆上一点， 所以，当且仅当点为线段与圆的交点时等号成立， 因为是抛物线上一动点， 设点的坐标为，则 ， 当时，取最小值，最小值为， 所以， 当且仅当点的坐标为，且点为线段与圆的交点时等号成立， 所以的最小值为， 故选C. 8．B 【解析】令， 则恒成立，即在上单调递增， 故，取，则，即， 可得，即； 令， 则恒成立，即在上单调递减， 故，取，则，即， 可得，即. 综上可得：的大小关系为. 故选B. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．ACD 【解析】由题图可知，，所以．该校学生测试成绩不低于76分的学生比例估计为，故A正确； 该校学生测试成绩在内的频率为，测试成绩在内的频率为 ，所以学生测试成绩的中位数在区间内．设中位数为，则，解得，故B错误； 该校学生测试成绩的平均数估计值为 ．又知该校学生测试成绩的众数估计值为，故该校学生测试成绩的平均数大于众数，故C正确； 从该校学生中随机抽取1人，此人成绩在内的概率约为，故从该校学生中随机抽取2人，这2人的成绩均不低于84分的概率估计值为，故D正确． 故选ACD． 10．AD 【解析】令，，可得的图象关于点对称，故A正确； 对于函数，它的最小正周期为，故B错误； 把函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，故C错误； 当，，故当时，函数取得最大值，故D正确． 故选AD． 11．BD 【解析】由勒洛四面体的定义可知勒洛四面体最大的截面即经过四面体表面的截面，如图1所示，故A错误； 根据勒洛四面体的性质,它能在两个平行平面间自由转动,并且始终保持与两平面都接触，所以勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值即为内接正四面体的棱长,所以勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值为4，故B正确； 如图2,由对称性可知勒洛四面体内切球的球心是正四面体外接球的球心，连接，并延长交勒洛四面体的曲面于点,则就是勒洛四面体内切球的半径.如图3,在正四面体中，为的中心，是正四面体外接球的球心，连接，由正四面体的性质可知在上. 因为,所以则. 因为，所以， 解得，,则正四面体外接球的体积是. 因为勒洛四面体的体积小于正四面体外接球的体积,故C错误； 因为,所以,故D正确. 故选BD. 12．BCD 【解析】对于A，若，使得在上单调递减，则，代入，得，解得且，故不存在，因此不存在，使得在上单调递减，故A错误； 对于B，当时，，当切点为时，则只需，解得，故B正确； 对于C，注意到，令， 另一方面，当时，，， 当时，， 当时，， 所以当时，取得极小值，此时为极小值， 由得，所以函数的图象关于中心对称，由对称性可知：为的极大值，又，此时也为极大值．故C正确； 对于D，令，当时，在上单调递减，在上单调递增，，，，所以函数在上有两个零点，又，所以，故D正确.故选BCD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13． 【解析】直线的斜率为3，结合题意,知曲线在处的切线的斜率，而，所以曲线在处的切线的斜率为，即.故答案为：. 14．504 【解析】因为，所以.故答案为：. 15． 【解析】设关于直线的对称点， 由，解得，即， 则，，又， 所以，则， 由题意，知点恰好在椭圆上，根据椭圆定义，得， 又，设，则， 在直角中，，即， 解得，从而，， 所以. 故答案为：. 16． 【解析】如图，取的中点，连接， 由题意，知，， 所以， 所以为二面角的平面角， 所以， 因为是以为斜边的等腰直角三角形，且，所以， 又是边长为2的等边三角形，所以， 过点作与平面垂直的直线，则三棱锥外接球的球心在该直线上， 设三棱锥外接球的半径为，连接，则，得， 在中，， 利用余弦定理,得， 所以， 解得，所以三棱锥外接球的表面积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） 【解析】（1）由及正弦定理，得，（2分） 所以，（3分） 由余弦定理，得. 因为，故．（5分） （2）由，，可得，所以，（8分） 设的中点为， 在中，由余弦定理，得，（9分） 所以边上中线的长为.（10分） 18．（12分） 【解析】（1）如图，在三棱柱中，取的中点，连接， 因为是等边三角形，则，（2分） 又平面，平面平面，平面平面，所以平面，（4分） 而平面，于是，又，，平面，所以平面， 又平面，则，所以， 所以.（6分） （2）取的中点，连接．由（1）得平面， 又，所以是直线与平面所成的角，即，，（7分） 由（1）知，两两互相垂直， 以为坐标原点，直线为轴，过点且平行于的直线为轴，直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，（8分） 则，，，，，， 于是，，， 设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，（10分） 设直线与平面所成的角为，则， 即直线与平面所成的角的正弦值为.（12分） 19．（12分） 【解析】（1）由，得，（2分） 当时，数列为各项为的常数列，不是等比数列；（3分） 当时，数列是以为首项，为公比的等比数列.（4分） （2）当时，， 由（1）知，数列是以为首项，为公比的等比数列，（5分） ，即，（7分） 当时，， 又也满足，.（12分） 20．（12分） 【解析】（1）由题意，得，解得，（2分） 估计学生期中考试数学成绩的第75百分位数为（分）.（3分） （2）数学成绩优秀的有（人），数学不优秀的有（人），经常整理错题的有（人），不经常整理错题的有（人），经常整理错题且成绩优秀的有（人），则补全列联表如下 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理错题 35 25 60 不经常整理错题 15 25 40 合计 50 50 100 （4分） 零假设为：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关， 根据列联表中的数据，经计算可得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于.（6分） （3）由分层抽样知，随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人，不经常整理错题的有2人，则的所有可能取值为， 经常整理错题的3名学生中，恰好抽到人记为事件，则，（8分） 参与座谈的2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好有人记为事件， 则，，，， ，， ， ， 故的分布列如下 0 1 2 （11分） （12分） 21．（12分） 【解析】（1）由双曲线离心率为，得，（2分） 所以双曲线的方程为， 又点在双曲线上， 所以， 解得，所以， 所以双曲线的方程为.（5分） （2）直线恒过点，由已知得，， 设直线， 由得，， 则，即，，（6分） 所以， 由，得， 所以.（7分） 设直线， 由得，， 则，即，， 所以， 所以， 即，（10分） 所以. 又点在圆上，设圆与轴的另一个交点为， 所以，且，即直线与重合， 所以直线恒过点.（12分） 22．（12分） 【解析】（1）∵， ∴．（1分） ∵， ∴，即． ∴，，（2分） 当时，，，， ∴， 当时，令， ∵， ∴在上单调递减， ∴， ∴，∴函数在处取得极大值.（5分） （2）， 令， 则，（6分） 当时，， ∴，（8分） ∴在区间上单调递减， 又∵，， ∴在每一个区间都有唯一零点， 故在每一个区间都有唯一零点．（12分） 数学全解全析 第6页（共11页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 绝密★启用前 2023年高三5月大联考考后强化卷（新高考I卷）（新教材） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．设集合，集合，则 A． B． C． D． 2．已知复数，则 A． B． C． D． 3．若的展开式中的系数为25，则实数 A． B． C． D． 4．已知，则 A．1 B． C． D． 5．不等式成立的一个充分不必要条件是 A． B． C． D． 6．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则 A． B． C． D． 7．已知是抛物线上一动点，是圆上一点，则的最小值为 A． B． C． D． 8．已知，，，则的大小关系为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．为了加强学生对党的二十大精神的学习，某大学开展了形式灵活的学习活动．随后组织该校学生参加二十大知识测试（满分：100分），随机抽取200名学生的测试成绩，这200名学生的成绩都在区间内，将其分成5组：，，，，，得到如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，视频率为概率，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则 A．该校学生测试成绩不低于76分的学生比例估计为76% B．该校学生测试成绩的中位数估计值为80 C．该校学生测试成绩的平均数大于众数 D．从该校学生中随机抽取2人，则这2人的成绩均不低于84分的概率估计值为0.16 第9题图 第11题图 10．设函数，则下列结论正确的为 A．的图象关于点对称 B．的最小正周期为 C．的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 D．在上的最大值为 11．数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为4，则下列结论正确的是 A．勒洛四面体最大的截面是正三角形 B．若是勒洛四面体表面上的任意两点，则长度的最大值为4 C．勒洛四面体的体积是 D．勒洛四面体内切球的半径是 12．函数，则 A．，使得在上单调递减 B．，使得直线为曲线的切线 C．，使得既为的极大值也为的极小值 D．，使得在上有两个零点，且 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值是__________. 14．设公比为5的等比数列的前项和为，若，则__________. 15．已知椭圆的左、右焦点分别为.若关于直线的对称点恰好在椭圆上，且直线与椭圆的另一个交点为，则__________. 16．在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为__________. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） 在中，角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）若，，求边上中线的长． 18．（12分） 如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，平面平面． （1）证明：； （2）若为的中点，直线与平面所成的角为，求直线与平面所成的角的正弦值． 19．（12分） 已知数列满足． （1）是否为等比数列？并说明理由； （2）若，求的通项公式． 20．（12分） 为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取100名学生，调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占. 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理错题 不经常整理错题 合计 （1）求图1中的值并估计学生期中考试数学成绩的第75百分位数； （2）根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关； （3）用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈.求这2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的人数的分布列和数学期望. 附： 21．（12分） 已知双曲线的离心率为，点在双曲线上． （1）求双曲线的方程； （2）设，为双曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）．直线，的斜率分别记为，，且，判断：直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 22．（12分） 已知函数，是的导函数，且． （1）求实数的值，并证明函数在处取得极值； （2）证明：在每一个区间都有唯一零点． 数学试题 第3页（共4页） 数学试题 第4页（共4页） 数学试题 第1页（共4页） 数学试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $:O 绝密★启用前 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 2023年高三5月大联考考后强化卷（新高考I卷） (新教材) 9.为了加强学生对党的二十大精神的学习，某大学开展了形式灵活的学习活动，随后组织该校学生参加二 数学 十大知识测试（满分：100分），随机抽取200名学生的测试成绩，这200名学生的成绩都在区间[60,100 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 内，将其分成5组：[60,68)，[68,76，[76,84)，[84,92)，[92,100，得到如下频率分布直方图.根据 注意事项： 此频率分布直方图，视频率为概率，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则 1,答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 A.该校学生测试成绩不低于76分的学生比例估计为76% 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 B.该校学生测试成绩的中位数估计值为80 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 C.该校学生测试成绩的平均数大于众数 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 D.从该校学生中随机抽取2人，则这2人的成绩均不低于84分的概率估计值为0.16 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的. 1.设集合A=xeN-1≤x≤3)，集合B={x2<2},则A∩B= A.-1,0y B.{x|-1≤x<1业C.0 D.0 2.已知复数z=1-i,则川z2+z= 第9趣图 第11题图 A.5 B.10 C.2w5 D.210 10.设函数f)=s血(2x+孕，则下列结论正确的为 3.若(2-x+a2)0-x)°的展开式中x2的系数为25，则实数a= A.-11 B.-8 C.-5 D.3 A)的图象关于点(-管0对称 4.已知cos20+1 2 1+2sin20-3,则a0+爱= B.f(x)的最小正周期为2π C.f)的图象可由函数g)=sn2x的图象向左平移”个单位长度得到 A.1 B c D.-3 D.在(0，孕上的最大值为1 5.不等式4-2*3+7≥0成立的一个充分不必要条件是 11.数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一勒洛四面体是以正四面体的 A.xE3,4} B.x20 C.x21 D.0≤x≤2 四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分如图，在勒洛四面体中，正四面体 .我国东汉末数学家赵爽在《周酶算经》中利用一副“弦图给出了勾股定理的证 ABCD的棱长为4，则下列结论正确的是 4 明，后人称其为赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼 0 A.勒洛四面体最大的截面是正三角形 成的一个大正方形，如图所示在“赵爽弦图中，若BC=a,BA=b,BE=3EF, B.若P,Q是勒洛四面体ABCD表面上的任意两点，则PQ长度的最大值为4 则正 C.防洛四面体的体积是8√6x D.勒洛四面体内切球的半径是4-√石 A00 c号+动 D是0 12.函数f(x)=(x+nx+b(a,beR),则 7.已知A是抛物线y2=8x上一动点，B是圆C:(x-5)+y2=1上一点，则|4B的最小值为 A.3aeR,使得f(x)在(0，+∞)上单调递减 A.2W6 B.3a,b∈R,使得直线y=2x-1为曲线y=f(x)的切线 B.4V5-1 C.2W6-1 D.45 8,已知a=e4-l,b=0.4-2n12,c=0.2,则a,b,c的大小关系为 C.3a∈R,使得b既为f(x)的极大值也为f(x)的极小但 o D.3a,beR,使得f(x)在(0，+∞)上有两个零点x,,,且=1 A.a>b>c B.a>c>b C.b>axc D.c>b>a 数学试题第1页（共4页） 数学试题第2项（共4页） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理” 13.若曲线y=e在点(0，)处的切线与直线3x一y+1=0垂直，则实数4的值是 已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占70% 14.设公比为5的等比数列{a,》的前n项和为S,若S,-5S,=4,则a+a= 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 x2 v2 15.已知椭圆C:行+方-(a>b>0)的左、右焦点分别为，5若F关于直线y=2x的对称点P恰好在椭 经常整理错题 圆C上，且直线PF与椭圆C的另一个交点为Q,则cos∠FOF= 不经常整理错题 合计 年 维距 16.在三棱锥A-BCD中，底面△BCD是边长为2的等边三角形，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角 00175 2或3天 形，若二面角A-BC-D的大小为120°，则三棱雄A-BCD外接球的表面积为 25降 4域5天 40% 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 0减天 5 17.(10分) 6或7天 007090110130150k 20% 在△ABC中，角么B,C的对边分别为a,b,c,已知(a+b(sinA-sinB)=(W5a-c)sinC. 图1 图2 游 (1)求角B: (1)求图1中m的值并估计学生期中考试数学成绩的第75百分位数： (2)根据图1、图2中的数据，补全上方2×2列联表，并根据小概率值α=0.05的独立性检验，分析 (2)若C=2 ,a=V5,求BC边上中线的长。 数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关： 18.(12分) (3)用频率估计概率，在全市中学生中按经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽 如图，在三棱柱ABC-ABG中，△ABC是边长为2的等边三角形，AC⊥BC,平面AACC⊥平面 取5名学生，再从这5名学生中随机轴取2人进行座谈求这2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀 ABC. 的人数X的分布列和数学期望 n(ad-bcy 附：X2= (a+b)(c+dKa+c)(b+d) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 a 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21.(12分) (1)证明：AA=AB: 已知双曲线C:号若=a>06>0的离心率为5，点B小在双售线C上. y 0 (2)若E为AC的中点，直线BB与平面ABC所成的角为45°，求直线BC与平面ABE所成的角的 正弦值 (1)求双曲线C的方程： 19.(12分) (2)设A(-1,0),M为双曲线C上一点，N为圆x2+y2=1上一点(M,N均不在x轴上).直线AM, 已知数列{a,}满足2a。-3a,1+a2=n-1. AW的斜率分别记为k,k2,且4k+k=0,判断：直线MN是否过定点？若过定点，求出定点的坐 (1)a4-a+叫是香为等比数列？并说明理由： 标：若不过定点，请说明理由. (2)若a=a2=1,求a,}的通项公式. 22.(12分) 20.(12分) 已知函数f(x)=2ae-sinx+1,f'(x)是fx)的导函数，且f'(0)=0. 为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取100名学生，调查了他们期 (1)求实数a的值，并证明函数f(x)在x=0处取得极值： 中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图，图1为学生期中考试数学成 (2)证明：f)在每一个区间[2红，2+1keN)都有唯一零点. 绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图若本次数学成绩在110分及 数学试题第3页（共4页） 数学试题第4到（共4页）2023年高三5月大联考考后强化卷（新高考1卷)（新教材) 数学全解全析 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B A C A D C B ACD AD BD BCD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的。 1.C【解析】：B={x|2<2}={x|x<1},A={x∈N|-1≤x≤3}={0,1,2,3}，A∩B={0}故选C 2.B【解析】由|z2+z曰日z(z+1)曰zz+1=1-i2-i=√2x√5=√10.故选B. 3.A【解析】分三种情况：①当因式2-x+2中取2时，x2项为2C14.(←x)2,其系数为30： ②当因式2-x+m2中取-x时，x2项为(x)C15.(-x)',其系数为6； ③当因式2-x+m2中取m2时，x2项为m2.Cg1.(←-x)°，其系数为a。 因为30+6+a=25,所以a=-11. 故选A. 4.C【解析】 c0s20+1 2c0s20 2 1+2sin 20 sin20+cos20+4sin0cos0 tan28+4an0+13,解得tam0=-2, tan(0+5=tan8+1--L-1 41-tam61+23故选c 5.A【解析】不等式4-2x+3+7≥0可以化为(2)2-8.2*+7≥0，解得2≥7或2≤1，则x≥1og27或x≤0， 所以满足题意的选项为A故选A. 6D【解都】低题点，亚亚-A-Ac网aC正风， 所以瓷后=BC-B时-子0-，房以正-号a-奖0放选D 25 7.C【解析】圆(x-5)2+y2=1的圆心C的坐标为(5,0)，半径r=1, 因为B是圆C:(-5)2+y2=1上一点， 所以|AB2AC|-1,当且仅当点B为线段AC与圆的交点时等号成立， 因为A是抛物线y2=8x上一动点， 设点A的坐标为(，)，则 P 数学全解全析第1页（共11页) -r+-a-y+24, 当t=±2√2时，|AC取最小值，最小值为2√6， 所以AB|AC|-1=2N6-1, 当且仅当点A的坐标为4，±2√2)，且点B为线段AC与圆的交点时等号成立， 所以AB|的最小值为2√6-1， 故选C. 8.B【解析】令f(x)=e2x-1-x,x∈(0,1)， 则f(x)=2e2x-1>0恒成立，即f(x)在(0,1)上单调递增， 故f(x)>0,取x=0.2,则f(0.2)>0,即e4-1-0.2>0, 可得e4-1>0.2,即a>c: 令8(x)=x-2n1+x),x∈(0,1)， 则g=1-2==<0恒成立，即g)在0，)上单调递减， 1+x1+x 故8(x)<0,取x=0.2,则g(0.2)<0,即0.2-2n1.2<0, 可得0.4-2nl.2<0.2,即b<c 综上可得：a,b,c的大小关系为a>c>b 故选B. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.ACD【解析】由题图可知，8a=1-8×(0.005+0.015+0.025+0.035)=0.36,所以a=0.045.该校学生 数学全解全析第2页（共11页） 测试成绩不低于76分的学生比例估计为8×(0.045+0.035+0.015)=0.76=76%，故A正确： 该校学生测试成绩在[60,76)内的频率为1-0.76=0.24，测试成绩在[60,84)内的频率为0.24+8×0.045= 0.60,所以学生测试成绩的中位数在区间[76,84)内.设中位数为x,则0.045×(x-76)+0.24=0.50,解 得x≈81.78，故B错误； 该校学生测试成绩的平均数估计值为8×0.005×64+8×0.025×72+8×0.045×80+8×0.035×88+8×0.015× 96=81.92.又知该校学生测试成绩的众数估计值为76+84=80，故该校学生测试成绩的平均数大于众数， 2 故C正确： 从该校学生中随机抽取1人，此人成绩在[84,100]内的概率约为8×(0.035+0.015)=0.4，故从该校学生中 随机抽取2人，这2人的成绩均不低于84分的概率估计值为0.4×0.4=0.16，故D正确. 故选ACD 10.AD【解析】令x=令八受-=m2×(←受+孕=m血0=0，可得0的图象关于点(~否0)对称， 故A正确： 对于函数)=血2x+孕，它的最小正周期为红-，放B错误： 把函数g()=si2x的图象向左平移匹个单位长度得到函数y=sin(2x+=cos2x的图象，故C错误： 4 当x∈(0,5， ,兀兀3兀、 2x+4c学，故当2x+42时，函数)取得最大值1，故D正确 故选AD. 11.BD【解析】由勒洛四面体的定义可知勒洛四面体最大的截面即经过四面体ABCD表面的截面，如图1 所示，故A错误： 根据勒洛四面体的性质，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，所以勒洛四面 体表面上任意两点间的距离的最大值即为内接正四面体的棱长，所以勒洛四面体表面上任意两点间的距 离的最大值为4，故B正确： 如图2，由对称性可知勒洛四面体内切球的球心O是正四面体ABCD外接球的球心，连接BO,并延长交 勒洛四面体的曲面于点E,则OE就是勒洛四面体内切球的半径.如图3，在正四面体ABCD中，M为 △BCD的中心，O是正四面体ABCD外接球的球心，连接BM,BO,ALM,由正四面体的性质可知O在 AM上. 因为出4，所以M；俗25则4-码 3 3 3 3 因为BO=BM:+OM:=(AM-OMn,所以B0=W5:+OM=4 3 -0M02, 数学全解全析第3页（共11页) 解得OM= 6 3 B0=√6，则正四面体ABCD外接球的体积是元×(W6=8√6 因为勒洛四面体的体积小于正四面体ABCD外接球的体积，故C错误； 因为BE=AB=4,所以OE=4-√6，故D正确 故选BD. B 图1 图2 图3 12.BCD【解】对于A,若a∈R,使得f(x)在(0，+o)上单调递减，则fI)>f(e)>f(e2),代入，得 b>c+0+b>2e+)+b,解得a<-g且a> 2e4-e3 ,故a不存在，因此不存在aeR,使得f(x)在 e e-2 (0,+w)上单调递减，故A错误； 对于B,当>0时，=+孕nx+b国=-n+(c+孕，当切点为D时，则只需 「f四)=b=1 a=1 四=1+a=2解得6=1故B正确： 对于C,注意到f)=f(1)=b,令f"(①)=1+a=0→a=-1, 另方面.当a1时=-加+，0，了0+加. 当x>1时，lnx>0,x2-1>0→f"(x)>0, 当0<x<1时，nx<0,x2-1<0→f'(x)<0, 所以当x=1时，f(x)取得极小值，此时b为极小值， 由f(x)=(-x+)nx+b,得f(x)+f(-x)=2b,所以函数f(x)的图象关于(0，b)中心对称，由对称性 可知：-1为f(x)的极大值，又f(-1)=b,此时b也为极大值.故C正确： 对于D,令a=-1b=-日当0时，0-G加)在Q上单河递减，在*o)上单 调递增，f白=c-2>0,f0=-上<0，f⊙=e-2>0,所以函数f在0，+)上有两个零点飞，， 又白h片日收-加x是网，所以=1，故D正确板选CD x e 数学全解全析第4页（共11页） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 1B.专【解析】直线-+1=0的斜率为3，结合腿点知曲线y=产在0)处的切线的斜率k=子 而广-ae,所以曲线=e在(Q)处的切线的斜率为a,即a=写放答案为：背 14.504【解析】因为8-58，-40-5”_540-5》-40-5）45-5-4=4，所以 1-51-5 1-5 4+4,=4+4×53=504.故答案为：504. 15. 13 ,【解析】设F(-c,0)关于直线y=2x的对称点P(,y), y.2=-1 3c 由生+c X1= 5 ，解得 4=2. =- 2 5 所以1PP+|PFP=FFP,则∠PE=90°， 由题意，知点P恰好在椭圆C上，根据椭凤定义PR1+1PR上2a,得a-35 C, 5 又1OI+1OR卡2a,设1ORFm,则Qg上2a-m-5y5。 c-m, 在直角△OPR中，POP+1 PRP-OEF,即m+45。 +25 2c-m)2, 5 解得m-45。，从而0R上265.10P245c, 25 25 25c, 以am0-8贸-号 12 故答案为：13 16.2元【解析】如图，取BC的中点H,连接AH,DH, 9 由题意，知1B=AC=5BC=V2,DB=DC=2, 2 所以AH⊥BC,DH⊥BC, 所以∠AHD为二面角A-BC-D的平面角， 所以∠AHD=120°， 数学全解全析第5页（共11页） 因为△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，且BC=2,所以AH=1, 又△BCD是边长为2的等边三角形，所以DH=√3， 过点H作与平面ABC垂直的直线，则三棱锥A-BCD外接球的球心O在该直线上， 设三棱锥A-BCD外接球的半径为R,连接OA,OD,则OA=OD=R,得OH=OA-AH2=R2-1, 在△ODH中，∠OHD=30°， 利用余弦定理，得OD2=OH2+HD2-2OH·HD.cos30°， 所以R=R-1+3-2xVR-1xV5× 2 ，所以三棱锥A-BCD外接球的表面积为+：=52 解得R2=13 故答案为： 9 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分) 【解析】(1)由(a+b)(sinA-sin B)=(3a-c)sinC及正弦定理，得(a+b)(a-b)=(√3a-c)c,(2分) 所以ad2+c2-b2=√5c,(3分) 由余弦定理，得cosB=+c2-b=V3aV5 2ac 2ac 2 因为Be(O,四，故B= 6(5分) (2)由B-若C-号，可符4=x-B-C-名所以a=b=5,(8分) 2 6 6 设BC的中点为D, 在△ACD中，由余弦定理，得|AD= +白-2xb××co3 a 2π ,3,3√21 =3++ (9分) 422 所以BC边上中线的长为 .(10分) 18.(12分) 【解析】(1)如图，在三棱柱ABC-AB,C中，取AC的中点D,连接BD, 因为△ABC是等边三角形，则BD⊥AC,(2分) 又BDC平面ABC,平面AAC,C⊥平面ABC,平面AACC∩平面ABC=AC,所以BD⊥平面AACC, (4分) 而ACC平面AACC,于是BD⊥AC,又AC⊥BC,BDOBC=B,，BCC平面ABC,所以AC⊥平 数学全解全析第6页（共11页） 面ABC, 又ACc平面ABC,则AC⊥AC,所以A4=VAC2+AC2=VAC2+BC2=AB, 所以AA=AB.(6分) (2)取AB的中点F,连接CF,由(1)得AC⊥平面ABC, 又BB∥AA,所以∠AAC是直线BB与平面ABC所成的角，即∠AAC=45°，AC=AC=2,(7分) 由(1)知，AC,CF,AB两两互相垂直， 以C为坐标原点，直线CF为x轴，过点C且平行于AB的直线为y轴，直线CA为z轴，建立如图所示 的空间直角坐标系，(8分) 则C0.0,0,4AW5-1,0,40,02,B0,22,CV5.1,2,B552. 2’2 T是瓜=(，丽=多0,0网=-022， 设平面AB,E的法向量为n=(,,),则 mA=0则5+3y+2=0,令5=3，则 题=0即{x+y0 =-1,3=3,所以n=(3,-1,3),(10分) 设直线B,C与平面AB,B所成的角为0，则sim6cos(m,CB=CB.=，4T=V26 |n‖cB,1V13×2√5-13， 即直线BC与平面AB,E所成的角的正弦值为y26 (12分) 13 19.(12分) 【解析】(1)由2an-3a1+a+2=n-1,得a+2-a1+(n+1)=2a1-2a.+2n=2(a1-a.+),（2分) 当4-4+1=0时，数列{a+1-4+心为各项为0的常数列，不是等比数列；(3分) 当4-4+1≠0时，数列{a1-4+川是以42-4+1为首项，2为公比的等比数列.(4分) (2)当4=4=1时，42-4+1=1， 数学全解全析第7页（共11页） 由(1)知，数列{a1-a+心是以1为首项，2为公比的等比数列，(5分) .a1-a,+n=2m，即a1-4=21-n,（7分) 当n≥2时， an=(an-a-)+(an-1-a-2)+(a-2-a-3)+…+(a-4)+(42-4)+4 =2-2-(2-1)+28-3-(0n-2)+2-4-(n-3)+.+22-2+2°-1+1 =(2°+2++23-1+2++0m-11+1-1-2n0-D+1=21-0-D 1-22 2 又4=1也满足a=21_0,D,a=2_,D0meN.12分) 2 2 20.(12分) 【解析】(1)由题意，得(0.0025+0.005+0.0175++0.01)×20=1，解得m=0.015,(2分) 估计学生期中考试数学成绩的第75百分位数为10+20x0.75-0,5-380(分).(3分) 0.3 3 (2)数学成绩优秀的有100×50%=50（人），数学不优秀的有100×50%=50（人），经常整理错题的 有100×(40%+206)=60（人)，不经常整理错题的有100-60=40（人），经常整理错题且成绩优秀的 有50×70%=35（人)，则补全2×2列联表如下 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理错题 35 25 60 不经常整理错题 15 25 40 合计 50 50 100 (4分) 零假设为H。：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关， 根据列联表中的数据，经计算可得x-100×(35×25-15×25)_25 3.841, 50×50×60×40 6 根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H。不成立， 即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.(6分) (3)由分层抽样知，随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人，不经常整理错题的有2人，则X 的所有可能取值为0,1,2， 经带整理错题的3名学生中，怡好甜到k人记为件4任=012，则PA)-C,Cc=012,(8分 数学全解全析第8页（共11页） 参与座谈的2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好有m人记为事件B.(=0,1,2), 则141,4=音P4=月-品10=7 a40-代音品-Pn)-分-品 =0=P4)PB,A+P40-PB,14)+P4)PB,4等1+C9Cx3,S5 C12C21441440 CCx7+Cx35-714 Px==P4)-PB4)+P4)P®|A)=C×i2+C×240 PX=2)=P4)-P8,14)=S×49=147 C1441440' 故X的分布列如下 X 0 1 2 579 714 147 1440 1440 1440 (11分) E(X)=0 579+1x714+2×147-07.(12分) 1440 1440 1440 21.(12分) 【解析】(1)由双曲线离心率为e= a n+ =5，得6=4，(2分) b2 所以双曲线C的方程为 d Aa' =1, 又点P(3,-4W2)在双曲线C上， 所以正4d 932 1 解得㎡2=1，所以b2=4, 所以双曲线C的方程为x上=1，(5分) (2)直线N恒过点1,0)，由己知得k≠0，k2≠0， 设直线AM:y=k(x+I), y=k(x+1) x2-上=1，得4-)m-2x-欢-4=0,4>0， 由 04 数学全解全析第9页（共11页） 则车安即年护七草6分) 所以M+4,8跳》， 4-’4- 由42+k=0,得k=-4k2, 华起器〉灯公y 设直线AN:y=k(x+1), y=k2(x+1) 由+y=1,得0+)r+2x+份-1=0,4>0， 测 左，即-w店好1+店 3-11-3 套装 2k2-8k 1+31-4ξ1 所以k1-店4k+1店' 1+k31-4k好 即kw·k=-1,(10分) 所以MN⊥AN. 又点A在圆x2+y2=1上，设圆x2+y2=1与x轴的另一个交点为B, 所以BL,O),且AN⊥BN,即直线BN与MN重合， 所以直线MN恒过点B1,0).(12分) 22.(12分) 【解析】(1)，f(x)=2aex-sinx+1, 数学全解全析第10页（共11页)