第6章 3.向心加速度-【成才之路•学案】2025-2026学年高中物理必修第二册同步新课程学习指导(人教版)

042 3.向心加速度 核心素养 考试重点 物理观念 建立向心加速度的方向和大小的推导方法微元法的物理观念。 培养学生思维能力和分析问题的能力，培养学生探究问题的热情，乐于 科学思维 学习的品质。 向心加速度 科学探究 体验向心加速度的导出过程，领会推导过程中用到的数学方法。 的推导。 科学态度 科学态度与责任：通过向心加速度的方向及公式的学习，培养学生认识 与责任 未知世界要有敢于猜想的勇气和严谨的科学态度。 [提示] 探究点匀速圆周运动的加速度 加速度的方向和合力 的方向一致，其大小 ●新知导学 可以根据牛顿第二定 情境： 律推导，或根据加速 度定义式来证明。 [规律方法] (1）圆周运动的 性质 不论向心加速度a的 大小是否变化，的 方向是时刻改变的， 探究：通过学习圆周运动和向心力知道：做匀速圆周运动的物体所受合 所以圆周运动的向心 力提供向心力，合力指向圆心，那么物体的加速度指向如何？行星绕太阳做 加速度时刻发生改 变，圆周运动一定是 匀速圆周运动，行星的加速度方向如何？摩天轮做匀速圆周运动，摩天轮的 非匀变速曲线运动。 加速度方向如何？加速度的大小又该怎么计算呢？ [提示] “匀速圆周运动中” 的“匀速”应理解为 ●基础梳理 “匀速奉”。 一、向心加速度的定义 (2)变速圆周运动 的向心加速度 1.定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向 这个加 做变速圆周运动的物 速度叫作向心加速度。 体，加速度一般情况 下不指向圆心，该加 2.公式：根据牛顿第二定律F=ma和向心力表达式F。=m,可得向心 速度有两个分量：一 是向心加速度，二是 加速度的大小4，=亡或a. 切向加速度。向心 加速度表示速度方向 3.方向：沿半径方向指向 ,时刻与线速度方向 变化的快慢，切句加 二、向心加速度的方向及意义 速度表示速度大小变 1.物理意义 化的快慢。所以变 速圆周运动中，向心 描述线速度改变的 ,只表示线速度的 变化的快慢，不 加速度的方向也总是 表示其 变化的快慢。 指向圆心。 043 2.方向 总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向 0a 时刻改变。 三、向心加速度的公式和应用 1.公式 对于变速圆周运动， 2 d==0r= t=4mnr=4mfr=om。 4π2 如图所示，物体加速 度的方向不再指向圆 2.对向心加速度表达式的理解 心，但其中一个分加 速度的方向指向圆 向心加速度的几种表达式 心，为向心加速度， a=4πfr(对应频奉) a,(对应线速度) 仍满足公式Q） 向心加速度(an) ω2r,其作用仍然是 Qn=4πnr(对应转速) 的表达式 an=rω（对应角速度） 改变速度的方向。 an=ω（推导公式） 只一4严一（寸应周期> 无论是匀速圆周运 动，还是变速圆周运 动都有向心加速度， [判断正误] 且方向都指向圆心。 (1)做匀速圆周运动的物体的加速度总指向圆心。 ( [思考]从公式a= (2)匀速圆周运动是加速度不变的运动。 ( 看，线速度一定时，向 (3)可以用公式a=”求变速圆周运动中的加速度。 ( 心加速度与圆周运动 的半径成反比；从公 (4)根据a.=wr知向心加速度am与半径r成正比。 式an=wr看，角速度 一定时，向心加速度 (5)根据a,=知向心加速度a,与半径r成反比。 与半径成正比。 自行车的大齿轮、小 ●重难解读 齿轮、后轮的半径不 一样，它们的边缘有 向心加速度的注意要点 三个点A、B、C,如图 (1)向心加速度是矢量，方向总是指向圆心，始终与速度方向垂直，故向 所示。其中哪两点向 心加速度的关系适用 心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。向心加速度的大小表示速 于“向心加速度与半 度方向改变的快慢。 径成正比”，哪两点适 (2)向心加速度的公式适用于所有圆周运动的向心加速度的计算。包括 用于“向心加速度与 半径成反比”？给出 非匀速圆周运动。但a。与v具有瞬时对应性。 解释。 类型一：匀速圆周运动的加速度方向 典题1：下列关于圆周运动的说法中正确的是 A.向心加速度的方向始终指向圆心 自行车的大齿轮、小齿轮与后轮 B.匀速圆周运动是匀变速曲线运动 C C.在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的 D.在匀速圆周运动中，线速度和角速度是不变的 思维点拨：理解向心加速度的定义，清楚匀速圆周运动和非匀速圆周运 动的不同处。 ●[规律方法] 044 图中B、C两点 跟踪训练1：如图所示，轻质细绳上端固定于天花板上，下 角速度相同，根 端拴一小球。小球在水平面内做匀速圆周运动，圆心为O,细绳 据an=wr,向心加 速度与半径成正比。 沿圆锥面旋转，这样就形成了圆锥摆。关于小球向心加速度的 A、B线速度相 10 方向，下列说法正确的是 ( 同，根据an=下， A.沿绳向上 B.指向圆心O 向心加速度与半径 成反比。 C.竖直向下 D.沿绳向下 [思考] [规律方法]向心加速 类型二：匀速圆周运动的加速度大小 度的大小与半径的 典题2：如图所示，一球体绕轴01O2以角速度ω匀速旋转， O 关系 (1）当半径一定 A、B为球体表面上两点，下列说法正确的是 160g- 时，向心加速度的大 A.A、B两点具有相同的角速度 300 小与角速度的平方成 正比，也与线速度的 B.A、B两点具有相同的线速度 O 平方成正比。随频 C.A、B两点的向心加速度的方向都指向球心 奉的增大或周期的减 D.A、B两点的向心加速度大小之比为2：1 小而增大。 (2）当角速度一定 思维点拨：球体所有点的角速度都相同。 [规律方法] 时，向心加速度与运 跟踪训练2：如图所示的皮带传动装置中，甲轮的轴和乙、丙两轮的轴均 动半径成正比。 为水平轴，其中，甲、丙两轮半径相等，乙轮半径是丙轮半径的一半。A、B、C (3)当线速度一定 时，向心加速度与运 三点分别是甲、乙、丙三轮边缘上的点，若传动中皮带不打滑，则 () 动半径成反比。 (4）a与r的关系 甲 图像：如图所示，由 A.A、B两点的线速度大小之比为2：1 Q-r图像可以看 出，a与r成正比还 B.B、C两点的角速度之比为1：2 是反比，要看是ω恒 C.A、B两点的向心加速度大小之比为2：1 定还是v恒定。 D.A、C两点的向心加速度大小之比为1：4 类型三：向心加速度公式推展 典题3：（多选）如图所示的皮带传动装置中，轮A和B同轴，A、B、C分别是三 （u一定）(0一定)】 个轮边缘上的质点，且rA=rc=2rg,则下列说法正确的是 ( [规律方法]向心加速 度公式的应用技巧 一看 看图片，分清是皮带传 动模型还是同轴转动 A.转速之比ng:nc=1:2 B.周期之比Tg:Tc=1:2 模型 C.角速度之比wg:wc=1:2 D.向心加速度之比aA:ag=2:1 思维点拨：找出各个物理量之间的关系式大小：α。= 一=0r= 42 4T'n'r=4mfr=avo >[规律方法] .045 跟踪训练3：如图所示，A、B是两个摩擦传动轮（不打滑），两轮半径大小 关系为RA=3R,则两轮边缘上的点 ( 二找 找联系，找线速度、角 速度、半径之间的关系 A角速度之比WA:wB=3:1 三选】 选公式，根据题目特 B.周期之比T:TB=1:3 点选a=w2r或斗或 C.转速之比na:ng=1:3 @U D.向心加速度之比a:ag=3:1 素养能力提升拓展整合·启智培优 向心加速度方向的推导 如图甲所示，一物体沿着圆周运动，在A、B两点的速度分别为)4、，可以分四步确定物体运动 的加速度方向。 B 分 丙 第一步，根据曲线运动的速度方向沿着切线方向，画出物体经过A、B两点时的速度方向，分别 用vA、vB表示，如图甲所示。 第二步，平移vA至B点，如图乙所示。 第三步，根据矢量运算法则，作出物体由A点到B点的速度变化量△，其方 △v 向由v4的箭头位置指向v的箭头位置，如图丙所示。由于物体做匀速圆周运 动，vA、心B的大小相等，所以△v与vA、B构成等腰三角形。 △6 第四步，假设由A点到B点的时间极短，在匀速圆周运动的速度大小一定 B 的情况下，A点到B点的距离将非常小，作出此时的△v,如图丁所示 仔细观察图丁，可以发现，此时，△与vA、vg都几乎垂直，因此△v的方向几 r 乎沿着圆周的半径，指向圆心。由于加速度α与△v的方向是一致的，所以从运 动学角度分析也可以发现：物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。 除去课本上的向心加速度推导外还有另一种向心加速度的大小推导： 如图所示： a=g-04- =:A组成的三角形与△AB0相似，则有=”→A加=”AB AB r a.=4"=2.4AB △lr△d 当40时亚--→亚亚出*片号 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[7]的角速度。增大以后，需要的向心力变大，则物体所受弹力N:圆周运动的加速度方向是不断变化的，加速度不是恒量，则不 增大。故选D。 是匀变速曲线运动，选项B、C错误：在匀速圆周运动中，角速 度是不变的，线速度的方向不断变化，则线速度不断变化，选 项D错误。故选A。 跟踪训练1：B由题可知，小球所受重力和绳子拉力的合力提 供向心力，方向指向圆心；向心加速度的方向与向心力方向相 同，均指向圆心。故选B。 类型二 G 典题2：AA、B为球体表面上两点，角速度 3.D小朋友运动到最高点时速度为零，加速度不为零，所受合 与球体绕轴0102旋转的角速度相同，A P 外力不为零，选项A错误；只有在最低点时小朋友所受合外力 正确：如图所示，A以P为圆心做匀速圆 60应 才指向其做圆周运动的圆心，选项B错误：小朋友从最高点到 周运动，B以Q为圆心做匀速圆周运动」 30δ 最低点的过程中速度逐渐变大，不是匀速圆周运动，选项C错 因此，A、B两点的向心加速度方向分别指 -0 向P、Q,C错误：设球的半径为R,则A运 102 误；小朋友运动到最低点时，由T-心=m二可知，秋千对小 朋友的作用力大于其所受重力，选项D正确。故选D。 动的半径r1=Rsin60,B运动的半径rg=Rsim30°，=@ 4.(1)D(2)乙(3)甲(4)A =sin60° =√3，D错误。 解析：(1)使用向心力演示仪研究向心力大小与质量的关系时 n300=5,B错误，='402 aB TRw 半径和角速度都不变，研究向心力大小与半径的关系时质量跟踪训练2：D传动中皮带不打滑，则A、B两点的线速度大小 和角速度都不变，研究向心力大小与角速度的关系时质量和 相等，故A错误；B、C两点绕同一轴转动，故B、C两点的角速 半径都不变，所以采用的科学方法为控制变量法。故选D。 度相等，故B错误；由于A、B两点的线速度大小相等，半径之 (2)探究小球所受向心力大小与小球质量之间关系，需半径和 比为2：1，由向心加速度=只可知A,B两点的向心加速度 角速度都不变，但质量不同，故选图乙。 大小之比为1：2，故C错误；由于B、C两点的角速度相等，由 (3)探究小球所受向心力大小与小球转动角速度之间关系，需 a=oR可知B、C两点的向心加速度大小之比为1：2，所以 半径和质量都不变，故选图甲。 A、C两，点的向心加速度大小之比为1：4，故D正确。 (4)根据公式F=mwr可知，在半径和角速度一定的情况下， !类型三 向心力的大小与质量成正比，故A正确；根据公式F=m0r典题3：BD因为BC是同缘转动，则线速度相等，根据m=2mm, 可知，在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的 平方成正比，故B、C错误；根据公式F=mwr可知，在质量和 可得转速之比na:ne=2:1,根据T=2严，可得周期之比 角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比，故D错 Ta:Tc=1:2,根据w=,可知角速度之比wg:wc=2:1, 误。故选A。 选项B正确，A、C错误：因AB是同轴转动，则角速度相等，则 3.向心加速度 根据a=wr,可知，向心加速度之比a1:ag=2:1选项D正 探究点 确。故选BD。 基础梳理 跟踪训练3：C两轮边缘的线速度大小相等，即Ua=;线速 一、1.圆心2.wr3.圆心垂直 度、角速度、半径关系为：=or=2严R=2mnR,向心加速度为 7 二、1.快慢方向大小 [判断正误] a=,半径关系为R=3R,联立可解得0A:0g=1:3, (1)V(2)×(3)×(4)×(5)× TA:TB=3:1,na:ng=1:3,aA:ag=1:3。故选Co 提示：(2)做匀速圆周运动的物体的加速度总是指向圆心，所 4.生活中的圆周运动 以其方向不断变化。（3)变速圆周运动中，向心加速度α。= 号，而加速度为向心加速度4，与切向加建度4的矢量和， 探究点1 基础梳理 (4)an还与02有关系。(5)an还与2有关系。 1.向心力 类型一 2.(1)弹力向心力 典题1：A向心加速度的方向始终指向圆心，选项A正确；匀速(2)重力mg支持力F、外轨 215