2026年1月上海市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷

( ) ( ) 2026年1月上海市普通高中学水平合格考试 仿真模拟卷 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [ ／ ] 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2 ．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题， 不 得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 )数学·答题卡 一、填空题（本题共12小题，每小题3分，共计36分） ( 1 ． _______________________ 2 ． _______________________ 3 ． _______________________ 4 ． _______________________ 5 ． _______________________ 6 ． _______________________ 7 ． _______________________ 8 ． _______________________ 9 ． _______________________ 10 ． _______________________ 11 ． _______________________ 12 ． _______________________ ) ( 二、选择题（本大题共 14 题，每小题 3 分，共计 42 分。 ) ) ( 1 3 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 17 [A] [B] [C] [D] 18 [A] [B] [C] [D] 19 [A] [B] [C] [D] 20 [A] [B] [C] [D] 21 [A] [B] [C] [D] 22 [A] [B] [C] [D] 23 [A] [B] [C] [D] 24 [A] [B] [C] [D] 25 [A] [B] [C] [D] 26 [A] [B] [C] [D] ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、解答题（本题共 2 小题，共 22 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 27 ．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 28 ．（ 12 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年1月上海市普通高中学水平合格考试 数学仿真模拟卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、填空题（本大题共12题，每小题3分，共36分） 1．已知全设集，集合，那么 ． 【提示】根据补集的概念即可得出答案； 【答案】； 【解析】因为，，所以，. 故答案为：； 【说明】本题考查了补集的概念及运算； 2．关于的不等式的解集为 . 【提示】将所求不等式变形为，利用分式不等式的解法可得出原不等式的解集； 【答案】 【解析】由可得，解得或. 因此原不等式的解集为. 故答案为：； 【说明】本题主要考查了分式不等式的解法，不等式性质与等价转化思想； 3．设为虚数单位，若复数满足，则的共轭复数= 【提示】由复数的运算结合共轭复数的概念可得； 【答案】； 【解析】由题意可得，所以. 【说明】本题考查了复数代收形式的乘法运算、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算。 4．一扇形的圆心角，半径cm，则该扇形的面积为 （cm2） 【提示】利用扇形弧长公式与面积公式即可得解； 【答案】； 【解析】因为，， 所以该扇形的弧长为（cm）， 故该扇形的面积（cm2）． 故答案为：. 【说明】本题考查了扇形弧长公式与面积公式的应用； 5．若，且为第三象限角，则等于 【答案】7； 【解析】因为，且为第三象限角，所以 所以， 【说明】本题考查了同角三角函数的基本关系、用和、差角的正切公式化简、求值； 6．已知向量若，则 . 【提示】根据向量坐标的加减运算，利用垂直数量积为0的性质即可得解； 【答案】； 【解析】由题意得， 因为， 所以，解得． 故答案为：. 【说明】本题考查了平面向量线性运算的坐标表示、垂直关系的向量表示、向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数； 7．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′＝，那么原△ABC的面积是 【提示】先由直观图还原，可得原图底边长和高，即可求出原图的面积； 【答案】； 【解析】还原该坐标系和直观图可得： 由斜二测画法的规定可知： ，， 则. 【说明】本题考查了由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算； 8．函数的严格单调递减区间是 【提示】利用余弦函数的单调区间的求法直接求解； 【答案】 【解析】因为令 求得 可得函数的严格单调递减区间为 故答案为： 【说明】本题主要考查三角函数的图像与性质，求cosx型三角函数的单调性； 9．一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，则该组数据的第75百分位数为 【提示】根据百分位数的定义计算得出答案； 【答案】； 【解析】因为，， 所以，第75百分位数为； 故答案为：； 【说明】本题主要考查总体百分位数概念与估计； 10．袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为 （用分数表示） 【提示】利用古典概型概率的求法求解即可； 【答案】； 【解析】因为一共有10个球，所以从中任取一球的基本事件有10个， 又因为有6个白球，所以取到白球的基本事件有6个， 所以取到白球的概率为. 故答案为： 【说明】本题考查了计算古典概型问题的概率； 11．若函数在区间上的最大值为，则的取值范围为 【提示】函数的对称轴为，分两种情况：和讨论函数的最值，从而求得结果； 【答案】 【解析】因为，的对称轴为 （1）当时，即， ，解得：不符合题意，舍去； （2）当，即， ，符合题意，故； 综上可知，的取值范围为 故答案为： 【说明】研究二次函数在区间上的最值，通常分为四种情况：（1）轴定区间定；（2）轴定区间动；（3）轴动区间定；（4）轴动区间动；这四种情况都需要按三个方向来研究函数的最值：对称轴在区间的左侧、中间、右侧，从而知道函数的单调性，即可求出函数的最值. 12．已知、是实数，写出不等式等号成立的所有条件 【提示】根据，，将证等号成立条件， 转化为证等号成立条件求解 【答案】或； 【解析】因为，，所以要证的等号成立条件 ， 只需证的等号成立条件 ， 即的等号成立条件 ， 当时， ； 当时，； 当且仅当时，即或时，等号成立； 【说明】通过本题体验了一下教材中“定理”的推导思路与三角不等式等号成立的条件，还考查了分析求解问题的能力； 二、选择题：本大题共14小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的； 13．“且”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【提示】根据充分条件、必要条件的概念得解； 【答案】A； 【解析】由不等式性质，且可得， 但当时，推不出且，例如； 故且是的充分不必要条件. 故选：A 【说明】本题考查了判断命题的充分不必要条件； 14．设是第一象限的角，则所在的象限为（     ） A．第一象限 B．第三象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 【答案】C 【解析】因为是第一象限的角， 所以，， 所以， 当时，，为第一象限角； 当时，，为第三象限角. 故选：C； 【说明】本题考查了任意角的表示与集合的分类讨论、终边相同角的表示； 15．若是第三象限角，则等于（     ） A． B． C． D． 【提示】运用同角的三角函数关系式直接求解即可. 【答案】B； 【解析】因为，是第三象限角，所以。， 故选：B； 【说明】本题考查了三角变换，已知正（余）弦求余（正）弦； 16．在中，若其面积为S，且，则角A的大小为（     ） A． B． C． D． 【提示】根据给定条件，利用数量积的定义及三角形面积公式求解. 【答案】B； 【解析】依题意，，， 则，故， 而，所以. 故选：B 【说明】本题综合考查了三角形面积公式及其应用、用定义求向量的数量积； 17．方程的解集为（     ） A． B． C． D．或 【提示】利用正弦函数的图像与性质，即可得到答案； 【答案】D； 【解析】由，则内的或 又的周期，所以或 即方程的解集为或. 故选：D 【说明】本题考查了已知三角函数值求角，考查了正弦的图像与性质； 18．如果从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，那么选中的2人都是男同学的概率为（     ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.1 【提示】从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有种，其中全是男生的有种，根据古典概型的概率公式计算即可， 【答案】D； 【解析】从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有种，其中全是男生的有种， 故选中的2人都是男同学的概率， 故选：D； 【说明】本题考查了计算古典概型问题的概率； 19．如图所示的茎叶图记录了甲､乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).已知甲组数据的中位数为106，乙组数据的平均数为，则x，y的值分别为（     ） A．5，7 B．6，8 C．6，9 D．8，8 【提示】根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，即可求出、的值； 【答案】B； 【解析】因为，甲组数据的中位数为106 所以， 又因为，乙组数据的平均数为 所以， 解得 综上，x，y的值分别为6，8 故选：B 【说明】本题考查了由茎叶图计算中位数、由茎叶图计算平均数； 20．数列的前n项和，则（     ） A．140 B．120 C．40 D．52 【提示】利用与的关系即可求解. 【答案】D； 【解析】由，得. 故选：D； 【说明】本题考查了等车数列前n项和的本质，与利用与关系求通项的方法； 21．在等比数列中，，则（    ） A．36 B． C． D．6 【提示】根据等比数列的性质，，结合可得，再利用即可求解，注意等比数列奇数项、偶数项的符合分别相同. 【答案】D 【解析】， 则， 又，解得， 因为， 所以. 故选：D. 【说明】本题主要考查了等比数列下标和性质及应用； 22．关于函数的单调性的说法正确的是（     ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数 【提示】先求出函数定义域，再结合复合函数单调性性质进行判断即可； 【答案】C； 【解析】由函数的解析式知定义域为， 设， 显然在上是增函数，在上是增函数， 由复合函数的单调性可知在上是增函数， 故选：C 【说明】本题考查了复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性、复合函数的单调性； 23．已知，是空间两个不同的平面，，是空间两条不同的直线，下列说法中正确的是（     ） A．，则 B．，，则 C．平面内的不共线三点到平面β的距离相等，则与平行 D．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与此平面内的无数条直线平行 【提示】，则或，判断选项A， ，，则或，判断选项B，当两个面相交时，可以在平面内找到的不共线三点到平面β的距离相等，判断选项C，根据平行的传递性判断选项D； 【答案】D； 【解析】，则或，故选项A错误； ，，则或，故选项B错误； 当平面与平面相交时，可以在平面内找到不共线三点到平面β的距离相等，故选项C错误； 如果一条直线与一个平面平行，那么平面内必有一条直线与给定直线平行，而平面内与一条直线平行的直线有无数条，根据平行的传递性，这些直线都与给定直线平行，所以有无数条，故选项D正确. 故选：D. 【说明】本题考查了平行公理、判断图形中的线面关系、线面关系有关命题的判断、判断线面平行； 24．公元前世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（）与它的直径（）的立方成正比”，此即，欧几里得未给出的值．世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式中的常数称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式求体积（在等边圆柱中，表示底面圆的直径；在正方体中，表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为）、等边圆柱（底面圆的直径为）、正方体（棱长为）的“玉积率”分别为、、，那么为（ ） A． B． C． D． 【答案】D； 【详解】因为， 因为， 因为，， 所以，； 【说明】本题考查了柱体体积的有关计算、球的体积的有关计算、立体几何新定义；考查了类比推理。 25．如图，在直角梯形中，，，，为的中点， 若，则的值（     ） A． B． C．2 D． 【提示】建立平面直角坐标系，由，利用向量相等求解. 【答案】B； 【解析】建立如图所示平面直角坐标系： 则， 所以， 因为， 所以， 则，解得， 所以， 故选：B 【说明】本题考查了平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算结果求参数、向量坐标的线性运算解决几何问题； 26．已知函数，其中，且．给出下列三个结论： ①函数是单调函数； ②当时，函数的图象关于直线对称； ③当时，方程根的个数可能是1或2． 其中所有正确结论的序号是（      ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【提示】讨论与时，函数是否单调可判断①；把函数图象的对称问题转化为点的对称问题即可证明②；直线与的位置关系即可判断③． 【答案】D； 【解析】当时， 在单调递减，且， 在单调递减，且， 故在上单调递减； 当时， 在单调递增，且， 在单调递增，且， 故在上单调递增；则①正确； 设为图象上的任一点，不妨设，因为则 点关于直线对称的对称点为 由得，所以点符合 所以当时，函数的图象关于直线对称；故②正确； 当时，令 若，则；若，则化为． 设，则，所以在点处的切线的斜率为 当时，直线与相切，方程根的个数是1， 当且时，直线与相交，方程根的个数是2， 则③正确． 故选：D 【说明】分段函数的性质及应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求函数零点或方程根的个数 三、解答题：本大题共2小题，共22分，解答时，应写成必要的文字说明、证明过程或验算步骤 27、（本题满分10分） 如图，在三棱锥中，两两垂直，，.    （1）求三棱锥外接球的表面积； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 【提示】（1）将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体，得到三棱锥外接球即为长方体的外接球即可求解； （2）设点O到平面的距离为d，由求出d即可由求解或建立空间直角坐标系，利用空间向量解之； 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）由题可将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体，    所以三棱锥外接球即为长方体的外接球， 所以所求外接球半径为， 三棱锥外接球的表面积为； （2）方法1：设点O到平面的距离为d，， 所以，， 则由， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 方法2：由题意两两垂直，所以以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则根据题意可得：， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令， 所以平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【说明】本题考查求球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、求线面角； 28．（本题满分12分） 已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，若恒成立，求实数的取值范围； 【提示】（1）令，将其转化为分段函数，再分类讨论解不等式即可； （2）利用三角不等式的性质求的最小值，从而可得实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）令． 当时，即，， 当时，，解得，此时； 当时，不成立，此时无解； 当时，，解得，此时． 综上，的解集为； （2），即， 因为，，当且仅当时等号成立， 所以，，即． 解得； 所以，的取值范围是； 【说明】本题主要考查了分类讨论解绝对值不等式、求三角不等式中参数值或范围； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年1月上海市普通高中学水平合格考试 数学仿真模拟卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、填空题（本大题共12题，每小题3分，共36分） 1．已知全设集，集合，那么 ． 2．关于的不等式的解集为 . 3．设为虚数单位，若复数满足，则的共轭复数= 4．一扇形的圆心角，半径cm，则该扇形的面积为 （cm2） 5．若，且为第三象限角，则等于 6．已知向量若，则 . 7．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′＝，那么原△ABC的面积是 8．函数的严格单调递减区间是 9．一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，则该组数据的第75百分位数为 10．袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为 （用分数表示） 11．若函数在区间上的最大值为，则的取值范围为 12．已知、是实数，写出不等式等号成立的所有条件 二、选择题：本大题共14小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的； 13．“且”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．设是第一象限的角，则所在的象限为（     ） A．第一象限 B．第三象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 15．若是第三象限角，则等于（     ） A． B． C． D． 16．在中，若其面积为S，且，则角A的大小为（     ） A． B． C． D． 17．方程的解集为（     ） A． B． C． D．或 18．如果从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，那么选中的2人都是男同学的概率为（     ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.1 19．如图所示的茎叶图记录了甲､乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).已知甲组数据的中位数为106，乙组数据的平均数为，则x，y的值分别为（     ） A．5，7 B．6，8 C．6，9 D．8，8 20．数列的前n项和，则（     ） A．140 B．120 C．40 D．52 21．在等比数列中，，则（    ） A．36 B． C． D．6 22．关于函数的单调性的说法正确的是（     ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数 23．已知，是空间两个不同的平面，，是空间两条不同的直线，下列说法中正确的是（     ） A．，则 B．，，则 C．平面内的不共线三点到平面β的距离相等，则与平行 D．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与此平面内的无数条直线平行 24．公元前世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（）与它的直径（）的立方成正比”，此即，欧几里得未给出的值．世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式中的常数称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式求体积（在等边圆柱中，表示底面圆的直径；在正方体中，表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为）、等边圆柱（底面圆的直径为）、正方体（棱长为）的“玉积率”分别为、、，那么为（ ） A． B． C． D． 25．如图，在直角梯形中，，，，为的中点， 若，则的值（     ） A． B． C．2 D． 26．已知函数，其中，且．给出下列三个结论： ①函数是单调函数； ②当时，函数的图象关于直线对称； ③当时，方程根的个数可能是1或2． 其中所有正确结论的序号是（      ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 三、解答题：本大题共2小题，共22分，解答时，应写成必要的文字说明、证明过程或验算步骤 27．（本题满分10分） 如图，在三棱锥中，两两垂直，，. （1）求三棱锥外接球的表面积； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 28．（本题满分10分） 已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，若恒成立，求实数的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年1月上海市普通高中学水平合格考试 数学仿真模拟卷01参考答案 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、填空题（本大题共12题，每小题3分，共36分） 1． 2． 3． 4． 5．7 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12．或 二、选择题：本大题共14小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的； 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 A C B B D D B D D C 23 24 25 26 D D B D 三、解答题：本大题共2小题，共22分，解答时，应写成必要的文字说明、证明过程或验算步骤 27．（本题满分10分） 【解析】（1）由题可将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体，    所以三棱锥外接球即为长方体的外接球， 所以所求外接球半径为， 三棱锥外接球的表面积为；（5分） （2）方法1：设点O到平面的距离为d，， 所以，， 则由， 所以直线与平面所成角的正弦值为.（10分） 方法2：由题意两两垂直，所以以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则根据题意可得：， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令， 所以平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为.（10分） 28．（本题满分12分） 【解析】（1）令．（1分） 当时，即，，（3分） 当时，，解得，此时； 当时，不成立，此时无解； 当时，，解得，此时． 综上，的解集为；（6分） （2），即，（8分） 因为，，当且仅当时等号成立，（10分） 所以，，即． 解得； 所以，的取值范围是．（12分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $