重难点培优03 条件概率与全概率公式（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优03条件概率与全概率公式 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 事件的相互独立性（★★） 3 题型二 条件概率（★★★） 9 题型三 全概率公式（★★★） 14 题型四 贝叶斯公式（★★★） 18 03 实战检测・分层突破验成效 23 检测Ⅰ组 重难知识巩固 23 检测Ⅱ组 创新能力提升 32 1.条件概率 1．条件概率的概念 条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 2．概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．我们称上式为概率的乘法公式． 3．条件概率的性质 设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1； (2)如果B与C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (3)设和B互为对立事件，则P( )＝1－P(B)． 二、相互独立与条件概率的关系 1.相互独立事件的概念及性质 （1）相互独立事件的概念 对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而． 由此我们可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立． （2）概率的乘法公式 由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． （3）相互独立事件的性质 如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立． （4）两个事件的相互独立性的推广 两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率． 2.事件的独立性 （1）事件与相互独立的充要条件是． （2）当时，与独立的充要条件是． （3）如果，与独立，则成立． 三、全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B. 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 四、贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)>0， 有P(Ai＝=i＝1，2，…，n. 6.在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为先验概率和后验概率． 题型一 事件的相互独立性 【技巧通法·提分快招】 1.判断事件是否相互独立的方法 （1）定义法：事件，相互独立⇔． （2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． （3）条件概率法：当时，可用判断． 2.求相互独立事件同时发生的概率的步骤 （1）首先确定各事件之间是相互独立的． （2）求出每个事件的概率，再求积． 注：使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的． 1．（2025·天津河北·模拟预测）甲、乙两人独立地破译一份密码，甲、乙能破译的概率分别为、，则密码被成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用独立事件乘法公式及对立事件的概率求法求概率. 【详解】由题设，甲乙都不能破译的概率为， 所以密码被成功破译的概率为. 故选：A 2．（2025·天津武清·模拟预测）下列说法错误的是（    ） A．一组数据5、7、9、11、12、14、15、16、20、18的第80百分位数为17 B．若事件M，N相互独立，，，则 C．某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从110分以上的试卷中抽取20份 D．已知随机变量X服从二项分布，若，则 【答案】B 【分析】由百分位数、正态分布、二项分布、独立事件概率的概念逐项判断； 【详解】对于A，数据从小到大排列 的共有10个数据，，所以第 80 百分位数为正确； 若事件M，N相互独立，，，则，B选项错误； 某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布， 已知，则， 若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从110分以上的试卷中抽取份，C选项正确； 随机变量X服从二项分布，若，则，D选项正确； 故选：B. 3．（2025·天津南开·二模）甲、乙两个袋子中各有10个除颜色外完全相同的小球，其中甲袋中有7个红球，3个黄球，乙袋中有8个红球，2个黄球．若从两个袋子中各任取1个球，则都取到红球的概率为 ；若从两个袋子中各任取1个球，两球颜色不同的条件下，乙袋中取出黄球的概率为 ． 【答案】 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式计算可得出都取到红球的概率；根据条件概率公式计算可得两球颜色不同的条件下，乙袋中取出黄球的概率. 【详解】设事件表示“从甲袋中取到红球”，事件表示“从乙袋中取到红球”， 甲袋中有个红球，个球，所以 ； 乙袋中有个红球，个球，所以 . 因为从甲、乙两袋中取球相互独立，所以“都取到红球”即与同时发生， 根据相互独立事件的概率乘法公式可得 . 设事件表示“两球颜色不同”，事件表示“乙袋中取出黄球”. 先求： 两球颜色不同有“甲红乙黄”和“甲黄乙红”两种情况. “甲红乙黄”的概率 ； “甲黄乙红”的概率 . 根据互斥事件概率加法公式， . “两球颜色不同且乙袋中取出黄球”即“甲红乙黄”， . 根据条件概率公式 ，可得 . 故答案为：； . 4．（2025·天津·一模）已知甲、乙两名乒乓球运动员进行比赛，根据二人以往比赛资料统计，在一局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛互不影响.现在甲、乙二人准备进行三局比赛.则在三局比赛中甲胜前两局、乙胜第三局的概率是 ，用表示三局比赛中甲获胜的局数，则的数学期望是 . 【答案】 . 【分析】（1）利用独立事件概率公式，即可求解 （2）根据题意求出的可能取值，分别求出每种取值的概率，列出分布列，进而求解. 【详解】（1）设事件表示“在三局比赛中甲胜前两局、乙胜第三局”，则. （2）由题意知，的可能值为 ， 则的分布列为： 0 1 2 3 所以. 5．（2025·天津河西·二模）已知甲袋中装有个红球，个白球；乙袋中装有个红球，个白球，两个袋子均不透明，其中的小球除颜色外完全一致.现从两袋中各随机取出一个球，若两个球同色，则将取出的两个球全部放入甲袋中；若两个球不同色，则将取出的两个球全部放入乙袋中，每次取球互不影响.按上述方法操作一次，在甲袋中恰有个小球的条件下，当时从甲袋中取出的是红球的概率是 ；按上述方法重复操作两次后，乙袋中恰有个小球的概率是 . 【答案】 【分析】记住事件甲袋中恰有个小球，事件从甲袋中取出的是红球，利用条件概率公式可求得的值；对前两次模的球的颜色进行分类讨论，结合独立事件的概率公式可得出所求事件的概率. 【详解】记住事件甲袋中恰有个小球，事件从甲袋中取出的是红球， 则，， 由条件概率公式可得； 根据题意，若乙袋中恰有个小球，则两次操作后，取出的两球是同色的，有种情况： （i）第一次都取出红球，第二次都取出红球，其概率为； （ii）第一次都取出红球，第二次都取出白球，其概率为； （iii）第一次都取出白球，第二次都取出红球，其概率为； （iv）第一次都取出白球，第二次都取出白球，其概率为. 因此，重复操作两次后，乙袋中恰好有个小球的概率为. 故答案为：；. 6．（2025·天津·二模）甲、乙、丙三人各自独立地解同一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人都做错的概率是，则甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为 . 【答案】 【分析】利用相互独立事件同时发生的乘法公式、对立事件概率公式及互斥事件至少一个发生的加法公式计算，即可求解. 【详解】设甲、乙、丙三人各自独立地做对同一道题分别为事件， 则， 因为， ， 解得，或， 设甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题为事件， 当时，，， ， 当时， 则， 综上，则甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为. 故答案为：. 7．（2025·天津河北·二模）第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广东珠海举行.此次航展，观众累计参观近60万人次，签约金额超2800亿人民币.为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举行“购物抽奖送航模”活动，奖品为“隐形战机歼-20S”模型.抽奖规则如下：盒中装有7个大小相同的小球，其中3个是红球，4个是黄球.每位顾客均有两次抽奖机会，每次抽奖从盒中随机取出2球，若取出的球颜色不相同，则没有中奖，小球不再放回盒中，若取出的球颜色相同，则中奖，并将小球放回盒中、某顾客两次抽奖都中奖的概率为 ；该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为 . 【答案】 / 【分析】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率的计算公式求解. 【详解】由题意，某顾客两次抽奖都中奖的概率为， 设顾客第一次抽奖没有中奖为事件，第二次抽奖中奖为事件， 则，， ， 该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为. 故答案为：，. 8．（2025·天津南开·一模）有编号分别为的3个盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球．现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，则从第1个盒子中取到白球的概率是 ；从第3个盒子中取到白球的概率是 ． 【答案】 【分析】应用古典概率求法求从第1个盒子中取到白球的概率，再应用独立乘法公式和互斥事件加法求从第3个盒子中取到白球的概率. 【详解】由第1个盒子中有2个白球1个黑球，则从第1个盒子中取到白球的概率是， 当从第1个盒子中取到白球且概率为，则第2个盒子中有2个白球1个黑球， 从第2个盒子抽到白球概率为，则第3个盒子中有2个白球1个黑球，故抽到白球概率为， 从第2个盒子抽到黑球概率为，则第3个盒子中有1个白球2个黑球，故抽到白球概率为， 所以，对应概率为； 当从第1个盒子中取到黑球且概率为，则第2个盒子中有1个白球2个黑球， 从第2个盒子抽到白球概率为，则第3个盒子中有2个白球1个黑球，故抽到白球概率为， 从第2个盒子抽到黑球概率为，则第3个盒子中有1个白球2个黑球，故抽到白球概率为， 所以，对应概率为； 综上，从第3个盒子中取到白球的概率是. 故答案为：； 题型二 条件概率 【技巧通法·提分快招】 1.判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的“已知”“在…前提下(条件下)”等字眼．但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也认为是条件概率问题．运用P(AB)＝P(B|A)·P(A)，求条件概率的关键是求出P(A)和P(AB)，要注意结合题目的具体情况进行分析． 2.求条件概率的两种方法 (1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得，这是求条件概率的通法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得. 1．（2025·天津武清·模拟预测）在一个口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的五张卡片，这些卡片除编号不同外其他都相同，从口袋中有放回地摸卡片三次，每次摸一个.则三次摸出卡片的数字有两次不超过3的概率 ；在已知三次摸出卡片的数字有两次不超过3的前提下，这三次中有一次摸出编号为2的卡片的概率 . 【答案】 【分析】根据题意可知三次试验中恰好两次成功的概率服从二项分布，由二项分布的概率计算公式即可求解①；求出事件A与事件AB包含的样本点个数，根据条件概率计算即可. 【详解】由题意可知，单次摸到不超过3的概率为，超过3的概率为， 记事件A=“三次摸出卡片的数字有两次不超过3” 三次试验中恰好两次成功的概率服从二项分布，故； 事件A的总情况数为 ， 记事件B=“三次中有一次摸出编号为2的卡片”， 则事件AB为：有一次摸出编号为2，另外一次为1或3，第三次超过3， 可由如下步骤实线事件AB， 第一步：从三次摸出卡片中选出一次摸出编号2，共3种情况， 第二步：从剩下的两次摸出卡片中选出一次摸出编号1或3，共种情况， 第三步：从剩下的一次摸出卡片中选出超过3的编号，共2种情况， 由分步乘法计数原理可知，事件AB总情况数为， 所以 故答案为：， 2．（2025·天津南开·模拟预测）2044年，当同学们重返母校参加140周年校庆时，惊喜地发现，南院正门外真的出现了一家“南德琐艾奶茶店”，这里正出售6款饮品，分别为林林清风、金晓惠兰、明明如月、幽幽谭香、天天爆柠、雅韵冰酿．甲、乙两位同学分别选购3款不同饮品，则甲选购的饮品中有“林林清风”的概率为 ；在甲选购了“林林清风”这款饮品的条件下，甲、乙二人所选饮品中恰有1款相同的概率为 ． 【答案】 / / 【分析】利用组合数，结合古典概型，并结合条件概率的定义计算即可. 【详解】总共有6款饮品，甲选购3款不同饮品，总的选购方案数为组合数, 甲选购的饮品中包含“林林清风”的方案：固定“林林清风”被选中， 则甲需从剩余5款饮品中选购2款，方案数为，因此，概率为 ； 条件：甲已选购包含“林林清风”的3款饮品（记作集合，其中必含“林林清风”）， 乙独立选购3款不同饮品，总的选购方案数为. 要求甲、乙所选饮品集合的交集大小恰好为1（即恰有1款相同）； 设饮品全集为，其中为“林林清风”， 不失一般性，设甲选购，则剩余饮品为. 乙选购时，恰有1款与甲相同，即乙从中选1款， 并从中选2款.从选1款的方案数：， 从选 2 款的方案数：. 因此，满足条件的乙选购方案数为，概率为. 故答案为：；. 3．（2025·天津·一模）某校为增强学生文化底蕴，传承天津传统文化，开设了软笔书法、杨柳青年画、泥人彩塑、剪纸、相声五个特色社团．假设甲、乙两位同学从五个社团中随机选择一个加入，则两人都选择软笔书法社团的概率为 ；每位同学只能加入一个社团，那么在两位同学至少有一人选择杨柳青年画社团的条件下，两人选择不同社团的概率为 ． 【答案】 【分析】两位同学选择相互独立，每位同学选择软笔书法社团的概率相等，按照分步乘法公式求出结果，第二小空为条件概率，根据条件概率公式求解. 【详解】一个人选择软笔书法社团的概率为，所以两人都选择软笔书法社团的概率为. 设两位同学至少有一人选择杨柳青年画社团为事件,两人选择不同社团为事件, 事件分为只有一人参加杨柳青年画社团和两人同时参加杨柳青年画社团两种情况， 所以， 根据条件概率计算公式, 故答案为：；. 4．（2025·天津河西·模拟预测）一纸箱中装有4瓶未过期的饮料和2瓶过期饮料．若每次从中随机取出1瓶，取出的饮料不再放回，则在第一次取到过期饮料的条件下，第二次取到未过期饮料的概率为 ；对这6瓶饮料依次进行检验，每次检验后不再放回，直到区分出6瓶饮料的保质期时终止检验，记检验的次数为，则随机变量的期望为 ． 【答案】 【分析】记事件A为“第一次取到过期饮料”，事件B为“第二次取到未过期饮料”，分别求出、，代入条件概率公式求解即可；首先确定终止检验的条件为：同种类型的饮料被全部取出，从而确定X的值，然后分析每个取值的情况并计算概率值，最后代入期望计算公式进行计算. 【详解】记事件A为“第一次取到过期饮料”，事件B为“第二次取到未过期饮料”， 则，， 所以在第一次取到过期饮料的条件下，第二次取到未过期的概率为. 随机变量的取值为2,3,4,5，记为“第“i”次取到过期饮料”， ， , . 故答案为：. 5．（2025·天津·二模）某班级在新年联欢会上组织抽奖活动，抽奖箱里有5个红色小球代表一等奖奖品券，3个白色小球代表二等奖奖品券，2个黑色小球代表谢谢参与券，抽奖规则是不放回地依次抽取3个球.某同学参加这个活动，则他在第一次抽到一等奖奖品券的条件下，第二次抽到二等奖奖品券的概率为 ；小强同学参加一次抽奖活动（不放回地抽取3个球），则恰好抽到1个一等奖奖品券的概率为 . 【答案】 【分析】①利用条件概率公式计算即可；②利用古典概型概率公式即可求解. 【详解】①记第一次取到红求为事件，第二次取到白球为事件， 则，，所以； ②记小强恰好抽到1个一等奖奖品券为事件， 则. 故答案为：①；②. 6．（2025·天津滨海新·三模）某校高三1班一学习小组有男生4人，女生2人，为提高学生对AI人工智能的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的AI人工智能学习，恰有一名男生参加的概率为 ；在有女生参加AI人工智能学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率 ． 【答案】 【分析】根据古典概型的概率公式及组合学公式，即可求解第一空，根据条件概率的计算公式，即可求解第二空. 【详解】从个人中任取人，全部情况有种， 恰有一名两名男生的情况有， 故恰有一名男生参加AI人工智能学习的概率为； 有女生参加AI人工智能学习的情况有种， 恰有一名女生参加AI人工智能学习的情况有种， 故在至少有一名女生参加AI人工智能学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率为. 故答案为：；. 7．（2025·天津河北·二模）甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用3局2胜制．假设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则甲以的比分获胜的概率为 ；在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是 ． 【答案】 / 【分析】应用独立事件乘法公式求甲以的比分获胜的概率，先确定甲获胜的概率，再求其中甲第一局获胜的概率，最后由条件概率公式求甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率. 【详解】若甲以的比分获胜，即一共3局，前两局甲乙各胜一局，最后一局甲胜， 所以甲以的比分获胜的概率， 事件表示“甲获胜”，则前两局甲获胜，或前两局甲乙各胜一局，最后一局甲胜， 所以甲获胜的概率， 事件表示“甲第一局获胜”，则， 所以. 故答案为：， 8．（2025·天津和平·二模）已知甲、乙两个盒子中装有不同颜色的卡片，卡片除颜色外其他均相同.甲盒中有5张红色卡片和4张白色卡片，乙盒中有2张红色卡片和4张白色卡片.若从甲盒中取出2张卡片，且2张卡片中有一张是红色卡片的条件下，另一张是白色卡片的概率为 ；若从两盒中随机选择一个盒子，然后从中取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为 . 【答案】 【分析】设出事件，利用条件概率公式计算出概率，再利用全概率公式计算出从两盒中随机选择一个盒子，然后从中取出一张卡片，取到一张红色卡片的概率. 【详解】设从甲盒中取出2张卡片中有一张是红色卡片为事件A， 从甲盒中取出2张卡片中有一张是白色卡片为事件B， 则，， 所以， 若从甲盒中随机取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为， 若从乙盒中随机取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为， 故从两盒中随机选择一个盒子，然后从中取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为 . 故答案为：， 题型三 全概率公式 【技巧通法·提分快招】 全概率公式在解题中体现了“化整为零、各个击破”的转化思想，可将较为复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑． 1．（2025·天津北辰·三模）某地教育部门联合当地高校发起公益助教赠书行动.现安排卡车为乡村小学运送书籍，共装有16个纸箱，其中6箱数学书､6箱语文书､4箱物理书.由于山路崎岖，到达目的地时发现丢失一箱书籍，则丢失的一箱恰巧是物理书的概率为 ；若不知丢失哪一箱，则从剩下的15箱中任意打开两箱，结果发现都是数学书的概率为 . 【答案】 /0.25 /0.125 【分析】利用古典概率公式求得丢失物理书的概率；利用全概率公式求得答案. 【详解】依题意，丢失的一箱恰巧是物理书的概率为； 记事件“丢失数学书”，事件“任取两箱都是数学”， 则，， 所以所求概率. 故答案为：； 2．（2025·天津·二模）已知一批零件是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的、、.已知三人生产产品的次品率分别为、、，现从这批零件中任取一个零件，则它是次品的概率为 . 【答案】 【分析】分别记事件、、表示抽取的一个零件为甲、乙、丙生产的，记事件抽取的一个零件为次品，利用全概率公式可求得的值. 【详解】分别记事件、、表示抽取的一个零件为甲、乙、丙生产的， 记事件抽取的一个零件为次品， 由题意可得，，，， ， 由全概率公式可得 . 故答案为：. 3．（2025·天津河西·一模）某体育器材商店经营三种型号的组合器械，三种型号组合器械的优质率分别为0.9，0.8，0.7，市场占有比例为，某健身中心从该商店任意购买一种型号的组合器械，则买到的组合器械是优质产品的概率为 ；若该健身中心从三种型号的组合器械各买一件，则恰好买到两件优质产品的概率为 ． 【答案】 0.82 0.398 【分析】依据题意，分析事件关系，利用全概率公式求解第一空，利用互斥事件与相互独立事件求解第二空即可. 【详解】第一空：由全概率公式可得：； 第二空：恰好买到两件优质产品是“AB优C不优，AC优B不优，BC优A不优”这三个互斥事件的和，故所求概率为：， 故答案为：0.82；0.398. 4．（2025·天津武清·一模）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中大约有的学生，每天玩手机超过1小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是 . 【答案】/ 【分析】由题意，根据条件概率公式和全概率公式求解即得. 【详解】设事件“学生玩手机超过小时”，事件“学生近视”，事件为的对立事件， 由题意可得，，，则， 所以. 故答案为：. 5．（2024·天津北辰·三模）某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲、乙两人为一组参加比赛， 每次由其中一人投篮，规则如下:若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为.第2次投篮的人是甲的概率为 ；已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为 . 【答案】 【分析】设第次是甲投篮为事件，投篮命中为事件，根据已知及条件概率，应用全概率公式、条件概率公式求、. 【详解】设第次是甲投篮为事件，投篮命中为事件， 所以，，，则，， 所以第2次投篮人是甲的概率为， 在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为. 故答案为：；. 6．（2024·天津河西·模拟预测）甲、乙、丙三个人去做相互传球训练，训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．如果第一次由甲将球传出，设次传球后球在甲手中的概率为，则 ； ． 【答案】 /0.25 【分析】设出事件，由题意得到，由互斥事件的概率加法公式和全概率公式得到概率的递推式，接着构造等比数列,求出其通项公式即得. 【详解】设“经过次传球后，球在甲的手中”，则事件的概率即，则 依题意，，则 ， 即，(*) 因代入解得，，； 由（*）可得，，且， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 于是，，则得，. 故答案为：；. 7．（2024·天津和平·二模）为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．若规定三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率为 ；若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，，则这个问题回答正确的概率为 ． 【答案】 / 【分析】根据题意，设甲回答正确为事件，乙回答正确为事件，丙回答正确为事件，先由相互独立事件的概率公式求出、的值，结合对立事件的性质求出第一空答案，利用全概率公式计算第二空的答案． 【详解】根据题意，设甲回答正确为事件，乙回答正确为事件，丙回答正确为事件， 则，，， 所以，， 若规定三名同学都回答这个问题， 则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率， 若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，， 则这个问题回答正确的概率． 故答案为：；． 8．（2024·天津北辰·模拟预测）甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知至少抽到一个红球的条件下，则2个球都是红球的概率为 ；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是 . 【答案】 【分析】利用条件概率公式计算摸出的2个球是红球的概率；利用全概率公式求红球的概率. 【详解】记事件表示“至少抽到一个红球”，事件表示“2个球都是红球”， ,, 所以. 设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”， 事件表示“抽到红球”，则 , 所以, 所以. 故答案为：①，②. 题型四 判断线性相关的强弱 【技巧通法·提分快招】 1.利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算，即； 第二步：计算，可利用求解； 第三步：代入求解． 2.贝叶斯概率公式反映了条件概率，全概率公式及乘法公式之间的关系，即． 1．（2024·天津河北·一模）已知某地区烟民的肺癌发病率为，先用低剂量药物进行肺癌䈐查，检查结果分阳性和阴性，阳性被认为是患病，阴性被认为是无病.医学研究表明，化验结果是存在错误的，化验的准确率为，即患有肺癌的人其化验结果呈阳性，而没有患肺癌的人其化验结果呈阴性.则该地区烟民没有患肺癌且被检测出阳性的概率为 ；现某烟民的检验结果为阳性，请问他患肺癌的概率为 . 【答案】 【分析】根据题意，由乘法公式即可求得该地区烟民没有患肺癌且被检测出阳性的概率；再利用贝叶斯公式即可求得某烟民的检验结果为阳性，其患肺癌的概率. 【详解】因为某地区烟民的肺癌发病率为，没有患肺癌的人其化验结果呈阴性， 则该地区烟民没有患肺癌且被检测出阳性的概率为； 设事件表示某地区烟民患癌，则，， 设事件表示检验结果为阳性， 则，， 所以某烟民的检验结果为阳性的概率为： ， 所以某烟民的检验结果为阳性，其患肺癌的概率为 . 故答案为：； 2．（2024·天津·模拟预测）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为 ；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是 ． 【答案】 /0.4 【分析】利用条件概率公式求摸出的2个球是红球的概率；利用全概率公式和贝叶斯公式求红球来自乙箱的概率. 【详解】记事件表示“抽出的2个球中有红球”，事件表示“两个球都是红球”， 则，， 故， 即从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为； 设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件表示“抽到红球”， 则，， ，， 所以 ， 所以， 即若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是. 故答案为：； 3．（2025·天津南开·模拟预测）某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如表所示.则甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，甲担当前卫的概率为 . 场上位置 边锋 前卫 中场 出场率 0.2 0.5 0.3 球队胜率 0.5 0.6 0.8 【答案】 【分析】设表示“甲球员担当边锋”，表示“甲球员担当前卫”，表示“甲球员担当中场”，两两互斥，设表示“球队赢了某场比赛”，利用全概率公式与贝叶斯公式求解即可. 【详解】设表示“甲球员担当边锋”，表示“甲球员担当前卫”，表示“甲球员担当中场”，两两互斥，设表示“球队赢了某场比赛”， 则 则, 故. 故答案为：. 4．（2025·天津河东·调研）某厂产品有的产品不需要调试就可以出厂上市，另的产品经过调试以后有能出厂，则该厂产品能出厂的概率 ；任取一出厂产品，求未经调试的概率 ． 【答案】 【分析】答题空一：根据题意设出事件，利用全概率公式即可求解；答题空二：利用空一结果，根据贝叶斯公式即可求解. 【详解】设事件表示产品能出厂上市，事件表示产品不需要调试，表示产品需要调试， 则有，，，， 由全概率公式可得： ； 由贝叶斯公式可得： . 故答案为：； 5．（2025·天津·模拟预测）同种规格的产品，甲组生产占40%，优品率为10%；乙组生产占60%，优品率为20%，将两组生产的产品混合，从混合产品中任取1件．则取到这件产品是优品的概率为 ；若取出一件产品是优品的条件下，是甲组生产的产品的概率为 ． 【答案】 0.16 【分析】根据贝叶斯公式和全概率公式求解即可. 【详解】设分别表示产品由甲、乙车间生产；表示产品为优品， 由题可得：， 故. 则. 故答案为：；. 6．（2025·天津滨海新·联考）有三个笼子，里面分别放有两只雄兔一只雌兔、两只雄兔两只雌兔、以及三只雌兔.如果在从一个笼子里拿出一只雄兔之后，那么再从这个笼子里取出雄兔的概率为 . 【答案】 【分析】由贝叶斯公式与全概率公式求解， 【详解】记三个笼子分别为， 若从一个笼子里拿出一只雄兔，则该笼子为的概率为， 该笼子为的概率为，该笼子为的概率为， 故此时再从从这个笼子里取出雄兔的概率为， 故答案为： 7．（2025·天津·模拟预测）书包中装有大小相同的2本数学书和2本语文书，若每次从中随机取出一本书且不放回，则在第二次取出的是数学书的条件下，第一次取出的是语文书的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件概率公式可求出结果. 【详解】设事件：第一次取出的是语文书，事件：第二次取出的是数学书， 则. 故选：D 8．（2025·天津·联考）某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.4，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.5，则这个人迟到的概率是 ；如果这个人迟到了，他乘船迟到的概率是 ． 【答案】 0.4/ 0.3/ 【分析】合理设出事件，利用全概率计算出这个人迟到的概率，用贝叶斯概率公式计算出如果这个人迟到了，他乘船迟到的概率. 【详解】设事件A表示“乘火车”，事件B表示“乘轮船”，事件C表示“乘飞机”，事件D表示“迟到”， 则，，，，，， ， 由全概率公式得： ； 如果这个人迟到了，由贝叶斯公式得到他乘船迟到的概率为： . 故答案为：0.4；0.3 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·天津·一模）某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有 种；若定义事件为甲和乙选择的课程不同，事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则 ． 【答案】 30 【分析】利用排除法，总的方案数减去甲和乙选择的课程的方案数即可得到甲和乙选择的课程不同的方案数；分有一个人选择“九章算术”和两个人选择“九章算术”两种情况，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求得事件中包含的方案数，再利用条件概率公式求得 【详解】四个人参加三门选修课程共有种方案，其中甲和乙选择的课程相同共有种方案， 所以甲和乙选择的课程不同共有种方案； 事件共有种方案，以下考虑事件，即“甲和乙选择的课程不同，丙和丁恰好有一人选择的是九章算术” 先从丙、丁两个人中选一个人选择“九章算术”，则有种方案， 若四个人中只有一个人选择“九章算术”，则甲、乙分别选择另外两门课程，有种方案， 丙、丁中没选择“九章算术”的也从另外两门中选择一门，有种方案， 根据分步乘法计数原理，共有种方案； 若四个人中有两人选择“九章算术”，则除了包含丙、丁中的一个人外，还包含甲、乙中的一个人，有种方案， 其余两人分别选择另外两门课程，有种方案， 根据分步乘法计数原理，共有种方案； 根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理，事件中共有种方案， 根据条件概率公式，； 故答案为：30；. 2．（2025·天津河东·二模）哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、哪吒父母、四大龙王共个人物手办，小明随机购买个盲盒（个盲盒内人物一定不同），求其中包含哪吒和至少一位龙王的概率 ；在包含哪吒且不包含敖丙的条件下，则恰有哪吒父母中的一位的概率为 . 【答案】 【分析】利用组合，求出从个人物手办中，随机购买个盲盒的买法和包含哪吒和至少一位龙王的买法，再利用古典概率公式，即可求解；利用条件概率公式，即可求解. 【详解】从个人物手办中，随机购买个盲盒，共有种买法， 又个盲盒中，包含哪吒和至少一位龙王有种买法， 所以小明随机购买个盲盒，其中包含哪吒和至少一位龙王的概率为， 记事件：随机购买个盲盒，含哪吒且不包含敖丙，事件：随机购买个盲盒，恰有哪吒父母中的一位， 则，，所以， 故答案为：；. 33．（2025·天津和平·一模）袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为 ；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望 . 【答案】 【分析】第一问可根据条件概率公式求解，第二问可先确定随机变量 的取值，再求出每个取值的概率，最后根据期望公式计算期望. 【详解】设“第一次取到黑球”为事件 ，“第二次取到白球”为事件 . 则. 表示第一次取到黑球且第二次取到白球的概率.第一次取黑球有 种取法，第二次取白球有 种取法，从 个球中依次取 个球的总取法有 种，所以 . 根据条件概率公式 ，可得 . 随机取出 个球，取出的球中白球的个数 可能取值为 ，，. 表示取出的 个球都是黑球的概率，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，从 个球中取 个球的组合数为 ，所以 . 表示取出的 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为 ，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 . 表示取出的 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为 ，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 . 根据期望公式 可得 . 故答案为：；. 4．（2024·天津南开·二模）连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能，则3次结果中有正面向上，也有反面向上的概率为 ；3次结果中最多一次正面向上的概率为 . 【答案】 / / 【分析】借助概率的乘法公式计算即可得. 【详解】设为所抛掷三枚硬币正面向上的枚数， 事件为3次结果中有正面向上，也有反面向上， 事件为3次结果中最多一次正面向上， 则； . 故答案为：；. 5．（2024·天津河北·二模）学习小组为了研究手机对学生学习的影响，对本学校学生手机使用情况统计分析有以下结果：若学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.7，若学生前一天玩手机，接下来一天也玩手机的概率为0.8. 已知一个学生第一天没玩手机，根据这个统计结果计算，那么他第二天玩手机的概率为 ，第三天不玩手机的概率为 . 【答案】 0.3 0.55 【分析】根据题意由对立事件概率公式得第二天玩手机的概率，再由全概率公式得第三天不玩手机概率即可. 【详解】由题意，学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.7， 所以一个学生第一天没玩手机，那么他第二天玩手机的概率为， 由全概率公式知第三天不玩手机的概率为. 故答案为：； 6．（2025·天津和平·三模）抛掷两颗质地均匀的骰子，其中白色骰子与黑色骰子各一颗，记事件为“白色骰子的点数为或”，事件为“两颗骰子点数之和大于”，则 ； ． 【答案】 / 【分析】分别求出事件，事件和事件同时发生的概率，再由条件概率的公式计算即可. 【详解】抛掷白、黑两颗骰子，事件总数为，事件的基本事件数为， 易知， 用中的表示抛掷白、黑两颗骰子的点数，则事件包含：，， 所以，， 所以，， 故答案为：，. 7．（2024·天津滨海新·三模）随着我国经济发展越来越好，外出旅游的人越来越多，现有两位游客慕名来天津旅游，他们分别从天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山风景区，这6个随机选择1个景点游玩，两位游客都选择天津之眼摩天轮的概率为 ．这两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮的条件下，他们选择的景点不相同的概率 ． 【答案】 【分析】根据古典概型的计算方法可求两位游客都选择天津之眼摩天轮的概率；设事件表示“两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮”，事件表示“他们选择的景点不相同”，先求出，，在利用条件概率公式即可求第二空. 【详解】设事件表示“两位游客都选择天津之眼摩天轮”， 则； 设事件表示“两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮”，事件表示“他们选择的景点不相同”， 则，， ∴． 故答案为：． 8．（2024·天津河西·模拟预测）甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取.在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是.若甲单独答题三轮，则甲恰有两轮通过测试的概率为 ；若在甲，乙两人中任选一人进行测试，则通过测试的概率为 .（结果均以既约分数表示） 【答案】 【分析】借助概率乘法公式与全概率公式计算即可得. 【详解】设“甲恰有两轮通过测试”为事件A，则； 设“选中甲”为事件B，“选中乙”为事件C，“通过测试”为事件D， 根据题意得，，，， 则， 所以在甲，乙两人中任选一人进行测试，通过测试的概率为. 故答案为：；. 9．（2024·天津·模拟预测）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.设第1，2，3次都摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为.求 . 【答案】 【分析】利用古典概率公式求出，利用条件概率公式求出即可. 【详解】由题意可得， 设事件表示“在第1,2次都摸到红球”，事件表示“第3次摸到红球”， 则， 所以， 所以， 故答案为：. 10．（2024·天津武清·模拟预测）某学校为普及垃圾分类知识，增强学生的垃圾分类意识，在全校范围内举办垃圾分类知识竞赛.通过选拔，仅有甲、乙两名选手进入决赛.决赛采用积分制，规则为:抢答3道题，每题10分，答对得10分，答错自己不得分，对方得10分.选手是否抢到试题是等可能的，且回答对错互不影响，得分高的获胜.已知甲、乙两名选手答对每道题的概率分别为，记事件A为“答第一道题，甲选手得分”，则 ，记甲选手的得分为（单位，分）， ． 【答案】 【分析】由题意可知：事件包含甲抢到并答对和乙抢到并答错两种情况，进而可求；若，可知抢答3道题，其中有2道题甲得分，进而可求. 【详解】由题意可知：事件包含甲抢到并答对和乙抢到并答错两种情况， 所以； 若，可知抢答3道题，其中有2道题甲得分， 所以. 故答案为：；. 11．（2024·天津·二模）为缓解高三学习压力，某高中校举办一对一石头、剪刀、布猜拳比赛，比赛约定赛制如下：累计赢2局者胜，分出胜负即停止比赛；若猜拳4局仍未分出胜负，则比赛结束. 在一局猜拳比赛中，已知每位同学赢､输､平局的概率均为，每局比赛的结果相互独立. 现甲、乙两位同学对战，则甲同学比赛三局获胜的概率为 ；已知比赛进行了四局的前提下，两位选手未分出胜负的概率为 . 【答案】 【分析】直接用古典概型方法即可求解第一空；使用条件概率定义，结合古典概型方法即可求解第二空. 【详解】若甲同学比赛三局获胜，则有两种可能： 甲同学第一局和第三局获胜，第二局未获胜；或甲同学第二局和第三局获胜，第一局未获胜. 故所求概率； 设分别表示“比赛进行了四局”和“两位选手未分出胜负”，则. 同理，乙同学比赛三局获胜的概率是，而甲、乙同学各自在第二局结束后就获胜的概率都是. 故比赛进行两局就结束的概率，比赛进行三局就结束的概率， 所以. 而若比赛四局且未分出胜负，则甲、乙两人各自都最多获胜一局， 从而两人的获胜数量总共有四种可能： 都是零次，甲一次乙零次，甲零次乙一次，甲一次乙一次. 它们对应的具体局数又分别有1，4，4，12种选取方式，据此可得 . 故所求概率. 故答案为：，. 12．（2024·天津·模拟预测）某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中，任选3人参加学校的义务劳动.男生甲或女生乙被选中的概率为 ；设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，则 . 【答案】 / / 【分析】根据古典概型结合对立事件的概率即可求出第一空，利用条件概率公式即可求出第二空. 【详解】男生甲和女生乙都没有选中的概率为， 所以男生甲或女生乙被选中的概率为， ， 所以. 故答案为：；. 13．（2024·全国·模拟预测）某高中学校为了响应上级的号召，促进学生的全面发展，决定每天减少一节学科类课程，增加一节活动课，为此学校开设了传统武术、舞蹈、书法、小提琴4门选修课程，要求每位同学每学年至多选2门，从高一到高三3个学年将4门选修课程学完，则每位同学的不同选修方式有 种，若已知某同学高一学年只选修了舞蹈与书法两门课程，则这位同学高二学年结束后就修完所有选修课程的概率为 ． 【答案】 54 / 【分析】利用分组分配的方法，计算求值；利用样本空间的方法，求条件概率. 【详解】由题意可得三个学年修完四门选修课程，每学年至多选2门， 则每位同学每年所修课程数为1，1，2或0，2，2． 先将4门选修课程按1，1，2分成三组，有种方式，再分到三个学年，有种不同方式， 由分步计数原理得，不同的选修方式共有种． 同理，将4门选修课程按0，2，2分成三组，再排列，有种， 所以共有种不同的选修方式； 若将“某同学高一学年只选修了舞蹈与书法两门课程”记为事件A，将“高二学年结束后就修完所有选修课程”记为事件B． 根据题意，满足事件A的所有选课情况共4种情况，其中包含高二选修完或高三选修完其他2门，或是高二，高三各选1门，共4种情况， 其中同时满足事件B的仅有1种情况．根据条件概率公式，可知所求概率为． 故答案为：54； 14．（2024·天津·二模）两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为 ；若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，则游戏成功的概率为 ． 【答案】 / 0.42/ 【分析】先计算从6人中选2人的所有种数，再计算同一家庭的种数，求概率即可；由全概率公式计算即可得第二空. 【详解】由题意可知从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为； 而来自不同家庭的概率为， 则游戏成功的概率为. 故答案为：； 15．（2024·天津·一模）甲和乙两个箱子中各装有4个大小相同的小球，其中甲箱中有2个红球、2个白球，乙箱中有3个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到白球的条件下，则2个球都是白球的概率为 ；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于2，就从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于3，就从乙箱子中随机抽出1个球，则抽到红球的概率为 . 【答案】 【分析】利用条件概率公式摸出的2个球是白球的概率；利用全概率公式求红球的概率. 【详解】记事件表示“抽出的2个球中有白球”，事件表示“两个都是白球”， 则， 故； 即从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到白球的条件下，则2个球都是白球的概率为； 设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件表示“抽到红球”，则， 所以, 即抽到红球的概率是. 故答案为：； 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2024·天津·一模）假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率为85%，乙厂产品的合格率为80%，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为 ；若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为 . 【答案】 / / 【分析】借助独立重复事件的概率公式与全概率公式计算即可得. 【详解】在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为： ， 在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为： . 故答案为：；. 2．（2024·天津南开·一模）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球，若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 ，第二次抽到3号球的概率为 【答案】 /0.5 【分析】根据题意，先求出在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率；记第一次抽到第i号球的事件分别为，记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，第二次抽到3号球为事件，再利用全概率公式求解即可. 【详解】根据题意，在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为. 记第一次抽到第i号球的事件分别为， 则有，， 记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为， 则，，， 记第二次抽到3号球为事件， . 所以第二次抽到3号球的概率为. 故答案为：；. 3．（2024·天津河东·一模）某地区人群中各种血型的人所占比例如表1所示，已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任何一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是B型血，因病需要输血，任找一个人，其血可以输给小明的概率为 ；任找两个人，则小明有血可以输的概率为 ． 血型 A B AB O 该血型的人占比 【答案】 0.7 0.91 【分析】根据互斥事件的概率加法公式即可求解空1，根据相互独立事件的概率乘法公式即可求空2. 【详解】由于小明是B型血，所以可以血型为O,B的可以给小明输血，故概率为， 小明是B型血，两个人都不可以给小明输血的概率为， 所以任找两个人，则小明有血可以输的概率为， 故答案为：0.7；0.91 4．（2024·天津河西·一模）举重比赛的规则是：挑战某一个重量，每位选手可以试举三次，若三次均未成功则挑战失败；若有一次举起该重量，则无需再举，视为挑战成功，已知甲选手每次能举起该重量的概率是，且每次试举相互独立，互不影响，设试举的次数为随机变量，则的数学期望 ；已知甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是 ． 【答案】 【分析】记“第次举起该重量”分别为事件， “甲选手挑战成功”为事件，依题意的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望，再由条件概率的概率公式求出. 【详解】依题意随机变量的可能取值为、、，则；； ， 所以随机变量的概率分布为 1 2 3 所以随机变量的期望为. 记“第次举起该重量”分别为事件， “甲选手挑战成功”为事件， 则， , 所以， 所以甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率为. 故答案为：； 5．（2024·天津·一模）设某学校有甲、乙两个校区和两个食堂，并且住在甲、乙两个校区的学生比例分别为和；在某次调查中发现住在甲校区的学生在食堂吃饭的概率为，而住在乙校区的学生在食堂吃饭的概率为，则任意调查一位同学是在食堂吃饭的概率为 ．如果该同学在食堂吃饭，则他是住在甲校区的概率为 ．（结果用分数表示） 【答案】 【分析】根据条件，结合全概率公式，以及条件概率公式，即可求出结果. 【详解】记为事件“该同学住在甲校区”，为事件“该同学在食堂吃饭”， 则，， 故， 如果该同学在食堂吃饭，则他是住在甲校区的概率为， 故答案为：；. 6．（2025·天津武清·模拟预测）从一个装有个白球，个红球和个蓝球的袋中随机抓取个球，记事件为“抓取的球中至少有两个球同色”，事件为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则 ；在事件发生的条件下，事件发生的概率 ． 【答案】 / 【分析】根据题意，由古典概率公式求出，分析事件的取法数目，由此可得和，由条件概率公式计算可得，即可得答案． 【详解】根据题意，从一个装有个白球，个红球和个蓝球的袋中随机抓取个球，有种取法， 事件为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则事件的取法有种， 则， 事件的取法有种，则， ， 故． 故答案为：，． 7．（2025·天津河西·模拟预测）某射击小组共有10名射手，其中一级射手2人，二级射手3人，三级射手5人，现选出2人参赛，已知至少有一人是一级射手，则另一人是三级射手的概率为 .若一､二､三级射手获胜概率分别是，则任选一名射手能够获胜的概率为 . 【答案】 / 【分析】根据条件概率及全概率公式求解. 【详解】至少有一人是一级射手的概率为，一人是一级射手且另一人是三级射手的概率为，至少有一人是一级射手，则另一人是三级射手的概率为. 一、二、三级射手通过选拔进入比赛的概率分别是 ， 则任选一名射手能够获胜的概率为. 故答案为: ； 0.64 . 8．（2025·天津滨海新·三模）红、黄、蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色．已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色．现有等量的红、黄、蓝彩色颜料各两瓶，甲从六瓶中任取两瓶颜料进行等量调配，则甲调配出绿色的概率为 ；在甲调配出绿色的情况下，乙再从余下四瓶中任取两瓶颜料，进行等量调配，则乙调配出紫色的概率为 ． 【答案】 【分析】根据古典概型的概率公式和条件概率，即可求出所求概率. 【详解】设A=“甲调配出绿色”，B=“乙调配出紫色”， 因为等量的黄色加蓝色调配出绿色，且等量的红、黄色、蓝彩色颜料各两瓶共6瓶， 所以， 因为甲调配出绿色时已经用掉1瓶黄色颜料和1瓶蓝色颜料， 则颜料剩余红色2瓶，黄色1瓶，蓝色1瓶共4瓶， 因为等量的红色加蓝色调配出紫色，所以. 故答案为：， 9．（2025·天津北辰·三模）有两台车床加工同一型号的零件，第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优秀率为10%．假定两台车床加工的优秀率互不影响，则两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为 ；若把加工出来的零件混放在一起，已知第一台车床加工的零件数占总数的60%，第二台车床加工的零件数占总数的40%，现任取一个零件，则它是优秀品的概率为 ． 【答案】 【分析】根据独立事件的乘法公式即可求解第一空，根据全概率公式即可求解第二空. 【详解】由于第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优秀率为10%，所以两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为 记 “加工的零件为优秀品”， “零件为第1台车床加工“， “零件为第2台车床加工“，，，，， 由全概率公式可得， 故答案为： 10．（2025·天津河西·一模）某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为 ；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率 ． 【答案】 【分析】应用组合数，超几何分布的概率求法求恰有一名女生参加、至少有一名女生参加的概率，进而求至少有一名女生参加条件下，恰有一名女生的概率（条件概率）. 【详解】由题设，抽取2人，恰有一名女生参加，其概率， 至少有一名女生参加，事件含恰有一名女生、2人都是女生，其概率， 所以，在至少有一名女生参加条件下，恰有一名女生的概率. 故答案为：， 34 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优03条件概率与全概率公式 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 事件的相互独立性（★★） 3 题型二 条件概率（★★★） 5 题型三 全概率公式（★★★） 6 题型四 贝叶斯公式（★★★） 7 03 实战检测・分层突破验成效 9 检测Ⅰ组 重难知识巩固 9 检测Ⅱ组 创新能力提升 11 1.条件概率 1．条件概率的概念 条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 2．概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．我们称上式为概率的乘法公式． 3．条件概率的性质 设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1； (2)如果B与C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (3)设和B互为对立事件，则P( )＝1－P(B)． 二、相互独立与条件概率的关系 1.相互独立事件的概念及性质 （1）相互独立事件的概念 对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而． 由此我们可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立． （2）概率的乘法公式 由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． （3）相互独立事件的性质 如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立． （4）两个事件的相互独立性的推广 两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率． 2.事件的独立性 （1）事件与相互独立的充要条件是． （2）当时，与独立的充要条件是． （3）如果，与独立，则成立． 三、全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B. 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 四、贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)>0， 有P(Ai＝=i＝1，2，…，n. 6.在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为先验概率和后验概率． 题型一 事件的相互独立性 【技巧通法·提分快招】 1.判断事件是否相互独立的方法 （1）定义法：事件，相互独立⇔． （2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． （3）条件概率法：当时，可用判断． 2.求相互独立事件同时发生的概率的步骤 （1）首先确定各事件之间是相互独立的． （2）求出每个事件的概率，再求积． 注：使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的． 1．（2025·天津河北·模拟预测）甲、乙两人独立地破译一份密码，甲、乙能破译的概率分别为、，则密码被成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津武清·模拟预测）下列说法错误的是（    ） A．一组数据5、7、9、11、12、14、15、16、20、18的第80百分位数为17 B．若事件M，N相互独立，，，则 C．某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从110分以上的试卷中抽取20份 D．已知随机变量X服从二项分布，若，则 3．（2025·天津南开·二模）甲、乙两个袋子中各有10个除颜色外完全相同的小球，其中甲袋中有7个红球，3个黄球，乙袋中有8个红球，2个黄球．若从两个袋子中各任取1个球，则都取到红球的概率为 ；若从两个袋子中各任取1个球，两球颜色不同的条件下，乙袋中取出黄球的概率为 ． 4．（2025·天津·一模）已知甲、乙两名乒乓球运动员进行比赛，根据二人以往比赛资料统计，在一局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛互不影响.现在甲、乙二人准备进行三局比赛.则在三局比赛中甲胜前两局、乙胜第三局的概率是 ，用表示三局比赛中甲获胜的局数，则的数学期望是 . 0 1 2 3 5．（2025·天津河西·二模）已知甲袋中装有个红球，个白球；乙袋中装有个红球，个白球，两个袋子均不透明，其中的小球除颜色外完全一致.现从两袋中各随机取出一个球，若两个球同色，则将取出的两个球全部放入甲袋中；若两个球不同色，则将取出的两个球全部放入乙袋中，每次取球互不影响.按上述方法操作一次，在甲袋中恰有个小球的条件下，当时从甲袋中取出的是红球的概率是 ；按上述方法重复操作两次后，乙袋中恰有个小球的概率是 . 6．（2025·天津·二模）甲、乙、丙三人各自独立地解同一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人都做错的概率是，则甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为 . 7．（2025·天津河北·二模）第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广东珠海举行.此次航展，观众累计参观近60万人次，签约金额超2800亿人民币.为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举行“购物抽奖送航模”活动，奖品为“隐形战机歼-20S”模型.抽奖规则如下：盒中装有7个大小相同的小球，其中3个是红球，4个是黄球.每位顾客均有两次抽奖机会，每次抽奖从盒中随机取出2球，若取出的球颜色不相同，则没有中奖，小球不再放回盒中，若取出的球颜色相同，则中奖，并将小球放回盒中、某顾客两次抽奖都中奖的概率为 ；该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下，第二次抽奖中奖的概率为 . 8．（2025·天津南开·一模）有编号分别为的3个盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球．现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，则从第1个盒子中取到白球的概率是 ；从第3个盒子中取到白球的概率是 ． 题型二 条件概率 【技巧通法·提分快招】 1.判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的“已知”“在…前提下(条件下)”等字眼．但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也认为是条件概率问题．运用P(AB)＝P(B|A)·P(A)，求条件概率的关键是求出P(A)和P(AB)，要注意结合题目的具体情况进行分析． 2.求条件概率的两种方法 (1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得，这是求条件概率的通法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得. 1．（2025·天津武清·模拟预测）在一个口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的五张卡片，这些卡片除编号不同外其他都相同，从口袋中有放回地摸卡片三次，每次摸一个.则三次摸出卡片的数字有两次不超过3的概率 ；在已知三次摸出卡片的数字有两次不超过3的前提下，这三次中有一次摸出编号为2的卡片的概率 . 2．（2025·天津南开·模拟预测）2044年，当同学们重返母校参加140周年校庆时，惊喜地发现，南院正门外真的出现了一家“南德琐艾奶茶店”，这里正出售6款饮品，分别为林林清风、金晓惠兰、明明如月、幽幽谭香、天天爆柠、雅韵冰酿．甲、乙两位同学分别选购3款不同饮品，则甲选购的饮品中有“林林清风”的概率为 ；在甲选购了“林林清风”这款饮品的条件下，甲、乙二人所选饮品中恰有1款相同的概率为 ． 3．（2025·天津·一模）某校为增强学生文化底蕴，传承天津传统文化，开设了软笔书法、杨柳青年画、泥人彩塑、剪纸、相声五个特色社团．假设甲、乙两位同学从五个社团中随机选择一个加入，则两人都选择软笔书法社团的概率为 ；每位同学只能加入一个社团，那么在两位同学至少有一人选择杨柳青年画社团的条件下，两人选择不同社团的概率为 ． 4．（2025·天津河西·模拟预测）一纸箱中装有4瓶未过期的饮料和2瓶过期饮料．若每次从中随机取出1瓶，取出的饮料不再放回，则在第一次取到过期饮料的条件下，第二次取到未过期饮料的概率为 ；对这6瓶饮料依次进行检验，每次检验后不再放回，直到区分出6瓶饮料的保质期时终止检验，记检验的次数为，则随机变量的期望为 ． 5．（2025·天津·二模）某班级在新年联欢会上组织抽奖活动，抽奖箱里有5个红色小球代表一等奖奖品券，3个白色小球代表二等奖奖品券，2个黑色小球代表谢谢参与券，抽奖规则是不放回地依次抽取3个球.某同学参加这个活动，则他在第一次抽到一等奖奖品券的条件下，第二次抽到二等奖奖品券的概率为 ；小强同学参加一次抽奖活动（不放回地抽取3个球），则恰好抽到1个一等奖奖品券的概率为 . 6．（2025·天津滨海新·三模）某校高三1班一学习小组有男生4人，女生2人，为提高学生对AI人工智能的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的AI人工智能学习，恰有一名男生参加的概率为 ；在有女生参加AI人工智能学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率 ． 7．（2025·天津河北·二模）甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用3局2胜制．假设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则甲以的比分获胜的概率为 ；在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是 ． 8．（2025·天津和平·二模）已知甲、乙两个盒子中装有不同颜色的卡片，卡片除颜色外其他均相同.甲盒中有5张红色卡片和4张白色卡片，乙盒中有2张红色卡片和4张白色卡片.若从甲盒中取出2张卡片，且2张卡片中有一张是红色卡片的条件下，另一张是白色卡片的概率为 ；若从两盒中随机选择一个盒子，然后从中取出一张卡片，则取到一张红色卡片的概率为 . 题型三 全概率公式 【技巧通法·提分快招】 全概率公式在解题中体现了“化整为零、各个击破”的转化思想，可将较为复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑． 1．（2025·天津北辰·三模）某地教育部门联合当地高校发起公益助教赠书行动.现安排卡车为乡村小学运送书籍，共装有16个纸箱，其中6箱数学书､6箱语文书､4箱物理书.由于山路崎岖，到达目的地时发现丢失一箱书籍，则丢失的一箱恰巧是物理书的概率为 ；若不知丢失哪一箱，则从剩下的15箱中任意打开两箱，结果发现都是数学书的概率为 . 2．（2025·天津·二模）已知一批零件是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的、、.已知三人生产产品的次品率分别为、、，现从这批零件中任取一个零件，则它是次品的概率为 . 3．（2025·天津河西·一模）某体育器材商店经营三种型号的组合器械，三种型号组合器械的优质率分别为0.9，0.8，0.7，市场占有比例为，某健身中心从该商店任意购买一种型号的组合器械，则买到的组合器械是优质产品的概率为 ；若该健身中心从三种型号的组合器械各买一件，则恰好买到两件优质产品的概率为 ． 4．（2025·天津武清·一模）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中大约有的学生，每天玩手机超过1小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是 . 5．（2024·天津北辰·三模）某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲、乙两人为一组参加比赛， 每次由其中一人投篮，规则如下:若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为.第2次投篮的人是甲的概率为 ；已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为 . 6．（2024·天津河西·模拟预测）甲、乙、丙三个人去做相互传球训练，训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．如果第一次由甲将球传出，设次传球后球在甲手中的概率为，则 ； ． 7．（2024·天津和平·二模）为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．若规定三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率为 ；若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，，则这个问题回答正确的概率为 ． 8．（2024·天津北辰·模拟预测）甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知至少抽到一个红球的条件下，则2个球都是红球的概率为 ；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是 . 题型四 判断线性相关的强弱 【技巧通法·提分快招】 1.利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算，即； 第二步：计算，可利用求解； 第三步：代入求解． 2.贝叶斯概率公式反映了条件概率，全概率公式及乘法公式之间的关系，即． 1．（2024·天津河北·一模）已知某地区烟民的肺癌发病率为，先用低剂量药物进行肺癌䈐查，检查结果分阳性和阴性，阳性被认为是患病，阴性被认为是无病.医学研究表明，化验结果是存在错误的，化验的准确率为，即患有肺癌的人其化验结果呈阳性，而没有患肺癌的人其化验结果呈阴性.则该地区烟民没有患肺癌且被检测出阳性的概率为 ；现某烟民的检验结果为阳性，请问他患肺癌的概率为 . 2．（2024·天津·模拟预测）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为 ；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是 ． 3．（2025·天津南开·模拟预测）某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如表所示.则甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，甲担当前卫的概率为 . 场上位置 边锋 前卫 中场 出场率 0.2 0.5 0.3 球队胜率 0.5 0.6 0.8 4．（2025·天津河东·调研）某厂产品有的产品不需要调试就可以出厂上市，另的产品经过调试以后有能出厂，则该厂产品能出厂的概率 ；任取一出厂产品，求未经调试的概率 ． 5．（2025·天津·模拟预测）同种规格的产品，甲组生产占40%，优品率为10%；乙组生产占60%，优品率为20%，将两组生产的产品混合，从混合产品中任取1件．则取到这件产品是优品的概率为 ；若取出一件产品是优品的条件下，是甲组生产的产品的概率为 ． 6．（2025·天津滨海新·联考）有三个笼子，里面分别放有两只雄兔一只雌兔、两只雄兔两只雌兔、以及三只雌兔.如果在从一个笼子里拿出一只雄兔之后，那么再从这个笼子里取出雄兔的概率为 . 7．（2025·天津·模拟预测）书包中装有大小相同的2本数学书和2本语文书，若每次从中随机取出一本书且不放回，则在第二次取出的是数学书的条件下，第一次取出的是语文书的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·天津·联考）某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.4，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.5，则这个人迟到的概率是 ；如果这个人迟到了，他乘船迟到的概率是 ． 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·天津·一模）某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有 种；若定义事件为甲和乙选择的课程不同，事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则 ． 2．（2025·天津河东·二模）哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、哪吒父母、四大龙王共个人物手办，小明随机购买个盲盒（个盲盒内人物一定不同），求其中包含哪吒和至少一位龙王的概率 ；在包含哪吒且不包含敖丙的条件下，则恰有哪吒父母中的一位的概率为 . 33．（2025·天津和平·一模）袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为 ；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望 . 4．（2024·天津南开·二模）连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能，则3次结果中有正面向上，也有反面向上的概率为 ；3次结果中最多一次正面向上的概率为 . 5．（2024·天津河北·二模）学习小组为了研究手机对学生学习的影响，对本学校学生手机使用情况统计分析有以下结果：若学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.7，若学生前一天玩手机，接下来一天也玩手机的概率为0.8. 已知一个学生第一天没玩手机，根据这个统计结果计算，那么他第二天玩手机的概率为 ，第三天不玩手机的概率为 . 6．（2025·天津和平·三模）抛掷两颗质地均匀的骰子，其中白色骰子与黑色骰子各一颗，记事件为“白色骰子的点数为或”，事件为“两颗骰子点数之和大于”，则 ； ． 7．（2024·天津滨海新·三模）随着我国经济发展越来越好，外出旅游的人越来越多，现有两位游客慕名来天津旅游，他们分别从天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山风景区，这6个随机选择1个景点游玩，两位游客都选择天津之眼摩天轮的概率为 ．这两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮的条件下，他们选择的景点不相同的概率 ． 8．（2024·天津河西·模拟预测）甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取.在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是.若甲单独答题三轮，则甲恰有两轮通过测试的概率为 ；若在甲，乙两人中任选一人进行测试，则通过测试的概率为 .（结果均以既约分数表示） 9．（2024·天津·模拟预测）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.设第1，2，3次都摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为.求 . 10．（2024·天津武清·模拟预测）某学校为普及垃圾分类知识，增强学生的垃圾分类意识，在全校范围内举办垃圾分类知识竞赛.通过选拔，仅有甲、乙两名选手进入决赛.决赛采用积分制，规则为:抢答3道题，每题10分，答对得10分，答错自己不得分，对方得10分.选手是否抢到试题是等可能的，且回答对错互不影响，得分高的获胜.已知甲、乙两名选手答对每道题的概率分别为，记事件A为“答第一道题，甲选手得分”，则 ，记甲选手的得分为（单位，分）， ． 11．（2024·天津·二模）为缓解高三学习压力，某高中校举办一对一石头、剪刀、布猜拳比赛，比赛约定赛制如下：累计赢2局者胜，分出胜负即停止比赛；若猜拳4局仍未分出胜负，则比赛结束. 在一局猜拳比赛中，已知每位同学赢､输､平局的概率均为，每局比赛的结果相互独立. 现甲、乙两位同学对战，则甲同学比赛三局获胜的概率为 ；已知比赛进行了四局的前提下，两位选手未分出胜负的概率为 . 12．（2024·天津·模拟预测）某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中，任选3人参加学校的义务劳动.男生甲或女生乙被选中的概率为 ；设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，则 . 13．（2024·全国·模拟预测）某高中学校为了响应上级的号召，促进学生的全面发展，决定每天减少一节学科类课程，增加一节活动课，为此学校开设了传统武术、舞蹈、书法、小提琴4门选修课程，要求每位同学每学年至多选2门，从高一到高三3个学年将4门选修课程学完，则每位同学的不同选修方式有 种，若已知某同学高一学年只选修了舞蹈与书法两门课程，则这位同学高二学年结束后就修完所有选修课程的概率为 ． 14．（2024·天津·二模）两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为 ；若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，则游戏成功的概率为 ． 15．（2024·天津·一模）甲和乙两个箱子中各装有4个大小相同的小球，其中甲箱中有2个红球、2个白球，乙箱中有3个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到白球的条件下，则2个球都是白球的概率为 ；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于2，就从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于3，就从乙箱子中随机抽出1个球，则抽到红球的概率为 . 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2024·天津·一模）假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率为85%，乙厂产品的合格率为80%，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为 ；若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为 . 2．（2024·天津南开·一模）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球，若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 ，第二次抽到3号球的概率为 3．（2024·天津河东·一模）某地区人群中各种血型的人所占比例如表1所示，已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任何一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是B型血，因病需要输血，任找一个人，其血可以输给小明的概率为 ；任找两个人，则小明有血可以输的概率为 ． 血型 A B AB O 该血型的人占比 4．（2024·天津河西·一模）举重比赛的规则是：挑战某一个重量，每位选手可以试举三次，若三次均未成功则挑战失败；若有一次举起该重量，则无需再举，视为挑战成功，已知甲选手每次能举起该重量的概率是，且每次试举相互独立，互不影响，设试举的次数为随机变量，则的数学期望 ；已知甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是 ． 5．（2024·天津·一模）设某学校有甲、乙两个校区和两个食堂，并且住在甲、乙两个校区的学生比例分别为和；在某次调查中发现住在甲校区的学生在食堂吃饭的概率为，而住在乙校区的学生在食堂吃饭的概率为，则任意调查一位同学是在食堂吃饭的概率为 ．如果该同学在食堂吃饭，则他是住在甲校区的概率为 ．（结果用分数表示） 6．（2025·天津武清·模拟预测）从一个装有个白球，个红球和个蓝球的袋中随机抓取个球，记事件为“抓取的球中至少有两个球同色”，事件为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则 ；在事件发生的条件下，事件发生的概率 ． 7．（2025·天津河西·模拟预测）某射击小组共有10名射手，其中一级射手2人，二级射手3人，三级射手5人，现选出2人参赛，已知至少有一人是一级射手，则另一人是三级射手的概率为 .若一､二､三级射手获胜概率分别是，则任选一名射手能够获胜的概率为 . 8．（2025·天津滨海新·三模）红、黄、蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色．已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色．现有等量的红、黄、蓝彩色颜料各两瓶，甲从六瓶中任取两瓶颜料进行等量调配，则甲调配出绿色的概率为 ；在甲调配出绿色的情况下，乙再从余下四瓶中任取两瓶颜料，进行等量调配，则乙调配出紫色的概率为 ． 9．（2025·天津北辰·三模）有两台车床加工同一型号的零件，第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优秀率为10%．假定两台车床加工的优秀率互不影响，则两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为 ；若把加工出来的零件混放在一起，已知第一台车床加工的零件数占总数的60%，第二台车床加工的零件数占总数的40%，现任取一个零件，则它是优秀品的概率为 ． 10．（2025·天津河西·一模）某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为 ；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率 ． 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $