21.5.2一元二次方程的应用（2）学案 2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程的应用，通过回顾列方程解应用题的一般步骤，衔接利率、利润、增长率等实际问题，以例题解析为支架，引导学生掌握不同类型问题的等量关系构建。 资料以生活情境（存款、销售等）设计例题与练习，层次分明，助力学生用数学眼光观察现实问题，通过推理分析等量关系培养数学思维，以方程建模发展模型意识，提升解决实际问题的应用能力。

一元二次方程的应用（2） 1、 学习目标 1.掌握列一元二次方程解决实际问题的一般步骤和注意事项； 2.掌握有关可列一元二次方程解决的利润问题、增长率问题的解法。 2、 课本预习 阅读课本P92-94完成下列任务： 1.已知银行一年定期存款年利率是0.95%，二年期存款年利率是1.05%， 若1000000元本金存银行二年定期的利息是___________? 若1000000元本金存按1年定期存入银行，到期后连本带利再转存一年，到期后共获得的利息是___________? 2.设银行一年定期存款年率是x，若1000000元本金存按1年定期存入银行，到期后连本带利再转存一年，又到期后共获得的利息是___________? 三、课堂学习 回顾： 列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1）审清题意．（2）设未知数．（3）列出方程．（4）解所列方程，求所列方程的解． （5）检验．（一定要检验所求的根是否符合题意）（6）答． 1.有关利率问题 例1小华将2000元人民币按一年定期存入某银行，到期后取出1000元购买图书和文具，剩下的1000元及利息又全部按一年定期存入该银行.如果这两年存款的年利率不变，那么到期后本金和利息共1045.45元.求这种存款方式的年利率. 分析 存款到期后的利息=本金×利率×存期. 本利和=本金+利息. 由此可得：如果将这种存款方式的年利率用x表示，那么第一年到期后的本利和为2000×(1+x),第二年的本金为[2000(1+x)-1000] 这样，可列出方程求解. 解 设这种存款方式的年利率为x.根据题意，得方程 [2000(1+x)—1000](1+x)=1045.45 2.利润问题 例2某商场每副护目镜的进货价为20元，售价在25元至40元之间.调查表明：如果每副护目镜售价为25元，平均每月能售出800副；如果售价每上涨1元，月销售量会减少10副.已知某月该护目镜的销售利润为10500元，求每副护目镜的售价. 分析 总利润=单件利润×销售量. 单件利润=售价一进货价 如果将每副护目镜售价上涨的部分用x元表示，那么每副护目镜的销售利润为(25+x—20)元，护目镜的月销售量为(800—10x)副.这样，可列出方程求解. 解 设每副护目镜售价上涨x元.根据题意，得方程 (25+x—20)(800—10x)=10500. 3.循环比赛问题 例3学校组织围棋比赛，比赛中，每名选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢的选手记2分，输的选手记0分；如果平局，两名选手各记1分.最终，统计得到所有参赛选手的总得分为2070.求这次比赛共有多少名选手参加. 分析 如果共有x名选手参加比赛，那么每名选手都要与其余(x-1)名选手比赛一局，因此实际比赛总局数应为,由于每局共计2分，因此 全部选手总得分为×2=x(x-1). 解 设这次比赛共有x名选手参加.根据题意，得方程 x(x-1)=2070. 4.连续增长（下降）问题 例41.某种产品原来每件价格为800元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每件售价为578元.求每次降价的百分率. 分析 现价=原价×（1-降价百分率）. 现价=原价×（1+上涨百分率）. 如果将每次降价的百分率用x表示，那么第一次降价后的售价为800(1-x)元，第二次降价后的售价为800(1-x)(1-x)=800(1-x)2.这样，可列出方程求解. 解 设每次降价的百分率用x表示.根据题意，得方程 800(1-x)2=578. 巩固练习： 1．元旦期间某班x名学生互赠贺卡，共需______ 张. 2．苏超联赛单循环赛期间每两队之间都进行一场比赛，江苏一共有13个城市参加比赛，那么单循环赛期间一共要比赛______场？ 3．一个容器盛满纯药液63升，第一次倒出一部分药液后加满水，第二次又倒出同样多的药液，再加满水，这时容器内剩下的纯药液是28升，设每次倒出x升药液,则根据题意可列方程______________________________________. 4. 某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，�第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______ kg，三年总产量为　　　　　　　　　kg． 5.糖厂2024年食糖产量为a万吨，预估在以后两年平均增长的百分率为x，�那么预计2026年的产量将是　　　　　　万吨. 6.�某种药品原价125元，在2023年涨价30%�后，政府为了解决老百姓看病难的问题，采取统一竞价采购，药品价格连续下调，�到2025年降至54元，设这种药品这两年的平均降价率为x,根据题意可列方程____________________________________. 7．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，�据市场分析，�若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润． （2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式． （3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少? 四、课后练习： 1．某种服装原价为200元，连续两次涨价x%后，售价为242元，则x的值为 　 ． 2．经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每月每平方公里的降尘量从50吨下降到40.5吨，则平均每年下降的百分率是 ． 3．为执行“两免一补”政策，某地区2024年投入教育经费2500万元，预计2026年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 4．某商店4月份销售额为50万元，第二季度的总销售额为182万元，设月平均增长率为，则由题意可列方程______________________________________ 6．一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，�所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为 （ 　） A．（1+25%）（1+70%）a元 B．70%（1+25%）a元 C．（1+25%）（1－70%）a元 D．（1+25%+70%）a元 7．某一商品进货价便宜8%，而售价不变，那么他的利润率可增加10个百分点，则原来利润率是 （ ） A．12% B．15% C．30% D．50% 8．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共　　　人． 9．一个产品原价为a元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多 _______%． 10．甲用10000元人民币购买了一手股票，两天后涨幅10%，几天后由遭遇跌停（跌幅10%），若不计手续费，甲账户股票资金是_________(填盈利率或亏损率) 11．某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，�以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营． （1）如果第一年的年获利率为p，那么第一年年终的总资金是多少万元?（�用代数式来表示）（注：年获利率=×100%） （2）如果第二年的年获利率多10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率． 12．机械加工需要拥有进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克.为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关. （1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍然为60%.问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？ （2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油量的重复利用率将增加1.6%. 这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克. 问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克?用油的重复利用率是多少？ 3 学科网（北京）股份有限公司 $