精品解析：云南省昆明市第十四中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷

昆十四中2027届高二年级10月月考数学试题 一､单选题 1. 直线：与直线：的距离是（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线的焦距是虚轴的2倍，则的离心率为（ ）． A. B. 2 C. D. 3. 已知双曲线：（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆的左右焦点分别是、，焦距为，若直线与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线：的焦点为，点在上，若到直线的距离为4，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，若四边形为矩形，则C的离心率为（ ） A. B. 3 C. D. 二､多选题 9. 已知是椭圆上一点，、分别为的左、右焦点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 短轴长为 C. 离心率为 D. 三角形周长为16 10. 设动直线：交圆：于A，B两点（点为圆心），则下列说法正确的有（ ） A. 直线l过定点 B. 当取得最小值时， C. 当最小时，其余弦值为 D. 的最大值为24 11. 已知双曲线（，）的左右焦点分别是，，左，右顶点分别为，，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点（M为第一象限的交点），O为坐标原点，则（ ） A. B. C. ，C的离心率为 D. 四边形的面积为 三､填空题 12. 设点在抛物线C：上，F为C的焦点，则______． 13. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________. 14. 如图，△ABC内接于椭圆，其中A与椭圆右顶点重合，边BC过椭圆中心O，若AC边上中线BM恰好过椭圆右焦点F，则该椭圆的离心率为______． 四､解答题 15. 已知圆C的圆心在直线上，且圆C与直线相切于点． （1）求圆C的方程； （2）若过点的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程． 16. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）求证：； （2）若，求的面积． 17. 已知椭圆的离心率为． （1）求的方程； （2）过的右焦点的直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求的方程． 18. 如图1，在中，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 19. 已知椭圆：的离心率为，长轴为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线：与椭圆交于，两点，求弦长； （3）点在上，过点的直线交椭圆于，两点（异于点），设直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆十四中2027届高二年级10月月考数学试题 一､单选题 1. 直线：与直线：的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线间的距离公式可直接求解. 【详解】设 与的距离为d， 则 . 故选：B. 2. 已知双曲线的焦距是虚轴的2倍，则的离心率为（ ）． A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设，结合双曲线参数关系得，再求离心率. 【详解】由题设，双曲线的焦距是虚轴的2倍，则，故， 由，则，故离心率. 故选：D 3. 已知双曲线：（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设双曲线的焦距为，由条件可求，求双曲线的焦点坐标及渐近线方程，根据点到直线距离公式求焦点到渐近线的距离列方程求，由关系求由此可得结论. 【详解】设双曲线的焦距为，则， 故，所以双曲线的焦点坐标为， 又双曲线的渐近线方程为， 所以双曲线的焦点到渐近线的距离， 因为焦点到渐近线的距离为， 所以，所以， 所以双曲线的渐近线方程为，即， 故选：A. 4. 已知椭圆的左右焦点分别是、，焦距为，若直线与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据的斜率得到，，，结合椭圆定义得到，，由勾股定理列出方程，求出离心率. 【详解】 因为经过左焦点，且斜率为，故， 为三角形内角，所以，所以，则， 设，则， 由椭圆的定义可知：，即，解得：， 所以，， 由勾股定理得：， 故， 解得：，故椭圆离心率. 故选：B 5. 已知抛物线：的焦点为，点在上，若到直线的距离为4，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义求解. 【详解】如图： 抛物线的焦点为，准线为：. 因为点在上，且到直线的距离为4，所以点的横坐标为2. 所以点到准线的距离为， 根据抛物线的定义可得：. 故选：B 6. 抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出双曲线的右焦点，利用抛物线焦点与的关系求解即可. 【详解】对于双曲线：因为，所以，所以． 所以双曲线的右焦点的坐标为． 对于抛物线，因为焦点为，即，可得． 所以其准线方程为． 故选：D． 7. 已知点在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂径定理可得点在以为圆心，为半径的圆上，再利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意可得圆的标准方程为， 设圆心为，半径为，则，， 所以由垂径定理可得，故点在以为圆心，为半径的圆上， 因为点到直线的距离， 所以的最小值为， 故选：A 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，若四边形为矩形，则C的离心率为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立直线与C的方程，求出弦AB长，由求解即得. 【详解】显然直线与交于原点O， 由双曲线对称性知，若四边形是矩形，则， 设点，而 由得，解得， 则， 则，化简得，即，， 解得， 则. 故选：C. 二､多选题 9. 已知是椭圆上一点，、分别为的左、右焦点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 短轴长为 C. 离心率为 D. 三角形周长为16 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据标准方程求出基本量，再逐项计算后可得正确的选项. 【详解】由椭圆可得实半轴长，短半轴长， 故半焦距， 对于A，，故A正确； 对于B，短轴长为，故B正确； 对于C，离心率为，故C正确， 对于D，三角形周长为，故D错误； 故选：ABC. 10. 设动直线：交圆：于A，B两点（点为圆心），则下列说法正确的有（ ） A. 直线l过定点 B. 当取得最小值时， C. 当最小时，其余弦值为 D. 的最大值为24 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A将直线方程整理为，令即可求定点，进而判断，对于B根据几何知识得到当直线与过点和的直线垂直时，利用即可求解，进而判断，对于C根据几何知识得到当直线与过点和的直线垂直时最小，然后利用勾股定理和余弦定理求余弦值即可；对于D，根据外心的结论得到，然后求最值即可. 【详解】对于A：由有，令有， 所以，所以直线l过定点，故A正确； 对于B：点在圆内，圆的圆心为，当取得最小值时，直线与过点和的直线垂直， 所以，解得，故B错误； 对于C：当最小时，此时最小，当最小时，直线与过点和的直线垂直， 则，由余弦定理有，故C错误； 对于D：，即的最大值为24，故D正确， 故选：AD. 11. 已知双曲线（，）的左右焦点分别是，，左，右顶点分别为，，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点（M为第一象限的交点），O为坐标原点，则（ ） A. B. C. ，C的离心率为 D. 四边形的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题意作图，根据三角形全等以及平行四边形性质，可得其正误；对于B，联立圆的方程和渐近线方程，解得的坐标，可得其正误；对于C，根据渐近线的倾斜角的正切值，利用离心率的计算公式，可得其正误；对于D，由题意作图，根据面积组合以及三角形面积公式，可得其正误. 【详解】对于A，由题意可作图如下： 在与中，因为，，， 所以，则，，即， 所以四边形为平行四边形，所以，故A正确； 对于B，以为直径的圆的方程为， 联立，解得，又， 则，故B正确； 对于C，由，，则， 所以离心率，故C错误； 对于D，由题意可作图如下： 因为，，所以， 由图可知四边形的面积，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题 12. 设点在抛物线C：上，F为C的焦点，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】确定抛物线的准线方程，利用抛物线的定义即可求解出. 【详解】由题意知抛物线C：，则，准线， 又点在C上，则点A到焦点F的距离等于该点到准线的距离， 所以. 故答案为：. 13. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再由椭圆的定义求解， 【详解】圆的圆心为，， 圆的圆心为，， 设动圆的圆心为，半径为， 由题意得，，则，， 由椭圆定义得的轨迹方程为， 故答案为： 14. 如图，△ABC内接于椭圆，其中A与椭圆右顶点重合，边BC过椭圆中心O，若AC边上中线BM恰好过椭圆右焦点F，则该椭圆的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分析出为的重心，再根据重心的的关系，即可代入求得椭圆的离心率. 【详解】根据题意， 是中点， 所以是的中位线， 又BM是中线， 所以为的重心， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 四､解答题 15. 已知圆C的圆心在直线上，且圆C与直线相切于点． （1）求圆C的方程； （2）若过点的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用已知圆心特征和垂直关系，即可求得圆的方程； （2）由弦心距的求解过程，即可得出结果. 【小问1详解】 ∵圆C的圆心在直线上，且圆C与直线相切于点 设圆心坐标为，则，解得， 圆心，半径， 故圆的方程为. 【小问2详解】 设直线的斜率为（存在）， 则方程为，又圆的圆心为，半径，弦长为， 故弦心距， 故，解得， 所以直线方程为， 故的方程为或. 16. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 因为， 根据正弦定理得： 又，所以， 所以， 即， 所以，或（舍）， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理以及和差角公式即可证明. （2）根据正弦定理求得，再根据余弦定理求出，利用面积公式求出的面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据正弦定理得，即， 有余弦定理，得， 解得或， 当时，，，，则，， 而，矛盾，舍去，故， 所以的面积为 17. 已知椭圆的离心率为． （1）求的方程； （2）过的右焦点的直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的离心率为，列出方程，求得的值，即可求解； （2）设的方程为，联立方程组，设，利用弦长公式和点到直线的距离公式，求得和，结合的面积为，列出方程求得的值，即可求解. 【小问1详解】 由题意知，椭圆的离心率为， 可得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，椭圆，可得，所以右焦点， 由题意知，直线的斜率不为零，设的方程为， 联立方程组，整理得到， 可得， 设，则， 所以， 又由点到的距离， 所以的面积， 解得或（舍），所以， 所以的方程为或， 即直线的方程为或． 18. 如图1，在中，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 在图1的中，， 所以，，且，， 因为，所以，，则，， 在中，，，，则， 在图2的中，，，， 满足，所以， 因为，，，、平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成角的余弦值； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，， 以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，，， 设平面一个的法向量，则， 取，可得， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设平面与平面所成角为， 则， 因此，平面与平面所成角的余弦值为. 19. 已知椭圆：的离心率为，长轴为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线：与椭圆交于，两点，求弦长； （3）点在上，过点的直线交椭圆于，两点（异于点），设直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据离心率、长轴的长度和，求出的值，从而得到椭圆的标准方程； （2）通过直线和椭圆联立方程组，消元后得到一元二次方程，利用根与系数的关系和弦长公式求解； （3）先根据题意判断出直线存在斜率，再按照斜率是否为0进行分类讨论，在斜率为0时，利用斜率公式求出，，计算的值；在斜率不为0时，先设直线，再将直线和椭圆联立方程组，消去，得，整理得到的一元二次方程，设，利用根与系数的关系和斜率公式计算得解. 【小问1详解】 由题知，，又有，解得，，， 所以椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 联立与椭圆可得， 设，，则，， 所以弦长. 【小问3详解】 证明：由已知直线过点，且交椭圆于两点，所以直线的斜率存在． 当直线l2的斜率为0时，方程为y=0，此时两点坐标为，又， 则. 当直线的斜率不为0时，由已知设直线， 设点且与点不重合， 联立直线与椭圆的方程，消去，得， 整理得，则，即， 解得或，且，则 ， 代入， 得. 综上，为定值，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $