16.3《乘法公式》课后作业 2025-2026学年人教版数学八年级上册

详解答案 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 1．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　） A．（x+y）（ y﹣x） B．（﹣a+b）（a﹣b） C．（ x+2）（2+x） D．（ x﹣2）（ x+1） 【解答】解：A、（x+y）（y﹣x）＝y2﹣x2，能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意； B、（﹣a+b）（a﹣b）＝﹣（a﹣b）2，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； C、（x+2）（2+x）＝（x+2）2，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； D、（x﹣2）（x+1）不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了平方差公式，能熟记平方差公式是解此题的关键，注意：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． 2．运用乘法公式计算（2x+y+3）（2x+y﹣3）结果正确的是（　　） A．4x2+y2﹣9 B．4x2﹣12xy+9﹣y2 C．4x2﹣y2﹣9 D．4x2+4xy+y2﹣9 【解答】解：原式＝（2x+y）2﹣32 ＝4x2+4xy+y2﹣9， 故选：D． 【点评】本题考查了整式的乘法运算，掌握平方差公式是解题的关键． 3．将展开得到（　　） A． B． C． D． 【解答】解： ， 故选：A． 【点评】本题考查了完全平方公式，熟记这个乘法公式是解题的关键． 4．计算x（x﹣3）﹣（x﹣1）（1+x）的结果正确的是（　　） A．3x﹣1 B．﹣3x﹣1 C．3x+1 D．﹣3x+1 【解答】解：原式＝x2﹣3x﹣（x2﹣1） ＝x2﹣3x﹣x2+1 ＝﹣3x+1． 故选：D． 【点评】此题考查了整式的混合运算．熟练掌握该知识点是关键． 5．一位庄园主把一块边长为a米的正方形土地租给租户，第二年，他对租户说：“我把这块地的一组对边增加10米，一组对边减少10米，继续租给你，租金不变，你看如何？”如果这样，你觉得租户的租地面积会（　　） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 【解答】解：∵长方形的长为（a+10）米，长方形的宽为（a﹣10）米， ∴长方形的面积为（a+10）（a﹣10）＝a2﹣100， ∴长方形的面积比正方形的面积a2小了100平方米， 故选：A． 【点评】本题考查了平方差公式的应用，列出长方形面积的代数式，根据平方差公式计算是解题的关键． 6．对于任意整数n，整式（3n+1）（3n﹣1）﹣（3﹣n）（3+n）的值都能（　　） A．被10整除 B．被9整除 C．被8整除 D．被7整除 【解答】解：原式＝（3n）2﹣12﹣（32﹣n2） ＝9n2﹣9﹣1+n2 ＝10n2﹣10 ＝10（n2﹣1）． ∵n为整数， ∴10（n2﹣1）能被10整除． 故选：A． 【点评】本题主要考查了平方差公式、整式的混合运算等知识点，掌握整式的混合运算法则成为解题的关键． 7．已知（a+b）2＝15，（a﹣b）2＝7，则ab的值等于（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 【解答】解：（a+b）2＝15①，（a﹣b）2＝7② ①﹣②得：4ab＝8， 解得：ab＝2． 故选：D． 【点评】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟记完全平方公式结构：（a±b）2＝a2±2ab+b2，求出两个等式的差是解题的关键． 8．如图①，已知正方形ABCD的边长为a，正方形EFHD的边长为b，长方形AEFG和GBCH为阴影部分，将这两个长方形剪下来，拼成如图②所示的长方形，比较两个图中阴影部分的面积，可得等式（　　） A．a2+2ab+b2＝（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2﹣ab＝a（a﹣b） 【解答】解：根据题意可知，图①阴影部分的面积为：a2﹣b2， 图②阴影部分面积为：AH•CH＝（a+b）（a﹣b）， ∵这两个长方形剪下来，拼成如图②所示的长方形， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：C． 【点评】此题考查了平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的定义是关键． 9．如图，两个正方形的边长分别为m，n．若m+n＝6，mn＝8，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B．10 C．12 D．16 【解答】解：由图形可知：阴影部分的面积： ， ∵m+n＝6，mn＝8， ∴阴影部分的面积为． 故选：A． 【点评】本题考查完全平方公式的应用，利用数形结合思想和完全平方公式求解是解题的关键． 10．若A（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）…（1）+1，则A的值是（　　） A．0 B．1 C． D． 【解答】解：A（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）……（1）+1 ＝﹣（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）……（1）+1 ＝﹣（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）……（1）+1 ＝﹣（1）（1）+1 ＝﹣（1）+1 故选：D． 【点评】本题考查了平方差公式在化简求值中的应用，能灵活运用平方差公式是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．（2a﹣1）（　2a+1　 ）＝4a2﹣1． 【解答】解：根据平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， ∴4a2﹣1变形为4a2﹣1＝（2a）2﹣12＝（2a+1）（2a﹣1） 故答案为：2a+1． 【点评】本题考查了平方差公式的逆运算，熟练掌握平方差公式的逆运算是解题的关键． 12．（2x﹣5）2＝　4x2﹣20x+25　 ． 【解答】解：根据完全平方公式可得：（2x﹣5）2＝4x2﹣20x+25． 故答案为：4x2﹣20x+25． 【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题的关键． 13．已知a+b＝2，ab＝﹣8，则a2+b2＝　20　 ． 【解答】解：∵a+b＝2，ab＝﹣8， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝a2﹣16+b2＝4， 则a2+b2＝20． 故答案为：20． 【点评】此题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 14．若4y2﹣my+16可以配成一个完全平方公式，则m的值为　±16　 ． 【解答】解：∵4y2﹣my+16＝（2y±4）2， ∴m＝±16， 故答案为：±16． 【点评】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 15．如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角各剪去一个边长为b的正方形，若a＝3.6，b＝0.8，则剩余部分的面积为　10.4　 ． 【解答】解：由题意可得： 剩余部分的面积为：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）， 将a＝3.6，b＝0.8代入上式可得： 原式＝（3.6+2×0.8）（3.6﹣2×0.8）＝10.4． 故答案为：10.4． 【点评】此题主要考查了平方差公式的应用，正确分解因式是解题关键． 三、解答题（本大题共5小题，总分50分） 16．化简：（a+2）（a﹣2）+a（4﹣a）． 【解答】解：原式＝a2﹣4+4a﹣a2 ＝4a﹣4． 【点评】本题考查了整式的化简，熟练运算法则是解题的关键． 17．计算：（2a﹣b+3c）2． 【解答】解：将原式化为[（2a﹣b）+3c]2，再由完全平方公式展开计算可得： 原式＝[（2a﹣b）+3c]2 ＝（2a﹣b）2+（3c）2+2（2a﹣b）•3c ＝4a2+b2﹣4ab+9c2+12ac﹣6bc． 【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题的关键． 18．已知（x+y）2＝4，x2+y2＝100．求： （1）xy的值； （2）x﹣y的值． 【解答】解：（1）∵（x+y）2＝4， ∴x2+2xy+y2＝4， ∵x2+y2＝100， ∴100+2xy＝4， xy＝﹣48； （2）∵xy＝﹣48，x2+y2＝100， ∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2 ＝x2+y2﹣2xy ＝100﹣2×（﹣48） ＝196， ∴． 【点评】本题考查完全平方公式的变形运算，代数式求值，平方根，掌握知识点是解题的关键． 19．探究：如图1，在边长为a的大正方形中裁剪一个边长为b的小正方形，把图1中的剩下（阴影）部分剪拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． 请应用上述公式完成下列各题： （1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，求2m﹣n的值； （2）计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12． 【解答】解：（1）由4m2＝12+n2，得4m2﹣n2＝12， ∵根据完全平方公式知（2m+n）（2m﹣n）＝4m2﹣n2＝12， 又∵2m+n＝4， ∴2m﹣n＝3； （2）原式＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+⋯+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1） ＝100+99+98+97+⋯+4+3+2+1 ＝5050． 【点评】本题考查平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题的关键． 20．我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，反之运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图①的图形． （1）请用两种不同的方法表示图①中阴影部分的面积和，可以得到的等式是：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ； （2）根据（1）中的等式计算：若x+y＝9，xy＝10，求x2+y2的值； （3）如图②，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝7，两正方形的面积和S1+S2＝25，直接写出图中阴影部分的面积为　12　 ． 【解答】解：（1）根据题意可知， 图①中阴影部分面积＝大正方形面积﹣两个空白长方形面积，即（a+b）2﹣2ab， 图①中阴影部分面积＝小正方形的面积+小正方形的面积，即a2+b2， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab． 故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； （2）根据题意可知，x+y＝9，xy＝10， ∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy ＝92﹣2×10 ＝81﹣20 ＝61； （3）设AC＝s，BC＝t， ∵AB＝7， ∴s+t＝7， ∵S1+S2＝25， ∴s2+t2＝25， ∵s2+t2＝（s+t）2﹣2st， ∴25＝72﹣2st， ∴st＝12，即阴影部分面积为12． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方公式和多项式乘多项式是关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16章 整式的乘法 3.乘法公式 考试时间:45分钟 满分100分 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 1．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　） A．（x+y）（ y﹣x） B．（﹣a+b）（a﹣b） C．（ x+2）（2+x） D．（ x﹣2）（ x+1） 2．运用乘法公式计算（2x+y+3）（2x+y﹣3）结果正确的是（　　） A．4x2+y2﹣9 B．4x2﹣12xy+9﹣y2 C．4x2﹣y2﹣9 D．4x2+4xy+y2﹣9 3．将展开得到（　　） A． B． C． D． 4．计算x（x﹣3）﹣（x﹣1）（1+x）的结果正确的是（　　） A．3x﹣1 B．﹣3x﹣1 C．3x+1 D．﹣3x+1 5．一位庄园主把一块边长为a米的正方形土地租给租户，第二年，他对租户说：“我把这块地的一组对边增加10米，一组对边减少10米，继续租给你，租金不变，你看如何？”如果这样，你觉得租户的租地面积会（　　） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 6．对于任意整数n，整式（3n+1）（3n﹣1）﹣（3﹣n）（3+n）的值都能（　　） A．被10整除 B．被9整除 C．被8整除 D．被7整除 7．已知（a+b）2＝15，（a﹣b）2＝7，则ab的值等于（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 8．如图①，已知正方形ABCD的边长为a，正方形EFHD的边长为b，长方形AEFG和GBCH为阴影部分，将这两个长方形剪下来，拼成如图②所示的长方形，比较两个图中阴影部分的面积，可得等式（　　） A．a2+2ab+b2＝（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2﹣ab＝a（a﹣b） 9．如图，两个正方形的边长分别为m，n．若m+n＝6，mn＝8，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B．10 C．12 D．16 10．若A（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）…（1）+1，则A的值是（　　） A．0 B．1 C． D． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．（2a﹣1）（　 　 ）＝4a2﹣1． 12．（2x﹣5）2＝　 　 ． 13．已知a+b＝2，ab＝﹣8，则a2+b2＝　 　 ． 14．若4y2﹣my+16可以配成一个完全平方公式，则m的值为　 　 ． 15．如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角各剪去一个边长为b的正方形，若a＝3.6，b＝0.8，则剩余部分的面积为　 　 ． 三、解答题（本大题共5小题，总分50分） 16．化简：（a+2）（a﹣2）+a（4﹣a）． 17．计算：（2a﹣b+3c）2． 18．已知（x+y）2＝4，x2+y2＝100．求： （1）xy的值； （2）x﹣y的值． 19．探究：如图1，在边长为a的大正方形中裁剪一个边长为b的小正方形，把图1中的剩下（阴影）部分剪拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． 请应用上述公式完成下列各题： （1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，求2m﹣n的值； （2）计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12． 20．我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，反之运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图①的图形． （1）请用两种不同的方法表示图①中阴影部分的面积和，可以得到的等式是：　 　 ； （2）根据（1）中的等式计算：若x+y＝9，xy＝10，求x2+y2的值； （3）如图②，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝7，两正方形的面积和S1+S2＝25，直接写出图中阴影部分的面积为　 　 ． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 1．A． 2．D． 3．A． 4．D． 5．A． 6．A． 7．D． 8．C． 9．A． 10．D． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．2a+1． 12．（：4x2﹣20x+25． 13．20． 14．±16． 15．10.4． 三、解答题（本大题共5小题，总分50分） 16．解：原式＝a2﹣4+4a﹣a2 ＝4a﹣4． 17．解：将原式化为[（2a﹣b）+3c]2，再由完全平方公式展开计算可得： 原式＝[（2a﹣b）+3c]2 ＝（2a﹣b）2+（3c）2+2（2a﹣b）•3c ＝4a2+b2﹣4ab+9c2+12ac﹣6bc． 18．解：（1）∵（x+y）2＝4， ∴x2+2xy+y2＝4， ∵x2+y2＝100， ∴100+2xy＝4， xy＝﹣48； （2）∵xy＝﹣48，x2+y2＝100， ∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2 ＝x2+y2﹣2xy ＝100﹣2×（﹣48） ＝196， ∴． 19．解：（1）由4m2＝12+n2，得4m2﹣n2＝12， ∵根据完全平方公式知（2m+n）（2m﹣n）＝4m2﹣n2＝12， 又∵2m+n＝4， ∴2m﹣n＝3； （2）原式＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+⋯+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1） ＝100+99+98+97+⋯+4+3+2+1 ＝5050． 20．解：（1）根据题意可知， 图①中阴影部分面积＝大正方形面积﹣两个空白长方形面积，即（a+b）2﹣2ab， 图①中阴影部分面积＝小正方形的面积+小正方形的面积，即a2+b2， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab． 故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； （2）根据题意可知，x+y＝9，xy＝10， ∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy ＝92﹣2×10 ＝81﹣20 ＝61； （3）设AC＝s，BC＝t， ∵AB＝7， ∴s+t＝7， ∵S1+S2＝25， ∴s2+t2＝25， ∵s2+t2＝（s+t）2﹣2st， ∴25＝72﹣2st， ∴st＝12，即阴影部分面积为12． 故答案为：12． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $