24.1圆的有关性质（教学课件）2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

该初中数学课件聚焦圆的有关性质，涵盖圆周角概念、定理及推论、垂径定理等核心知识点。通过“温故知新”复习圆心角，结合投圈游戏现实情境导入，构建从圆心角到圆周角的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以探究活动培养数学眼光，如投圈游戏公平性引导抽象圆的性质，圆周角定理分情况证明强化推理意识，垂径定理辅助线总结体现模型意识。菱形中点共圆等例题提升学生几何直观，教师可借助结构化资源实施探究教学，助力学生发展核心素养，提高教学效果。

第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.4 圆周角 问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？ 顶点在圆心的角叫圆心角, ∠BOC. 问题2 如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点? A ∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、C两点. 1.理解圆周角的概念,掌握圆周角的定理的内容及简单应用. 2.掌握圆周角的定理的推论及简单应用. 3.了解圆内接多边形的有关概念. 4.掌握圆内接四边形的性质并灵活应用. 探究圆的概念 问题1 一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开.这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？ 4 甲 丙 乙 丁 为了使游戏公平， 应在目标周围围成一个圆排队， 因为圆上各点到圆心的距离都等于半径. 为什么？ · r O P 圆的旋转定义： 问题2 观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？ 如图，在平面内，线段 OP 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，则另一个端点 P 所形成的封闭曲线叫做圆． 固定的端点 O 叫做圆心； 线段 OP 叫做半径； 以点 O 为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”． 圆心O 在∠BAC 的 内部 圆心O在∠BAC的一边上 圆心O在∠BAC 的外部 新知讲解 圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形） OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C 新知讲解 证明：连接OA、OB. 则OA＝OB． 又∵CD⊥AB， ∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线. ∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称. B O A C D E 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 知识点2 垂径定理及其推论 显然，由上面的证明可知，如果⊙O的直径CD垂直于弦AB,垂足为E，那么点A、B是关于CD所在直线的对称点，则AE=BE.把⊙O沿CD对折时，AD与BD重合，即AD=BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ B O A C D E 车轮不是圆的会怎样呢？ 弦: · C O A B 连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦. 经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径． 1.弦和直径都是线段. 2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦， 但弦不一定是直径. 注意 知识点2 圆的有关概念 　　 探究新知 活动三：请同学们观察你手中的圆，圆上的线段除了半径OA、OB外，还有其他线段吗？线段AB叫做圆什么？ 思考：小组交流，你手中圆上的弦还有哪几条？有没有最长的？为什么？ 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦. 　　 探究新知 经过圆心的弦叫做直径． 注意： 1.弦和直径都是线段. 2.直径是弦, 是经过圆心的特殊弦， 是圆中最长的弦， 但弦不一定是直径. · C O A B 直径 14 A B C O ∴ AB=AC.∴△ABC是等腰三角形． 又∠ACB=60°， ∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA. ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. 例2 如图，在⊙O中，AB= AC，∠ACB=60°. 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. 证明：∵ AB= AC ， 1.下列四个图中的角，是圆心角的是(　　) D 探索新知 知识点2 圆的有关概念 能够重合的两个圆叫做等圆. A B r r 半径相等的两个圆是等圆. 反过来，同圆或等圆的半径相等. O （2） （1） B A D C 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 探索新知 知识点2 圆的有关概念 结论：等弧仅仅存在于同圆或者等圆中. 可见这两条弧不可能完全重合 实际上这两条弧弯曲程度不同 “等弧”要区别于“长度相等的弧” 如图，如果 AB 和 CD 的拉直长度都是 10 cm，移动并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？ ︵ ︵ D C A B 思考：长度相等的弧是等弧吗？ 4.如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O.E，F，G，H 分别为边AB，BC，CD，DA 的中点，那么点E，F，G，H 是否在同一个圆上？请说明理由. 分析：只需说明E，F，G，H 四点到点O 的距离相等即可. 解：点E，F，G，H 在同一个圆上，理由如下： 如图，连接OE，OF，OG，OH. ∵四边形ABCD 是菱形，∴ AB=BC=CD=DA，AC ⊥ BD. 又 E 为AB 边的中点，∴ 同理可得，OF= BC，OG= CD，OH= DA. ∴ OE=OF=OG=OH. ∴点E，F，G，H 在以点O 为圆心，OE 为半径的圆上. 【题型一】垂径定理在求最值中的应用 （2）经过线段 OM 的弦是过 M 点的所有弦中最长的弦. (2)由(1)得 ∴ON越小,CD越长, ∴当 时,CD最长,此时CD经过线段OM, ∴经过线段OM的弦是过M点的所有弦中最长的弦. 【题型二】垂径定理在弓形问题中的应用 例2 如图，OE⊥AB 于 E，若☉O 的半径为 10 cm，点O到直线AB的距离为 6 cm，则 AB = cm. · O A B E 解析：连接 OA，作OE垂直AB ∵ OE⊥AB， ∴ AB = 2AE = 16 (cm). 16 ∴ (cm). 做辅助线的方法： ①连半径 ②作弦心距 结论：()2 +弦心距2 =半径2 1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C= ，∠D= . 2．⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ，则∠D= . 70º 100º 90º 练一练 例3 如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC. 证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD. 又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB，∴AB垂直平分CD. ∴AC＝AD.∴∠ADC＝∠ACD. ∴∠FGD＝∠ADC. 方法总结：圆内接四边形的性质是推导角相等关系的重要依据． $