专题24.4 圆周角（高效培优讲义）数学人教版九年级上册

专题24.4 圆周角 教学目标 1. 掌握圆周角的概念，能够熟练的判断圆周角。 2. 掌握圆周角定理及其的推论，并能够在题目中熟练的进行应用。 3. 掌握圆的内接多边形的概念与内接四边形的性质，并能够在解决相关问题时熟练应用 教学重难点 1. 重点 （1） 圆周角定理及其推论； （2） 圆的内接四边形的性质。 2. 难点 （1）圆周角定理及其推论的应用； （2）圆的内接四边形的性质的应用。 知识点01 圆周角及其圆周角定理 1. 圆周角的定义： 顶点在 ，且两边都与圆 的角叫做圆周角。 2. 圆周角定理的内容： 一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的 。 即：∠BAC＝ ∠BOC 【即学即练1】 1．下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上，且在AB异侧，若∠AOD＝40°，则∠BCD的度数为（　　） A．40° B．65° C．70° D．75° 知识点02 圆周角定理的推论 1. 圆周角定理的推论： （1） 在 或 中，同弧或等弧所对的圆周角都 。相等的圆周角所对的弧也 。 如图：若AC (⌒)＝BD (⌒)，则∠ABC ∠BAD；若∠ABC ∠BAD，则AC (⌒) BD (⌒)。 （2） 半圆（或直径）所对的圆周角是 ；90°的圆周角所对的弦是 。 如图：若AB是⊙O的直径，则∠ADB＝∠BCA＝ 。 若∠ADB＝∠BCA＝90°，则AB是⊙O的 。 【即学即练1】 3．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．求证：AE＝CE． 【即学即练2】 4．如图，BC是⊙O的直径，且AC＝AB，，则∠CBD的度数为　 　 ． 知识点03 圆内接四边形的性质 1. 圆的内接四边形的概念： 如图：四个顶点都在 的四边形叫做圆的内接四边形。多边形的顶点都在圆上的多边形叫做圆的内接多边形。 2. 圆的内接四边形的性质： （1） 圆的内接四边形的对角 。 即∠B＋∠D＝ ，∠C＋∠BAD＝ 。 （2）圆的内接四边形的任意一个外角等于它的 （就是和它相邻的内角的对角） 即：∠EAD＝ 。 【即学即练1】 5．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，记∠BAC的度数为α，∠CAD的度数为β．若AB＝AC，AB∥CD，则有（　　） A．2α+3β＝180° B．3α+4β＝360° C．3α+2β＝180° D．4α+3β＝360° 【即学即练2】 6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，延长AB至点E，若，则∠CBE的度数为（　　） A．80° B．76° C．72° D．70° 题型01 圆周角的判断 【典例1】下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列图形中的角是圆周角的是（　　） A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．② 题型02 圆周角定理进行计算证明 【典例1】如图，已知A，B，C是圆O上的三点，∠ABC＝35°，则∠AOC的大小为（　　） A．75° B．70° C．60° D．55° 【变式1】如图，在⊙O中，∠AOB＝50°，OB⊥AC，垂足为点D，则∠OBC＝（　　） A．40° B．25° C．55° D．65° 【变式2】如图，在⊙O中，点A是的中点，点D在上，若∠BDC＝24°，则∠AOB的大小为（　　） A．12° B．24° C．32° D．48° 【变式3】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，，若∠AOD＝50°，则∠A的度数为（　　） A．75° B．65° C．55° D．50° 【变式4】如图，AB，CD为⊙O直径，弦DE，BF分别与半径AO，CO相交，且DE＝BF． （1）求证：∠B＝∠D； （2）若，且∠D＝40°，求∠AOC的度数． 题型03 圆周角定理的推论计算证明 【典例1】如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上的两点且位于直径AB的两侧．若∠D＝24°，则∠ABC的度数为（　　） A．66° B．64° C．56° D．54° 【变式1】如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，CA＝CE，若∠ACE＝52°，则∠CBD的大小为（　　） A．68° B．72° C．78° D．80° 【变式2】如图，AC为⊙O的直径，点B，D在⊙O上，∠ABD＝60°，CD＝2，则AD的长为（　　） A．2 B． C． D．4 【变式3】如图，AB是⊙O的直径，CD＝CB，CE⊥AB于点E，连接BD交CE于点F． （1）求证：CF＝BF． （2）若CD＝4，AC＝8，求弦BD的长． 题型04 圆的内接四边形的性质的应用 【典例1】如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若∠BDC＝130°，则∠ABC的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【变式1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝125°，则∠AOC的度数是（　　） A．100° B．110° C．120° D．125° 【变式2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，M为边CB延长线上一点．若∠AOC＝98°，则∠ABM的度数是（　　） A．42° B．49° C．51° D．59° 【变式3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，CE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接AC、BD，CD平分∠BDE． （1）求证：CA＝CB； （2）若点B为CAD的中点，DE＝2，CE＝6时，求AD的长． 1．如图，在圆O中∠BOC＝50°，求∠A的大小（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 2．如图，AB是⊙O的直径，，∠COB＝40°，则∠A的度数是（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 3．如图，点A、B、C、D在⊙O上，BO∥CD，∠A＝25°，则∠O＝（　　） A．120° B．130° C．100° D．125° 4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接AC，AD，BD，CD．若∠C＝50°，则∠BAD的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，延长AB，DC交于点E，延长AD，BC交于点F．若∠A＝40°，∠E＝55°，则∠F的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上．若∠BEC＝15°，则∠ADC的度数为（　　） A．120° B．115° C．110° D．105° 7．如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车⊙O与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，PC是⊙O的直径，连接PA、PB，点M在AB的延长线上，若∠APC＝20°，则∠PBM＝（　　） A．115° B．70° C．120° D．110° 8．如图，点A、B、C在⊙O上，点D为⊙O外一点，，则∠D的度数可能是（　　） A．74° B．75° C．76° D．77° 9．李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运A动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，可得到形状唯一确定的△PAQ； ②当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，可得到形状唯一确定的△PAQ； ③当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，可得到形状唯一确定的△PAQ． 其中所有正确结论有几个？（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．如图，CD是⊙O的直径，CD＝8，∠ACD＝20°，点B为弧AD的中点，点P是直径CD上的一个动点，则PA+PB的最小值为（　　） A．4 B．8 C． D． 11．如图．已知AB是圆O的直径，∠BOC＝80°，则∠BDC的度数为　 　 ． 12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AO交⊙O于点E，连接BE．若∠C＝100°，∠DAE＝50°，则∠E＝　 　 ． 13．如图，AB是半圆O的直径，BC＝BD，OC＝6，∠CBA＝30°，则O到CD的距离OE＝　 　 ． 14．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，D是的中点，CB＝CE．若∠AOB＝100°，∠OBC＝55°，则∠DCE＝ 　 　 °， 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，以AB为直径在矩形内作半圆，点P为半圆上的一动点（不与A，D重合），连接AP、DP，当△ADP为锐角等腰三角形时，AP的长为 　 　 ． 16．如图，点A，B，C，D在⊙O上，．求证：AC＝BD． 17．如图，AC为⊙O的直径，且AC⊥BD于点E．连接AB，OB，BC． （1）求证：∠CBO＝∠ABD； （2）若AE＝1，CE＝4，求弦BD的长． 18．如图，A，B，C，D是⊙O上的点，AC＝BD，AC，BD分别交OD，OC于点N，M．求证： （1）∠A＝∠D； （2）CM＝DN． 19．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC，BC分别于点E，D两点，连接ED，BE． （1）求证：． （2）若BC＝6．AB＝5，求BE的长． 20．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于点E、F． （1）求证：点D为的中点； （2）若CB＝6，AB＝10，求DF的长； （3）若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24.4 圆周角 教学目标 1. 掌握圆周角的概念，能够熟练的判断圆周角。 2. 掌握圆周角定理及其的推论，并能够在题目中熟练的进行应用。 3. 掌握圆的内接多边形的概念与内接四边形的性质，并能够在解决相关问题时熟练应用 教学重难点 1. 重点 （1） 圆周角定理及其推论； （2） 圆的内接四边形的性质。 2. 难点 （1）圆周角定理及其推论的应用； （2）圆的内接四边形的性质的应用。 知识点01 圆周角及其圆周角定理 1. 圆周角的定义： 顶点在 圆上 ，且两边都与圆 相交 的角叫做圆周角。 2. 圆周角定理的内容： 一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的 一半 。 即：∠BAC＝ ∠BOC 【即学即练1】 1．下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据圆周角的定义可知，选项B的角是圆周角， 故选：B． 【即学即练2】 2．如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上，且在AB异侧，若∠AOD＝40°，则∠BCD的度数为（　　） A．40° B．65° C．70° D．75° 【答案】C 【解答】解：∵∠AOD＝40°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣40°＝140°， ∵∠BOD与∠BCD是所对的圆心角与圆周角， ∴， 故选：C． 知识点02 圆周角定理的推论 1. 圆周角定理的推论： （1） 在 同圆 或 等圆 中，同弧或等弧所对的圆周角都 相等 。相等的圆周角所对的弧也 相等 。 如图：若AC (⌒)＝BD (⌒)，则∠ABC ＝ ∠BAD；若∠ABC ＝ ∠BAD，则AC (⌒) ＝ BD (⌒)。 （2） 半圆（或直径）所对的圆周角是 直角 ；90°的圆周角所对的弦是 直径 。 如图：若AB是⊙O的直径，则∠ADB＝∠BCA＝ 90° 。 若∠ADB＝∠BCA＝90°，则AB是⊙O的 直径 。 【即学即练1】 3．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．求证：AE＝CE． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵AB＝CD， ∴，即， ∴， ∴AD＝BC， 又∵∠ADE＝∠CBE，∠A＝∠C， ∴△ADE≌△CBE（ASA）， ∴AE＝CE． 【即学即练2】 4．如图，BC是⊙O的直径，且AC＝AB，，则∠CBD的度数为　22.5°　 ． 【答案】22.5°． 【解答】解：∵， ∴AD＝BD， ∴∠DAB＝∠DBA， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠CAB＝90°， ∵AC＝AB， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°（等边对等角）， ∴∠ADB＝∠ACB＝45°， ∴∠DAB＝∠DBA＝67.5°， ∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝67.5°﹣45°＝22.5°， 则∠CBD的度数为22.5°， 故答案为：22.5°． 知识点03 圆内接四边形的性质 1. 圆的内接四边形的概念： 如图：四个顶点都在 圆上 的四边形叫做圆的内接四边形。多边形的顶点都在圆上的多边形叫做圆的内接多边形。 2. 圆的内接四边形的性质： （1） 圆的内接四边形的对角 互补 。 即∠B＋∠D＝ 180° ，∠C＋∠BAD＝ 180° 。 （2）圆的内接四边形的任意一个外角等于它的 内对角 （就是和它相邻的内角的对角） 即：∠EAD＝ ∠C 。 【即学即练1】 5．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，记∠BAC的度数为α，∠CAD的度数为β．若AB＝AC，AB∥CD，则有（　　） A．2α+3β＝180° B．3α+4β＝360° C．3α+2β＝180° D．4α+3β＝360° 【答案】C 【解答】解：∵∠BAC的度数为α，∠CAD的度数为β， ∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝α+β， ∴AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， 由三角形内角和定理得：∠B+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴2∠ACB+α＝180°， ∴∠ACB＝90°α， ∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC＝α， ∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°α+α＝90°α， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∴90°α+α+β＝180°， 整理得：3α+2β＝180°． 故选：C． 【即学即练2】 6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，延长AB至点E，若，则∠CBE的度数为（　　） A．80° B．76° C．72° D．70° 【答案】D 【解答】解：∵， ∴AC＝CD， ∴， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠CBE＝∠CDA＝70°， 故选：D． 题型01 圆周角的判断 【典例1】下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据圆周角的定义可知，选项A中的角是圆周角． 故选：A． 【变式1】下列图形中的角是圆周角的是（　　） A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．② 【答案】D 【解答】解：①图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故①选项不符合题意； ②图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故②选项符合题意； ③图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故③选项不符合题意； ④不是圆周角，因为角的一边不和圆相交，故④选项不符合题意； ⑤不是圆周角，因为角的两边不和圆相交，故⑤选项不符合题意． 故选：D． 题型02 圆周角定理进行计算证明 【典例1】如图，已知A，B，C是圆O上的三点，∠ABC＝35°，则∠AOC的大小为（　　） A．75° B．70° C．60° D．55° 【答案】B 【解答】解：∵∠AOC与∠ABC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠ABC＝35°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝70°， 故选：B． 【变式1】如图，在⊙O中，∠AOB＝50°，OB⊥AC，垂足为点D，则∠OBC＝（　　） A．40° B．25° C．55° D．65° 【答案】D 【解答】解：由条件可知： ， ∵OB⊥AC， ∴∠BDC＝90°， 在Rt△BCD中，∠OBC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣25°＝65°， 故选：D． 【变式2】如图，在⊙O中，点A是的中点，点D在上，若∠BDC＝24°，则∠AOB的大小为（　　） A．12° B．24° C．32° D．48° 【答案】B 【解答】解：连接OC， ∵∠BDC＝24°， ∴∠BOC＝2∠BDC＝48°， ∵点A是的中点， ∴∠AOB∠BOC＝24°． 故选：B． 【变式3】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，，若∠AOD＝50°，则∠A的度数为（　　） A．75° B．65° C．55° D．50° 【答案】B 【解答】解：∵，∠AOD＝50°， ∴， ∵， ∴∠ABC＝∠ABD＝25°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠C＝90°， ∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣25°＝65°． 故选：B． 【变式4】如图，AB，CD为⊙O直径，弦DE，BF分别与半径AO，CO相交，且DE＝BF． （1）求证：∠B＝∠D； （2）若，且∠D＝40°，求∠AOC的度数． 【答案】（1）见解答 （2）120°． 【解答】（1）证明：∵AB，CD为⊙O直径， ∴， ∵DE＝BF， ∴， ∴， 即， ∴∠B＝∠D； （2）解：由条件可知的度数为80°， ∴的度数为40°， ∴的度数为120°， ∴∠AOC的度数为120°． 题型03 圆周角定理的推论计算证明 【典例1】如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上的两点且位于直径AB的两侧．若∠D＝24°，则∠ABC的度数为（　　） A．66° B．64° C．56° D．54° 【答案】A 【解答】解：∵∠D＝24°， ∴∠A＝24°， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣24°＝66°． 故选：A． 【变式1】如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，CA＝CE，若∠ACE＝52°，则∠CBD的大小为（　　） A．68° B．72° C．78° D．80° 【答案】C 【解答】解：∵CA＝CE，∠ACE＝52°， ∴64°， ∵， ∴∠ABD＝∠ACE＝52°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣∠CAE ＝90°﹣64° ＝26°， ∴∠CBD＝∠ABD+∠ABC ＝52°+26° ＝78°， 故选：C． 【变式2】如图，AC为⊙O的直径，点B，D在⊙O上，∠ABD＝60°，CD＝2，则AD的长为（　　） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【解答】解：∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∵∠ABD＝60°， ∴∠ACD＝∠ABD＝60°， ∴∠DAC＝90°﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°， ∵CD＝2， ∴AC＝2CD＝4， ∴AD2． 故选：C． 【变式3】如图，AB是⊙O的直径，CD＝CB，CE⊥AB于点E，连接BD交CE于点F． （1）求证：CF＝BF． （2）若CD＝4，AC＝8，求弦BD的长． 【答案】（1）见解答； （2）16． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠ABC． ∵CE⊥AB， ∴∠CEB＝90°， ∴∠ECB＝90°﹣∠ABC， ∴∠ECB＝∠A． 又∵CD＝CB，， ∴， ∴∠DBC＝∠A， ∴∠ECB＝∠DBC， ∴CF＝BF； （2）解：连接OC，交BD于点G， ∵BC＝CD， ∴OC⊥BD，BD＝2BG， ∵∠ACB＝90°，BC＝CD，AC， ∴AB20， ∴⊙O的半径为10， 设OG＝x，则CG＝10﹣x， 由勾股定理，得BG2＝OB2﹣OG2＝BC2﹣CG2， 即102﹣x2＝（）2﹣（10﹣x）2， 解得x＝6， ∴BG8， ∴BD＝16． 题型04 圆的内接四边形的性质的应用 【典例1】如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若∠BDC＝130°，则∠ABC的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD为圆O的内接四边形， ∴∠A+∠BDC＝180°， ∵∠BDC＝130°， ∴∠A＝50°， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A+∠ABC＝90°， ∴∠ABC＝40°， 故选：A． 【变式1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝125°，则∠AOC的度数是（　　） A．100° B．110° C．120° D．125° 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴﹣∠ABC+∠D＝180°， ∵∠ABC＝125°， ∴∠D＝180°﹣∠ABC＝180°﹣125°＝55°， ∴∠AOC＝2∠D＝2×55°＝110°， 故选：B． 【变式2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，M为边CB延长线上一点．若∠AOC＝98°，则∠ABM的度数是（　　） A．42° B．49° C．51° D．59° 【答案】B 【解答】解：∵∠D∠AOC，∠AOC＝98°， ∴∠D＝49°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC+∠D＝180°， ∵∠ABC+∠ABM＝180°， ∴∠ABM＝∠D＝49°． 故选：B． 【变式3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，CE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接AC、BD，CD平分∠BDE． （1）求证：CA＝CB； （2）若点B为CAD的中点，DE＝2，CE＝6时，求AD的长． 【答案】（1）见解析； （2）AD＝6． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵∠ADC+∠EDC＝180°， ∴∠ABC＝∠EDC， ∵CD平分∠BDE， ∴∠EDC＝∠BDC， ∴∠ABC＝∠BDC， ∵∠BDC＝∠BAC， ∴∠ABC＝∠BAC， ∴CA＝CB； （2）解；过点C作CH⊥BD于H，DE＝2，CE＝6， 设AD＝x，则AE＝AD+DE＝x+2， ∵CD平分∠BDE，CE⊥AD，CH⊥BD， ∴CH＝CE＝6，∠CEA＝∠CHB＝90°， 在Rt△ACE和Rt△BCH中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△BCH（HL）， ∴BH＝AE＝x+2， 同理可证明Rt△CDE≌Rt△CDH（HL）， ∴DH＝DE＝2， ∴BD＝BH+DH＝x+4， ∵点B为的中点， ∴， ∴BC＝BD＝x+4， 在Rt△HBC中，由勾股定理得CH2+BH2＝BC2， ∴62+（x+2）2＝（x+4）2， 解得x＝6， ∴AD＝6． 1．如图，在圆O中∠BOC＝50°，求∠A的大小（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 【答案】B 【解答】解：∵∠BOC＝50°， ∴∠A∠BOC＝25°． 故选：B． 2．如图，AB是⊙O的直径，，∠COB＝40°，则∠A的度数是（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【答案】B 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，，∠COB＝40°， ∴∠AOD＝∠DOC， ∴， ∵OA＝OD， ∴． 故选：B． 3．如图，点A、B、C、D在⊙O上，BO∥CD，∠A＝25°，则∠O＝（　　） A．120° B．130° C．100° D．125° 【答案】B 【解答】解：连接OC， ∵∠A＝25°， ∴∠1＝2∠A＝50°， ∵BO∥CD， ∴∠2＝∠1＝50°， ∵OC＝OD， ∴∠2＝∠3＝50°， ∵∠2+∠3+∠COD＝180°， ∴∠COD＝180°﹣∠2﹣∠3＝80°， ∴∠BOD＝∠1+∠COD＝130°， 故选：B． 4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接AC，AD，BD，CD．若∠C＝50°，则∠BAD的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 【答案】B 【解答】解；∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠B＝∠C＝50°， ∴∠BAD＝180°﹣90°﹣50°＝40°． 故选：B． 5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，延长AB，DC交于点E，延长AD，BC交于点F．若∠A＝40°，∠E＝55°，则∠F的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝40°，∠E＝55°， ∴∠CDF＝∠A+∠E＝95°， ∵∠A＝40°， ∴∠BCD＝180°﹣∠A＝140°， ∴∠F＝∠BCD﹣∠CDF＝45°， 故选：B． 6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上．若∠BEC＝15°，则∠ADC的度数为（　　） A．120° B．115° C．110° D．105° 【答案】D 【解答】解：连接AC，如图所示， ∵∠BEC＝15°， ∴∠CAB＝∠BEC＝15°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣15°＝75°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣75°＝105°． 故选：D． 7．如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车⊙O与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，PC是⊙O的直径，连接PA、PB，点M在AB的延长线上，若∠APC＝20°，则∠PBM＝（　　） A．115° B．70° C．120° D．110° 【答案】D 【解答】解：如图2，连接AC， ∵PC是⊙O的直径， ∴∠PAC＝90°， ∴∠APC+∠C＝90°， ∵∠APC＝20°， ∴∠C＝70°， ∴∠ABP＝∠C＝70°， ∴∠PBM＝180°﹣∠ABP＝110°， 故选：D． 8．如图，点A、B、C在⊙O上，点D为⊙O外一点，，则∠D的度数可能是（　　） A．74° B．75° C．76° D．77° 【答案】A 【解答】解：如图，设CD与⊙O交于点E，连接OC，OE， ∵， ∴OB2+OC2＝BC2， ∴∠BOC＝90°， ∵∠AOB＝60°， ∴∠AOC＝60°+90°＝150°， ∴∠AEC∠AOC150°＝75°， ∵∠AEC＞∠D， ∴∠D的度数可以是74°． 故选：A． 9．李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运A动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，可得到形状唯一确定的△PAQ； ②当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，可得到形状唯一确定的△PAQ； ③当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，可得到形状唯一确定的△PAQ． 其中所有正确结论有几个？（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解答】解：①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，以P为圆心，6为半径画弧，与射线AM有两个交点，则△PAQ的形状不能唯一确定，故①错误； ②当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，以P为圆心，10为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ，故②正确； ③当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，以P为圆心，12为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ，故③正确， 故选：C． 10．如图，CD是⊙O的直径，CD＝8，∠ACD＝20°，点B为弧AD的中点，点P是直径CD上的一个动点，则PA+PB的最小值为（　　） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【解答】解：作A关于CD的对称点Q，连接CQ，BQ，交CD于P，此时AP+PB＝QP+PB＝QB， 根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值为QB的长度， 连接OQ，OB， ∵点B为弧AD的中点， ∴∠BOD＝∠ACD＝20°， ∵A、Q关于CD对称， ∴∠QCD＝∠ACD＝20°， ∴∠QOD＝2∠QCD＝2×20°＝40°， ∴∠BOQ＝20°+40°＝60°． ∵OB＝OQ， ∴△BOQ是等边三角形， ∴，即PA+PB的最小值为4． 故选：A． 11．如图．已知AB是圆O的直径，∠BOC＝80°，则∠BDC的度数为　40°　 ． 【答案】40°． 【解答】解：∵∠BOC＝80°，∠BDC∠BOC， ∴∠BDC＝40°， 故答案为：40°． 12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AO交⊙O于点E，连接BE．若∠C＝100°，∠DAE＝50°，则∠E＝　60°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝100°， ∴∠DAB＝80°， ∵∠DAE＝50°， ∴∠EAB＝30°， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE＝90°， ∴∠E＝90°﹣30°＝60°， 故答案为：60°． 13．如图，AB是半圆O的直径，BC＝BD，OC＝6，∠CBA＝30°，则O到CD的距离OE＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵BC＝BD，∠CBA＝30°， ∴， ∵OB＝OC， ∴∠CBA＝∠BCO＝30°， ∴∠OCE＝∠BCD﹣∠BCO＝45°， ∵OE⊥CD， ∴∠OEC＝90°， ∴∠OCE＝∠COE＝45°， ∴OE＝CE， 在Rt△OCE中，OE2+CE2＝2OE2＝OC2＝36， ∴． 故答案为：． 14．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，D是的中点，CB＝CE．若∠AOB＝100°，∠OBC＝55°，则∠DCE＝ 　85　 °， 【答案】85． 【解答】解：如图，连接OC、OD、OE． ∵CB＝CE， ∴∠BOC＝∠EOC， ∵OB＝OC＝OE， ∴∠OBC＝∠OCB（180°﹣∠BOC），∠OCE＝∠OEC（180°﹣∠EOC）， ∴∠OBC＝∠OCB＝∠OCE＝55°， ∵D是的中点， ∴， ∵∠AOB＝100°， ∴∠BOD∠AOB＝50°， ∴∠BCD∠BOD＝25°， ∴∠OCD＝∠OCB﹣∠BCD＝55°﹣25°＝30°， ∴∠DCE＝∠OCD+∠OCE＝30°+55°＝85°． 故答案为：85． 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，以AB为直径在矩形内作半圆，点P为半圆上的一动点（不与A，D重合），连接AP、DP，当△ADP为锐角等腰三角形时，AP的长为 　6或或　 ． 【答案】6或或． 【解答】解：①当AD＝AP时，△ADP是锐角等腰三角形，此时AP＝AD＝6； ②当AD＝DP时，△ADP是等腰三角形， 此时AD、DP是⊙O的切线，连接OP，连接OD交AP于E． ∵AD＝DP，AO＝PO， ∴OD垂直平分线段AP， ∵AD＝6，AB＝10， ∴AO＝5， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAO＝90°， ∴OD， ∴AE＝EP， ∴AP， ∴△ADP是锐角等腰三角形； ③当DP＝AP时， 作AD的垂直平分线PP′，交圆于点P和P′，作OE⊥PP′于点E， △ADP不是锐角等腰三角形，舍去，△ADP′符合题意， ∴AH＝3，PE＝EP′， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠HAO＝∠OEP＝∠AHE＝90°， 在Rt△OEP中，OE＝AH＝3， PE4， ∴EP′＝4， ∴HP′＝9， ∴AP′3，， 综上所述，AP的长为6或或． 故答案为：6或或． 16．如图，点A，B，C，D在⊙O上，．求证：AC＝BD． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵， ∴， 即， ∴AC＝BD． 17．如图，AC为⊙O的直径，且AC⊥BD于点E．连接AB，OB，BC． （1）求证：∠CBO＝∠ABD； （2）若AE＝1，CE＝4，求弦BD的长． 【答案】（1）见解答 （2）4． 【解答】（1）证明：∵AC为⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， 即∠ABD+∠CBD＝90°， ∵AC⊥BD， ∴∠BEC＝90°， ∴∠C+∠CBD＝90°， ∴∠C＝∠ABD（同角的余角相等）， ∵OB＝OC（已知）， ∴∠C＝∠CBO（等边对等角）， ∴∠CBO＝∠ABD（等量代换）； （2）解：∵AC⊥BD， ∴BE＝DE， ∵AE＝1，CE＝4， ∴AC＝5， ∴，， 在Rt△OBE中，， ∴BD＝2BE＝4． 18．如图，A，B，C，D是⊙O上的点，AC＝BD，AC，BD分别交OD，OC于点N，M．求证： （1）∠A＝∠D； （2）CM＝DN． 19．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC，BC分别于点E，D两点，连接ED，BE． （1）求证：． （2）若BC＝6．AB＝5，求BE的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明方法一：连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴CD＝BD， ∵A、E、D、B四点共圆， ∴∠CED＝∠ABC， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC， ∴∠ACB＝∠CED， ∴DE＝DC， ∴DE＝BD， ∴； 方法二：如图②，连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴∠EAD＝∠BAD， ∴； （2）解：连接OD交BE于H，作OF⊥BD于F， BDBC＝3，AB＝5， 又勾股定理得，AD4， ∵AD⊥BC，OF⊥BD， ∴OF∥AD，又OA＝OB， ∴OFAD＝2， 则BH3×2， 解得，BH， ∵， ∴BE＝2BH． 20．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于点E、F． （1）求证：点D为的中点； （2）若CB＝6，AB＝10，求DF的长； （3）若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵OD∥BC， ∴∠OFA＝90°， ∴OF⊥AC， ∴， 即点D为的中点； （2）解：∵OF⊥AC， ∴AF＝CF， 而OA＝OB， ∴OF为△ACB的中位线， ∴OFBC＝3， ∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2； （3）解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图， ∵PC＝PC′， ∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′， ∴此时PC+PD的值最小， ∵， ∴∠COD＝∠AOD＝80°， ∴∠BOC＝20°， ∵点C和点C′关于AB对称， ∴∠C′OB＝20°， ∴∠DOC′＝120°， 作OH⊥DC′于H，如图， 则∠ODH＝30°， 则C′H＝DH， 在Rt△OHD中，OHOD， ∴DHOH， ∴DC′＝2DH＝5， ∴PC+PD的最小值为5． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $