精品解析：西藏自治区林芝市察隅中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

九年级数学2025-2026学年秋季学期期中考试试卷 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的一次项系数是（　　） A. 1 B. C. D. 2 4. 用配方法解方程时，变形结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 在一个不透明的口袋中，装有5个白球、4个红球和1个黄球，它们除颜色外其余都相同，则摸到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 7. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，是的弦，若，则弦所对的圆心角为（     ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，和关于原点中心对称，若点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与的函数关系式是( ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 一元二次方程的根是______． 12. 已知是一元二次方程的两个根，则的值为________ 13. 在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则_____． 14. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：）关于行驶时间t（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了______________． 15. 点关于轴的对称点坐标是___________；关于轴的对称点是___________；关于原点的对称点是___________． 16. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点在上．若，则的度数为_______． 三、解答题 17. 解方程： 18. 解方程：． 19. 某人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感．求每一轮传染中平均每人传染了多少个人． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）画出关于原点成中心对称的． 21. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫降价元，商场平均每天可多售出件，若商场每天盈利元，请帮助商场算一算，每件应降价多少元？ 22. 如图，已知是的直径，，弦于，，求弦的长． 23. 某学校在推进新课改的过程中，开设的体育社团活动课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了如图所示的两幅不完整的统计图． （1）则该班的总人数为______人，其中学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是______度； （2）补全条形统计图； （3）该班班委4人中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中选2人了解他们对体育社团活动课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率． 24. 已知二次函数，求： （1）当时，函数的值； （2）该函数图像的对称轴． 25. 如图，已知，垂足为C， ，将线段绕点A按逆时针方向旋转，得到线段，连接． （1）线段　　 ； （2）求线段的长度． 26. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学2025-2026学年秋季学期期中考试试卷 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 本题考查了中心对称图形，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．该图形是中心对称图形，故此选项合题意； C．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程中，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； B、方程是一元二次方程，符合题意； C、方程中，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：B． 3. 一元二次方程的一次项系数是（　　） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程一般形式． 根据一元二次方程一般形式的定义，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是． 故选：B 4. 用配方法解方程时，变形结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先移项，再“加上一次项系数一半的平方”配方即可． 【详解】解：， 移项，得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 配方，得． 故选：D． 5. 在一个不透明的口袋中，装有5个白球、4个红球和1个黄球，它们除颜色外其余都相同，则摸到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单随机事件的概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．用红球的个数除以球的总个数即可求得摸到红球的概率． 【详解】解：∵在一个不透明的口袋中，装有5个白球、4个红球和1个黄球，它们除颜色外都相同， ∴从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为：． 故选：B． 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解. 【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线的顶点坐标是（1，2）． 故选：D． 7. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移．根据“左加右减，上加下减”的二次函数的平移规律即可解答． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为，即． 故选：B． 8. 如图，是的弦，若，则弦所对的圆心角为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据同圆的半径相等，得到等腰三角形，根据等边对等角，三角形内角和定理解答即可． 本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 9. 在平面直角坐标系中，和关于原点中心对称，若点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——旋转，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．根据题意可得，点和点关于原点对称，据此求出的坐标即可． 【详解】解：和关于原点中心对称， ∴点和点关于原点对称， ∵点的坐标为， ∴的坐标为． 故选：D． 10. 如图，小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与的函数关系式是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意是解题关键．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与墙平行的一边长为，即可得到解析式． 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为，面积为， 则y与x的函数关系式是， 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 一元二次方程的根是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 12. 已知是一元二次方程的两个根，则的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 通分：，根据一元二次方程根与系数的关系：，可得出答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， 则＝＝． 故答案为：． 13. 在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，分式方程的应用． 根据概率公式列方程计算即可． 【详解】∵在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为， ∴， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：． 14. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：）关于行驶时间t（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意可得s的最大值即为汽车从刹车后到停下来前进的距离，据此求解即可． 【详解】解：， ∴遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了， 故答案为：． 15. 点关于轴的对称点坐标是___________；关于轴的对称点是___________；关于原点的对称点是___________． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和关于原点对称，关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：点关于轴的对称点坐标是；关于轴的对称点是；关于原点的对称点是； 故答案为：；；． 16. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点在上．若，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，掌握旋转的性质是解决本题的关键． 由旋转的性质可得，则可得，由三角形内角和可求得，从而由旋转性质即可求得结果． 【详解】解：由旋转的性质得，， ∴为等腰三角形， ∴， 由三角形内角和得， ∴； 故答案为：． 三、解答题 17. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是解题关键． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 先移项，再由因式分解法求解． 【详解】解：， 或 解得或 ∴原方程的根为，． 19. 某人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感．求每一轮传染中平均每人传染了多少个人． 【答案】每一轮传染中平均每人传染了个人 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．根据题意可得， 每轮传染中平均一个人传染了个人， 经过一轮传染之后有x+1人感染流感，两轮感染之后的人数为36人，依此列出一元二次方程求解即可． 【详解】解： 设每一轮传染中平均每人传染了x个人，依题可得： ， ， 解得，（舍）， 答：每一轮传染中平均每人传染了个人． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）画出关于原点成中心对称的． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 解：如图，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，作图——中心对称变换，熟练掌握作轴对称图形，中心对称图形的方法是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征写出点、、的对应点、、的坐标，然后描点即可得到； （2）根据关于原点对称的点的坐标特征写出点、、的对应点、、的坐标，然后描点即可得到； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫降价元，商场平均每天可多售出件，若商场每天盈利元，请帮助商场算一算，每件应降价多少元？ 【答案】每件衬衫应降价元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每件衬衫应降价元，由题意可列方程，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每件衬衫应降价元， 由题意可得， 化简得 解得，，， ∵为了尽量减少库存，由， 所以应该选择降价元， 答：每件衬衫应降价元． 22. 如图，已知是的直径，，弦于，，求弦的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键． 如图，连接．根据圆的概念以及已知条件可得；再在中利用勾股定理可得，然后根据垂径定理即可解答． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， 在中利用勾股定理，得： ∵， ∴． 即弦的长是． 23. 某学校在推进新课改的过程中，开设的体育社团活动课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了如图所示的两幅不完整的统计图． （1）则该班的总人数为______人，其中学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是______度； （2）补全条形统计图； （3）该班班委4人中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中选2人了解他们对体育社团活动课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率． 【答案】（1）50，72 （2） 补全条形统计图如下； （3） 【解析】 【分析】（1）利用“选A：篮球”的学生人数除以其所占的百分比即可求得该班学生的总人数， 再利用学生选D“羽毛球”的人数除以总人数，再乘以，即可求得结果； （2）利用选足球的学生的百分比乘以总人数求得选足球的人数，再利用总人数减去其他课程的人数求得选乒乓球的学生人数，即可补全条形统计图； （3）画出树状图可得共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种，再利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：该班的总人数为：（人）， 学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数为：， 故答案为：50；72； 【小问2详解】 解：由题意可得： 选“B：足球”的学生人数为：（人）， 选“E：乒乓球”的学生人数为：（人） 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种； ∴选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率为． 【点睛】本题考查了画条形统计图、求扇形统计图的圆心角、用列表法或树状图求概率及概率公式，熟练掌握用列表法或树状图求概率及概率公式是解题的关键． 24. 已知二次函数，求： （1）当时，函数的值； （2）该函数图像的对称轴． 【答案】（1） （2）直线 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的函数值，求二次函数的对称轴，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）直接把代入对应的函数解析式中求出y的值即可得到答案； （2）二次函数的对称轴为直线，据此求解即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴当时，函数的值为； 【小问2详解】 解：∵二次函数解析式为， ∴该函数的对称轴为直线． 25. 如图，已知，垂足为C， ，将线段绕点A按逆时针方向旋转，得到线段，连接． （1）线段　　 ； （2）求线段的长度． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证明是等边三角形，据此求解； （2）过点D作于点E，首先在中求得和的长，然后在中利用勾股定理求解，即可得到线段的长度． 【小问1详解】 解：由旋转可得：，， 是等边三角形， ∴； 故答案为： 【小问2详解】 解：过点D作于点． 是等边三角形， ， 又， ， ， 中，， ∴， ． ∴在中，． 26. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】（1）， （2）存在，点P坐标为 （3）当是直角三角形时，点M的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【小问1详解】 解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：存在， 如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴当周长最小时，点P的坐标为． 【小问3详解】 解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、动点最值问题求解对称轴上点的坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $