精品解析：重庆市八中2023-2024X学年八年级下学期阶段性检测数学试题（一）

初2025届2024年暑假新课考核阶段监测卷（一） 数学试题（2024.07） （本试卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答： 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3．作田（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成： 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 试卷A（共100分） 一、选择题：（本大愿10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列数中，最大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 1 2. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数是关于的二次函数，则的值为( ) A. B. C. D. 4. 如图， 和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则 和的周长之比为（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线 向左平移 1 个单位，向上平移 1 个单位后得到新抛物线 则 的值为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 6. 已知二次函数和一次函数，则这两个函数在同一个平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A. B. C. D. 7. 估计的值应在（　　） A. 8和9之间 B. 9和10之间 C. 10和11之间 D. 11和12之间 8. 如图，一段抛物线记为，它与x轴交于两点O，，将绕旋转180°得到，交x轴于，将绕旋转180得到，交x轴于，照这样的规律进行下去，则抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 若方程 的两根分别是，，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 13 D. 16 10. 已知抛物线（ ）的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为，且与轴的一个交点的横坐标在 和之间，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 关于的方程有实根 二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 如果有意义，那么的取值范围是_______． 12. 从 ， ，，，中任取一个数作为，则抛物线开口向下的概率为______________． 13. 如图，抛物线的对称轴为直线 ，将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线，则图中的两条抛物线、直线 与轴所围成的图形（阴影部分）的面积为______． 14. 在如图所示的平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，已知 ，，则的值为______． 三、解答题：（本大题5个小题，第15、16、17题每题8分，第18、19题各10分，共44分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上 15. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 16. 学习了矩形后，小莉进行了拓展性研究．她发现：过矩形的一对对角的顶点分别作连接矩形另两个顶点所形成的对角线的垂线段，得到两个垂足，这两个垂足与这一对对角的两个顶点为顶点构成的四边形形状是平行四边形．为了证明这个发现，她的解决思路是通过证明这两条垂线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，过点A作的垂线，垂足为点F，连接 ．（只保留作图痕迹） （2）已知：如图，四边形是矩形，对角线交于点O，过C作于点E，过点A作的垂线，垂足为点F，连接． 求证：四边形为平行四边形 证明：∵， ，∴①_____ ∴②_______ ∵四边形是矩形 ∴③______ 又∵ ∴ ∴④______ ∴四边形为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 小莉再进一步研究发现，当矩形对角线夹角为时，过矩形的一对对角的顶点分别作另两个顶点所形成的对角线的垂线段，得到两个垂足，这两个垂足与这一对对角的两个顶点为顶点构成的四边形形状均有此特征，而此时得到的平行四边形的面积和矩形的面积的数量关系是：⑤______． 17. 为配合我区进行的垃圾分类工作，某校进行了“垃圾分类，责任在心”的知识讲座，随后进行了有关垃圾分类的知识竞赛．现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取名同学的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分分，分及分以上为优秀），将学生竞赛成绩分为 三个等级：，，．下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩为：： 八年级名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______． （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若七年级共有名学生参赛，八年级共有名学生参赛，请通过计算，估计七、八年级参赛学生中成绩为优秀的人数． 18. 端午节吃粽子是中国人民的传统习俗．五月初利民副食店购进鲜肉粽、蜜枣粽两种粽子，其中鲜肉粽进价为15元/袋，售价为27元/袋，蜜枣粽进价为10元/袋，售价为19元/袋．利民副食店用660元购进鲜肉粽、蜜枣粽两种粽子共50袋．（注：利润=售价-进价） （1）求购进鲜肉粽、蜜枣粽各多少袋？ （2）临近端午节，蜜枣粽售完，鲜肉粽还有剩余．副食店决定端午节当天对鲜肉粽降价销售，如果按原价销售，平均每天可售2袋．经调查发现，鲜肉粽每降价1元，平均每天可多售2袋．剩余的鲜肉粽在降价当天全部售完，50袋粽子共获利506元，每袋鲜肉粽应降价多少元？ 19. 如图，已知抛物线的图象交x轴于点，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷B（共50分） 四、选择填空题：（本大题5个小题，每小题4分，共20分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的位置上． 20. 如图，在正方形中，点E是边上一点，点F是边延长线上一点，且 ，连接，H为上一点，连接交于点G，且，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 21. 对于实数a，b，定义运算“※”：，例如：4※2，因为，所以，若函数，则下列结论正确的是（ ） A. 方程的解为，； B. 当 时，y随x的增大而增大； C. 若关于x的方程有三个解，则 ； D. 当时，函数的最大值为1． 22. 如果关于x的方程有正整数解，且关于x的二次函数与x轴有两个交点，那么满足条件的所有整数a的和为 _______． 23. 如图，矩形中， ， ，点E是的中点，点F是边上一动点．将 沿着翻折，使得点B落在点处，若点P是矩形内一动点，连接、、 ，则的最小值为______．    24. 若一个正整数，可分解为，其中与都是两位数，且与的十位数字相加等于10，个位数字相同，则称为“积减数”．例如：因为，32与72的十位数字，个位数字是2，所以2200是“积减数”，则最小的“积减数”是_____________；若，将放在的左边组成一个新的四位数，若能被13整除，则满足条件的的最大值为_________． 五、解答题：（本大题3个小题，每小题10分，共30分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上 25. 第三届智跑重庆国际城市定向赛暨重庆（大渡口）体育旅游节于2024年4月13日至21日在重庆市大渡口区举行．如图，A为比赛起点，比赛途经点B在起点A的正东方向，比赛途经点C在点A的北偏东方向，相距1200米，且点C在途经点B的正北方向：途经点D在点C的北偏西 方向，相距2400米；终点E在点D的正西方，点E在点B的西北方向．（参考数据： ， ， ） （1）求的长度．（结果精确到1米） （2）小明和小李参与了该越野赛，两人从起点A出发前往终点E，小明选择的定向路线为．小李选择的定向路线为．请问小明和小李的比赛路线谁更短？并说明理由． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，连接 ，过点作射线 交轴的正半轴于点，点与点关于原点对称，点是第四象限抛物线上一动点，过点作的垂线交 于点，求线段长度的最大值及此时点的坐标； （3）如图，把点向上平移个单位得到点，连接，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到，其中边交坐标轴于点，在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 27. 在等腰 中，，点在 延长线上，以 为边，在 上方作任意，连接交 于点． （1）如图1，若，点为中点，， ，求的长； （2）如图2，点 在 的延长线上，连接，若 ， ， ，求证： ； （3）如图3，，，点是平面内直线 下方一动点，始终满足 ．点为直线上一点，连接，满足 ，延长 至点 ，使得 .点为直线上一点，连接 ，将沿翻折至所在平面内得到 ，连接 、，当 最小时，直接写出 的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2025届2024年暑假新课考核阶段监测卷（一） 数学试题（2024.07） （本试卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答： 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3．作田（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成： 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 试卷A（共100分） 一、选择题：（本大愿10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列数中，最大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比较有理数的大小，根据负数小于0，小于正数，进行判断即可． 【详解】解： 最大的数是， 故选C． 2. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 故选D． 3. 函数是关于的二次函数，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数的定义可知且然后可求得m的取值． 【详解】函数是关于的二次函数， 且， 解得 ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的概念，掌握二次函数的概念是解题的关键． 4. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点 在线段上．若，则和的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似图形的周长比等于相似比是解题关键．根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴和的周长之比为 ， 故选：D． 5. 将抛物线 向左平移 1 个单位，向上平移 1 个单位后得到新抛物线 则 的值为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：依题意，向左平移 1 个单位，向上平移 1 个单位后得到： ∴ 解得： ∴， 故选：B． 6. 已知二次函数和一次函数，则这两个函数在同一个平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质．利用二次函数和一次函数图象的性质“二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．”逐项判断即可． 【详解】A．图象中二次函数，一次函数，两图像在y轴交于点，故A不符合题意． B．图象中二次函数，又对称轴在y轴右侧，则，得出，矛盾，故B不符合题意． C．图象中一次函数和二次函数，对称轴得到，故C符合题意． D．图象中二次函数，又对称轴在y轴右侧得到，矛盾，故D不符合题意． 故选：C． 7. 估计的值应在（　　） A. 8和9之间 B. 9和10之间 C. 10和11之间 D. 11和12之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算，再估算即可． 【详解】解：∵， 而， ∴， 故答案为：C 8. 如图，一段抛物线记为，它与x轴交于两点O，，将绕旋转180°得到，交x轴于，将绕旋转180得到，交x轴于，照这样的规律进行下去，则抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出坐标，然后利用旋转的性质得出，的坐标，依次规律得到，的坐标，再根据抛物线开口向上，利用交点式求出的解析式，最后确定此抛物线的顶点坐标即可解答． 【详解】解：当y=0时，，解得 ，， ∴（4，0） ∵将绕旋转180°得到，交x轴于，将绕旋转180得到，交x轴于， ∴（4×2，0），（4×3，0）， … ∴（4×5，0），（4×6，0）， 即（20，0），（24，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x=23， ∵抛物线的开口向上， ∴抛物线的解析式为， 当x=23时，， ∴抛物线的顶点坐标为（22， ）． 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数与几何变换．明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答是解题的关键． 9. 若方程 的两根分别是，，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 13 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用一元二次方程根与系数关系求代数式值，利用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵方程 的两根分别是，， ∴ ，， ∴， 故选：C． 10. 已知抛物线（ ）的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为，且与轴的一个交点的横坐标在 和之间，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 关于的方程有实根 【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】 、∵抛物线的开口方向向下， ∴ ， ∵对称轴在轴左侧， ∴对称轴为， ∵ ， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴上， ∴， ∴ ，故此选项错误； 、∵对称轴为，与轴的一个交点的横坐标在 和之间， ∴与轴的另一个交点的横坐标在和之间， ∴当时，，故此选项正确； 、∵对称轴为， ∴ ， 当时，，故此选项错误； 、∵抛物线的顶点坐标为， ∴则， 设 与，则与必有交点， ∴关于的方程有实根，故此选项正确； 故选：． 二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 如果有意义，那么的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件可得，进而求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得 ， 故答案为： ． 12. 从 ， ，，，中任取一个数作为，则抛物线开口向下的概率为______________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、列举法求概率，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据二次函数的性质找出五个数中符合条件的数即可求解． 【详解】解：要使抛物线开口向下， ， 在，，，，中只有，符合， 要使抛物线开口向下的概率为． 故答案为：． 13. 如图，抛物线的对称轴为直线 ，将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线，则图中的两条抛物线、直线 与轴所围成的图形（阴影部分）的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，平移的性质，理解图中阴影部分为平行四边形是解题的关键．先求出的顶点坐标，再根据平移的性质求出的顶点坐标，的坐标，求出平行四边形的面积即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为，顶点为 ∵抛物线向上平移个单位长度得到抛物线， ∴点坐标为，点坐标为． 故两条抛物线、直线 与轴所围成的图形（阴影部分）的面积为． 故答案为： 14. 在如图所示的平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于 ， 两点，过点 作轴于点，已知，，则的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的中心对称性，勾股定理，待定系数法求反比例函数的解析式，利用函数的对称性求得的长度是解题的关键．根据对称性可得 ，利用勾股定理求得，由此可求出点 的坐标，然后运用待定系数法即可求得答案． 【详解】反比例函数与正比例函数的图象相交于 、 两点 轴于点， 反比例函数的图象过点 ，即 故答案为：12． 三、解答题：（本大题5个小题，第15、16、17题每题8分，第18、19题各10分，共44分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上 15. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）1；（2）， 【解析】 【分析】（1）首先计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，化简绝对值，然后计算加减； （2）首先根据分式的混合运算法则化简，然后代数求解即可． 【详解】（1） ； （2） ∵ ∴原式． 【点睛】此题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，分式的化简求值，解题的关键是掌握以上运算法则． 16. 学习了矩形后，小莉进行了拓展性研究．她发现：过矩形的一对对角的顶点分别作连接矩形另两个顶点所形成的对角线的垂线段，得到两个垂足，这两个垂足与这一对对角的两个顶点为顶点构成的四边形形状是平行四边形．为了证明这个发现，她的解决思路是通过证明这两条垂线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，过点A作的垂线，垂足为点F，连接．（只保留作图痕迹） （2）已知：如图，四边形是矩形，对角线交于点O，过C作于点E，过点A作的垂线，垂足为点F，连接． 求证：四边形为平行四边形 证明：∵， ，∴①_____ ∴②_______ ∵四边形是矩形 ∴③______ 又∵ ∴ ∴④______ ∴四边形为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 小莉再进一步研究发现，当矩形对角线夹角为时，过矩形的一对对角的顶点分别作另两个顶点所形成的对角线的垂线段，得到两个垂足，这两个垂足与这一对对角的两个顶点为顶点构成的四边形形状均有此特征，而此时得到的平行四边形的面积和矩形的面积的数量关系是：⑤______． 【答案】（1）见解析 （2）；；；；⑤平行四边形的面积等于矩形的面积的一半 【解析】 【分析】本题考查尺规作图、矩形的性质、平行四边形的判定、等边三角形的判定和性质等： （1）过直线外一点A作的垂线即可； （2）根据平行四边形的判定定理，结合已知证明过程逐项推导论证即可；当矩形对角线夹角为时，矩形两条对角线将矩形分成的四个三角形中两个锐角三角形为等边三角形，根据“三线合一”的性质即可求解． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 解：补全后的证明过程如下： 证明：∵， ，∴① ∴② ∵四边形是矩形 ∴③ 又∵ ∴ ∴④ ∴四边形为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ⑤平行四边形的面积等于矩形的面积的一半，理由如下： 如图，四边形是矩形，， ，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴ ， ， ∵， ∴， 为等边三角形， ∵， ， ∴，， ∴，，，， ∴． 17. 为配合我区进行的垃圾分类工作，某校进行了“垃圾分类，责任在心”的知识讲座，随后进行了有关垃圾分类的知识竞赛．现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取名同学的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分分，分及分以上为优秀），将学生竞赛成绩分为 三个等级：，，．下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩为：： 八年级名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______． （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若七年级共有名学生参赛，八年级共有 名学生参赛，请通过计算，估计七、八年级参赛学生中成绩为优秀的人数． 【答案】（1），，； （2）八年级的成绩更好，理由见解析； （3） 名． 【解析】 【分析】（）根据中位数、众数的定义及扇形统计图解答即可求解； （）根据平均数、中位数和众数和方差的意义即可判断说明； （）用七、八年级参赛的学生人数乘以对应的成绩为优秀的人数的占比，再相加即可求解； 本题考查了扇形统计图，平均数、中位数、众数和方差，样本估计总体，看懂题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：由扇形统计图可得，八年级 等级的有人， 把八年级名同学的成绩从小到大排列，排在中间的数分别是， ∴中位数 ， 在中，出现次数最多的是， ∴众数， ∵， ∴ ， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：八年级的成绩更好， 理由如下： 因为两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均高于七年级， 所以八年级的成绩更好； 【小问3详解】 解：， 答：七、八年级参赛学生中成绩为优秀的人数为 名． 18. 端午节吃粽子是中国人民的传统习俗．五月初利民副食店购进鲜肉粽、蜜枣粽两种粽子，其中鲜肉粽进价为15元/袋，售价为27元/袋，蜜枣粽进价为10元/袋，售价为19元/袋．利民副食店用660元购进鲜肉粽、蜜枣粽两种粽子共50袋．（注：利润=售价-进价） （1）求购进鲜肉粽、蜜枣粽各多少袋？ （2）临近端午节，蜜枣粽售完，鲜肉粽还有剩余．副食店决定端午节当天对鲜肉粽降价销售，如果按原价销售，平均每天可售2袋．经调查发现，鲜肉粽每降价1元，平均每天可多售2袋．剩余的鲜肉粽在降价当天全部售完，50袋粽子共获利506元，每袋鲜肉粽应降价多少元？ 【答案】（1）购进购进袋鲜肉粽，袋蜜枣粽 （2）每袋鲜肉粽应降价4元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设购进x袋鲜肉粽，y袋蜜枣粽，根据题意列出可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设每袋鲜肉粽应降价元，此时每一袋的利润为：元，则降价当天的销售量为：件，降价之前鲜肉粽的销量为：根据题意得，解方程即可作答． 【小问1详解】 解：设购进x袋鲜肉粽，y袋蜜枣粽， 根据题意得：， 解得：． 答：购进购进袋鲜肉粽，袋蜜枣粽； 【小问2详解】 解：设每袋鲜肉粽应降价元，此时每一袋的利润为：元， 则降价当天的销售量为：件， ∴降价之前鲜肉粽的销量为： 根据题意得， 整理得：， 解得：（负值舍去）． 答：每袋鲜肉粽应降价4元． 19. 如图，已知抛物线的图象交x轴于点，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、坐标与图形、锐角三角函数以及解一元二次方程，利用正切定义列方程求解是解答的关键． （1）根据待定系数法求函数解析式的方法求解即可； （2）先求得点C坐标， 设，根据题意得，分点M在x轴上方和点M在x轴下方两种情况，分别利用锐角三角函数和坐标与图形性质列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的图象交x轴于点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当 时，， ∴，则 设，连接， ∵，， ∴ ，， ∵，， ∴， 当点M在x轴上方时，如图，过M作 轴与N， 则，， 由得， 解得或（舍去）， ∴； 当点M在x轴下方时， ∵， ∴点M与点C重合，故， 综上，满足条件的点M的坐标为或． 试卷B（共50分） 四、选择填空题：（本大题5个小题，每小题4分，共20分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的位置上． 20. 如图，在正方形中，点E是边上一点，点F是边延长线上一点，且 ，连接，H为上一点，连接交于点G，且，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质可证明，则，再证明，连接，由直角三角形的性质可得，则，进而可得，则． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵ ， ∴ ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，连接， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，证明是解题的关键． 21. 对于实数a，b，定义运算“※”：，例如：4※2，因为，所以，若函数，则下列结论正确的是（ ） A. 方程的解为，； B. 当 时，y随x的增大而增大； C. 若关于x的方程有三个解，则 ； D. 当时，函数的最大值为1． 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题干定义求出y＝（2x）※（x+1）的解析式，根据2x≥x+1及2x＜x+1可得x≥1时y＝2x2﹣2x，x＜1时，y＝﹣x2+1，进而求解． 【详解】解：根据题意得：当2x≥x+1，即x≥1时，y＝（2x）2﹣2x（x+1）＝2x2﹣2x， 当2x＜x+1，即x＜1时，y＝（x+1）2﹣2x（x+1）＝﹣x2+1， ∴当x≥1时，2x2﹣2x＝0， 解得x＝0（舍去）或x＝1， 当x＜1时，﹣x2+1＝0， 解得x＝1（舍去）或x＝﹣1， ∴（2x）※（x+1）＝0的解是x1＝﹣1，x2＝1； 故A正确， B、当x＞1时，y＝2x2﹣2x， 抛物线开口向上，对称轴是直线x＝， ∴x＞1时，y随x的增大而增大， ∴B选项正确． 当x≥1时，y＝2x2﹣2x＝2（x﹣）2﹣， ∴x＝1时，y取最小值为y＝0， 当x＜1时，y＝﹣x2+1＝0， 当x＝0时，y取最大值为y＝1， 如图， 当0＜m＜1时，方程（2x）※（x+1）＝m有三个解， ∴选项C错误，选项D正确． 故答案为：ABD． 【点睛】本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系． 22. 如果关于x的方程有正整数解，且关于x的二次函数与x轴有两个交点，那么满足条件的所有整数a的和为 _______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解法和检验，二次函数与横轴的交点存在的判断条件，细心计算和全面考虑是解题的关键． 先解出分式方程，再根据正整数解得出a取值范围，再依据关于x的二次函数与x轴有两个交点，求出a取值范围，最后求出a的值，再求和即可． 【详解】解：∵方程 去分母得， ∴解得， 根据题意得，，且x为正整数， ∴且， ∵关于x的二次函数与x轴有两个交点， ∴ 解得 ∴，且， ∴a的值为 ，0，1，2，3，5 ∴． 故答案为：10． 23. 如图，矩形中， ， ，点E是的中点，点F是边上一动点．将 沿着翻折，使得点B落在点处，若点P是矩形内一动点，连接、 、 ，则的最小值为______．    【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．将 绕点顺时针旋转得到，连接，连接，由等腰三角形得出，再由折叠得出点的轨迹在点为圆心， 为半径的圆周上，所以的最小值为，即的最小值为，经计算答出答案即可． 【详解】解：将 绕点顺时针旋转得到， 连接，连接， 则 ，，共线，， ， ， 点是的中点， ， ， ， 由折叠成， ， 点 在以点为圆心， 为半径的圆上， ， 两点间线段最短， ， 即 ， ， 则的最小值为． 故答案为：． 24. 若一个正整数，可分解为，其中与都是两位数，且与的十位数字相加等于10，个位数字相同，则称为“积减数”．例如：因为，32与72的十位数字，个位数字是2，所以2200是“积减数”，则最小的“积减数”是_____________；若，将放在的左边组成一个新的四位数，若能被13整除，则满足条件的的最大值为_________． 【答案】 ①. ②. 2600 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的运算、二次函数的应用等知识点，掌握“积减数”的定义是解题的关键． 设的十位为a，个位为1；则的十位为，个位为1，则，进而得到，然后再根据二次函数的性质求出M的最小值即可；设，进而得到，则，再列举出b,然后代入计算即可． 【详解】解：设的十位为a，个位为0；则的十位为，个位为0； 则， 所以 ， ∴当时，M有最大值， ∵， ∴当或9时，M有最小值 ； ∵设， ∴， ∵能被13整除， ∴， M要取最大值，即，则 ， ∴， ∴满足条件的的最大值为. 故答案为： ，2600 五、解答题：（本大题3个小题，每小题10分，共30分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上 25. 第三届智跑重庆国际城市定向赛暨重庆（大渡口）体育旅游节于2024年4月13日至21日在重庆市大渡口区举行．如图，A为比赛起点，比赛途经点B在起点A的正东方向，比赛途经点C在点A的北偏东方向，相距1200米，且点C在途经点B的正北方向：途经点D在点C的北偏西 方向，相距2400米；终点E在点D的正西方，点E在点B的西北方向．（参考数据： ， ， ） （1）求的长度．（结果精确到1米） （2）小明和小李参与了该越野赛，两人从起点A出发前往终点E，小明选择的定向路线为．小李选择的定向路线为．请问小明和小李的比赛路线谁更短？并说明理由． 【答案】（1）1476米； （2） 在 中，米，， 米， 在中，米，， 米， 线路：米， 线路：米， ， 小李的比赛线路更短． 答：小李的比赛线路更短． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是构造直角三角形． （1）延长、交于点，利用解直角三角形分别求出，的长，进而求出的长即可； （2）分别求出两条路线的长度，比较即可． 【小问1详解】 延长、交于点，如图所示 米，， 在中，米， ，米， ， 在中，米， 米， 米， 又， 在 中，米， 米 米 答：的长约为1476米． 【小问2详解】 略 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，连接 ，过点作射线 交轴的正半轴于点，点与点 关于原点对称，点是第四象限抛物线上一动点，过点作的垂线交 于点，求线段长度的最大值及此时点的坐标； （3）如图，把点向上平移个单位得到点，连接 ，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到，其中边交坐标轴于点，在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为 ； （2），此时； （3）． 【解析】 【分析】()利用待定系数法求解即可； ()延长交轴于点 ，过轴于点，过作轴于点，求出 解析式为 ，证明 和是等腰直角三角形，推导 ，点P为，则，，求出直线 的解析式为：，继而求出，继而得解； ()由旋转性质可知，，，得出即，最后代入求值即可； 本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质和解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 把点，点代入抛物线 得， 解得， ∴抛物线的解析式为 ； 【小问2详解】 延长交轴于点 ，过作轴于点，过作轴于点， ∵点与点 关于原点对称， ∴点， 由 得， ∴ ， ∴设 解析式为， 则，解得：， ∴ 解析式为 ， 同理直线解析式为， ∴， ∵ ， ∴ 和是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 设点P为，则， ∴，， 则同理用待定系数法可知直线 的解析式为：， 将直线 的解析式与 解析式联立得： 解得：， 即 ∴， ∴当时，，此时点P的纵坐标为，即． 【小问3详解】 存在，过点作轴交轴于点 ， 由旋转性质可知，，， ∴，即， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ∴，， ， 如图， 同理：； 如图， 同理：； 如图， 同理：， 综上，满足条件的点的坐标为：． 27. 在等腰中，，点 在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交 于点． （1）如图1，若，点为中点，， ，求的长； （2）如图2，点在的延长线上，连接，若 ， ， ，求证： ； （3）如图3，，，点是平面内直线下方一动点，始终满足 ．点 为直线上一点，连接，满足 ，延长 至点，使得 .点为直线上一点，连接 ，将沿翻折至所在平面内得到 ，连接 、，当 最小时，直接写出 的面积． 【答案】（1） （2） 在 上截取 ，连接并延长交于点 ， ∵， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ， 又∵ ， ∴， ∴ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3） 【解析】 【分析】（1）证明 ，进而根据勾股定理即可求解； （2）在 上截取 ，连接并延长交于点 ，证明 ， ，根据全等三角形的性质即可得证； （3）以为边作等边三角形 ，作 的外接圆，连接 ，先确定点的轨迹，根据将沿翻折至所在平面内得到 ，得出 ，即点在过点 ，与垂直的直线上，作平行四边形 ，则点在班级为的上运动，当 三点共线时，且 时， 取得最小值，为 ，此时如图所示， 为的中点，连接 交 的延长线与点 ，交 于点 ，过点作，交于点 ，进而解直角三角形得出，最后根据三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴ ， ， ∵， ∴ ， ， 又∵点为中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据题意要使得 最小，则在的上方， 如图所示，以为边作等边三角形 ，作 的外接圆，连接 ， ∵ ∴点在上运动， ∵将沿翻折至所在平面内得到 ， ∴ ∴ ，即点在过点 ，与垂直的直线上， ∵ ∴ 作平行四边形 ，则点在班级为的上运动， 当 三点共线时，且 时， 取得最小值，为 ，此时如图所示， ∴ ， ∴垂直平分 如图所示，为的中点，连接 交 的延长线与点 ，交 于点 ，过点作，交于点 ， ∴ ， ∴ 如图所示， 中，， ∴ 设 ，则 ∴ ∴ ∴ 在 中， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，定弦定角问题，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质与判定，求一点到圆上的距离最值问题，熟练掌握以上知识，找出动点的轨迹是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $