精品解析： 重庆市第七中学校2024--2025学年下学年八年级数学期末试卷

2024—2025学年度（下）期末调研抽测 八年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 在“一分钟跳绳”的五次测试中，甲、乙、丙三人的平均成绩相同，方差分别是：，，，则成绩较为稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 一样稳定 5. 若是一元二次方程的解，则k的值是（ ） A. B. C. D. 6. 在一次校园演讲比赛中，9位评委老师给小慧同学分别打了分．如果去掉一个最高分和一个最低分，那么这两组数据的下列统计量不变的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 7. 一元二次方程配方后，可化为（ ） A. B. C. D. 8. 某选手在2025重庆沙坪坝全球校友半程马拉松比赛中匀速跑步，能反映他跑步的路程s（单位：米）与时间t（单位：分）的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，连接，E是上一点，连接，平分．若，，则线段的长度为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 10. 在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”，特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”．已知点，下列说法： ①若点P为“整点”且在二象限，则点P的个数为6个； ②若点P为“整点”，则满足条件的所有“整点”均在直线上； ③若点P为“超整点”，则点P的个数为1个．其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值为__________． 12. 一元二次方程的两根分别为和，则的值为__________． 13. 某校学生会招聘红岩志愿讲解员，其中小明试讲、面试的成绩分别是90分和80分，综合成绩中试讲占70%，面试占30%，则小明的综合成绩为__________分． 14. 已知在正比例函数（）中，y的值随着x的增大而增大，且关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数a的值之和为__________． 15. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，且，则的长度为__________；过点A作于点E，过点A作于点F，连接，则的长度为__________． 16. 一个各数位数字均不为零的四位正整数M，若千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，且千位数字大于百位数字，则称M为“凹数”．将M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调产生新四位数N，例如：若，则．记，，则__________；若M为“凹数”，且能被7整除，能被6整除，则满足条件的最大“凹数”M为__________． 三、解答题：（本大题9个小题，第17～18题每题8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 小李在学习平行四边形时发现：在平行四边形中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点F，连接，，则四边形也是平行四边形．他的证明思路是：利用平行四边形的性质得三角形全等，再利用平行四边形的判定定理，从而使问题得以解决．请根据小李的思路将下面证明过程补充完整． 证明：四边形是平行四边形， ① ，，． ． 平分，平分， ,, ． ② ，． ． 即③ ． ∴四边形是平行四边形（④ ）． 19. “体重管理年”掀起全民健身热潮，健康生活方式成新风尚、沙坪坝区某校举办了“吃得营养，动得有效”的科普知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析．试题满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分（成绩用x表示，共分为四组：合格（），中等（），良好（），优秀（），下面给出部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩的数据是：62，74，78，78，83，86，86，86，95，98． 八年级10名学生的竞赛成绩为“良好”的数据是：82，83，85，85． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 a 八年级 b 85 根据以上信息，解答下面问题： （1）直接写出上述图表中 ， ， ． （2）根据以上数据，你认为七、八年级中哪个年级的学生竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）八年级抽取的10名学生的竞赛成绩中，竞赛成绩为“合格”的平均成绩为67分，竞赛成绩为“中等”的平均成绩为71分，请你计算八年级抽取的10名学生的竞赛成绩为“优秀”的平均成绩为多少分？ 20. 如图，点E是正方形的边上的一点，点F是的延长线上的一点，且，连接、、、，AC与EF相交于点G． （1）求证：； （2）设，求的度数．（用含的代数式表示） 21. 新能源汽车通过激活产业链、技术革新、消费扩张与绿色转型，是国内大循环的核心驱动力之一，电车成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为120米，宽为80米的矩形停车场进行改造．如图，将矩形停车场的长和宽分别减少相等的宽度，减少的这部分区域用于修建充电桩，已知剩余停车场的面积为4500平方米． （1）求减少的宽度是多少米？ （2）为确保安全，停车场充电桩区域须划分独立防火区，停车场物业公司准备在充电桩区域与非充电桩区域之间修建防火隔离墙．若防火隔离墙的高度为米，则需要修建的防火隔离墙的面积是多少平方米？ 22. 如图，在中，对角线和交于点O，点E、点F分别为的中点，连接． （1）求证：； （2）已知，．若，求的面积． 23. 如图，在中，，，于点D，．动点P从点A出发，沿着运动（点P与点A、C不重合），交折线于点E．设点P运动的路程为x，的长度为，的长度与点P运动的路程之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）观察函数图象，请直接写出时x的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 24. 如图，已知直线分别与轴、轴交于点，．直线与轴交于点，与直线交于点，且． （1）求直线的表达式； （2）点是线段上一动点，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，当时，求的面积及此时点的坐标； （3）在（2）问的条件下，点关于轴的对称点为点．将直线向下平移6个单位得到直线，直线与直线交于点．平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图，在正方形中，动点在对角线上，连接，以为斜边向下作等腰． （1）求证：； （2）如图，点是的中点，连接．求证：； （3）如图，连接，将点绕点逆时针旋转得到点，连接，当线段取得最小值时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度（下）期末调研抽测 八年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征，解题关键是掌握平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征． 根据平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征判断． 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标， ∴该点位于横、纵坐标均为正的第一象限．故选A． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的识别，根据一元二次方程的定义（整式方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2）进行判断即可. 【详解】A. 方程中，未知数的次数为1，属于一元一次方程，不符合条件； B. 方程中，未知数的次数为3，属于一元三次方程，不符合条件； C. 方程中，未知数的最高次数为2，且为整式方程，符合一元二次方程的定义； D. 方程中含有分式，属于分式方程，不符合整式方程的条件； 故选C. 3. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等的性质，得出，结合已知条件，求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4. 在“一分钟跳绳”的五次测试中，甲、乙、丙三人的平均成绩相同，方差分别是：，，，则成绩较为稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 一样稳定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用方差判断稳定性，根据方差的意义，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，进行判断即可. 【详解】解：∵，，， ∴甲的方差最小，成绩最稳定； 故选A 5. 若是一元二次方程的解，则k的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解题关键是理解一元二次方程的解的意义． 将代入方程，解关于k的一元一次方程． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，解得：， 故选：D． 6. 在一次校园演讲比赛中，9位评委老师给小慧同学分别打了分．如果去掉一个最高分和一个最低分，那么这两组数据的下列统计量不变的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义．根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数是这组数据的中位数，所以去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数． 【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分，平均数、众数、方差都可能会改变，只有中位数一定不会变， 故选：C． 7. 一元二次方程配方后，可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将一元二次方程通过配方法转化为完全平方形式，需移项后加上一次项系数一半的平方，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，移项得， 配方得， ∴， 故选：B 8. 某选手在2025重庆沙坪坝全球校友半程马拉松比赛中匀速跑步，能反映他跑步的路程s（单位：米）与时间t（单位：分）的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像，根据题意可得随着时间的增加，路程也增加，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵该选手是匀速跑步， ∴随着时间的增加，路程也增加， ∴四个选项中有B选项中的函数图象符合题意， 故选：B． 9. 如图，在矩形中，连接，E是上一点，连接，平分．若，，则线段的长度为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用矩形的性质证得，，再利用角平分线的意义和等角对等边证得，从而可利用勾股定理求出，再求出，最后利用勾股定理求得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ， 平分， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，角平分线的意义，平行线的性质，勾股定理等知识，解题关键是掌握矩形的性质． 10. 在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”，特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”．已知点，下列说法： ①若点P为“整点”且在二象限，则点P的个数为6个； ②若点P为“整点”，则满足条件的所有“整点”均在直线上； ③若点P为“超整点”，则点P的个数为1个．其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中“整点”和“超整点”的定义及性质，需结合坐标条件逐一验证三个说法的正确性即可． 【详解】解∶∵点为“整点”且在第二象限， ∴， 解得， ∵为整数时，和均为整数， ∴的可能取值为，共6个． 故说法①正确； 当时，， ∴点在直线上， 又点为“整点”， ∴所有有“整点”均在直线上． 故说法②正确； ∵点为“超整点”， ∴是整数， ∵当时，，符合题意； 当时，，符合题意， 则点的个数至少2个， 故说法③错误． 综上，正确说法为①和②，共2个， 故选：B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，把点的坐标代入函数解析式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴将代入得：． 故答案为：2． 12. 一元二次方程的两根分别为和，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系直接求解． 【详解】对于一元二次方程，有， 由根与系数的关系知，， 故答案为：． 13. 某校学生会招聘红岩志愿讲解员，其中小明试讲、面试的成绩分别是90分和80分，综合成绩中试讲占70%，面试占30%，则小明的综合成绩为__________分． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了加权平均数，每个得分乘以对应的权并求和即可． 【详解】解：由题意可得，（分） 故答案为： 14. 已知在正比例函数（）中，y的值随着x的增大而增大，且关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数a的值之和为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数图像的性质，一元二次方程的根情况，解题的关键是根据题意列出不等式，算出不等式解集，求出整数解，即可解决问题； 【详解】解：∵正比例函数（）中，y的值随着x的增大而增大， ∴， ∵于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即； ∴， ∵为整数， ∴可取1，2，3； ∴满足条件的整数的值之和为：， 故答案为：6. 15. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，且，则的长度为__________；过点A作于点E，过点A作于点F，连接，则的长度为__________． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】由菱形的性质得出，，，，，由勾股定理求出，由面积法求出，证明得出垂直平分，然后根据求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，，，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5；． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键． 16. 一个各数位数字均不为零的四位正整数M，若千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，且千位数字大于百位数字，则称M为“凹数”．将M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调产生新四位数N，例如：若，则．记，，则__________；若M为“凹数”，且能被7整除，能被6整除，则满足条件的最大“凹数”M为__________． 【答案】 ①. 303 ②. 9559 【解析】 【分析】本题考查了数字问题，新定义，四位数的表示，整式的加减，整数被某数整除时求字母的值，难度较大，能够理解新定义并熟练掌握所学知识是解题的关键． 根据定义直接求的值，设M的千位，百位，十位，个位数字分别为，，，，根据题意表示出M的和，再表示出N和， 根据和均为整数来推出能被2整除，，求出满足条件的解，最后得出满足条件的最大“凹数”M的数． 【详解】当时，，； 若M为“凹数”，可设M的千位，百位，十位，个位数字分别为，，，， ， N的千位，百位，十位，个位数字分别为，，，， ， ，， ， ， 能被7整除，又与7互为质数， 能被整除， 或， 能被6整除，又与6有一公因数3， 能被2整除， ， 同时满足且能被2整除的正整数解为： ，，，，， 当时，M有最大值为9559， 满足条件的最大“凹数”M为9559， 故答案为：9559． 三、解答题：（本大题9个小题，第17～18题每题8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解得，； 【小问2详解】 ，， 解得，． 18. 小李在学习平行四边形时发现：在平行四边形中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点F，连接，，则四边形也是平行四边形．他的证明思路是：利用平行四边形的性质得三角形全等，再利用平行四边形的判定定理，从而使问题得以解决．请根据小李的思路将下面证明过程补充完整． 证明：四边形是平行四边形， ① ，，． ． 平分，平分， ,, ． ② ，． ． 即③ ． ∴四边形是平行四边形（④ ）． 【答案】①；②；③；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质， 解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 利用平行四边形的性质证，得，， 再利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，，． ． 平分，平分， ，， ， ． ，． ． 即． ， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 19. “体重管理年”掀起全民健身热潮，健康生活方式成新风尚、沙坪坝区某校举办了“吃得营养，动得有效”的科普知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析．试题满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分（成绩用x表示，共分为四组：合格（），中等（），良好（），优秀（），下面给出部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩的数据是：62，74，78，78，83，86，86，86，95，98． 八年级10名学生的竞赛成绩为“良好”的数据是：82，83，85，85． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 a 八年级 b 85 根据以上信息，解答下面问题： （1）直接写出上述图表中 ， ， ． （2）根据以上数据，你认为七、八年级中哪个年级的学生竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）八年级抽取的10名学生的竞赛成绩中，竞赛成绩为“合格”的平均成绩为67分，竞赛成绩为“中等”的平均成绩为71分，请你计算八年级抽取的10名学生的竞赛成绩为“优秀”的平均成绩为多少分？ 【答案】（1），， （2）七年级较好，理由见解析 （3）分 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、频数分布表、中位数、众数、平均数的含义，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解答本题的关键． （1）分别根据众数和中位数的定义可得a、b的值；用“1”分别减去其它部分占比可得的m值； （2）根据平均数和中位数的意义解答即可； （3）由总分减去已知组别的总分，再除以优秀的人数可得答案． 【小问1详解】 解：在七年级10名学生的竞赛成绩中86出现的次数最多，故众数； ∵， ∴把八年级10名学生的竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是83，85，故中位数， ∵ ， ∴. 【小问2详解】 解：七年级学生竞赛成绩较好， 理由：七、八年级的平均分均为分，七年级的中位数高于八年级的中位数，整体上看八年级学生竞赛成绩较好．（合理即可） 【小问3详解】 解：∵ 八年级抽取的10名学生的竞赛成绩中，竞赛成绩为“合格”的平均成绩为67分，竞赛成绩为“中等”的平均成绩为71分， ∴八年级抽取的10名学生的竞赛成绩为“优秀”的平均成绩为： （分）； 20. 如图，点E是正方形的边上的一点，点F是的延长线上的一点，且，连接、、、，AC与EF相交于点G． （1）求证：； （2）设，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． （1）利用正方形的性质得，，再利用三角形全等的判定证明； （2）根据三角形全等的性质和，推出，再利用三角形内角和定理求解； 【小问1详解】 在正方形中， 有，， ， ， 又，， ． 【小问2详解】 由（1）知，， ， 又， ，即， ， ， ， 在正方形中，为对角线， ， ， ． 21. 新能源汽车通过激活产业链、技术革新、消费扩张与绿色转型，是国内大循环的核心驱动力之一，电车成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为120米，宽为80米的矩形停车场进行改造．如图，将矩形停车场的长和宽分别减少相等的宽度，减少的这部分区域用于修建充电桩，已知剩余停车场的面积为4500平方米． （1）求减少的宽度是多少米？ （2）为确保安全，停车场充电桩区域须划分独立防火区，停车场物业公司准备在充电桩区域与非充电桩区域之间修建防火隔离墙．若防火隔离墙的高度为米，则需要修建的防火隔离墙的面积是多少平方米？ 【答案】（1）减少的长度是30米． （2）修建的防火隔离墙的面积是平方米 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用； （1）设减少的长度是x米．根据剩余面积可得，再解方程并检验即可； （2）由非充电桩区域的长为米，宽为米，进一步列式计算即可. 【小问1详解】 解：设减少的长度是x米． 根据题意，得， 解得：（不合题意，舍去），． 答：减少的长度是30米． 【小问2详解】 解：∵减少的长度是30米， ∴非充电桩区域的长为米，宽为米， ∵停车场物业公司准备在充电桩区域与非充电桩区域之间修建防火隔离墙． ∴修建的防火隔离墙的面积是（平方米）. 22. 如图，在中，对角线和交于点O，点E、点F分别为的中点，连接． （1）求证：； （2）已知，．若，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质进行证明即可； （2）根据题意得出，利用勾股定理求得，再利用平行四边形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴的面积． 23. 如图，在中，，，于点D，．动点P从点A出发，沿着运动（点P与点A、C不重合），交折线于点E．设点P运动的路程为x，的长度为，的长度与点P运动的路程之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）观察函数图象，请直接写出时x的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1）；，． （2）作图见解析，性质见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，函数图象的画法，解题的关键是根据动点的位置分类讨论求与的关系式． （1）利用等腰三角形“三线合一”的性质求出，可得函数的表达式，再分和求与的关系式，最后用分段函数形式写出与的关系式； （2）根据函数解析式，利用描点法作图；可以从函数的最值，增减性描述等方面表达，合理即可； （3）通过图象得出两函数图象交点的横坐标在分别1.5附近，5.5附近，再根据题目要求作答． 【小问1详解】 解：，， ， ，， ， ， ，， 当时，， ，， ， ， 当时，，， ，， ， ， ． 综上可知，；，． 【小问2详解】 解：作出函数图象如下图所示： 由图知，函数有最大值3，函数满足当时，随的增大而减小（合理即可）． 【小问3详解】 解：由图知，两函数图象的交点横坐标分别1.5附近，5.5附近， 根据题目要求，可得当时，． 24. 如图，已知直线分别与轴、轴交于点，．直线与轴交于点，与直线交于点，且． （1）求直线的表达式； （2）点是线段上一动点，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，当时，求的面积及此时点的坐标； （3）在（2）问的条件下，点关于轴的对称点为点．将直线向下平移6个单位得到直线，直线与直线交于点．平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），的面积为 （3）存在，点坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出直线的解析式为，设，则，，再由，求出的值，即可求解； （3）根据平行四边形的对角线分三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ， 将点代入， ， 解得， 直线的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， 设，则，， ， ， 解得， ，， 的面积； 【小问3详解】 解：存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，理由如下： 点关于轴的对称点为点， ， 直线向下平移6个单位得到直线， 直线的解析式为， 当时，解得， ， 设， 当为平行四边形的对角线时，， ， ； 当为平行四边形的对角线时，， 解得， ； 当为平行四边形的对角线时，， 解得， ； 综上所述：点坐标为或或． 25. 如图，在正方形中，动点在对角线上，连接，以为斜边向下作等腰． （1）求证：； （2）如图，点是的中点，连接．求证：； （3）如图，连接，将点绕点逆时针旋转得到点，连接，当线段取得最小值时，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形，等腰直角三角形的性质得到，由三角形外角的性质即可求解； （2）将绕点旋转到，连接、、，构造旋转全等，可得，从而可得，，再证明，利用角关系证明，从而得出，进而可得，继续证明，可得是等腰直角三角形，由此即可得出结论； （3）过点作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，构造K字形全等，结合等腰直角三角形的判定和性质证明，从而可得是的垂直平分线，由此得出，利用旋转全等可得，即可得出，根据两点之间线段最短可得：，进而判定当点在正方形对角线交点上，取得最小值，由此即可解答． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：将绕点旋转到，连接、、， 由旋转可知：，， ∴， 又， ∴ ∴，， 又∵是正方形的对角线， ∴点、是关于的对称， ∴， 由（1）得， 设， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ， ∴，， ∴， 【小问3详解】 过点作，垂足为，交于点，过点作，垂足为， ∴，，， 又∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ， ∴，， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， 同理（2）可得， ∴， ∴， ∴当在上时，最小， 此时点在正方形对角线交点上，， ∵四边形是正方形，， ∴ 【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理等知识点，难度较大，问题（2）的解题关键是利用旋转构造全等，并利用角的关系证明，从而得出是等腰直角三角形，问题（3）的解题关键是利用旋转全等模型和K字形模型证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $