专题14 平行线的判定与性质七大题型（高效培优专项训练）数学华东师大版2024七年级上册

专题14 平行线的判定与性质七大题型 题型一：平行线的判定 题型二：平行线的性质 题型三：根据平行线的性质探究角的关系 题型四：根据平行线的性质求角的度数 题型五：平行线的性质在生活中的应用 题型六：根据判定和性质求角度 题型七：根据判定和性质证明 题型一：平行线的判定 1．如图，点E在的延长线上，则下列条件中，不能判定的是(   ) A． B． C． D． 2．下列各图形中，能确定的是（　　） A．B．C． D． 3．如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（    ） A． B． C． D． 4．将一块含有、、的三角尺如图放置，点A、B分别在直线m、n上，下列条件中：①，②，③，④，⑤，，能判断的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，不能作为判断的条件是（　　） A． B． C． D． 6．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（   ） A． B． C． D． 16．如图，如果 ，那么，根据 ．（只需写出一种情况） 17．如图，在四边形中，若要，则需增加条件： ．（填一个即可） 18．如图是一条街道的两个拐角，若与均为，则街道与的位置关系是 ． 19．（1）如图①，E是延长线上一点，如果添加一个条件，使，则可添加的条件为： ，（任意添加一个符合题意的条件即可） （2）如图②，点在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②：③；④．其中能判定的是 ．（填序号） 20．如图，一个弯形管道的拐角，，这时说管道，是根据 ． 21．如图，下列条件：①；②；③且；④且．其中能判定的有 ．（填序号） 22．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相 ．（“平行”或“不平行”，填入其中一个） 23．在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“垂直”） 24．在同一平面内，有三条直线a、b、c，如果，，则a c． 25．下列四种说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②三条直线两两相交，总有三个交点；③若，，则；④在同一平面内，若直线，直线与相交，则与相交．其中，错误的是 ．(填序号) 26．已知：如图，，AF平分，CE平分，求证： 证明：平分，CE平分， ______，______ 又， ______． ， ______， ______ 27．请完成平行线的判定定理2的证明： 已知：如图，和是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且与互补．求证：． 证明：与互补（已知）， ________（互补的定义）， ________（等式的性质）． ________（________）， ________（等式的性质）， （等量代换）， （________）． 28．请将解题过程补充完整： 如图，，垂足为D，F是上的一点，，垂足为E，且，试说明． 解：， （______） ______， （______） （等量代换） ．（______） 29．完成下面的推理填空： 如图，于点，于点，且，试说明：． 解：（已知）， （___________）， ___________（___________）， ___________（___________）． 又（已知）， ___________（___________）， （___________） 30．完成下面的证明： 如图，平分，平分，且，求证． 证明：平分（已知）， （______）， 平分（已知）， ______（______）， （______）， （已知）， ______（______）， （______）． 31．如图，如果，求证：；． 观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论． 证明：∵（ 已 知 ）， （______________）， ∴（_______________）， 又∵（已知）， ∴_________（____________）， ∴（_______________）， 又∵（_____________）， ∴（___________________________）， ∵（已知）， ∴， ∴（________________）． 32．已知．请根据下列语句依次画出图形或解答问题． (1)画出的对顶角； (2)点P为内一点，画出直线交于点N，直线交于点M； (3)若，则 （直接写出答案）． 33．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C、D都在格点上．请按要求画图： (1)如图1，在线段上找一点P，使最小； (2)如图2，在线段上找一点Q，使，画出线段； (3)在（2）的条件下，若，则与的位置关系为 （填“平行”，“相交”或“垂直”）． 题型二：平行线的性质 7．如图，直线，一直角三角板的直角顶点在直线b上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知直线，，则等于（    ） A． B． C． D． 9．下列说法不正确的有（   ） 相等的两个角是对顶角；若，则与互为邻补角；同位角相等；垂线段最短；同一平面内，两条直线的位置关系有：相交，平行和垂直；同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． A．个 B．个 C．个 D．个 10．如图，一束太阳光线照射直角三角板后投射在地面上得到线段，若，则（ ） A． B． C． D． 11．如图，,，那么图中角x，y，z的关系是（   ） A． B． C． D． 12．一把直尺与一个含角的直角三角板按如图所示放置，若，则的度数为（　　） A．22° B． C． D． 13．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 14．一个自行车的示意图如图所示，其中，．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 15．如果的两边与的两边分别平行，且比的3倍少，那么的度数是（    ） A． B． C．， D．， 题型三：根据平行线的性质探究角的关系 34．已知直线，直线、都不经过点． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并证明； (3)如图3，直接写出、、之间的数量关系． 35．【发现】如图1，平分，平分． 当时，与的位置关系是　　　； 当时，与的位置关系是　　　； 当时，请判断与的位置关系，并说明理由； 【探究】如图2，，是上一点，保持不变，移动顶点，使平分，与存在怎样的数量关系？并说明理由． 【拓展】如图3，，为线段上一定点，为直线上一动点，且点不与点重合．直接写出与的数量关系． 36．综合与实践 【问题情境】在数学综合与实践课上，老师让同学们以“平行线与三角板”为主题开展数学活动．已知直线，在直角三角板中，． 【操作发现】 （1）如图所示，将直角三角板顶点A放在直线上，设边与相交于点H，边与相交于点D．当时，发现．请说明理由； 【深入探究】 （2）如图所示，将图（1）中三角板的直角顶点B放在平行线和之间，两直角边，分别与，相交于点P和Q，得到和，试探究和的数量关系并说明理由．以下是小刚同学的解题思路：过点B作和其中一条直线的平行线，再利用平行线的有关知识就能解决问题． 请你帮助小刚同学书写完整的解题过程，或用其它方法解决； 【拓展运用】 （3）受小刚同学的启发，同学们继续探究以下问题，在（2）的情况下，分别作和对顶角的角平分线，它们相交于点O，如图所示，请直接写出的度数． 37．已知：直线，点E、F分别在直线、上，点M为两平行线内部一点． (1)如图①写出这三个角，，的数量关系，直接写出答案． (2)如图②，和的角平分线交于点N，若，求的度数． (3)如图③，点G为直线上一点，延长交直线于点Q，点H为上一点，射线，交于点N，满足，，设，求的度数．（用含x的代数式表示） 题型四：根据平行线的性质求角的度数 38．如图1，是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，其原理是利用凹面镜的聚光技术，如图2是图1的轴截面示意图，太阳光线，经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点P． (1)如图2，若和，则　　　； (2)如图3，已知，点M，N分别在，上，点P是，之间右侧任意一点，连接，，若，请写出之间的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在（2）的基础上平分，平分，若，，请直接求的值．（不需要写解答过程） 39．直线，是上一定点，是直线上一动点，点在直线，之间，且，，的平分线交直线于点．    (1)如图1，若，则的度数是_____． (2)如图2，若，求的度数； 40．如图，在四边形中，，，点在上方，连接，，交于点，，． (1)求的度数； (2)点是上的一点，连接，，求证． 41．已知三条直线和一副直角三角板． (1)如图1把三角尺的边放在上，三角尺的顶点与顶点重合，边经过，顶点恰好落在上，顶点恰好落在上，边与相交所成的一个角记为，求的度数； (2)如图2，两个三角尺的两个直角顶点，分别落在和上，顶点恰好落在上，边与相交所成的一个角记为，边与相交所成的一个角记为，请你说明； (3)如图2，若点是直线上一点，恰好平分时，求与的度数． 42．已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点． (1)如图，若，，求的度数． (2)求证： (3)如图，若，，，求的度数（用，的代数式表示）． 题型五：平行线的性质在生活中的应用 43．如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 44．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知，，试探究与之间的数量关系？小智同学经过思考发现，过点F作即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程； (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数． 45．2025年全国生态环境保护工作会议内容提倡绿色低碳发展机制，推进生态环境保护全民行动．骑自行车就是一种绿色环保的交通方式，如图所示是一辆自行车放在水平地面的简易示意图，其中A，B，D，C，M五点均在同一平面内，都与地面平行，，．当与平行时，的度数为多少？ 46．阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 题型六：根据判定和性质求角度 47．（1）如图所示，若，则的度数是多少？ （2）已知三角形的三边长分别为a，，c，化简：． 48．一副三角尺为我们用数学的眼光观察世界提供了一个小小的“窗口”．比如我们根据一副三角尺的不同位置摆放，可探究有关平行线的问题． 如图1是一副三角尺，． (1)如图2，将三角尺的顶点A与三角尺的顶点F重合，使点C落在的延长线上，与相交于点G，求的度数； (2)如图3，将三角尺的直角顶点C放在直线上，使，三角尺的顶点E在直线上，与相交于点P，求的度数； (3)如图4，将三角尺放置固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的直角顶点C，F重合．当点A在直线的下方时，探究这两个三角尺有一组边互相平行的情况，比如当时，，请你直接写出除外，其他所有可能的度数． 49．已知直线，点分别在直线上，且点为平面内一点． (1)如图1，点在直线、之间，连接，，若，，求的度数； (2)如图2，点在直线的上方，连接，试求出之间的数量关系． 题型七：根据判定和性质证明 50．如图，，，，平分交于点， 试说明．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 解：，（已知） ______．（______） ，（已知） ．（等量代换） ，（已知） ______．（______） ______．（等式的性质） 平分，（已知） ______．（______） ．（等量代换） ．（______） 51．已知如图：．求证：．（请把以下证明过程补充完整） 证明：（已知） 又（_______________） （_______________） （同位角相等，两直线平行） （_______________） （已知） （等量代换） （_______________） （两直线平行，内错角相等） 52．如图，，直线l与，分别交于点E，F直角三角形的顶点M，N分别在直线，上，． (1)______． (2)如图2，，的角平分线交直线于点． ①若，求证：； ②过点N作交于点Q，连接，补全图形．若，比较线段，的长度，并说明理由． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 平行线的判定与性质七大题型 题型一：平行线的判定 题型二：平行线的性质 题型三：根据平行线的性质探究角的关系 题型四：根据平行线的性质求角的度数 题型五：平行线的性质在生活中的应用 题型六：根据判定和性质求角度 题型七：根据判定和性质证明 题型一：平行线的判定 1．如图，点E在的延长线上，则下列条件中，不能判定的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定定理．解题的关键是熟练掌握同位角相等、内错角相等、同旁内角互补对应的平行线判定方法，并准确识别角的位置关系． 分析各选项中角的位置关系，根据平行线判定定理判断是否能推出；选项A中与是内错角，内错角相等可判定；选项B中与是内错角，但对应，无法判定；选项C中与是同位角，同位角相等可判定；选项D中与是同旁内角，同旁内角互补可判定． 【详解】解：∵， ∴，故选项A能判定； ∵， ∴，但选项B不能判定； ∵， ∴，故选项C能判定； ∵，即， ∴，故选项D能判定． 故选：B． 2．下列各图形中，能确定的是（　　） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，由平行线的判定方法，即可判断，关键是掌握平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 【详解】解：A、由能判定，不能判定，故A不符合题意； B、由，结合内错角相等，两直线平行判定，故B符合题意； C、由，不能判定，故C不符合题意； D、由不能判定，故D不符合题意； 故选：B． 3．如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：A. ， ， 故本选项能判断；     B. ， ， 故本选项不能判断；     C. ， ， 故本选项不能判断；     D. ， ， 故本选项不能判断； 故选：A． 4．将一块含有、、的三角尺如图放置，点A、B分别在直线m、n上，下列条件中：①，②，③，④，⑤，，能判断的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，可以判断是否可以得到，从而可以解答本题． 【详解】解：，， 不一定等于， 和n不一定平行，故①不符合题意； ，， 不一定等于， 和n不一定平行，故②不符合题意； 过点C作， ， ，， ， ， ，故③符合题意； ， ， ，故④符合题意； ，，， ， ，故⑤符合题意； 故选：C． 5．如图，不能作为判断的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解决问题的关键．利用平行线的判定定理，逐一判断即可． 【详解】解：A、正确，， （同位角相等，两直线平行）； B、正确，， （内错角相等，两直线平行）； C、正确，， （同旁内角互补，两直线平行）； D、错误，由，不能得到． 故选：D． 6．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，由此即可判断． 【详解】解：A、，能判定直线a与b平行，故A不符合题意； B、，能判定直线a与b平行，故B不符合题意； C、，能判定直线a与b平行，故C不符合题意； D、，不能判定直线a与b平行，故D符合题意． 故选：D． 16．如图，如果 ，那么，根据 ．（只需写出一种情况） 【答案】 2（答案不唯一） 1（答案不唯一） 内错角相等，两直线平行（答案不唯一） 【分析】根据平行线的判定方法解答即可． 本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 【详解】解：如果，那么，根据内错角相等，两直线平行， 故答案为：2，1，内错角相等，两直线平行．（答案不唯一） 17．如图，在四边形中，若要，则需增加条件： ．（填一个即可） 【答案】（或或） 【分析】本题考查了平行线的判定定理，解题的关键是熟悉并运用同位角相等、内错角相等或同旁内角互补时两直线平行的判定方法． 明确要使，需依据平行线的判定定理寻找条件；可从同位角、内错角或同旁内角的关系入手，找出能判定两直线平行的条件． 【详解】解：要使，根据“内错角相等，两直线平行”，若和是与被所截形成的内错角），则； 根据“同旁内角互补，两直线平行”，若和是与被所截形成的同旁内角）或和是与被所截形成的同旁内角），也可判定． 故答案为：（或或． 18．如图是一条街道的两个拐角，若与均为，则街道与的位置关系是 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的判定：内错角相等，两直线平行，掌握平行线的判定是解答此题的关键． 根据内错角相等，两直线平行，即可求解． 【详解】解：∵与均为， ∴， ∴． 故答案为： 19．（1）如图①，E是延长线上一点，如果添加一个条件，使，则可添加的条件为： ，（任意添加一个符合题意的条件即可） （2）如图②，点在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②：③；④．其中能判定的是 ．（填序号） 【答案】 （答案不唯一） ②③④ 【分析】本题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定定理求解即可； （2）根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】（1）解：可添加的条件为， ∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （2）∵， ∴， 故①不符合题意； ∵， ∴， 故②符合题意； ∵， ∴， 故③符合题意； ∵， ∴， 故④符合题意； 故答案为：②③④． 20．如图，一个弯形管道的拐角，，这时说管道，是根据 ． 【答案】同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查了阅读题目信息，观察图形，试着得到的位置关系； 分析可得是同旁内角，回想平行线的判定定理； 根据同旁内角互补，两直线平行即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴ ∴（同旁内角互补，两直线平行） 故答案为：同旁内角互补，两直线平行. 21．如图，下列条件：①；②；③且；④且．其中能判定的有 ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了平行线的判定，熟悉平行线的判定是解题的关键. 【详解】解：①当时，（内错角相等，两直线平行）， 不符合题意； ②当，（同旁内角互补，两直线平行），符合题意； ③，（同旁内角互补，两直线平行），，所以（平行于同一直线的两条直线互相平行），符合题意； ④，（同旁内角互补，两直线平行），，所以（平行于同一直线的两条直线互相平行），符合题意； 故答案为：②③④. 22．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相 ．（“平行”或“不平行”，填入其中一个） 【答案】平行 【分析】此题可以从同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等方面来判定两直线平行．此结论也可以当作定理来用．根据题意画出画出图形，再利用平行线的判定证明． 【详解】如图，，，说明． 解：，（已知）， ∴，（垂直的定义）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：平行． 23．在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“垂直”） 【答案】平行 【分析】本题考查了平行线的性质，灵活运用“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”，可知与的位置关系是平行． 【详解】解：∵， ，，… ∴，，…， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶平行． 24．在同一平面内，有三条直线a、b、c，如果，，则a c． 【答案】/平行于 【分析】本题考查的是同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，由平行线的判定方法可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： 25．下列四种说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②三条直线两两相交，总有三个交点；③若，，则；④在同一平面内，若直线，直线与相交，则与相交．其中，错误的是 ．(填序号) 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行线的性质，平面内两直线的位置关系；根据平行线的性质与判定，以及平面内两直线的位置关系逐项分析判断，即可求解． 【详解】①在“一点”前缺少“直线外”的限制；故①错误 ②三条直线也可以交于一点；故②错误 ③若在同一平面内，，，则；若不在同一平面内，和有多种位置关系；故③错误 ④在同一平面内，若直线，直线与相交，则与相交．正确． 故答案为：①②③． 26．已知：如图，，AF平分，CE平分，求证： 证明：平分，CE平分， ______，______ 又， ______． ， ______， ______ 【答案】；角平分线的定义；； ；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．由角平分线的定义推出得到，即可证明． 【详解】证明：平分，CE平分， ，角平分线的定义 又， ， ， 同位角相等，两直线平行 故答案为：；角平分线的定义；；；同位角相等，两直线平行． 27．请完成平行线的判定定理2的证明： 已知：如图，和是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且与互补．求证：． 证明：与互补（已知）， ________（互补的定义）， ________（等式的性质）． ________（________）， ________（等式的性质）， （等量代换）， （________）． 【答案】180；180；180；平角的定义；180；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，根据补角的定义，等量代换，同位角相等，两直线平行，进行作答即可． 【详解】证明：与互补（已知）， （互补的定义）， （等式的性质）． （平角的定义）， （等式的性质）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 28．请将解题过程补充完整： 如图，，垂足为D，F是上的一点，，垂足为E，且，试说明． 解：， （______） ______， （______） （等量代换） ．（______） 【答案】垂直的定义；2；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．根据平行线的判定，补齐各步骤的结论和推理依据即可． 【详解】解：，， （垂直的定义）， ，， （同角的余角相等）， ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义；2；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行． 29．完成下面的推理填空： 如图，于点，于点，且，试说明：． 解：（已知）， （___________）， ___________（___________）， ___________（___________）． 又（已知）， ___________（___________）， （___________） 【答案】垂直的定义，，同位角相等，两直线平行，，两直线平行，同旁内角互补，，同角的补角相等，内错角相等，两直线平行； 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，根据垂直的定义和平行线的判定和性质解答即可． 【详解】解： （已知）， （垂直的定义）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （同角的补角相等）， （内错角相等，两直线平行） 30．完成下面的证明： 如图，平分，平分，且，求证． 证明：平分（已知）， （______）， 平分（已知）， ______（______）， （______）， （已知）， ______（______）， （______）． 【答案】角平分线的定义；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】此题主要考查了平行线的判定，首先根据角平分线的定义可得，，根据等量代换可得，进而得到，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案． 【详解】证明：平分（已知）， （角平分线的定义）， 平分（已知）， （角平分线的定义）， （等量代换）， （已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：角平分线的定义；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 31．如图，如果，求证：；． 观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论． 证明：∵（ 已 知 ）， （______________）， ∴（_______________）， 又∵（已知）， ∴_________（____________）， ∴（_______________）， 又∵（_____________）， ∴（___________________________）， ∵（已知）， ∴， ∴（________________）． 【答案】对顶角相等；等量代换；；等式的性质；同旁内角互补，两直线平行；邻补角的定义；等式的性质；内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是对平行线的判定与性质的掌握与运用．由题意可求得，则有，即可判定，由邻补角的定义可得，可得，即可判定． 【详解】证明：∵（ 已 知 ）， （对顶角相等）， ∴（等量代换）， 又∵（已知）， ∴ （等式的性质）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 又∵（邻补角的定义）， ∴（等式的性质）， ∵（已知）， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等；等量代换；；等式的性质；同旁内角互补，两直线平行；邻补角的定义；等式的性质；内错角相等，两直线平行． 32．已知．请根据下列语句依次画出图形或解答问题． (1)画出的对顶角； (2)点P为内一点，画出直线交于点N，直线交于点M； (3)若，则 （直接写出答案）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据对顶角的定义，反向延长分别到点C和点D，则即为所求． （2）根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，画图即可． （3）根据平行线的性质解答即可． 本题考查了基本作图，平行线的判定和性质，对顶角的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：反向延长分别到点C和点D， ． 则即为所求． （2）解：根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，画图如下： 则直线交于点N，直线交于点M； 则直线即为所求． （3）解：根据，， 故，， 则， 又， 故． 33．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C、D都在格点上．请按要求画图： (1)如图1，在线段上找一点P，使最小； (2)如图2，在线段上找一点Q，使，画出线段； (3)在（2）的条件下，若，则与的位置关系为 （填“平行”，“相交”或“垂直”）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)平行 【分析】本题考查利用网格作图，线段最短，平行线的判定，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）连接，交于点，则点即为所求． （2）利用网格，过点作的垂线即可． （3）由平行线的判定可得结论． 【详解】（1）解：如图1，连接，交于点， 此时，为最小值， 则点即为所求． （2）解：如图2，点即为所求． （3）解：，， ， 与的位置关系为平行． 故答案为：平行． 题型二：平行线的性质 7．如图，直线，一直角三角板的直角顶点在直线b上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质（两直线平行，同位角相等）和直角三角板的直角性质（直角为），解题的关键是利用直角三角板的直角得出与的和为，再结合平行线性质找到与相等的角． 先根据直角三角板的直角，得出与它在直线上的之和为，代入算出的度数；再利用直线的性质，可知与是同位角，同位角相等，进而得出的度数． 【详解】解：如图，设直角三角板的另一条直角边与直线构成．   ∵直角三角板的直角与∠1、∠3共同组成平角， ∴．   又∵， ∴．   ∵直线， ∴（两直线平行，同位角相等）．   ∴．   故选：C． 8．如图，已知直线，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角，掌握平行线的性质是解题关键．由两直线平行，同位角相等，得到，再结合邻补角求解即可． 【详解】解：直线，， ， ， 故选：B． 9．下列说法不正确的有（   ） 相等的两个角是对顶角；若，则与互为邻补角；同位角相等；垂线段最短；同一平面内，两条直线的位置关系有：相交，平行和垂直；同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质、对顶角、邻补角、两直线位置关系等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的判定和性质，对顶角、邻补角、两直线位置关系逐一判断即可解答． 【详解】解：相等的两个角不一定是对顶角，也可能仅仅是度数相等，故原说法错误，符合题意； 若，则与互为补角，不一定是邻补角，故原说法错误，符合题意； 两直线平行，同位角相等，故原说法错误，符合题意； 垂线段最短，该说法正确，不符合题意； 同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种，垂直是相交的特殊情况，故原说法错误，符合题意； 同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，该说法正确，不符合题意， 综上，说法不正确的有个． 故选：A． 10．如图，一束太阳光线照射直角三角板后投射在地面上得到线段，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．设中间光线交底面于点，由平行线的性质得，再求出，最后由即可得出结论． 【详解】解：如图，设中间光线交底面于点， ，， ， ， ， 一束太阳光线照射直角三角板， ， 故选：B． 11．如图，,，那么图中角x，y，z的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，三角形外角性质的应用，平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，熟记平行线的性质是解决本题的关键， 过C作，延长交于N，根据三角形外角性质求出，根据平行线性质得出，，代入求解即可． 【详解】解：如图所示，过C作，延长交于N， 则，即， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 12．一把直尺与一个含角的直角三角板按如图所示放置，若，则的度数为（　　） A．22° B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，关键是作直线平行于直尺上下边，利用 “两直线平行，内错角相等” 即可得到结果． 【详解】解：如下图，作直线平行于直尺上下边可知， ，（两直线平行，内错角相等）， 直角三角板含一个， ， ． 故选：． 13．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．先根据题意得出，故可得出，再由得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：如图， ∵，， ， ∵，， ， ． 故选：A． 14．一个自行车的示意图如图所示，其中，．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据同旁内角互补，两直线平行，得出，根据，得出，由，求出进而求出即可． 【详解】， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 15．如果的两边与的两边分别平行，且比的3倍少，那么的度数是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质和分情况讨论是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等且同旁内角互补，再结合和的数量关系，分情况讨论，列式计算即可． 【详解】解：                  如图①，的两边与的两边分别平行， ∴，， ∴， ∵比的3倍少， ∴， ∴； 如图②，的两边与的两边分别平行， ∴，， ∴， ∵比的3倍少， ∴， ． 故选：C． 题型三：根据平行线的性质探究角的关系 34．已知直线，直线、都不经过点． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并证明； (3)如图3，直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查根据平行线的判定和性质探究角的关系，掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）作，则，根据平行线的性质即可求解； （2）作，则，根据两直线平行，同旁内角互补，可得，，进而可得； （3）作，则，根据两直线平行，内错角相等，可得，，进而可得． 【详解】（1）解：如图，作， 则， ∵， ∴， ∴ ∴， 即； （2）解：， 证明：如图，作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； （3）解：， 理由：如图，作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． 35．【发现】如图1，平分，平分． 当时，与的位置关系是　　　； 当时，与的位置关系是　　　； 当时，请判断与的位置关系，并说明理由； 【探究】如图2，，是上一点，保持不变，移动顶点，使平分，与存在怎样的数量关系？并说明理由． 【拓展】如图3，，为线段上一定点，为直线上一动点，且点不与点重合．直接写出与的数量关系． 【答案】发现：平行；平行；平行，理由见解析； 探究：，理由见解析； 拓展：或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质求角之间的关系， 对于【发现】，根据角平分线定义得,再结合，然后根据“同旁内角互补两直线平行”得； 对于【探究】，作,由平行线的性质得，再根据角平分线的定义得，即可得出答案； 对于【拓展】，分两种情况：当点Q在射线上运动时，作，根据平行线的性质得,再根据,可得答案；当点Q在射线的反向延长线上运动时（点C除外），再作,根据平行线的性质得，接下来得180°，进而得出答案. 【详解】当时，. ∵平分，平分， ∴, ∴， ∴； 当时，. ∵平分，平分， ∴, ∴， ∴； 故答案为：平行；平行； 当时，. 理由如下： ∵平分，平分， ∴, ∴， ∴； 【探究】， 理由如下： 过E向右作, ∵, ∴, ∴. 【拓展】,或 如图1，当点Q在射线上运动时，. 理由：过点P作, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴； 当点Q在射线的反向延长线上运动时（点C除外），. 理由：过点P作, ∵, ∴, ∴. ∵ 180°， 即 综上可知，,或 36．综合与实践 【问题情境】在数学综合与实践课上，老师让同学们以“平行线与三角板”为主题开展数学活动．已知直线，在直角三角板中，． 【操作发现】 （1）如图所示，将直角三角板顶点A放在直线上，设边与相交于点H，边与相交于点D．当时，发现．请说明理由； 【深入探究】 （2）如图所示，将图（1）中三角板的直角顶点B放在平行线和之间，两直角边，分别与，相交于点P和Q，得到和，试探究和的数量关系并说明理由．以下是小刚同学的解题思路：过点B作和其中一条直线的平行线，再利用平行线的有关知识就能解决问题． 请你帮助小刚同学书写完整的解题过程，或用其它方法解决； 【拓展运用】 （3）受小刚同学的启发，同学们继续探究以下问题，在（2）的情况下，分别作和对顶角的角平分线，它们相交于点O，如图所示，请直接写出的度数． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）． 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是正确的作出辅助线； （1）根据同位角相等两直线平行和平行公理证明即可； （2）根据平行公理可证，再根据平行线的性质证明即可； （3）过点O作，则，根据平行线的性质可证，再根据平分线的定义可证，再根据平行线的性质即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ，， ， ； （3）解：，理由如下： 过点O作， ， ， ，， ， ， ，分别平分，， ， ， ， ． 37．已知：直线，点E、F分别在直线、上，点M为两平行线内部一点． (1)如图①写出这三个角，，的数量关系，直接写出答案． (2)如图②，和的角平分线交于点N，若，求的度数． (3)如图③，点G为直线上一点，延长交直线于点Q，点H为上一点，射线，交于点N，满足，，设，求的度数．（用含x的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，过拐点添加平行线的辅助线是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质得到，，再利用角的和差即可得出结论； （2）过点作，过点作，利用平行线的性质得到，，进而得到，再利用角平分线的定义得到，再利用平行线的性质和角的和差即可求出的度数； （3）过点作，利用平行线的性质得到，，利用角的和差得到，进而得到，再结合（1）中的结论即可求出的度数． 【详解】（1）解：如图①，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图②，过点作，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵和的角平分线交于点N， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图③，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 由（1）中的结论得，， ∴， 整理得， ∴． 题型四：根据平行线的性质求角的度数 38．如图1，是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，其原理是利用凹面镜的聚光技术，如图2是图1的轴截面示意图，太阳光线，经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点P． (1)如图2，若和，则　　　； (2)如图3，已知，点M，N分别在，上，点P是，之间右侧任意一点，连接，，若，请写出之间的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在（2）的基础上平分，平分，若，，请直接求的值．（不需要写解答过程） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键． （1）作辅助线构造平行线，从而得到，根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”求解即可； （2）作辅助线构造平行线，由平行线的性质可得，，由此可求解； （3）由角平分线的性质可得，，再根据（2）中的结论同理可得，由此可求． 【详解】（1）解：过点P作（点R在点P的左侧），如图， ∵， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 过点P作（点H在点P的左侧），如图， ∵， ∴， ∴，， ∴, ∵， ∴； （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， 由（2）中的结论可知，， 同理可得， ∴． 39．直线，是上一定点，是直线上一动点，点在直线，之间，且，，的平分线交直线于点．    (1)如图1，若，则的度数是_____． (2)如图2，若，求的度数； 【答案】(1)135 (2) 【分析】本题考查了角的平分线的性质，平行线的性质，平行公理的推论，补角的定义，熟练运用平行线的性质，角的平分线的性质是解题的关键． （1）过点Q作，则，利用平行线的性质求解即可； （2）利用补角的定义，角平分线的性质，平行线的性质，求解即可； 【详解】（1）解：如图1，过点Q作， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，    故答案为：135； （2）证明：， ， 平分， ． ∵ ． ∵， ．    40．如图，在四边形中，，，点在上方，连接，，交于点，，． (1)求的度数； (2)点是上的一点，连接，，求证． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先根据已知条件求出的度数，再利用四边形内角和或三角形外角等知识，结合与的度数判断与的位置关系，进而求出的度数． （2）求出与相关角的度数，通过同位角或内错角相等来证明 ． 本题主要考查了平行线的判定与性质、对顶角相等以及角的和差计算等知识，熟练掌握平行线的判定定理（内错角相等、同旁内角互补等）和性质（两直线平行，同位角、内错角相等）是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴． （2）解：由（1）知， ∴（对顶角相等）． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． 41．已知三条直线和一副直角三角板． (1)如图1把三角尺的边放在上，三角尺的顶点与顶点重合，边经过，顶点恰好落在上，顶点恰好落在上，边与相交所成的一个角记为，求的度数； (2)如图2，两个三角尺的两个直角顶点，分别落在和上，顶点恰好落在上，边与相交所成的一个角记为，边与相交所成的一个角记为，请你说明； (3)如图2，若点是直线上一点，恰好平分时，求与的度数． 【答案】(1) (2)见详解 (3)， 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，平行线的性质，平移变换，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． （1）先由三角板度数组合，求出度数，进而由平行的性质可知，然后用，则求出度数． （2）如图2所示，过点作，利用平行线的性质可得，，可得，又因为，代入即可证明题目所求． （3）因为平分，则，根据平行线的性质可得，利用（2）中结论，即可求． 【详解】（1）解：（1）如图1中， ， ， 又， ， ； （2）如图2所示，过点作， ，， ， ， ， 又， ， ， 又， ， ， ． （3）在（2）的条件下，， 又平分， ， 又， ， ． 42．已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点． (1)如图，若，，求的度数． (2)求证： (3)如图，若，，，求的度数（用，的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是根据平行线的性质找角之间的关系． 过点作，根据平行线的性质可知，，根据角之间的关系可以求出； 过点作，过点作，设，，根据平行线的性质可证，，从而可得：，即可得到：，从而可证结论成立； 设，，可得：，，根据平行线的性质可证：，又因为，从而可得：． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如下图所示，过点作，过点作， ， ，， ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， 设，， 则，， 又，， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：设，， ，， ，， 平分，平分， ，， 如下图所示，过点作， ， ， ， ， ， ， ， 由可知，， ， ， ， 即， ． 题型五：平行线的性质在生活中的应用 43．如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 【答案】(1)平行于同一条直线的两直线平行 (2)， (3)对，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，需熟练掌握平行线的三条性质，根据平行线的三条性质得到角度相等是求解本题的关键． （1）根据平行公理的推论，即“平行于同一条直线的两直线平行”即可求解； （2）根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”，可由求解；再根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求解； （3）根据平行线的性质可得，再根据即可求解． 【详解】（1）解：平行于同一条直线的两直线平行； （或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行； （2）解：如图，过点C作， ， ， ， ， ， , ， ； ， ， ， ， ， ； （3）解：对，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， , ， ． 44．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知，，试探究与之间的数量关系？小智同学经过思考发现，过点F作即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程； (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质及其应用，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）过点F作，则，再证，根据平行线的性质，通过等量代换可得； （2）过点C作，则，进而求出，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：结论：， 证明：如图，过点F作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点C作， ∴， ∵， ∴， 根据题意可知，， ∴， ∴． 45．2025年全国生态环境保护工作会议内容提倡绿色低碳发展机制，推进生态环境保护全民行动．骑自行车就是一种绿色环保的交通方式，如图所示是一辆自行车放在水平地面的简易示意图，其中A，B，D，C，M五点均在同一平面内，都与地面平行，，．当与平行时，的度数为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行公理得到，则由平行线的性质可求出的度数，进而可得的度数，再由两直线平行，内错角相等即可得到答案． 【详解】解：∵都与地面平行， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 46．阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）调整平面镜，使得两面镜子达到平行（合理即可） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． （1）根据等角的余角相等解答即可； （2）根据平行线的性质求解即可； （3）根据潜望镜的原理，平行线的性质进行分析即可． 【详解】（1）证明：， ，， ； （2），理由如下： ，，， ， ， ； （3）因为潜望镜它是根据光的折射，而潜望镜是要改变光的传播方向的，光线无法顺利通过，说明没有与光线平行，需要调整平面镜，的位置，使得两面镜子，达到平行（合理即可）． 题型六：根据判定和性质求角度 47．（1）如图所示，若，则的度数是多少？ （2）已知三角形的三边长分别为a，，c，化简：． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形三边关系，能灵活运用平行线的性质进行推理以及根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负是解此题的关键． （1）过E作，过F作，过G作，过H作，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可； （2）三角形三边满足的条件是：两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此条件来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可． 【详解】解：（1）如图， 过E作，过F作，过G作，过H作， ∵， ∴， ∴，，，，， ∴； （2）∵的三边长分别是a、b、c， ∴必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边， 则，，， ∴ ． 48．一副三角尺为我们用数学的眼光观察世界提供了一个小小的“窗口”．比如我们根据一副三角尺的不同位置摆放，可探究有关平行线的问题． 如图1是一副三角尺，． (1)如图2，将三角尺的顶点A与三角尺的顶点F重合，使点C落在的延长线上，与相交于点G，求的度数； (2)如图3，将三角尺的直角顶点C放在直线上，使，三角尺的顶点E在直线上，与相交于点P，求的度数； (3)如图4，将三角尺放置固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的直角顶点C，F重合．当点A在直线的下方时，探究这两个三角尺有一组边互相平行的情况，比如当时，，请你直接写出除外，其他所有可能的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，三角板中角度的计算，掌握分类讨论是解题的关键． （1）过点G作，根据平行线的性质进行求解即可； （2）过点D作，根据，得出，根据平行线的性质进行求解即可； （3）分情况进行讨论：当，当，当，当，分别画出图形求出结果即可． 【详解】（1）解：过点G作，如图， 依题意得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点D作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴； （3）解：或或或， ①如图，当时， ∵， ∴， ∴； ②如图，当时， ∵， ∴； ③如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ④如图，当时，设与交于点T， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，其他所有可能的度数为或或或． 49．已知直线，点分别在直线上，且点为平面内一点． (1)如图1，点在直线、之间，连接，，若，，求的度数； (2)如图2，点在直线的上方，连接，试求出之间的数量关系． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）过点作，可知，根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可知，，即可求出的度数； （2）过点作，可知，根据平行线的性质可知，，即可得到之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图1，过点作， 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以； （2）解：如图2，过点作， 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以． 题型七：根据判定和性质证明 50．如图，，，，平分交于点， 试说明．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 解：，（已知） ______．（______） ，（已知） ．（等量代换） ，（已知） ______．（______） ______．（等式的性质） 平分，（已知） ______．（______） ．（等量代换） ．（______） 【答案】B；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，同旁内角互补；；；角平分线的定义；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．根据平行线的性质，得到，进而得出，再根据平行线的性质，得到，从而得到，结合角平分线的定义得出，证明出，据此补充答题过程即可． 【详解】解：，（已知） ．（两直线平行，同位角相等） ，（已知） ．（等量代换） ，（已知） ．（两直线平行，同旁内角互补） ．（等式的性质） 平分，（已知） ．（角平分线的定义） ．（等量代换） ．（内错角相等，两直线平行） 故答案为：B；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，同旁内角互补；；；角平分线的定义；内错角相等，两直线平行 51．已知如图：．求证：．（请把以下证明过程补充完整） 证明：（已知） 又（_______________） （_______________） （同位角相等，两直线平行） （_______________） （已知） （等量代换） （_______________） （两直线平行，内错角相等） 【答案】对顶角相等；等量代换；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的性质与判定的综合运用，平行线的判定是由角的数量关判断两直线的位置关系，平行性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 根据对顶角相等可得，从而得到，进而得到，再由，可得，从而得到，即可解答． 【详解】证明：（已知） 又（对顶角相等） （等量代换） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） （已知） （等量代换） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） 故答案为：对顶角相等；等量代换；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行 52．如图，，直线l与，分别交于点E，F直角三角形的顶点M，N分别在直线，上，． (1)______． (2)如图2，，的角平分线交直线于点． ①若，求证：； ②过点N作交于点Q，连接，补全图形．若，比较线段，的长度，并说明理由． 【答案】(1) (2)①详见解析；②，详见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行线的性质，垂线段最短． （1）利用平行线的性质求解； （2）①证明，可得结论． ②利用垂线段最短判断即可． 【详解】（1）解：如图1中，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）①证明：如图2中，平分， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； ②解：图形如图所示， 结论：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $