专题04 双角平分线模型与角n等分线模型（几何模型讲义）数学浙教版2024七年级上册

专题04 双角平分线模型与角n等分线模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增加了思考的难度。如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 5 11 角平分线的最早系统研究可追溯至欧几里得（约公元前330—前275年）所著的《几何原本》，他首次将角平分线理论化，这也为后来数学工作者提炼双角平分线模型提供了理论支持。在双角平分线模型基础上，通过推广角平分线的等分性质，形成更通用的角n等分线模型‌。两者均需结合图形分析，灵活选择结论或推导过程‌。 ‌ （24-25七年级上·山东枣庄·期中）如图，已知是的角平分线，是的角平分线． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义可得：，，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答； （2）利用（1）的思路进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵是的角平分线，是的角平分线，，， ∴，， ∴； （2）解：∵是的角平分线，是的角平分线，，， ∴，， ∴． （24-25七年级上·山东东营·期中）综合与实践：六年级李老师带领同学们探究双中点和双角平分线问题 【特例感知】 （1）如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，M、N分别是和的中点． ①若，则线段___________； ②若（），则线段___________． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图②，若，是内部的一条射线，射线平分．射线平分．求的度数． 【类比探究】 （3）如图③，若，是外部的一条射线，射线平分，射线平分，请求出的度数．（用含的式子表示） 【答案】（1）①8；②8；（2）60度；（3） 【分析】本题考查了与线段有关的计算和角有关的计算，解题关键是能根据图形正确得到线段或角之间的和差关系，同时要求学生牢记中点、角平分线的定义等相关概念． （1）①利用线段中点得出求解即可； ②利用线段中点得出求解即可； （2）利用角平分线的定义得到，，再利用角的和差关系进行计算即可； （3）先利用角平分线得出，再利用角的和差关系进行转化即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， ∵M、N分别是和的中点， ∴； 故答案为：8； ②∵，， ∴， ∵M、N分别是和的中点， ∴； 故答案为：8； （2）是内部的一条射线，射线平分，射线平分， ， ， ； （3）射线平分，射线平分， ， ， ． 图1 图2 图3 图4 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 1）角n等分线模型 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 例1（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，为直线上一点，，分别是，的角平分线平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是角平分线有关计算．熟练掌握角平分线定义，角的和差倍分计算，是解题的关键． 根据角平分线定义可得，结合可得的度数． 【详解】解：∵，分别是，的角平分线平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 例2（2024七年级·全国·竞赛）已知一个锐角和任意一条不同于的射线，若分别为、的角平分线，则下列关于与的关系式中可能成立的有（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的计算和角平分线定义得理解和掌握．依据分别为、的角平分线，得出，变形即可解答． 【详解】解：如图， 当在锐角之外的范围内，且时， ，， ∴， ∴， ∴，故B正确． 故选：B． 例3（24-25七年级上·江苏徐州·期末）已知、分别是、的角平分线，是内部的一条射线，若，，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，如当在外部时，根据角平分线的定义得到，，再根据是的角平分线，求得，然后由角度和差求解即可，当在内部时，根据角平分线的定义得到，，再根据是的角平分线，求得，然后由角度和差求解即可，根据图形，找到角之间的关系是解题的关键． 【详解】解：如图，当在外部时， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 如图，当在内部时， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：或． 例4（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，在的内部，分别作、的角平分线、，下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义，根据角平分线的定义结合图形逐点分析，即可得到答案． 【详解】解： ， 故①正确； 、分别是、的角平分线， ，， ， 故②错误； ， ， 故③正确； ， ， 故④正确； 综上，正确的有：①③④， 故答案为：①③④． 例5（24-25七年级上·全国·期末）如图，已知、分别是和的角平分线，，，求和的度数． 【答案】，． 【分析】本题考查了几何图中角的计算、角平分线的定义，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 设，表示出，，然后根据角平分线和角的和差关系表示出，然后根据列方程求出，进而求解即可． 【详解】解：设， ∵ ∴， ∵、分别是和的角平分线 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，． 1．（24-25七年级上·四川成都·期中）已知，射线在同一平面内绕点O旋转，射线分别是和的角平分线．则的度数为 ． 【答案】50°或130°/130°或50° 【分析】分射线OC在∠AOB的内部和射线OC在∠AOB的外部，分别画出图形，结合根据角平分线定义求解． 【详解】解：若射线OC在∠AOB的内部， ∵OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线， ∴∠EOC=∠AOC，∠FOC=∠BOC， ∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOC+∠BOC=50°； 若射线OC在∠AOB的外部， ①射线OE，OF只有1个在∠AOB外面，如图， ∠EOF=∠FOC-∠COE=∠BOC-∠AOC=（∠BOC-∠AOC）=∠AOB=50°； ②射线OE，OF都在∠AOB外面，如图， ∠EOF=∠EOC+∠COF=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=（360°-∠AOB）=130°； 综上：∠EOF的度数为50°或130°， 故答案为：50°或130°． 【点睛】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用． 2．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）综合与实践 【问题情境】乐乐学习了角的相关知识后，对角度的计算比较感兴趣，请你和乐乐一起来探究下面的问题吧．已知，射线分别是和的角平分线． (1)【初步感知】若射线在的内部，且，求的度数； (2)【探究发现】若射线在的内部绕点旋转，请判断的大小是否为定值，并说明理由； (3)【拓展延伸】若射线从出发，绕着点顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数（不写计算过程）． 【答案】(1)； (2)，是一个定值，理由见解析； (3)的度数为或 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，一元一次方程的应用： （1）先求出的度数，角平分线求出的度数，进而求出的度数即可； （2）根据角平分线的定义和角的和差关系求出，即可； （3）设，分在内部和在外部，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 射线分别是和的角平分线， ， ； （2）解：，是一个定值，理由如下： 射线分别是和的角平分线， ， ， ， ， 故是一个定值，且． （3）解：或． 设，分两种情况： ①如图1，当在内部时， 则：， 射线分别是和的角平分线， ， ， ， ， 解得：， ； ②如图2，当在外部时， 则：， 射线分别是和的角平分线， ， ， ， ， 解得：， ； 综上所述，的度数为或． 3．（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知点在直线上，在直线的上方作两条射线、． (1)如图1，当时，写出图中互余的两个角______与______； (2)已知是的角平分线，是的角平分线，， ①如图2，当时，计算的度数； ②画图探究和之间的数量关系（可直接写出结果）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了余角和补角、角平分线的定义，解决本题的关键是根据角平分线的定义进行解答． （1）根据互余的定义，结合已知以及平角来找出互余的角； （2）①先根据已知条件求出的度数，再利用角平分线的性质求出的度数，最后通过，即可求解； ②设，用含的式子表示出，再根据角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 又∵， ∴， ∴互余的两个角为与； 故答案为：，； （2）解：①∵，， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴ ； ②如图：设， 则， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 4．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）如图，已知点O是直线上的一点，，分别是的角平分线． (1)求的度数； (2)直接写出图中与互余的角 　　； (3)直接写出的补角 　　． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了角平分线的定义和角度的和差、余角和补角等知识． （1）根据平角的定义，角平分线的意义进行计算即可； （2）根据互余的意义和等量代换可得答案； （3）根据补角的定义和等量代换得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴； （2）∵分别是的角平分线 ∴， ， 又∵， ∴， ∴的余角为， 故答案为： ； （3）∵， ∴， 即的补角为， 故答案为：． 5．（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）小明同学在学习了线段的中点和角的角平分线后，发现两者在方法应用方面有相似之处，于是小明进行了下面的探索研究． 【问题提出】 ①已知点在线段上，取的中点，的中点，，则是________________． ②小明在研究完之后，发现对于角的问题同样适用，如图，已知，平分，平分，则的度数为____________________． 【变式提升】 ①如图，已知点在线段上，点在点的左边，取的中点，的中点，，则的长为______________（用含的代数式表达） ②如图，已知，平分，平分，则的度数为_____________________． 【拓展延伸】 ①小明继续探究，如图，已知点在线段上，点在点的右边，取的中点，的中点，，求的长（写出求解推导的过程，用含的代数式表达） ②如图，已知，平分，平分，求的度数（写出求解推导的过程，用含的代数式表达） 【答案】[问题提出]①6；②；[变式提升]①；②；[拓展延伸]①；② 【分析】本题考查了两点间的距离，角的计算，解题的关键是∶ [问题提出]①根据线段中点的定义得出，，则可求出，即可求解； ②根据角平分线的定义得出，，则可求出，即可求解； [变式提升]①根据线段中点的定义得出，，则可求出，即可求解； ②根据角平分线的定义得出，，则可求出，即可求解； [拓展延伸]①根据线段中点的定义得出，，则可求出，即可求解； ②根据角平分线的定义得出，，则可求出，即可求解． 【详解】解：[问题提出]①∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴， 又， ∴， 故答案为：6； ②∵平分，平分， ∴，， ∴， 又， ∴， 故答案为：； [变式提升]①∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴， 又， ∴， 故答案为：； ②∵平分，平分， ∴，， ∴， 又， ∴， 故答案为：； [拓展延伸]①∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴， 又， ∴； ②∵平分，平分， ∴，， ∴， 又， ∴． 6．（24-25六年级下·山东烟台·期末）生活中的折纸活动蕴含着丰富的数学知识，让我们一起体会一下其中的奥秘． 【折一折】如图1，将画有的纸片折叠，使边都落在角平分线上，展开得折痕，． （1）若，则___________°； 【变一变】将画有的纸片折叠，使边落在的位置，使边落在的位置上，展开后分别得折痕，如图2或者图3． （2）在图2中，若，，求的度数； （3）在图3中，若，，请用含的代数式表示直接写出的度数． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查翻折的性质，角的计算，解题的关键是掌握角的和差倍分的计算． （1）由折叠可得：，，即可得； （2）先求出，由折叠可得：，，故，从而由求解； （3）先求出，由折叠可得：，，故，从而由求解即可． 【详解】解：（1）如图： 由折叠可得：，， ∴， ∵， ∴， 即； 故答案为：29； （2）如图： ∵，， ∴， 由折叠可得：，， ∴， ∴， ∴的度数为； （3）如图： ∵，， ∴， 由折叠可得：，， ∴， ∴， ∴的度数为． 7．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）已知分别是的角平分线． (1)如图1，是外部的一条射线． ①若，，则____________°； ②若，求的度数； (2)如图2，是内部的一条射线，，用m的代数式表示的度数．（请用几何符号语言规范地表达） 【答案】(1)①71 ；② (2)，见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算，解题的关键是熟练掌握双角平分线的解题思路，能够根据角度关系用字母表示． （1）①，，， ②根据角平分线定义得出，根据，求出结果即可； （2）根据角平分线定义得出，根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵分别是的角平分线， ∴，， ∴． ②分别是的角平分线 ， ； （2）解：分别是的角平分线 ， ． 8．（25-26七年级上·全国·阶段练习）如下图，已知内部有三条射线，OE平分，OF平分． (1)若，求的度数； (2)若将条件中的“OE平分，OF平分”改为“，”，且，求的度数． 【答案】(1)45°； (2)． 【分析】本题主要考查角的平分线以及角的和差关系的应用，通过角平分线的性质或给定的角的比例关系，结合已知角的度数或表达式来求解的度数． 【详解】（1）解：∵平分，OF平分 ∴， ∴ ∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了角的和差与角平分线的应用，掌握利用角的和差关系结合角平分线性质或角的比例关系来推导角的度数的方法是解题的关键． 9．（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了角的计算，分情况画图讨论是解题的关键． （1）当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）根据从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，如图3，②当时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， 当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2， ， 故答案为：； （2）解：从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图4， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图5， ， ， ， ，， ，， ， ， ，不合题意； 综上所述：的值为或． 10．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）探究学习，寻求真知 (1)特例感知：如图1，已知线段，线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），点和点分别是的中点． ①若，则______； ②当线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出线段的长度？如果变化，请说明理由． (2)知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和，请你猜想和之间有怎样的数量关系，并说明理由． (3)类比探究：如图3，在的内部转动，当时，用含的式子表示和之间的数量关系（直接写出结果）． 【答案】(1)①21；②线段的长度不会发生变化，长度为19 (2) (3) 【分析】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． （1）①根据题意可得，再由线段中点的定义，可得，即可求解；②根据题意可得，再由线段中点的定义，可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，再由，即可求解； （3）根据，可得， 从而得到，再由，即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵点和点分别是的中点， ∴， ∴； 故答案为：21 ②∵， ∴， ∵点和点分别是的中点， ∴， ∴， ∴线段的长度不会发生变化，长度为19； （2）解：∵射线和射线分别平分和， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 11．（24-25七年级上·江西·期末）已知，是过点的一条射线，分别平分． (1)如图①，如果射线在的内部，，则 ； (2)如图②，如果射线在的内部绕点旋转，，则 ； (3)如果射线在的外部绕点旋转，，请借助图③探究的度数． 【答案】(1)40 (2) (3)的度数为或 【分析】此题考查角平分线的定义，关键是根据角平分线的定义解答． （1）根据角平分线的定义解答即可； （2）根据角平分线的定义解答即可； （3）分两种情况，利用角平分线的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵分别平分， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵分别平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：分两种情况： ①如图： ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴； ②如图： ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 12．（24-25七年级上·陕西汉中·期末）如图，已知，是内部的两条射线，平分，平分． (1)若，，，求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义． （1）利用角平分线的定义求解，，进一步利用角的和差可得答案． （2）先求解，可得，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴． （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴． 13．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题，同学们通过类比线段的中点与角平分线知识与方法，促进同学们知识迁移与融合能力． (1)【特例感知】 如图1，已知线段在线段上运动，线段，，点、分别是、的中点．解答下列问题： ①如图1，若，求的长 ；（直接写出结果） ②小聪发现：保持线段在线段上运动，其他条件不变，则的长保持不变．小聪理由如下： ∵，分别是、的中点 ∴ ， ∴ ∵，不变 ∴的长不变； (2)【类比探究】 小聪继续探究发现角与线段类似，如图2，已知在内部转动，和分别平分和，则与、有数量关系，说明理由． (3)【知识迁移】 如图3，已知在内部转动，若，，，，求 （用含有的式子表示计算结果）． 【答案】(1)①；②； (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了线段的和差关系，线段中间点的理解，角的和差关系，角平分线的定义，熟悉掌握运算方法是解题的关键． （1）①利用中点的关系分别求出和的长，即可解答； ②根据中点的关系解答即可； （2）利用角平分线的定义解答即可； （3）利用角平分线的定义解答即可． 【详解】（1）解：①∵点、分别是、的中点． ∴，， ∴， 故答案为：； ②∵点、分别是、的中点． ∴，， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵和分别平分和， ∴，， ∴ ， ； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 14．（24-25七年级上·山西晋中·期末）综合与探究 【初步探究】 （1）如图①，已知线段，C，D为线段上的两个动点，且，M，N分别是和的中点，求线段的长； 【类比探究】 （2）如图②，直角与平角如图摆放在一起，且和分别是，的角平分线，则的度数； 【知识迁移】 （3）当，时，如图③摆放在一起，且和分别是，的平分线，求的度数（用含，的代数式表示）．（，） 【答案】（1）10；（2）；（3） 【分析】本题考查了线段的中点及线段的和与差以及角的平分线及角的和与差，根据图形找到线段与角的关系是解题的关键． （1）根据，，求出，根据中点定义得出，，求出，最后求出结果即可； （2）根据和分别是，的角平分线，得出，求出，最后求出结果即可； （3）根据角平分线定义得出，根据求出结果即可． 【详解】解：（1）因为，， 所以， 因为M，N分别是和的中点， 所以，， 所以． 所以． （2）因为，， 所以， 因为和分别是，的角平分线， 所以， 所以， 所以． （3）因为和分别是，的角平分线， 所以， 所以 ． 15．（24-25七年级上·陕西西安·期末）【问题背景】 如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． 【初步探究】 （1）如图1，已知，是的角平分线． ①则　　　　　°； ②若，是的角平分线，求的度数； 【拓展提升】 （2）如图2，若，，且，求的度数． 【答案】（1）①15；②；（2） 【分析】本题考查了求角度，角平分线的应用． （1）①由角平分线意义可求；②，再乘以2即可求得． （2）设，再根据题目所给倍数关系和总共140°求得每个角的度数，最后通过求出所求度数． 【详解】解：（1）①因为是的平分线， 所以， 故答案为：15． ②因为，是的平分线， 所以． 因为， 所以． 因为平分， 所以． （2）设，则． 因为， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以， 解得． 因为， 所以． 16．（24-25七年级上·广东深圳·期末）国庆期间，南山区某校七年级同学在观看灯光秀表演后，以“角内特殊射线”为主题展开项目式学习．同学们类比角平分线的定义，给出倍分线的定义，在探究中感受数学之美． 新定义：如果的内部有一条射线将分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们称射线为的倍分线．如图1，若，则为的3倍分线；若，则也是的3倍分线． 【特例感知】 （1）若，射线为的1倍分线，则______； （2）尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）； 如图2，在上方作（），使为的2倍分线； 【类比探究】 （3）如图3，点在同一条直线上，为直线上方的一条射线． ①若射线分别为和的4倍分线（，），当时，______； ②在①的条件下，当时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请求出的度数；若发生变化，请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①；②不变，理由见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据射线为的1倍分线的定义求解； （2）在的上方作即可； （3）①求出可得结论；②的度数不变．根据n倍分线的定义以及角的和差定义求解． 【详解】解：（1）∵射线为的1倍分线， ∴． 故答案为：； （2）如图2中，即为所求； （3）①∵， ∴， ∵射线分别为和的4倍分线（，）， ∴，， ∴． 故答案为：； ②的度数不变． 理由：∵射线分别为和的四倍分线， ，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． ∴的度数不发生变化． 17．（24-25七年级上·陕西·期末）【问题背景】 如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线.    【初步探究】 （1）如图1，已知，是的角平分线. ①则_____； ②若，是的角平分线，求的度数； 【拓展提升】 （2）如图2，若，，且，求的度数． 【答案】（1）①15；②；（2） 【分析】本题考查了求角度，角平分线的应用． （1）①由角平分线的性质，可得到； ②由角平分线的性质，得到度数，由已知条件中，得到的度数，利用角平分线，得到结果； （2）设，通过已知条件，求得，从而得到结果． 【详解】解：（1）①∵，是的角平分线， ∴， 故答案为：15； ②因为，是的平分线， 所以， 因为， 所以， 因为平分， 所以； （2）设，则， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 解得， 因为， 所以． 18．（24-25七年级上·全国·阶段练习）已知，射线在的内部，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)请从下面，两题中任选一题作答，我选择 题． ．如图2，若射线在的内部绕点旋转，则的度数为 ． ．若射线在的外部绕点旋转（旋转中、均是指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) ． ．或 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算问题，角平分线的有关计算等知识点，熟练掌握几何图形中的角度计算问题是解题的关键． （1）先求出的度数，然后根据角平分线的定义求出和的度数，两者求和即可得出答案； （2）．由角平分线的定义可得，，进而可得，于是得解；．分两种情况讨论：①射线，只有个在外面，由角平分线的定义可得，，进而可得，于是得解；②射线，，个都在外面，由角平分线的定义可得，，进而可得，于是得解． 【详解】（1）解：，， ， ，分别是和的角平分线， ， ， ； （2）解：题： ，分别是和的角平分线， ，， ， 故答案为：； 题： 分两种情况讨论： 射线，只有个在外面，如图， ； 射线，，个都在外面，如图， ； 综上，的度数是或． 19．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）【综合与探究】 课堂上，李老师让同学们以“角平分线”为主题开展探究活动：如图，已知，是内部两条射线，，且．    (1)如图1，若平分平分，则的度数为______； (2)如图2，若平分平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，在内沿顺时针方向绕点转动，在转动过程中，若，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)的度数为或． 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，角度的计算，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握角度的计算是解决问题的关键；分类讨论是难点，漏解是易错点． （1）设，，根据角平分线的定义得，，则，再根据，得，然后根据可得出答案． （2）设，，则，，根据角平分线的定义得，，进而得 ，再根据，得，然后根据可得出答案； （3）分两种情况讨论如下：①当在的左侧时，先得，根据角平分线得，进而得，则，然后根据角平分线得，然后根据可得出的度数；②当在的右侧时，先得，根据角平分线得，进而得，则，再根据角平分线得，然后根据可得出的度数，综上所述即可得出的度数． 【详解】（1）解：如图1所示：    设，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图2所示：    设，， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴； （3）在（2）的条件下，在内沿顺时针方向绕点O转动，有以下两种情况： ①当在的左侧时，如图3所示：    ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②当在的右侧时，如图4所示：    ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 综上所述：的度数为或． 20．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，将一副直角三角尺的顶点叠在一起放在点处，，，与重合，在外，射线、分别是、的角平分线 (1)求的度数； (2)如图2，若保持三角尺不动，三角尺绕点O逆时针旋转（且）时，其他条件不变，求的度数； (3)直接写出绕点O逆时针旋转（且）时的值； (4)在旋转的过程中，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或． 【分析】此题考查了角平分线的定义、角的和差等知识． （1）根据角平分线的定义得到，即可得到答案； （2）根据角平分线的定义得到，然后分两种情况：当时，；当时，，即可求出答案； （3）根据角平分线的定义即可求出答案； （4）分两种情况求出答案即可． 【详解】（1）解：∵，，射线、分别是、的角平分线， ∴， ∴； （2）解：∵，，，    ` ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， 当时，， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴； 当时，， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴； 综上所述，的度数为； （3）解：当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，， ∴， 当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，，， ∴， 当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，， ∴， ∴， 综上可知，的度数恒为，与旋转角度无关； （4）解：当时， 由叠合可得， ∴． 由（3），当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴（舍去）， ∴的值为或． 21．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图1，已知，射线以每秒的速度，从射线开始逆时针向射线旋转，到达射线之后又以同样的速度顺时针返回，直到到达射线停止，同时射线从射线开始，以每秒的速度顺时针向射线旋转，直到到达各自的目的地才停止．设旋转时间为t秒． (1)当秒时，求出的度数． (2)在运动过程中，当射线未到达射线时，达到，求t的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线、射线、射线其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6或14 (3)存在，运动时间t的值为秒或12秒或20秒时，射线、射线、射线其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线 【分析】本题考查了角平分线的意义，角的和差，一元一次方程的应用等知识，分类讨论、数形结合是解题的关键． （1）当秒时，，的度数，由即可求解； （2）结合题意用t表示，的度数，分射线与射线重合之前，与射线与射线重合之后，两种情况建立方程求解，即可求得t的值； （3）分三种情况：当时，射线平分；当时，射线平分；当时，射线平分；表示出相关角，利用角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：当秒时，，， ∵， ∴ ； （2）解：当运动t秒，且当射线未到达射线时， 当射线重合时，则； ，； 射线与射线重合之前， 有， ∴， 解得：； 射线与射线重合之后， 有， ∴， 解得：； 综上所述，或； （3）解：存在； 当射线首次相遇时，则有， 解得：； 当射线重合时，则； 当射线与重合后返回，与重合时，则有， 解得：； 此时两射线同时到达终点； 当时，射线平分，如图； 则； ∵，， ∴； ∴， 解得：； 当时，射线平分，如图； 则； ∵，， ∴； ∴， 解得：； 当时，射线平分，如图； 则； ∵，， ∴， 解得：； 综上，当运动时间t的值为秒或12秒或20秒时，射线、射线、射线其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线． 22．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）如图，直线与交于点O，． (1)如图1，若，， ； (2)如图2，若，射线从射线的位置开始，绕点O以逆时针每秒的速度向射线运动，射线从射线的位置开始，绕点O以逆时针每秒的速度向射线运动的过程中()，求与之间的数量关系． (3)如图3，射线从射线的位置开始，绕点O以顺时针每秒的速度运动，在运动的过程中，射线始终是的角平分线，同时射线从射线的位置开始，绕点O以逆时针每秒的速度运动，设射线的运动时间均为，在运动的过程中，当射线其中一条射线为另外两条射线组成角的角平分线时，直接写出时间t的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为30、50、60 【分析】本题考查了角的和差运算、角平分线的性质、动态角度的表示及方程思想的应用，解题的关键是通过设未知数表示角度（尤其是动态问题中用时间t表示角度变化），利用角之间的等量关系建立方程求解． （1）设，则，根据列方程，求出x后，由计算结果． （2）用时间t表示、，分别推导和，得出两者的倍数关系． （3）用t表示、、的位置角度，分三种情况、、为角平分线），根据角平分线性质列绝对值方程，求解并筛选符合的解． 【详解】（1）解：设，则． ∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴． 故答案为：． （2）解：依据题意可知：， ∴， ， ∴． （3）解：设射线定为旋转时的初始位置，即，按顺时针旋转一周：， 则射线：从（）顺时针运动，速度，位置为：（单位为度，顺时针角度随运动增大）． 射线：从（）顺时针运动，由“是的角平分线”推导： 为顺时针位置，设） ， 由，得 ，即，射线的位置为：（单位为度）． 射线：从 （）逆时针运动，速度（逆时针即顺时针角度减小），位置为：（单位为度）， 当时，下面分三种情况讨论： 情况1：平分 ∵， ∴ ，解得：（如图是角平分线）（另一解时，P与N重合，不合题意，舍去）． 情况2：平分，则， ∴，解得：（如图是角平分线）（另一解时，P与M重合，不合题意，舍去）， 情况3： 平分 ， （同上）， ∴，解得（如图是角平分线）（另一解时，N与M重合，不合题意，舍去）， 综上，t的值为、、． 23．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）【操作思考】将一副直角三角板（分别含和的角）叠放在量角器上，、分别是三角板和三角板的角平分线． 【特例感知】 （1）如图1，如果点、、在同一直线上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器刻度线重合，那么______； 【拓展探究】 （2）如图2，将三角板绕点顺时针旋转一定的角度，三角板不动，使两个直角三角板有重叠． ①当时，求的度数； ②当时，______；（用含的式子表示） 【解决问题】 （3）如图3，将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，同时将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在的值，使？若存在，请求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②或；（3）存在，或 【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的有关计算，一元一次方程，熟练利用分类讨论的思想是解题的关键． （1）利用角平分线的概念即可解答； （2）①根据角度的转换可得，即可解答； ②分两种情况，即或，根据角度的转换可得，即可解答； （3）分两种情况，即重合前或重合后，两种情况，逐一解答即可． 【详解】解：（1）、分别是三角板和三角板的角平分线， ， ， 故答案为：； （2）①当时， ； ②当时，如图， ； 当时，如图， ， 故答案为：或； （3）存在， ， 解得， 当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转， ， 当重合前， 可得， 解得； 当重合前， 可得， 解得； 综上，存在点使，或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 双角平分线模型与角n等分线模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增加了思考的难度。如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 5 11 角平分线的最早系统研究可追溯至欧几里得（约公元前330—前275年）所著的《几何原本》，他首次将角平分线理论化，这也为后来数学工作者提炼双角平分线模型提供了理论支持。在双角平分线模型基础上，通过推广角平分线的等分性质，形成更通用的角n等分线模型‌。两者均需结合图形分析，灵活选择结论或推导过程‌。 ‌ （24-25七年级上·山东枣庄·期中）如图，已知是的角平分线，是的角平分线． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数． （24-25七年级上·山东东营·期中）综合与实践：六年级李老师带领同学们探究双中点和双角平分线问题 【特例感知】 （1）如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，M、N分别是和的中点． ①若，则线段___________； ②若（），则线段___________． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图②，若，是内部的一条射线，射线平分．射线平分．求的度数． 【类比探究】 （3）如图③，若，是外部的一条射线，射线平分，射线平分，请求出的度数．（用含的式子表示） 图1 图2 图3 图4 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 1）角n等分线模型 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 例1（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，为直线上一点，，分别是，的角平分线平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例2（2024七年级·全国·竞赛）已知一个锐角和任意一条不同于的射线，若分别为、的角平分线，则下列关于与的关系式中可能成立的有（    ）． A． B． C． D． 例3（24-25七年级上·江苏徐州·期末）已知、分别是、的角平分线，是内部的一条射线，若，，的度数为 ． 例4（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，在的内部，分别作、的角平分线、，下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的结论是 ．（填序号） 例5（24-25七年级上·全国·期末）如图，已知、分别是和的角平分线，，，求和的度数． 1．（24-25七年级上·四川成都·期中）已知，射线在同一平面内绕点O旋转，射线分别是和的角平分线．则的度数为 ． 2．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）综合与实践 【问题情境】乐乐学习了角的相关知识后，对角度的计算比较感兴趣，请你和乐乐一起来探究下面的问题吧．已知，射线分别是和的角平分线． (1)【初步感知】若射线在的内部，且，求的度数； (2)【探究发现】若射线在的内部绕点旋转，请判断的大小是否为定值，并说明理由； (3)【拓展延伸】若射线从出发，绕着点顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数（不写计算过程）． 3．（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知点在直线上，在直线的上方作两条射线、． (1)如图1，当时，写出图中互余的两个角______与______； (2)已知是的角平分线，是的角平分线，， ①如图2，当时，计算的度数； ②画图探究和之间的数量关系（可直接写出结果）． 4．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）如图，已知点O是直线上的一点，，分别是的角平分线． (1)求的度数； (2)直接写出图中与互余的角 　　； (3)直接写出的补角 　　． 5．（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）小明同学在学习了线段的中点和角的角平分线后，发现两者在方法应用方面有相似之处，于是小明进行了下面的探索研究． 【问题提出】 ①已知点在线段上，取的中点，的中点，，则是________________． ②小明在研究完之后，发现对于角的问题同样适用，如图，已知，平分，平分，则的度数为____________________． 【变式提升】 ①如图，已知点在线段上，点在点的左边，取的中点，的中点，，则的长为______________（用含的代数式表达） ②如图，已知，平分，平分，则的度数为_____________________． 【拓展延伸】 ①小明继续探究，如图，已知点在线段上，点在点的右边，取的中点，的中点，，求的长（写出求解推导的过程，用含的代数式表达） ②如图，已知，平分，平分，求的度数（写出求解推导的过程，用含的代数式表达） 6．（24-25六年级下·山东烟台·期末）生活中的折纸活动蕴含着丰富的数学知识，让我们一起体会一下其中的奥秘． 【折一折】如图1，将画有的纸片折叠，使边都落在角平分线上，展开得折痕，． （1）若，则___________°； 【变一变】将画有的纸片折叠，使边落在的位置，使边落在的位置上，展开后分别得折痕，如图2或者图3． （2）在图2中，若，，求的度数； （3）在图3中，若，，请用含的代数式表示直接写出的度数． 7．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）已知分别是的角平分线． (1)如图1，是外部的一条射线． ①若，，则____________°； ②若，求的度数； (2)如图2，是内部的一条射线，，用m的代数式表示的度数．（请用几何符号语言规范地表达） 8．（25-26七年级上·全国·阶段练习）如下图，已知内部有三条射线，OE平分，OF平分． (1)若，求的度数； (2)若将条件中的“OE平分，OF平分”改为“，”，且，求的度数． 9．（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 10．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）探究学习，寻求真知 (1)特例感知：如图1，已知线段，线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），点和点分别是的中点． ①若，则______； ②当线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出线段的长度？如果变化，请说明理由． (2)知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和，请你猜想和之间有怎样的数量关系，并说明理由． (3)类比探究：如图3，在的内部转动，当时，用含的式子表示和之间的数量关系（直接写出结果）． 11．（24-25七年级上·江西·期末）已知，是过点的一条射线，分别平分． (1)如图①，如果射线在的内部，，则 ； (2)如图②，如果射线在的内部绕点旋转，，则 ； (3)如果射线在的外部绕点旋转，，请借助图③探究的度数． 12．（24-25七年级上·陕西汉中·期末）如图，已知，是内部的两条射线，平分，平分． (1)若，，，求的度数； (2)若，，求的度数． 13．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题，同学们通过类比线段的中点与角平分线知识与方法，促进同学们知识迁移与融合能力． (1)【特例感知】 如图1，已知线段在线段上运动，线段，，点、分别是、的中点．解答下列问题： ①如图1，若，求的长 ；（直接写出结果） ②小聪发现：保持线段在线段上运动，其他条件不变，则的长保持不变．小聪理由如下： ∵，分别是、的中点 ∴ ， ∴ ∵，不变 ∴的长不变； (2)【类比探究】 小聪继续探究发现角与线段类似，如图2，已知在内部转动，和分别平分和，则与、有数量关系，说明理由． (3)【知识迁移】 如图3，已知在内部转动，若，，，，求 （用含有的式子表示计算结果）． 14．（24-25七年级上·山西晋中·期末）综合与探究 【初步探究】 （1）如图①，已知线段，C，D为线段上的两个动点，且，M，N分别是和的中点，求线段的长； 【类比探究】 （2）如图②，直角与平角如图摆放在一起，且和分别是，的角平分线，则的度数； 【知识迁移】 （3）当，时，如图③摆放在一起，且和分别是，的平分线，求的度数（用含，的代数式表示）．（，） 15．（24-25七年级上·陕西西安·期末）【问题背景】 如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． 【初步探究】 （1）如图1，已知，是的角平分线． ①则　　　　　°； ②若，是的角平分线，求的度数； 【拓展提升】 （2）如图2，若，，且，求的度数． 16．（24-25七年级上·广东深圳·期末）国庆期间，南山区某校七年级同学在观看灯光秀表演后，以“角内特殊射线”为主题展开项目式学习．同学们类比角平分线的定义，给出倍分线的定义，在探究中感受数学之美． 新定义：如果的内部有一条射线将分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们称射线为的倍分线．如图1，若，则为的3倍分线；若，则也是的3倍分线． 【特例感知】 （1）若，射线为的1倍分线，则______； （2）尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）； 如图2，在上方作（），使为的2倍分线； 【类比探究】 （3）如图3，点在同一条直线上，为直线上方的一条射线． ①若射线分别为和的4倍分线（，），当时，______； ②在①的条件下，当时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请求出的度数；若发生变化，请说明理由． 17．（24-25七年级上·陕西·期末）【问题背景】 如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线.    【初步探究】 （1）如图1，已知，是的角平分线. ①则_____； ②若，是的角平分线，求的度数； 【拓展提升】 （2）如图2，若，，且，求的度数． 18．（24-25七年级上·全国·阶段练习）已知，射线在的内部，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)请从下面，两题中任选一题作答，我选择 题． ．如图2，若射线在的内部绕点旋转，则的度数为 ． ．若射线在的外部绕点旋转（旋转中、均是指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小，直接写出的度数． 19．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）【综合与探究】 课堂上，李老师让同学们以“角平分线”为主题开展探究活动：如图，已知，是内部两条射线，，且．    (1)如图1，若平分平分，则的度数为______； (2)如图2，若平分平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，在内沿顺时针方向绕点转动，在转动过程中，若，直接写出的度数． 20．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，将一副直角三角尺的顶点叠在一起放在点处，，，与重合，在外，射线、分别是、的角平分线 (1)求的度数； (2)如图2，若保持三角尺不动，三角尺绕点O逆时针旋转（且）时，其他条件不变，求的度数； (3)直接写出绕点O逆时针旋转（且）时的值； (4)在旋转的过程中，当时，直接写出的值． 21．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图1，已知，射线以每秒的速度，从射线开始逆时针向射线旋转，到达射线之后又以同样的速度顺时针返回，直到到达射线停止，同时射线从射线开始，以每秒的速度顺时针向射线旋转，直到到达各自的目的地才停止．设旋转时间为t秒． (1)当秒时，求出的度数． (2)在运动过程中，当射线未到达射线时，达到，求t的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线、射线、射线其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 22．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）如图，直线与交于点O，． (1)如图1，若，， ； (2)如图2，若，射线从射线的位置开始，绕点O以逆时针每秒的速度向射线运动，射线从射线的位置开始，绕点O以逆时针每秒的速度向射线运动的过程中()，求与之间的数量关系． (3)如图3，射线从射线的位置开始，绕点O以顺时针每秒的速度运动，在运动的过程中，射线始终是的角平分线，同时射线从射线的位置开始，绕点O以逆时针每秒的速度运动，设射线的运动时间均为，在运动的过程中，当射线其中一条射线为另外两条射线组成角的角平分线时，直接写出时间t的值． 23．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）【操作思考】将一副直角三角板（分别含和的角）叠放在量角器上，、分别是三角板和三角板的角平分线． 【特例感知】 （1）如图1，如果点、、在同一直线上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器刻度线重合，那么______； 【拓展探究】 （2）如图2，将三角板绕点顺时针旋转一定的角度，三角板不动，使两个直角三角板有重叠． ①当时，求的度数； ②当时，______；（用含的式子表示） 【解决问题】 （3）如图3，将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，同时将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在的值，使？若存在，请求的值；若不存在，请说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $