精品解析：天津市滨海新区塘沽第一中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

塘沽一中2025—2026学年度第一学期 高二年级第一次月考数学学科试题 一､选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在长方体中，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量加法法则计算出答案. 【详解】. 故选：A 2. 直线的倾斜角为，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的倾斜角求直线的斜率，结合直线方程得的值. 【详解】直线倾斜角为，所以斜率为，即，解得. 故选：B 3. 空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称的性质即可求解. 【详解】关于平面的对称点为. 故选：B 4. 一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线AQ的斜率，由光的反射定律求出反射光线所在直线的斜率即可得解. 【详解】依题意，直线AQ的斜率为， 由光的反射定律知，反射光线所在直线与直线AQ关于x轴对称，则它们的倾斜角互补， 于是得反射光线所在直线的斜率为-1， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故选：C 5. 三棱锥中，，点为中点，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图形，题意，结合空间向量加减法可得答案. 【详解】，又为中点， 故选：C 6. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式方程即可得解. 【详解】当直线过原点时，方程为，符合题意， 当直线不过原点时，设直线方程为， 则，解得， 所以直线方程为， 综上，所求直线的方程为或. 故选：D. 7. 设aR，则“a＝1”是“直线：ax＋2y－1＝0与直线：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】∵当a=1时，直线：x+2y﹣1=0与直线：x+2y+4=0， 两条直线的斜率都是，截距不相等，得到两条直线平行， 故前者是后者的充分条件， ∵当两条直线平行时，得到， 解得a=﹣2，a=1， ∴后者不能推出前者， ∴前者是后者的充分不必要条件． 故选A． 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系． 8. 已知空间中三点则下列说法不正确的是（ ） A. 与方向相同的单位向量的坐标是 B. 在上的投影向量的坐标是 C. 与夹角的余弦值是 D. A､B两点间距离为 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据单位向量的定义，投影向量的公式，向量夹角的公式及模长公式即可判断. 【详解】， 由单位向量的定义可知与方向相同的单位向量的坐标是，故A正确. 在上的投影向量的坐标是，故B正确； ，故C错误； 两点间的距离即，故D正确. 故选：C 9. 直线l过点且与以为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出PM、QM的斜率，结合图象及斜率变化关系，即可得斜率的范围. 【详解】当直线l过点时，， 当直线l过点时，， 要使直线l与以为端点的线段相交， 则直线的斜率的取值范围. 故选：D 10. 已知三棱锥中，，若分别为和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对棱相等的三棱锥可构造在一个长方体中，从而利用长方体来建立空间直角坐标系，由空间向量法来求出异面直线所成角的余弦值. 【详解】由于对棱相等的三棱锥可如图构造在一个长方体中， 根据，可设， 则， 由图可知，则， 如图建系，可得， 所以 则， 即异面直线与所成角的余弦值为， 故选：C. 11. 数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心,重心,垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线,已知△ABC的顶点B(-1,0),C(0,2),AB=AC,则△ABC的欧拉线方程为 A. 2x-4y-3=0 B. 2x+4y+3=0 C. 4x-2y-3=0 D. 2x+4y-3=0 【答案】D 【解析】 【分析】由题意计算出线段的垂直平分线 【详解】, 则中点坐标为 , 则BC的垂直平分线方程为 , , 即, ， 的外心，重心，垂心，都在线段BC的垂直平分线上 的欧拉线方程为 故选D 【点睛】本题为求三角形的欧拉线，结合题意计算出等腰三角形底边上的垂直平分线，较为简单 12. 如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则下列正确的个数为（ ） ①当时，EP平面AB₁C ②当时，|PE|取得最小值，其值为 ③|PA|+|PC|的最小值为 ④当平面CEP时， A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，可研究与平面的法向量是否垂直即可； 对于②，研究函数的最值即可； 对于③，可研究函数的最值即可； 对于④，可求解与平面的法向量垂直条件即可. 【详解】以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 则，，，，，， ，，， 设点，因为， 所以，即， 解之可得，所以. 当时，， 所以，，, 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，， 所以. 因为， 所以不成立，所以与平面不平行.故①错误； 因为， 所以 ， 所以当时，取得最小值，且最小值为.故②正确； 因为 ， 所以当时，取得最小值，且最小值为.故③正确； 当平面时，点平面， 因为，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，，所以. 因为， 点平面，所以，所以.故④错误. 故选：C 二､填空题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 13. 经过A(0，y)，B(－1，0)两点的直线的方向向量为(1，2)，则y＝________． 【答案】2 【解析】 【分析】把直线的方向向量用y表示出来，再利用向量共线求出y. 【详解】由条件可知，直线的方向向量为(－1－0，0－y)，即(－1，－y)．又(1，2)是直线的另一方向向量，则＝，解得y＝2． 故答案为：2 【点睛】直线的方向向量为（其中A、B为直线上不重合的两点）， 若直线的斜率为k，则方向向量可以为（1，k）. 14. 设空间向量，，若，则＝______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据空间向量共线得，再利用空间向量的坐标运算和向量模的定义即可得到答案. 【详解】，则显然，，解得， 则，， 故答案为：3. 15. 已知点和，点P在y轴正半轴上，且∠APB为直角，则P点坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用两直线垂直条件可得两直线斜率之积为，从而可求得坐标. 【详解】由点P在y轴正半轴上，可设点， 由点和，可得 因为∠APB为直角，所以， 即， 因为，所以，即点， 故答案为： 16. 已知空间向量，，，若，，共面，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据共面向量定理可得，然后将坐标代入可求出的值. 【详解】因为，，共面，所以存在唯一实数，使， 即， 则，解得，，. 故答案为：3 17. 已知关于直线l的对称点为，则直线l的方程为__________.（结果用一般式方程表示） 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得直线l为线段的中垂线，求出直线的斜率进而可得l的斜率，由点斜式再化为一般式即可. 【详解】∵已知关于直线l的对称点为， ∴直线l为线段的中垂线． 求得的中点为，即，的斜率为， 故直线l的斜率为，故直线l的方程为，化简可得, ​故答案为:. 18. 如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由，借助模长公式得出的长. 【详解】因为 所以 即 故答案为： 19. 设直线则直线恒过定点__________；若过原点作直线的垂线，垂足为，则最大值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将直线变形为，即可求出定点坐标；分析可得点H的轨迹是以原点O和定点为直径端点的圆，求出圆心和半径，根据表示圆上的点H与原点O距离的平方，结合点与圆的位置关系，分析求解，即可得答案. 【详解】由题意， 令，解得，所以直线恒过定点为； 因为，所以点H的轨迹是以原点O和定点为直径端点的圆， 则圆心为，半径， 所求表示圆上的点H与原点O距离的平方，即 因为点H到原点O的距离最大值为圆心到原点O的距离加上半径r， 所以， 所以的最大值为. 故答案为：； 20. 如图所示，在长方体中，，直线与平面交于点P，设，则__________；点P到直线BC的距离为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据共线向量定理可求出的值，进而可求出点的坐标，再根据点到直线距离的向量公式计算即可． 【详解】以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则 ， 由平面， 设， 所以， 设， 所以，即，解得， 所以，则，， 所以， 所以点到直线的距离为 故答案为：；． 三､解答题（本题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. 已知为直线上两点，直线 （1）求直线的方程； （2）若，求实数m的值； （3）若经过点B的直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求的方程. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，由点斜式方程即可求解； （2）根据列出的方程，求解即可； （3）由题意可设直线的方程为，根据在上，结合求出的值即可. 【小问1详解】 因为为直线上两点， 所以直线的斜率为， 故直线的方程为，即. 【小问2详解】 由（1）得直线的方程为，又直线， 因为，所以， 即，解得. 【小问3详解】 由题意可设直线的方程为， 因为直线经过，所以. 因为直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形， 所以. 当时，则，显然不成立，故舍去； 当时，则，即，解得， 所以直线的方程为，即. 22. 在三角形中，，且边的中点D在x轴上，边的中点E在y轴上， （1）求顶点C的坐标； （2）求所在直线的方程； （3）若经过点的直线与轴正半轴和轴的负半轴交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）设出顶点的坐标，利用中点坐标公式结合已知列式求解； （2）由（1）得的坐标，求出斜率，进而求出直线方程； （3）设，，由列式求出，进而求得直线的斜率和方程. 【小问1详解】 设点，则，， 所以，解得， 所以顶点的坐标为. 【小问2详解】 由（1），，，则直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 【小问3详解】 设，，且， 由，得， ，解得， 所以，，则直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 23. 如图，四棱锥P - ABCD的底面是边长为2的正方形，侧面PCD⊥底面ABCD，且PC= PD=2，M，N分别为棱PC，AD的中点． （1）求证∶ BC⊥PD； （2）求异面直线BM与PN所成角的余弦值； （3）求点N到平面MBD的距离． 【答案】（1） 因为侧面PCD⊥底面ABCD，取DC中点O， 因为PC = PD = 2，则PO⊥交线CD，所以PO⊥底面ABCD， 如图，以OC，OP所在直线分别为y轴和z轴建立空间直角坐标系， 则A（2，- 1，0），B（2，1，0）， C（0，1，0， D（0，- 1，0），P（0，0，）， N（1，- 1，0）， ， 则，所以BC⊥PD； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，标出所用点的坐标，求出BC和PD所对应向量的坐标，由两向量的数量积等于0可证明BC⊥PD； （2）求出与BM和PN所对应的向量的坐标，直接利用两向量的夹角公式求异面直线BM与PN所成角的余弦值； （3）求出平面MBD的一个法向量，在平面MBD内任取一点，和N连结后得到一个向量，直接运用向量求点到面的距离公式求距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 所以， 设异面直线BM与PN所成角为θ， 则， 所以异面直线BM与PN所成角的余弦值为. 【小问3详解】 因为． 设平面MBD的一个法向量为， 由，得 取y=-1，得x=1， z= 所以，又， 所以点N到平面MBD的距离. 24. 如图：在直三棱柱中，是棱的中点，P是的延长线与CB的延长线的交点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点E在线段上，且直线与平面所成的角的余弦值为，求线段的长. 【答案】（1）证明：连接交于点，连接，如下图所示： 是直三棱柱，四边形是矩形，为的中点， 又是的中点，， 又，， ，即是的中点，是的中位线，， 又平面平面，平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，先证明是的中点，再由三角形的中位线得到，再根据线面平行的判定定理证明即可； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，设平面与平面的夹角为，再根据公式计算即可； （3）设，直线与平面所成的角为，先求出，再根据，列出方程求出的值，即可求出的长. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 是直三棱柱，平面， 又平面平面，则. 又，故，综上可得两两垂直， 所以以为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示空间直角坐标系： 则， 由（1）知，故，则； 则， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则，. 设平面的一个法向量为， 则，，取，则，. 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 ，在线段上，设， 则，，则. 又由（2）知平面的法向量为， 设直线与平面所成的角为， ，， ， 解得，又，， ，的长度为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 塘沽一中2025—2026学年度第一学期 高二年级第一次月考数学学科试题 一､选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在长方体中，（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（ ） A. B. C. D. 4. 一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 三棱锥中，，点为中点，点满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 设aR，则“a＝1”是“直线：ax＋2y－1＝0与直线：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知空间中三点则下列说法不正确的是（ ） A. 与方向相同的单位向量的坐标是 B. 在上的投影向量的坐标是 C. 与夹角的余弦值是 D. A､B两点间距离为 9. 直线l过点且与以为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围（ ） A. B. C. D. 10. 已知三棱锥中，，若分别为和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. 3 B. C. D. 11. 数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心,重心,垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线,已知△ABC的顶点B(-1,0),C(0,2),AB=AC,则△ABC的欧拉线方程为 A. 2x-4y-3=0 B. 2x+4y+3=0 C. 4x-2y-3=0 D. 2x+4y-3=0 12. 如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则下列正确的个数为（ ） ①当时，EP平面AB₁C ②当时，|PE|取得最小值，其值为 ③|PA|+|PC|的最小值为 ④当平面CEP时， A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二､填空题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 13. 经过A(0，y)，B(－1，0)两点的直线的方向向量为(1，2)，则y＝________． 14. 设空间向量，，若，则＝______． 15. 已知点和，点P在y轴正半轴上，且∠APB为直角，则P点坐标为__________. 16. 已知空间向量，，，若，，共面，则______. 17. 已知关于直线l的对称点为，则直线l的方程为__________.（结果用一般式方程表示） 18. 如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为__________. 19. 设直线则直线恒过定点__________；若过原点作直线的垂线，垂足为，则最大值为__________. 20. 如图所示，在长方体中，，直线与平面交于点P，设，则__________；点P到直线BC的距离为__________. 三､解答题（本题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. 已知为直线上两点，直线 （1）求直线的方程； （2）若，求实数m的值； （3）若经过点B的直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求的方程. 22. 在三角形中，，且边的中点D在x轴上，边的中点E在y轴上， （1）求顶点C的坐标； （2）求所在直线的方程； （3）若经过点的直线与轴正半轴和轴的负半轴交于两点，且，求直线的方程. 23. 如图，四棱锥P - ABCD的底面是边长为2的正方形，侧面PCD⊥底面ABCD，且PC= PD=2，M，N分别为棱PC，AD的中点． （1）求证∶ BC⊥PD； （2）求异面直线BM与PN所成角的余弦值； （3）求点N到平面MBD的距离． 24. 如图：在直三棱柱中，是棱的中点，P是的延长线与CB的延长线的交点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点E在线段上，且直线与平面所成的角的余弦值为，求线段的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $