3.1.2空间两点间的距离公式（教学课件）数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间两点间的距离公式，通过“距离是几何基本度量”引入，联系平面两点距离，借助长方体模型从特殊（原点）到一般情况推导公式，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光通过长方体模型转化空间距离，用数学思维从特殊到一般逻辑推导公式，结合求中点坐标、轨迹方程等典例，以数学语言表达空间关系。课堂小结系统梳理公式，助力学生形成知识网络，为教师提供结构化教学素材，提升教学效率。

1空间直角坐标系 1.2 空间两点间的 距离公式 第三章 空间向量与立体几何 北师大版2019·选择性必修第一册 学 习 目 标 2 掌握并能推导空间两点间的距离公式. 能够运用空间两点间的距离公式解决简单问题. 1 读教材 阅读课本P92-P94，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“空间两点间的距离公式 ”吧！ 1.如何计算空间两点间的距离？ 2.空间两点间的距离公式是什么？ 新课引入 距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离.两点间的距离也就是以这两点为端点的线段的长度. 思考1：在空间直角坐标系中，两点间的距离与两点的坐标有何关系? 学习过程 01 03 02 目录 1 空间两点间的距离公式 3 题型训练 2 空间距离公式的应用 新知探究 知识点一、空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，给定P(x1,y1,z1)，Q(x2,y2,z2)两点. 若其中一点为原点，不妨设点Q为原点O，过点P分别作与三条坐标轴垂直的平面，则被各坐标平面所截可得长方体A1P1C1O-APCB(如图)， |OA1|=|x1|，|OC1|=|y1|，|OB|=|z1|. 1、先考虑特殊情况 且长方体的棱长满足： 新知探究 知识点一、空间两点间的距离公式 由图1可知，P，O两点间的距离就是长方体A1P1C1O-APCB的对角线PO的长度. 根据长方体对角线的长与各棱长的关系，得|PO|2=|OA1|2+|OC1|2+|OB|2, 即 由上述方法得到启发：空间中两点间的距离可以转化为长方体对角线的长度. 图1 新知探究 知识点一、空间两点间的距离公式 2、一般情况：对于空间任意P,Q两点，过点P分别作与三条坐标轴垂直的平面，过点Q也分别作与三条坐标轴垂直的平面(如图2)， 当这六个平面均不重合时，它们围成一个长方体PCBA-EFQD，且长方体的各棱所在的直线均与某条坐标轴平行或重合. 图2 ∴|PQ|2=|CB|2+|PC|2+|BQ|2， 即 当这六个平面中至少有两个平面重合时，不妨设垂直于轴的两个平面重合(z1=z2)，作出其余四个平面与xOy平面的交线(如图3). 易证明：四边形PQQ1P1为矩形或线段PQ与P1Q1重合， ∴|PQ|=|P1Q1|. 知识点一、空间两点间的距离公式 新知探究 图3 由图3易知，P1，Q1两点的坐标分别为(x1,y1,0)，(x2,y2,0)， 再根据平面上两点间的距离公式，有 于是仍有 知识点一、空间两点间的距离公式 新知探究 图3 已知空间中P(x1,y1,z1)，Q(x2,y2,z2)两点，则P，Q两点间的距离为 这就是空间两点间的距离公式. 知识点一、空间两点间的距离公式 新知探究 思考交流：方程x2+y2+z2=1表示什么图形？ 以原点O为球心，以1为半径的球面. 典例分析 给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为 解：设点P的坐标是(x,0,0)，由题意，得|P0P|= ∴(x-4)2=25， ∴点P的坐标为(9,0,0)或(-1,0,0). 即 解得x=9或x=-1. 例1： P=(x,0,0) 距离公式 设点P在x轴上，它到P1 的距离是到点P2(0,1,-1)的距离的2倍，求点P的坐标. 解：∵P在x轴上，∴设P点坐标为(x,0,0)， ∴x＝±1， ∵|PP1|＝2|PP2|， ∴点P坐标为(1,0,0)或(-1,0,0). 巩固练习 变式1： 学习过程 01 03 02 目录 1 空间两点间的距离公式 3 题型训练 2 空间距离公式的应用 例1： 典例分析 解： （1）因为， 所以线段的中点的坐标为， ， AB之间的距离 已知，求： (1)线段的中点的坐标和的长度. (2)到两点的距离相等的点的坐标满足的条件. 例1： 典例分析 解： 已知，求： (1)线段的中点的坐标和的长度. (2)到两点的距离相等的点的坐标满足的条件. （2）因为，，且， 所以， 化简得， 即到两点的距离相等的点的坐标满足的条件为. PA=PB 巩固练习 变式1： 解： 在z轴上求一点M，使点M到点与点的距离相等． 因为M到点与点的距离相等， 所以，解得， 所以点M的坐标为 学习过程 01 03 02 目录 1 空间两点间的距离公式 3 题型训练 2 空间距离公式的应用 求空间两点间的距离 题型1 题型探究 例1： 解： 在空间直角坐标系中，点，则（    ） A． B． C． D． 因为 所以， 故选：A A 求空间两点间的距离 题型1 题型探究 例2： 解： 在空间直角坐标系中，已知点，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 点，则， ，， 而，所以一定为直角三角形. 故选：C C 题型探究 空间距离公式的应用 题型2 例1： 解： 已知，点P在z轴上，且，求点P的坐标． 因点P在z轴上，则设，而，且， 因此，，解得， 所以点P的坐标是.   已知空间直角坐标系中有一点，点是平面内的直线上的动点，则两点的最短距离是（    ） A． B． C． D． 依题意，设点，而， 因此， 当且仅当，即点时取等号， 所以两点的最短距离是.故选：B 题型探究 空间距离公式的应用 题型2 例2： 解： B 课堂小结 一、空间两点间的距离公式 已知空间中P(x1,y1,z1)，Q(x2,y2,z2)两点，则P，Q两点间的距离为 感谢聆听! $