专题25.4 用频率估算概率（高效培优讲义）数学人教版九年级上册

专题25.4 用频率估算概率 教学目标 1. 掌握用频率估算概率的方法，并能够在题目中熟练的进行应用。 1. 掌握频率与概率的区别于联系，能够熟练的利用他们的实际意义解决相关问题。 教学重难点 1. 重点 （1）用频率估算概率。 2. 难点 （1）利用频率的意义求值。 知识点01 用频率估算概率 1. 用频率估算概率： 大量重复实验时，事件发生的 在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计 ，这个固定的 就是这个事件的概率。实验次数越多，用频率估算概率越准确。 一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p，那么事件A发生的概率即为p（A）= 。 【即学即练1】 1．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下表（表中频率精确到0.01）： 射击次数 20 40 100 200 400 1000 “射中9环以上”的次数 15 33 78 158 321 801 “射中9环以上”的频率 0.75 0.83 0.78 0.79 0.80 0.80 根据频率的稳定性，则这名运动员“射击9环以上”的概率估计值（结果保留小数点后一位）为（　　） A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9 【即学即练2】 2．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（　　） A．20 B．24 C．27 D．30 知识点02 频率与概率的区别与联系 1. 频率与概率的区别与联系： 事件的频率与概率都是度量事件发生的可能性大小的特征数。 频率是一个 ，或使用时的统计值，具有随机性，可能取多个数值，因此只能近似的反应事件出现的可能性大小。概率是一个 ，是由事件的本质决定的，只能取唯一的值，所以它能精确的反应事件发生的可能性大小。 【即学即练1】 3．某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（　　） 次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 频率 0.60 0.45 0.55 0.47 0.48 0.52 0.51 0.49 0.50 0.50 A．不透明的袋子里有3个红球和2个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球 B．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“2” C．掷一枚一元的硬币，正面朝上 D．三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5 题型01 用频率估算概率 【典例1】某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 560 1100 2750 正面朝上的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.56 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（　　） A．0.50 B．0.55 C．0.56 D．0.60 【变式1】某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（　　） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410 A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.410 【变式2】如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题： 投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500 投中次数（m） 28 60 78 104 124 153 252 估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（　　）（精确到0.1） A．0.4 B．0.5 C．0.55 D．0.6 【变式3】某射箭运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中10环”的次数 65 136 210 284 350 552 700 “射中10环”的频率 0.65 0.68 0.70 0.71 0.70 0.70 0.70 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中10环”的概率是（　　） A．0.65 B．0.70 C．0.75 D．0.69 题型02 根据频率的意义求值 【典例1】一个暗箱中放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中只有2个红球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%，那么可以估算a的值是（　　） A．15 B．10 C．4 D．3 【变式1】一个盒子中装有a个白球和4个红球（除颜色外完全相同），若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在80%，估计a的值为（　　） A．40 B．30 C．16 D．50 【变式2】如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码，小李帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为18cm2，他在该二维码内随机掷点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为（　　） A．10.8cm2 B．9.6cm2 C．7.2cm2 D．11.2cm2 【变式3】某商场利用如图所示的转盘进行抽奖游戏，规定：顾客随机转动转盘一次，当转盘停止后，指针指向阴影区域就能获奖（若指向分界线，则重转）．通过大量游戏，发现中奖的频率稳定在0.3，那么可以推算出所有阴影部分的圆心角之和大约是（　　） A．72° B．90° C．108° D．126° 1．下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（　　） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各实验小组所得频率的值也会相同 2．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 79 229 385 781 1246 1560 “有2个人同月过生日”的频率 0.79 0.763 0.77 0.781 0.779 0.78 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是（　　） A．0.79 B．0.78 C．0.77 D．0.76 3．某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（　　） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与n的比值 0.85 0.9 0.93 0.9 0.89 0.9 0.91 0.91 0.92 0.92 A．0.92 B．0.905 C．0.903 D．0.9 4．一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计口袋中白球的个数是（　　） A．8 B．10 C．16 D．20 5．如图1，长为10cm，宽为8cm的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（　　） A．32cm2 B．24cm2 C．16cm2 D．8cm2 6．某同学做“抛硬币”试验，下面是他的试验数据： 抛掷次数 100 200 300 400 500 正面朝上次数 51 99 154 200 248 若抛硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（　　） A．300 B．400 C．500 D．600 7．王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为9cm2，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（　　） A．1.8cm2 B．4.5cm2 C．5.4cm2 D．9cm2 8．如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面的推断合理的是（　　） A．当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是 B．当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率一定是0.618 C．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618 D．若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定仍是0.620 9．一个不透明的盒子里有“元旦”主题和“新年”主题的贺卡共20张，这些贺卡外观完全相同，每次抽卡前先将盒子里的贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到“元旦”主题贺卡的频率稳定在25%，那么估计盒子中“元旦”主题贺卡有（　　） A．3张 B．15张 C．5张 D．10张 10．随机投掷一枚纪念币的试验，得到的结果如表所示： 投掷次数m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 260 511 793 1036 1306 1558 2083 2598 “正面向上”的频率 0.520 0.511 0.529 0.518 0.522 0.519 0.521 0.520 下面有3个推断： ①抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.511，所以“正面向上”的概率是0.511； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520； ③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次． 其中所有合理推断的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．③ 11．在一个不透明的纸箱中装12个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，则纸箱中白球最可能为　 　 个． 12．在一个不透明的口袋里装有红、白两种颜色的球共5只，它们除颜色外其余都相同．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据，请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 　 　 ．（精确到0.1） 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 13．如图，是一张边长为3cm的正方形二维码示意图，在其区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，由此可以估计该二维码黑色部分的总面积约为　 　 cm2． 14．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，发现摸到红球的频率稳定在0.7，请你估计这个口袋中红球有 　 　 个． 15．小明看到公园地面上有一个心形封闭图形A，为了研究图形A的面积，设计了一项试验：在图形A外部绘制一个半径为1米的圆，如图所示，向这个圆内随机投掷石子．假设石子落在圆内的每一点都是等可能的（不考虑边界），记录的试验数据如下： 掷石子的总次数p 50 100 200 500 … 石子落在图形A内的次数m 15 43 80 201 … 石子落在阴影部分的次数n 35 57 120 299 … 随着投掷次数的不断增多，石子落在图形A内的频率逐渐稳定在0.4左右，因此估计石子落在图形A内的概率为 　 　 ；由此估计图形A的面积为 　 　 平方米． 16．一个不透明的箱子里装有2个红球和1个黄球，每个小球除颜色以外其他完全相同． （1）现从该箱子里摸出一个球，记下颜色后放回箱子里，摇匀，再摸出一个球，用画树状图或者列表的方法求两次摸出的小球颜色不同的概率； （2）如果在箱子里增加x个白球（与其他小球除颜色外完全相同），把箱子里的小球摇匀，再随机摸出一个小球，记下颜色后放回，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率逐渐稳定于0.4，请你估计增加的白球数量． 17．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4只，某小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 4000 5000 8000 10000 … 摸到白球的次数m 749 1499 2998 3751 6000 7501 … 摸到白球的频率 0.7490 0.7495 0.7495 0.7502 0.750 0.7501 … （1）根据试验结果试估算口袋中白球有多少只？ （2）在（1）的基础上，若同时从该口袋中摸出两个球，用画树状图或列表法求这两个球颜色相同的概 18．某校生物兴趣小组为了解在相同的实验条件下，某植物种子发芽率，进行了相关的实验研究．如表是进行研究时所得到的数据． 试验的种子数n 100 400 600 1000 3000 5000 发芽的粒数m a 382 570 954 2859 4750 发芽频率 0.930 0.955 0.950 b 0.953 0.950 （1）求出a，b的值； （2）任取一粒这种植物种子，估计它不能发芽的概率．（结果精确到0.01） 19．THEMONSTERS（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩IP，主要角色为LABUBU、ZIMOMO、MOKOKO、TYCOCO等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到LABUBU获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到LABUBU的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到LABUBU的频率 a 0.14 0.165 0.168 0.16 0.161 （1）表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）“抽到LABUBU”的概率的估计值是　 　 （精确到0.01）； （3）商场准备的2000个盲盒全部抽完，除LABUBU外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到ZIMOMO的次数是多少个？ 20．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率 0.36 m 0.325 n 0.3325 0.3335 （1）下列说法错误的是 　 　 （填写序号）． ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数一定为10． （2）求表中m，n的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）； （3）修改转盘的颜色分布情况，使指针指向每种颜色的可能性相同，写出一种方案即可． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25.4 用频率估算概率 教学目标 1. 掌握用频率估算概率的方法，并能够在题目中熟练的进行应用。 1. 掌握频率与概率的区别于联系，能够熟练的利用他们的实际意义解决相关问题。 教学重难点 1. 重点 （1）用频率估算概率。 2. 难点 （1）利用频率的意义求值。 知识点01 用频率估算概率 1. 用频率估算概率： 大量重复实验时，事件发生的 频率 在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计 概率 ，这个固定的 近似值 就是这个事件的概率。实验次数越多，用频率估算概率越准确。 一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p，那么事件A发生的概率即为p（A）= P 。 【即学即练1】 1．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下表（表中频率精确到0.01）： 射击次数 20 40 100 200 400 1000 “射中9环以上”的次数 15 33 78 158 321 801 “射中9环以上”的频率 0.75 0.83 0.78 0.79 0.80 0.80 根据频率的稳定性，则这名运动员“射击9环以上”的概率估计值（结果保留小数点后一位）为（　　） A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9 【答案】C 【解答】解：由表格中的数据可知，随着实验次数的增加，从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近， ∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率大约是0.8． 故选：C． 【即学即练2】 2．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（　　） A．20 B．24 C．27 D．30 【答案】D 【解答】解：根据题意得， 解得n＝30， 所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球． 故选：D． 知识点02 频率与概率的区别与联系 1. 频率与概率的区别与联系： 事件的频率与概率都是度量事件发生的可能性大小的特征数。 频率是一个 实验值 ，或使用时的统计值，具有随机性，可能取多个数值，因此只能近似的反应事件出现的可能性大小。概率是一个 理论值 ，是由事件的本质决定的，只能取唯一的值，所以它能精确的反应事件发生的可能性大小。 【即学即练1】 3．某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（　　） 次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 频率 0.60 0.45 0.55 0.47 0.48 0.52 0.51 0.49 0.50 0.50 A．不透明的袋子里有3个红球和2个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球 B．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“2” C．掷一枚一元的硬币，正面朝上 D．三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5 【答案】C 【解答】解：A、不透明的袋子里有3个红球和2个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球的概率是，不符合题意； B、掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“2”概率是，不符合题意； C、掷一枚一元的硬币，正面朝上的概率是，符合题意； D、三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5概率是，不符合题意； 故选：C． 题型01 用频率估算概率 【典例1】某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 560 1100 2750 正面朝上的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.56 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（　　） A．0.50 B．0.55 C．0.56 D．0.60 【答案】B 【解答】解：当抛掷次数较小时，频率波动较大，当次数增加到2000次及以上时，频率稳定在0.55，所以抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55． 故选：B． 【变式1】某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（　　） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410 A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.410 【答案】D 【解答】解：随着累计抽测学生数的增大，近视的学生数与n的比值逐渐稳定于0.410， 所以对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是0.410， 故选：D． 【变式2】如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题： 投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500 投中次数（m） 28 60 78 104 124 153 252 估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（　　）（精确到0.1） A．0.4 B．0.5 C．0.55 D．0.6 【答案】B 【解答】解：根据题意得： 28÷50＝0.56， 60÷100＝0.6， 78÷150＝0.52， 104÷200＝0.52， 124÷250＝0.496， 153÷300＝0.51， 252÷500＝0.504， 由此，估计这位同学投篮一次，投中的概率约是0.5， 故选：B． 【变式3】某射箭运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中10环”的次数 65 136 210 284 350 552 700 “射中10环”的频率 0.65 0.68 0.70 0.71 0.70 0.70 0.70 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中10环”的概率是（　　） A．0.65 B．0.70 C．0.75 D．0.69 【答案】B 【解答】解：估计这名运动员射击一次时“射中10环”的概率是0.70． 故选：B． 题型02 根据频率的意义求值 【典例1】一个暗箱中放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中只有2个红球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%，那么可以估算a的值是（　　） A．15 B．10 C．4 D．3 【答案】B 【解答】解：根据题意得： 2÷20%＝10（个）， 答：可以估算a的值是10； 故选：B． 【变式1】一个盒子中装有a个白球和4个红球（除颜色外完全相同），若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在80%，估计a的值为（　　） A．40 B．30 C．16 D．50 【答案】C 【解答】解：由题意可得，， 解得，a＝16． 经检验，a＝16是分式方程的解且符合题意， 故选：C． 【变式2】如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码，小李帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为18cm2，他在该二维码内随机掷点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为（　　） A．10.8cm2 B．9.6cm2 C．7.2cm2 D．11.2cm2 【答案】A 【解答】解：经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右， ∴点落在黑色区域的频率稳定在1﹣0.4＝0.6左右， ∴估计此二维码中黑色区域的面积为18×0.6＝10.8cm2． 故选：A． 【变式3】某商场利用如图所示的转盘进行抽奖游戏，规定：顾客随机转动转盘一次，当转盘停止后，指针指向阴影区域就能获奖（若指向分界线，则重转）．通过大量游戏，发现中奖的频率稳定在0.3，那么可以推算出所有阴影部分的圆心角之和大约是（　　） A．72° B．90° C．108° D．126° 【答案】C 【解答】解：360°×0.3＝108°， 故选：C． 1．下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（　　） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各实验小组所得频率的值也会相同 【答案】B 【解答】解：选项A：频率是实际试验中事件发生的次数与总次数的比值，而概率是理论上的预期值，两者概念不同，故A错误． 选项B：在大量重复试验中，随着试验次数的增加，频率会逐渐接近并稳定在概率附近，这是大数定律的体现，故B正确． 选项C：频率是试验结果，可能接近但不一定等于概率，故C错误． 选项D：即使试验次数相同，不同小组的试验结果可能存在随机性差异，导致频率不同，故D错误． 综上，正确答案为B． 故选：B． 2．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 79 229 385 781 1246 1560 “有2个人同月过生日”的频率 0.79 0.763 0.77 0.781 0.779 0.78 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是（　　） A．0.79 B．0.78 C．0.77 D．0.76 【答案】B 【解答】解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是0.78． 故选：B． 3．某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（　　） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与n的比值 0.85 0.9 0.93 0.9 0.89 0.9 0.91 0.91 0.92 0.92 A．0.92 B．0.905 C．0.903 D．0.9 【答案】A 【解答】解：随着累计抽测学生数的增大，体质健康合格的学生数与n的比值逐渐稳定于0.92， 所以对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是0.92， 故选：A． 4．一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计口袋中白球的个数是（　　） A．8 B．10 C．16 D．20 【答案】C 【解答】解：设口袋中有x个白球， ∵一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近， ∴， 解得x＝16， 故选：C． 5．如图1，长为10cm，宽为8cm的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（　　） A．32cm2 B．24cm2 C．16cm2 D．8cm2 【答案】B 【解答】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.3， ∴不规则图案的面积大约为0.3， 设不规则图案的面积为xcm2， ∵长方形的面积为10×8＝80（cm2）， ∴0.3， 解得x＝24， 故选：B． 6．某同学做“抛硬币”试验，下面是他的试验数据： 抛掷次数 100 200 300 400 500 正面朝上次数 51 99 154 200 248 若抛硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（　　） A．300 B．400 C．500 D．600 【答案】C 【解答】解：由表中数据可知，随着实验次数的增加，正面朝上的频率接近于0.5， ∴“正面朝上”的概率约为0.5， ∴若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近0.5×1000＝500． 故选：C． 7．王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为9cm2，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（　　） A．1.8cm2 B．4.5cm2 C．5.4cm2 D．9cm2 【答案】C 【解答】解：∵该二维码的面积为9cm2，点落在黑色区域的频率稳定在0.6左右， ∴9×0.6＝5.4（cm2）， 故选：C． 8．如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面的推断合理的是（　　） A．当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是 B．当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率一定是0.618 C．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618 D．若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定仍是0.620 【答案】C 【解答】解：A、当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，“钉尖向上”的频率是0.616，但“钉尖向上”的概率不一定是0.616，故该选项不符合题意； B、由图可知，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．但不代表投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率一定是0.618，故该选项不符合题意； C、随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．故该选项符合题意； D、若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是0.620，故该选项不符合题意．． 故选：C． 9．一个不透明的盒子里有“元旦”主题和“新年”主题的贺卡共20张，这些贺卡外观完全相同，每次抽卡前先将盒子里的贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到“元旦”主题贺卡的频率稳定在25%，那么估计盒子中“元旦”主题贺卡有（　　） A．3张 B．15张 C．5张 D．10张 【答案】C 【解答】解：∵一个不透明的盒子里有“元旦”主题和“新年”主题的贺卡共20张，抽到“元旦”主题贺卡的频率稳定在25%， ∴25%×20＝5（张）， 故选：C． 10．随机投掷一枚纪念币的试验，得到的结果如表所示： 投掷次数m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 260 511 793 1036 1306 1558 2083 2598 “正面向上”的频率 0.520 0.511 0.529 0.518 0.522 0.519 0.521 0.520 下面有3个推断： ①抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.511，所以“正面向上”的概率是0.511； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520； ③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次． 其中所有合理推断的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．③ 【答案】B 【解答】解：①抛掷次数是 1000 时，“正面向上”的频率是0.511，所以“正面向上”的概率是0.511，不合理； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520，判断合理； ③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000 时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次，判断合理， 故选：B． 11．在一个不透明的纸箱中装12个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，则纸箱中白球最可能为　8　 个． 【答案】8． 【解答】解：纸箱中白球个数约为12÷（1﹣0.4）﹣12＝20﹣12＝8（个）， 故答案为：8． 12．在一个不透明的口袋里装有红、白两种颜色的球共5只，它们除颜色外其余都相同．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据，请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 　0.6　 ．（精确到0.1） 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 【答案】0.6． 【解答】解：根据摸到白球的频率稳定在0.6左右， 所以摸一次，摸到白球的概率将会接近0.6． 故答案为：0.6． 13．如图，是一张边长为3cm的正方形二维码示意图，在其区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，由此可以估计该二维码黑色部分的总面积约为　6.3　 cm2． 【答案】6.3． 【解答】解：∵经过大量重复试验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右， ∴落在黑色区域的概率约为0.7， ∴该二维码黑色部分的总面积约为3×3×0.7＝6.3（cm2）． 故答案为：6.3． 14．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，发现摸到红球的频率稳定在0.7，请你估计这个口袋中红球有 　7　 个． 【答案】7． 【解答】解：∵红球的频率稳定在0.7， ∴估计这个口袋中红球的数量为10×0.7＝7个． 故答案为：7． 15．小明看到公园地面上有一个心形封闭图形A，为了研究图形A的面积，设计了一项试验：在图形A外部绘制一个半径为1米的圆，如图所示，向这个圆内随机投掷石子．假设石子落在圆内的每一点都是等可能的（不考虑边界），记录的试验数据如下： 掷石子的总次数p 50 100 200 500 … 石子落在图形A内的次数m 15 43 80 201 … 石子落在阴影部分的次数n 35 57 120 299 … 随着投掷次数的不断增多，石子落在图形A内的频率逐渐稳定在0.4左右，因此估计石子落在图形A内的概率为 　0.4　 ；由此估计图形A的面积为 　0.4π　 平方米． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵随着投掷次数的不断增多，石子落在图形A内的频率逐渐稳定在0.4左右， ∴估计石子落在图形A内的概率为0.4， ∵图形A外部绘制的是一个半径为1米的圆， ∴图形A的面积＝0.4×π×12＝0.4π（平方米）， 故答案为：0.4，0.4π． 16．一个不透明的箱子里装有2个红球和1个黄球，每个小球除颜色以外其他完全相同． （1）现从该箱子里摸出一个球，记下颜色后放回箱子里，摇匀，再摸出一个球，用画树状图或者列表的方法求两次摸出的小球颜色不同的概率； （2）如果在箱子里增加x个白球（与其他小球除颜色外完全相同），把箱子里的小球摇匀，再随机摸出一个小球，记下颜色后放回，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率逐渐稳定于0.4，请你估计增加的白球数量． 【答案】（1）两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为； （2）估计增加白球的个数为2个． 【解答】解：（1）画出树状图，如下： 共有9种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为4， ∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为； （2）根据题意得，0.4， 解得x＝2， 经检验，x＝2是方程的解， 答：估计增加白球的个数为2个． 17．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4只，某小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 4000 5000 8000 10000 … 摸到白球的次数m 749 1499 2998 3751 6000 7501 … 摸到白球的频率 0.7490 0.7495 0.7495 0.7502 0.750 0.7501 … （1）根据试验结果试估算口袋中白球有多少只？ （2）在（1）的基础上，若同时从该口袋中摸出两个球，用画树状图或列表法求这两个球颜色相同的概率． 【答案】（1）3只； （2）． 【解答】解：（1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.75，所以摸到白球的概率为0.75， 4×0.75＝3（只）， 答：口袋中白球有3只； （2）设白球为A1，A2，A3，黑球为B， A1 A2 A3 B A1 （A1，A2） （A1，A3） （A1，B） A1 （A2，A1） （A2，A3） （A2，B） A3 （A3，A1） （A3，A2） （A3，B） B （B，A1） （B，A2） （B，A3） 一共有12种等可能的结果，其中两个球颜色相同的有6种结果， ∴随机摸出两个球颜色相同的概率为． 18．某校生物兴趣小组为了解在相同的实验条件下，某植物种子发芽率，进行了相关的实验研究．如表是进行研究时所得到的数据． 试验的种子数n 100 400 600 1000 3000 5000 发芽的粒数m a 382 570 954 2859 4750 发芽频率 0.930 0.955 0.950 b 0.953 0.950 （1）求出a，b的值； （2）任取一粒这种植物种子，估计它不能发芽的概率．（结果精确到0.01） 【答案】（1）a＝93，b＝0.954； （2）0.05． 【解答】解：（1）发芽频率的计算公式为：发芽频率＝发芽的粒数/试验的种子数． 对于第一组数据，试验种子数 n＝100，发芽频率，因此发芽的粒数． 对于第四组数据，试验种子数n＝1000，发芽的粒数m＝954，因此发芽频率． （2）当试验次数足够大时，发芽频率会趋近于发芽概率．观察表格中不同试验次数下的发芽频率（0.930，0.955，0.950，0.954，0.953，0.950），均稳定在0.95附近，因此发芽概率可估计为0.95． ∴不能发芽的概率为 1﹣0.95＝0.05． 19．THEMONSTERS（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩IP，主要角色为LABUBU、ZIMOMO、MOKOKO、TYCOCO等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到LABUBU获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到LABUBU的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到LABUBU的频率 a 0.14 0.165 0.168 0.16 0.161 （1）表中的a＝　0.11　 ，b＝　33　 ． （2）“抽到LABUBU”的概率的估计值是　0.16　 （精确到0.01）； （3）商场准备的2000个盲盒全部抽完，除LABUBU外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到ZIMOMO的次数是多少个？ 【答案】（1）0.11，33； （2）0.16； （3）560个． 【解答】解：（1）表中的a0.11，b＝200×0.165＝33； 故答案为：0.11，33； （2）大量重复实验下，“抽到LABUBU”的概率的估计值是0.16； 故答案为：0.16； （3）∵“抽到LABUBU”的概率为0.16，抽到其他三种角色的概率相同， ∴抽到ZIMOMO的概率为0.28， ∴2000×0.28＝560（个）， 答：抽到ZIMOMO的次数是560个． 20．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率 0.36 m 0.325 n 0.3325 0.3335 （1）下列说法错误的是 　①③　 （填写序号）． ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数一定为10． （2）求表中m，n的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）； （3）修改转盘的颜色分布情况，使指针指向每种颜色的可能性相同，写出一种方案即可． 【答案】（1）①③； （2）m＝0.31，n＝0.334，0.3； （3）将1个绿色区域改为蓝色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 【解答】解：（1）①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针不一定指向绿色区域，故本选项说法错误； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数，故本选项说法正确； ③转动60次，指针指向黄色区域的次数不一定正好是10，故本选项说法错误； 故答案为：①③； （2）m0.31，n0.334，随着转动次数的增加，估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率为0.3； （3）将1个绿色区域改为蓝色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $