专题01 统计与概率（压轴题专项训练）数学人教B版2019必修第二册

专题01统计与概率 目录 专题01 统计与概率 类型一、事件类型的判断 类型二、样本空间与样本点 类型三、事件的包含关系与运算 类型四、古典概型 类型五、互斥事件与对立事件 类型六、概率的性质 类型七、相互独立事件 类型八、相互独立事件的概率 类型九、概率综合解答题 类型十、 随机抽样与分层抽样 类型十一、数据的数字特征 类型十二、统计图 类型十三、用样本估计总体 压轴专练 类型一、事件类型的判断 事件类型：确定事件和随机事件 例1．(24-25高一下·安徽六安善新高级中学·期末)给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 变式1-1．(23-24高二上·贵州凯里第三中学·期末)在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是（    ） A．3件都是正品 B．至少有2件是次品 C．3件都是次品 D．至少有1件是正品 变式1-2．(23-24高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·月考)对掷一粒骰子的试验，在概率论中把“出现零点”称为（　　） A．样本空间 B．必然事件 C．不可能事件 D．随机事件 变式1-3．（多选）下列事件是随机事件的是（    ） A．明天是阴天 B．方程有两个不相等的实数根 C．明年长江武汉段的最高水位是 D．一个三角形的大边对小角，小边对大角 类型二、样本空间与样本点 样本点:我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，用ω表示样本点; 样本空间:全体样本点的集合称为试验E的样本空间，用表示样本空间; 例2． (23-24高一下·山西太原·期末)投掷两枚质地均匀的硬币，用表示“第枚硬币正面朝上”，表示“第枚硬币反面朝上”，则该试验的样本空间 ． 变式2-1．将一枚骰子先后抛掷两次，试验的样本点用表示，其中表示第一次抛掷出现的点数，表示第二次抛掷出现的点数. (1)求样本空间中的样本点个数； (2)用集合表示事件“出现的点数之和大于8”. 变式2-2．甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)． (1)写出这个游戏对应的样本空间； (2)写出这个游戏的样本点总数； (3)写出事件A：“甲赢”的集合表示； (4)说出事件{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}所表示的含义． 变式2-3．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大贡献．哥德巴赫猜想是“任一大于2的偶数都可写成两个质数的和”，如32＝13＋19.在不超过32的质数中，随机选取两个不同的数． (1)求试验的样本空间包含的样本点总数； (2)用集合表示事件C＝“两数之和为30”． 类型三、事件的包含关系与运算 例3．(25-26高三上·贵州贵阳七校联盟·)打靶3次，记事件表示“共击中i发”，其中，那么表示（   ） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多击中1次” D．“至少击中2次” 变式3-1．(24-25高一下·吉林吉林永吉实验高级中学等·期末)已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.7 变式3-2．(24-25高一下·广东深圳高级中学·期末)已知两个随机事件A和B，其中，，，则（   ） A． B． C． D． 变式3-3．（多选）(23-24高一下·江西景德镇·期中)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件为“两次都击中飞机”，事件为“两次都没击中飞机”，事件为“恰有一次击中飞机”，事件为“至少有一次击中飞机”，则（    ） A． B． C． D． 类型四、古典概型 古典概型的特征:(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等 例4． (25-26高二上·四川德阳第五中学·月考)将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，则两次向上的点数之和除以4的余数为3的概率为（   ） A． B． C． D． 变式4-1．（多选）(25-26高一上·湖南衡阳衡阳县第三中学·月考)某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（   ） A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为 B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为 C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高 D．丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同 变式4-2．(25-26高三上·山东潍坊诸城第一中学·月考)已知一个正整数n，若能找到正整数a、b，使得，则称n为一个“好数”．现在从1到20这20个正整数中任取一个数，取到“好数”的概率为 变式4-3．(25-26高一上·湖南长沙长郡中学·)在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字 这些球除了数字以外完全相同.现随机摸出一个小球，记下数字m，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为 . 类型五、互斥事件与对立事件 互斥事件与对立事件的定义及区别 互斥事件: 定义:若事件A与B满足 A∩B=∅，则表示两者不可能同时发生。特征:强调事件间的排斥性，如投掷骰子时"出现1点"和"出现2点"。 对立事件: 定义:既满足互斥条件(A∩B=∅)，又满足并集为全集(AUB=U） 示例:抛硬币时"正面朝上"与“反面朝上"构成对立事件 例5． (22-23高一下·北京延庆区·)先后两次掷一枚质地均匀的骰子，设事件两次掷出的点数之和是5，设事件第二次掷出的点数是偶数，设事件第一次掷出的点数是5，设事件至少出现一个奇数点，下列说法不正确的是（    ） A．与互斥 B． C．与对立 D．与相互独立 变式5-1．（多选）(25-26高二上·山东淄博淄川中学·月考)连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，记录这次实验的结果.设事件表示“次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件表示“次实验结果中，至多出现一次正面”，则下列结论正确的有  （   ）. A．若，则与互斥 B．若，则与不相互独立 C．若，则与不互斥 D．若，则与相互独立 变式5-2．（多选）(25-26高二上·湖南长沙长郡中学·)设A，B为两个随机事件，以下命题正确的有（   ） A．若A，B是对立事件，则 B．若A，B是对立事件，则 C．若A，B是互斥事件，，，则 D．若A，B是互斥事件，，，则 变式5-3．（多选）(24-25高一下·安徽六安毛坦厂中学教育集团·期末)已知A，B，C是一个随机试验中的三个事件，则下列结论一定正确的是（    ） A．若事件A，B，C两两互斥，则 B．若事件A，B，C相互独立，则与也相互独立 C．若，，则事件A，B相互独立与互斥能同时成立 D．若A，B，C两两独立，则 类型六 、概率的性质 例6． (24-25高一下·江苏淮安·期末)已知，，若，互斥，则（    ） A．0.36 B．0.54 C．0.6 D．0.9 变式6-1．（多选）(24-25高一下·广东东莞·期末)已知随机事件与，若，则下列结论正确的有（   ） A． B．若与相互独立，则 C．若，则 D．若，则 变式6-2．（多选）(24-25高一下·河南三门峡·期末)已知，，则下列说法中正确的是（   ） A．若A，B互斥，则 B．若A，B互斥，则 C．若A，B独立，则 D．若A，B独立，则 变式6-3．（多选）(24-25高一下·安徽六安第二中学·期末)已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（   ） A．若事件A，B互斥，则 B．若事件A，B相互独立，则A，B不互斥 C．若，则事件A，B相互独立 D．若事件A，B相互独立，则事件A，B至少有一个发生的概率为 类型七、相互独立事件 判断事件是否相互独立的方法 (1)定义法:若事件A的发生对事件B的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的(2)公式法:若对两事件A，B有P(AB)=P(A)P(B)，则事件A，B相互独立: 例7．（多选）(24-25高一下·河南新乡·期末)连续抛掷一枚硬币两次，事件表示“第一次硬币正面朝上”，事件表示“第二次硬币反面朝上”，事件表示“两次硬币都正面朝上”，事件表示“两次硬币朝上的情况不同”，则（  ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 变式7-1．（多选）(24-25高一上·河北保定唐县第一中学·期末)下列命题正确的是（    ） A．若事件，，两两独立，则成立. B．若事件，，两两互斥，则成立 C．若事件，相互独立，则与也相互独立. D．若，，则事件，相互独立与，互斥可以同时成立. 变式7-2．(24-25高一下·山东济南·期末)袋中有5个大小质地完全相同的小球，其中白球编号为1，2，红球编号为3，4，5．从中有放回地依次随机摸出两个小球． (1)求至少一个是白球的概率； (2)设事件A为“第一次是白球”，事件B为“两个小球的编号之和为6”，判断A与B是否相互独立，并说明理由． 变式7-3．(24-25高一下·广东汕头潮南区·期末)一个箱子里有6个大小颜色相同的小球，编号为，从中有放回地抽取2次（每次取1个球）.设事件：“第一次取出的球的号码大于3”，事件：“两次取出的球的号码之和为偶数”. (1)求事件的概率； (2)判断事件与事件是否相互独立，并说明理由. 类型八、相互独立事件的概率 例8． (24-25高一下·广东广州五校（实、执信、广雅、二中、六中）·期末)甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，并约定规则如下：在每个回合中，若发球方赢球，则得1分，并且下一回合继续由其发球；若发球方输球，则双方均不得分，且下一回合交换发球权；比赛持续三回合后结束，若最终甲乙得分相同，则为平局.已知在每回合中，甲获胜的概率均为 ，各回合比赛结果相互独立，第一回合由甲发球.则甲乙两人在比赛中平局的概率为（     ） A． B． C． D． 变式8-1．(25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔第八中学校·月考)某中学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的概率依次为，m，n，且他是否通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则 . 变式8-2．(25-26高二上·湖北楚天协作体·月考)在一次机器狗搜索演习中，只机器狗组成一个搜索小队，每只机器狗独立发现特定目标的概率均为，且互不影响.若搜索小队中至少有一只机器狗发现目标，则搜索任务成功.要使搜索任务成功的概率超过，则的最小值是 . 变式8-3．(24-25高一下·湖南长沙宁乡·期末)设样本空间含有等可能的样本点，若事件是的子集，且互相独立，其中 则= . 类型九、概率综合解答题 例9． (25-26高一上·湖南衡阳衡阳县第三中学·月考)在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，同一组中数据用该组区间中间值作代表值． (1)60分以下的成绩视为不及格，求不及格的考生人数； (2)求该组数据的众数和第一四分位数； (3)在本次测试分数为，的考生中，使用分层随机抽样的办法从中抽取5人，再从这5人中随机挑选3人，求恰好有一名学生分数在区间的概率． 变式9-1．某市在旅游旺季时，为应对景区可能出现人流量过大的情况，规定：当人流量达到景区最大承载量的80%时，将对该景区采取局部限流措施；当人流量达到景区最大承载量的100%时，将对该景区采取完全限流措施．小明计划假期去该市甲、乙、丙三个旅游景区旅行，他调查了甲、乙、丙三个旅游景区在去年同期30天的限流措施情况，见下表：          景区限流情况累计天数 不限流 局部限流 完全限流 甲景区累计天数 21 7 2 乙景区累计天数 18 4 8 丙景区累计天数 15 9 6 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三个景区限流情况相互独立． (1)小明某天到甲景区旅游，估计小明遇到完全限流的概率． (2)小明任选两天，分别到乙、丙两景区游览，估计小明在两个景区至少遇到一次限流（包括局部限流和完全限流）的概率． (3)小明计划在一天内从甲、乙、丙三个景区中选择两个景区，并分别在上午和下午游览．若存在以下两种情况之一，则不能完成游览： （ⅰ）在上午的游览中遇到局部限流，且在下午的游览中遇到完全限流； （ⅱ）在上午的游览中遇到完全限流． 请帮助小明制定游览计划，使他完成游览的概率最大． 变式9-2．抽取某车床生产的8个零件，编号为，，…，，测得其直径（单位：cm）分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间内的零件为一等品． (1)从上述非一等品的零件中，有放回地依次随机抽取2个，求至少包含一个直径为1.48的零件的概率； (2)从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率． 变式9-3．(24-25高一下·广东清远·期末)某校数学建模社团招聘社长职位分笔试与面试两个环节，在笔试中有两轮答题：第一轮从类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分.若两轮总分不低于60分则进入面试环节.小红和小明参加此次招聘活动，已知小红对类每个问题的答对的概率均为0.5.在类的5个问题中，小明只能答对4个问题，在类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响. (1)求小明在第一轮得40分的概率； (2)求小红两轮总分得60分的概率； (3)试判断小红和小明谁更有机会进入面试环节？ 类型十、随机抽样与分成抽样 ①定义:在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样. ②应用范围:当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样注意:分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比 例10． (24-25高一下·福建福州福九联盟·期末)用抽签法从学号为1到50的50名学生（其中含学生李华）中不放回抽取5名学生进行问卷调查，每次抽取一个号码，共抽取5次，设李华第一次被抽到的概率为，第五次被抽到的概率为，则（    ） A．a = ， B．a = ， C．a = ， D．a = ， 变式10-1．为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中型血、型血、型血、型血的人数比为，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中型血的人数比型血的人数多，则 . 变式10-2．(22-23高一下·新疆喀什·期末)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200、400、300、100件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法，从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从甲种型号的产品抽取 件. 变式10-3．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样调查，先将650名学生进行编号：001，002，…，649，650．从中抽取50个样本，下面提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是 ． 32 21 18 34 29  78 64 54 07 32  52 42 06 44 38  12 23 43 56 77  35 78 90 56 42 84 42 12 53 31  34 57 86 07 36  25 30 07 32 86  23 45 78 89 07  23 68 96 08 24 32 56 78 08 43  67 89 53 55 77  34 89 94 83 75  22 53 55 78 32  45 77 89 23 45 类型十一、数据的数字特征 四分位数： 即把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值就是四分位数其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等 例11． (24-25高一下·贵州遵义航天高级中学·月考)已知样本容量为5的样本平均数为3，方差为，将数据9加入原样本得到样本容量为6的新样本，若新样本的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 变式11-1．一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（    ） A．极差 B．中位数 C．平均数 D．众数 变式11-2．已知甲、乙两名同学在高二的6次数学周测的成绩（单位：分）统计如图，则下列说法不正确的是（    ） A．甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数 B．若甲、乙成绩的平均数分别为，，则 C．甲成绩的极差小于乙成绩的极差 D．甲成绩比乙成绩稳定 变式11-3．(25-26高三上·陕西商洛镇安中学·模拟)已知一组数据按从小到大的顺序排列为，若该组数据的第60百分位数与这组数据的中位数相等，则实数的值为 . 类型十二、统计图 例12．（多选）(24-25高一下·广东河源·)2025年4月23日，在第四届全民阅读大会上正式发布了2024年度中国数字阅读报告.统计了我国近五年数字阅读用户规模和网民规模数据，如图所示，则（    ） A．2024年，我国数字阅读用户规模占网民规模的五成以上 B．近五年，我国数字阅读用户规模的增长量比网民规模的增长量大 C．从2020年至2024年，我国数字阅读用户规模逐年递增 D．从2020年至2024年，我国网民规模的增长率逐年递增 变式12-1．(24-25高一下·山东聊城·期末)某校高一年级为了解学生近期的数学学习情况，组织了一次数学阶段测试.从所有学生的数学成绩中随机抽取400名学生的数学成绩作为样本，整理数据并分成，，，，，这6组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值，并估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数（四舍五入取整数）； (2)从所抽取的数学成绩在，内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样抽取n名学生，若这n名学生数学成绩的平均数为126分，方差为50，且这n名学生中数学成绩在内的只有1名，其数学成绩为136分，求这n名学生中数学成绩在内的学生数学成绩的平均数与方差. 变式12-2．(24-25高一下·山东烟台栖霞第一中学·月考)某电视台有一档益智答题类综艺节目，每期节目从现场编号为01～80的80名观众中随机抽取10人答题.答题选手要从“科技”和“文艺”两类题目中选一类作答，一共回答10个问题，答对1题得1分. (1)若采用随机数表法抽取答题选手，按照以下随机数表，从下方带点的数字2开始向右读，每次读取两位数，一行用完接下一行左端，求抽取的第6个观众的编号. 1622779439   4954435482 1737932378    8735209643 8426349164 8442175331   5724550688 7704744767    2176335025    83921206761 (2)某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50人，其平均年龄为38岁，方差为2，高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该学校教师年龄的平均数和方差. 变式12-3．(23-24高一上·浙江台州玉环楚门中学·)为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示． 大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表 一周诗词诵背数量 3首 4首 5首 6首 7首 8首 人数 10 10 15 40 25 20 请根据调查的信息分析： (1)活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为______． (2)估计大赛结束后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数； (3)选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果． 类型十三、用样本估计总体 例13． (25-26高一上·河北邯郸武安第六中学、第十中学·)某社区组织了以“奔向幸福，‘毽’步如飞”为主题的踢毽子比赛活动，初赛结束后有甲、乙两个代表队进入决赛，已知每队有5名队员，按团体总数排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀.下表是两队各队员的比赛成绩. 1号 2号 3号 4号 5号 总数 甲队 103 102 98 100 97 500 乙队 97 99 100 96 108 500 经统计发现两队5名队员踢毽子的总个数相等，按照比赛规则，两队获得并列第一. 学习统计知识后，我们可以通过考查数据中的其它信息作为参考，进行综合评定： (1)甲、乙两队的优秀率分别为_____________、________________； (2)甲队比赛数据的中位数为___________个；乙队比赛数据的中位数为__________个； (3)分别计算甲、乙两队比赛数据的方差； (4)根据以上信息，你认为综合评定哪一个队的成绩好？简述理由. 变式13-1．(24-25高一下·广东东莞·期末)某班级举办“以赛促学，挑战自我”数学竞赛活动，活动后将参赛的40名学生成绩分成5组：①，②，③，④，⑤．通过统计分析，得到如图所示的频率分布直方图，已知①组、②组的频率之和为，①组和⑤组的频率相同． (1)估计此次考试成绩的众数、平均数； (2)已知②组学生成绩的平均数和方差分别为64和50，④组学生成绩的平均数和方差分别为84和70，据此计算②组和④组所有学生成绩的方差． 参考公式：，其中为总样本平均数． 变式13-2．某教育局组织一地区的小学、初中、高中三个学段的学生参加“防溺水”网络知识问答，并按学段人数比例分层随机抽样，从中抽取220名学生，对其分数进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中a的值，并估计该地区所有学生知识问答分数的众数； (2)分数位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的最低分数； (3)教育局的工作人员在此次问答分数中抽取了10名同学的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，方差，若剔除其中的最高分98和最低分86，求剩余8个分数的平均数与方差． 参考数据：，，． 变式13-3．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期末)某高校体检随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间[160，165]，[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示． (1)求和频率分布直方图中身高在175cm及以下的学生人数； (2)估计该校100名学生身高的下四分位数（结果保留到个位数）． (3)已知落在区间[170，175）的样本平均数是173，方差是8，落在区间[175，180）的样本平均数是178，方差是6，求两组样本成绩合并后的平均数和方差． 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：记总的样本平均数为，样本方差为，则． 压轴专练 一、单选题 1．一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行，老师在黑板上写出2，3，4，…，2026，共2025个正整数，然后裁判随意擦去一个数，接下来由乙、甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去．若最后剩下的两个数为互质数（公因数只有1的两个非零自然数叫作互质数，如2和3是互质数，9和10是互质数），则判甲胜；否则判乙胜．按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·湖北武汉第二中学·月考)已知某比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为，平均数为，随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为，平均数为，对新数据和原数据，下面说法正确的是（ ） A．两组数据的极差不可能相等 B．两组数据的中位数不可能相等 C．若，则两组数据的方差不可能相等 D．若，两组数据的第百分位数可能相等 3．甲、乙两个人玩一种游戏，他们在两张纸上各写一个数字，分别记为，其中必须是集合中的元素，如果满足，我们就称两人是“友好对”．现在任意找两人玩这种游戏，则他们是“友好对”的概率为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·山东潍坊寿光第一中学·期末)一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外无差异.不放回地取两次，每次取出一个.事件“两次取出球的标号为1和4”，事件“第二次取出球的标号为4”，事件“两次取出球的标号之和为5”，则（   ） A． B． C．事件与互斥 D．事件与相互独立 5．(24-25高一下·北京通州区·期末)已知一组样本数据16，，14，15，13的平均数为15，则该组样本数据的方差为（    ） A．2.0 B．2.1 C．2.2 D．2.4 6．(24-25高一下·新疆哈密部分学校·期末)在一次随机试验中，三个事件A，B，C发生的概率分别是0.4，0.5，0.6，则下列选项正确的是（    ） A．是必然事件 B．与是互斥事件 C． D． 7．(24-25高一下·山东青岛第二中学·期末)若，则为整数的概率为（   ） A． B． C． D． 8．(24-25高一下·湖南永州·期末)一个袋子中有2个红球，4个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.记事件A：第一次取到红球，事件B：第二次取到绿球，事件C：两次取到同色球，事件D：两次取到异色球，则（    ） A．A与B互斥 B．A与C相互独立 C．C与D互为对立事件 D．B与D相等 二、多选题 9．已知一组数据：12，31，24，33，22，35，45，25，16，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（    ） A．中位数不变 B．平均数不变 C．标准差不变 D．第三四分位数不变 10．2024年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一，奖牌榜第二的优异成绩．首金是由中国两名运动员（记为甲、乙）组成的组合在10米气步枪混合团体赛中获得，两人在决赛中14次射击环数如图，则（    ）    A．运动员甲的平均射击环数低于10.6 B．运动员乙射击环数的80%分位数和众数均为10.4 C．运动员甲射击环数的标准差小于运动员乙射击环数的标准差 D．运动员乙射击环数的极差小于运动员甲射击环数的极差 11．(24-25高一上·山东潍坊寿光第一中学·期末)下列说法正确的是（   ） A．已知数据的极差为6，方差为2，则数据，，…，的极差和方差分别为12，8 B．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C．，且 D．随机事件、，若，且，则、为互斥事件 三、填空题 12．已知某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费．某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为．现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．则这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为 ，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为 ． 13．(24-25高一下·湖南邵阳新邵县·期末)由甲、乙、丙、丁组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由其中一人猜一个成语，已知甲猜对乙未猜对的概率为，乙猜对丙未猜对的概率为，丙猜对丁未猜对的概率为，甲、丁都猜对的概率为，在每轮活动中，四人猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙、丙都猜对的概率是 . 14．(24-25高一下·天津四校·期末)2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，为激发民众的爱国热情和民族自豪感，某地举办相关知识竞答活动.在决赛中，每轮活动由甲、乙各答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙在两轮活动中恰好答对一个问题的概率为 ；两人在两轮活动中共答对3个问题的概率为 . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01统计与概率 目录 专题01 统计与概率 类型一、事件类型的判断 类型二、样本空间与样本点 类型三、事件的包含关系与运算 类型四、古典概型 类型五、互斥事件与对立事件 类型六、概率的性质 类型七、相互独立事件 类型八、相互独立事件的概率 类型九、概率综合解答题 类型十、 随机抽样与分层抽样 类型十一、数据的数字特征 类型十二、统计图 类型十三、用样本估计总体 压轴专练 类型一、事件类型的判断 事件类型：确定事件和随机事件 例1．(24-25高一下·安徽六安善新高级中学·期末)给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据必然事件，不可能事件和随机事件的定义逐个分析判断即可. 【详解】对于①，从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确. 故选：C 变式1-1．(23-24高二上·贵州凯里第三中学·期末)在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是（    ） A．3件都是正品 B．至少有2件是次品 C．3件都是次品 D．至少有1件是正品 【答案】D 【分析】根据必然事件的概念进行判断. 【详解】因为12件产品中，只有2件是次品，从中取3件，其中必定至少有1件是正品. 故选：D 变式1-2．(23-24高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·月考)对掷一粒骰子的试验，在概率论中把“出现零点”称为（　　） A．样本空间 B．必然事件 C．不可能事件 D．随机事件 【答案】C 【分析】列出试验中的样本点数，即可求解. 【详解】解：对掷一粒骰子的试验，出现的点数分别为：1，2，3，4，5，6， 所以在掷一枚骰子的试验中，出现零点是不可能事件， 故选：C． 变式1-3．（多选）下列事件是随机事件的是（    ） A．明天是阴天 B．方程有两个不相等的实数根 C．明年长江武汉段的最高水位是 D．一个三角形的大边对小角，小边对大角 【答案】AC 【分析】根据随机事件的定义分别判断即可． 【详解】对于A，明天的天气不一定阴天，不一定发生的是随机事件，故A合题意； 对于B，方程的判别式，所以方程有两个不相等的实根是不可能事件，故B不合题意； 对于C，明年长江武汉段的最高水位目前不能预测，所以是随机事件，故C合题意； 对于D，根据三角形中，大边对大角可知一个三角形中大边对小角，小边对大角是不可能事件，故D不合题意； 故选：AC． 类型二、样本空间与样本点 样本点:我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，用ω表示样本点; 样本空间:全体样本点的集合称为试验E的样本空间，用表示样本空间; 例2． (23-24高一下·山西太原·期末)投掷两枚质地均匀的硬币，用表示“第枚硬币正面朝上”，表示“第枚硬币反面朝上”，则该试验的样本空间 ． 【答案】 【分析】按照表示“第枚硬币正面朝上”， 表示“第枚硬币正面朝上”，表示“第枚硬币反面朝上” ，表示“第枚硬币反面朝上”写出即可． 【详解】事件空间： . 故答案为：. 变式2-1．将一枚骰子先后抛掷两次，试验的样本点用表示，其中表示第一次抛掷出现的点数，表示第二次抛掷出现的点数. (1)求样本空间中的样本点个数； (2)用集合表示事件“出现的点数之和大于8”. 【答案】(1)36 (2) 【分析】（1）方法一：根据题意列举出空间的样本点即可；方法二：根据题意，画树状图即可表示样本点；方法三：根据题意利用坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，样本点与所描述的点一一对应，即可表示样本点. （2）根据题意找到符合题意的样本点，即可求出集合. 【详解】（1）方法一（列举法）试验的样本空间 ，共36个样本点. 方法二（树状图法）一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示，如图所示． 由图可知，共36个样本点. 方法三（坐标系法）如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，样本点与所描述的点一一对应. 由图可知，样本点个数为36. （2）“出现的点数之和大于8”可用集合表示为 . 变式2-2．甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)． (1)写出这个游戏对应的样本空间； (2)写出这个游戏的样本点总数； (3)写出事件A：“甲赢”的集合表示； (4)说出事件{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}所表示的含义． 【答案】(1){(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)} (2)9 (3)事件{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)} (4)事件B表示“平局” 【分析】（1）根据题意结合样本空间的概念分析求解； （2）根据（1）即可得结果； （3）根据题意结合集合A的定义分析求解； （4）根据题意结合集合B的定义分析求解. 【详解】（1）由题意可知：样本空间为 {(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}. （2）由（1）可知：这个游戏的样本点总数为9. （3）由题意可知：事件{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}. （4）由题意可知：事件B表示“平局”. 变式2-3．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大贡献．哥德巴赫猜想是“任一大于2的偶数都可写成两个质数的和”，如32＝13＋19.在不超过32的质数中，随机选取两个不同的数． (1)求试验的样本空间包含的样本点总数； (2)用集合表示事件C＝“两数之和为30”． 【答案】(1)55个 (2)． 【分析】（1）利用列举法求得样本点点数； （2）直接写出事件C包含的样本点. 【详解】（1）不超过32的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，共11个，随机取两个不同的数，可分类如下： 取2， 共有10个样本点； 取3，共有9个样本点； 取5，共有8个样本点； …… 取29，共有1个样本点． 所以共有1＋2＋3＋…＋9＋10＝5×（10＋1）＝55（个）样本点． （2）. 类型三、事件的包含关系与运算 例3．(25-26高三上·贵州贵阳七校联盟·)打靶3次，记事件表示“共击中i发”，其中，那么表示（   ） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多击中1次” D．“至少击中2次” 【答案】C 【分析】根据题意用自然语言描述出事件，即可得. 【详解】由题意，表示共击中0次，表示共击中1次， 所以表示打靶3次，其中“至多击中1次”，或“击中不超过1次”. 故选：C 变式3-1．(24-25高一下·吉林吉林永吉实验高级中学等·期末)已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.7 【答案】D 【分析】根据对立事件与互斥事件的概率公式及概率的性质求解即可. 【详解】由和对立，可得，则， 又由随机事件和互斥可知， 所以. 故选：D． 变式3-2．(24-25高一下·广东深圳高级中学·期末)已知两个随机事件A和B，其中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为A和B是两个随机事件,所以由即可求出结果. 【详解】因为A和B是两个随机事件,所以 则 故选：D. 变式3-3．（多选）(23-24高一下·江西景德镇·期中)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件为“两次都击中飞机”，事件为“两次都没击中飞机”，事件为“恰有一次击中飞机”，事件为“至少有一次击中飞机”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据样本空间、事件的运算和含义即可判断. 【详解】因为样本空间两次都没击中飞机，第一次击中、第二次没中，第一次没中、第二次击中，两次都击中飞机； “恰有一次击中飞机”指第一次击中、第二次没中或第一次没中、第二次击中； “至少有一次击中飞机”包含三种情况：第一次击中、第二次没中，第一次没中、第二次击中，两次都击中飞机. 所以，，， 所以，，故选项A，B，C正确，D不正确． 故选：ABC. 类型四、古典概型 古典概型的特征:(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等 例4． (25-26高二上·四川德阳第五中学·月考)将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，则两次向上的点数之和除以4的余数为3的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率. 【详解】一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次的试验有36个样本点， 两次向上的点数之和除以4的余数为3的事件含有的样本点为： ，共10， 所以两次向上的点数之和除以4的余数为3的概率为. 故选：C 变式4-1．（多选）(25-26高一上·湖南衡阳衡阳县第三中学·月考)某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（   ） A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为 B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为 C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高 D．丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同 【答案】BD 【分析】A选项，列举得到共有4种情况，有3种情况满足要求，故能得2分的概率为；B选项，列举得到共有6种情况，有3种情况满足要求，能得4分的概率为；C选项，列举得到共有11种情况，有4种情况满足要求，故得分的概率为，由于，C错误；D选项，列举得到共有15种情况，能得2分的情况为A，B，D，能得4分的情况为AB，AD，BD，故得2分的概率与得4分的概率相同，D正确. 【详解】A选项，甲同学仅仅随机选择一个选项，共有4种情况，分别为A，B，C，D， 其中有3种情况满足要求，分别为A，B，D，故能得2分的概率为，A错误； B选项，乙同学仅随机选择两个选项，共有6种情况， 分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD，其中能得4分的情况有3种，为AB，AD，BD， 故乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为，B正确； C选项，丙同学可以选择两个选项，三个选项和四个选项，共有11种情况， 分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD， 其中得分的情况有4种，为AB，AD，BD，ABD，故得分的概率为， 由B可知，乙同学仅随机选择两个选项，能得分的概率为， ，故丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率低，C错误； D选项，丁同学选择至少一个选项，共有15种情况， 分别为A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD， 能得2分的情况为A，B，D，故能得2分的概率为， 能得4分的情况为AB，AD，BD，故能得4分的概率为， 丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同，D正确. 故选：BD 变式4-2．(25-26高三上·山东潍坊诸城第一中学·月考)已知一个正整数n，若能找到正整数a、b，使得，则称n为一个“好数”．现在从1到20这20个正整数中任取一个数，取到“好数”的概率为 【答案】/ 【分析】根据题意，变形为，得到只要是好数，则就是好数，结合列举法和古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由，可得， 所以只要是好数，则就是好数， 在以内的好数有：，共有12个， 所以取到好数的概率为. 故答案为：. 变式4-3．(25-26高一上·湖南长沙长郡中学·)在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字 这些球除了数字以外完全相同.现随机摸出一个小球，记下数字m，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为 . 【答案】 【分析】先列出m、n的所有可能的值，进而得到不经过第四象限的概率． 【详解】二次函数的图象不经过第四象限， 则对称轴且或顶点纵坐标， 即或， 由题意，两次摸球的数字组合可能有： ，共9种， 其中符合条件的组合有，共5种， 所以二次函数的图象不经过第四象限的概率为. 故答案为：. 类型五、互斥事件与对立事件 互斥事件与对立事件的定义及区别 互斥事件: 定义:若事件A与B满足 A∩B=∅，则表示两者不可能同时发生。特征:强调事件间的排斥性，如投掷骰子时"出现1点"和"出现2点"。 对立事件: 定义:既满足互斥条件(A∩B=∅)，又满足并集为全集(AUB=U） 示例:抛硬币时"正面朝上"与“反面朝上"构成对立事件 例5． (22-23高一下·北京延庆区·)先后两次掷一枚质地均匀的骰子，设事件两次掷出的点数之和是5，设事件第二次掷出的点数是偶数，设事件第一次掷出的点数是5，设事件至少出现一个奇数点，下列说法不正确的是（    ） A．与互斥 B． C．与对立 D．与相互独立 【答案】C 【分析】根据题设依次列举出对应事件，应用古典概型的概率求法求对应概率，结合互斥、对立、独立事件的定义和判定判断各项的正误. 【详解】若中依次表示第一、二次对应点数，所有情况有种， 由题意，事件的基本事件有，共4种， 事件的基本事件有 ，共18种， 所以有，共2种， 事件的基本事件有，共6种， 事件的基本事件有 ，共27种， 由上，与互斥，，A、B对， ，，，则，D对， 显然与不互斥，更不对立，C错. 故选：C 变式5-1．（多选）(25-26高二上·山东淄博淄川中学·月考)连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，记录这次实验的结果.设事件表示“次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件表示“次实验结果中，至多出现一次正面”，则下列结论正确的有  （   ）. A．若，则与互斥 B．若，则与不相互独立 C．若，则与不互斥 D．若，则与相互独立 【答案】BCD 【分析】依次写出和时样本总空间、事件的样本空间，以及利用古典概型求出相应的概率，再结合互斥事件和独立事件定义分析即可得解. 【详解】记抛掷一枚硬币正面向上为1，反面向上为0， 则连续抛掷一枚硬币两次的样本空间为， 此时事件的样本空间为，事件的样本空间为， 积事件的样本空间为， 所以事件交集不空，不互斥，且， 所以，故与不相互独立，故A错误，B正确； 连续抛掷一枚硬币3次的样本空间为共8个样本点， 此时事件的样本空间为共6个样本点， 事件的样本空间为共4个样本点， 积事件的样本空间为， 所以事件的交集不空，不互斥，且， 所以，故与相互独立，故CD正确； 故选：BCD 变式5-2．（多选）(25-26高二上·湖南长沙长郡中学·)设A，B为两个随机事件，以下命题正确的有（   ） A．若A，B是对立事件，则 B．若A，B是对立事件，则 C．若A，B是互斥事件，，，则 D．若A，B是互斥事件，，，则 【答案】BD 【分析】由对立事件的性质及概率的性质判断A、B；根据互斥事件的加法公式求判断C、D. 【详解】对于A，若A，B是对立事件，则， 则，， 于是，故A错，B对； 对于C，若A，B是互斥事件，，，则，C错； 对于D，若A，B是互斥事件，，，则，D对. 故选：BD 变式5-3．（多选）(24-25高一下·安徽六安毛坦厂中学教育集团·期末)已知A，B，C是一个随机试验中的三个事件，则下列结论一定正确的是（    ） A．若事件A，B，C两两互斥，则 B．若事件A，B，C相互独立，则与也相互独立 C．若，，则事件A，B相互独立与互斥能同时成立 D．若A，B，C两两独立，则 【答案】AB 【分析】由事件互斥即可对A判断求解；利用事件的独立可对B判断求解；利用独立与互斥的关系即可对C判断求解；通过举反例可对D判断求解. 【详解】A：若事件A，B，C两两互斥，则与C互斥，所以 ，所以A正确； B：若事件A，B相互独立，则，又，， 则 ，所以B正确； C：若A，B相互独立，则；若A，B互斥，则， 而，，所以事件A，B相互独立与A，B互斥不可能同时成立，故C错误； D：设样本空间含有4个等可能的样本点，且，，， 则 ，， 所以，，，即A，B，C两两独立， 但是，所以A，B，C两两独立时，不一定成立，故D错误. 故选：AB. 类型六 、概率的性质 例6． (24-25高一下·江苏淮安·期末)已知，，若，互斥，则（    ） A．0.36 B．0.54 C．0.6 D．0.9 【答案】D 【分析】根据，互斥，，求解即可. 【详解】因为，互斥，所以，， 故， 故选：D. 变式6-1．（多选）(24-25高一下·广东东莞·期末)已知随机事件与，若，则下列结论正确的有（   ） A． B．若与相互独立，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据对立事件、独立事件等概率公式求解后判断. 【详解】对A，，，A错； 对B，与相互独立，则，B正确； 对C，若，则，C正确； 对D，若，则，D正确， 故选：BCD. 变式6-2．（多选）(24-25高一下·河南三门峡·期末)已知，，则下列说法中正确的是（   ） A．若A，B互斥，则 B．若A，B互斥，则 C．若A，B独立，则 D．若A，B独立，则 【答案】ACD 【分析】根据事件互斥和独立的概率公式以及概率的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，，所以A正确； 对于B，若互斥，则，所以B错误； 对于C，若独立，则， 所以，C正确； 对于D，，D正确， 故选：ACD. 变式6-3．（多选）(24-25高一下·安徽六安第二中学·期末)已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（   ） A．若事件A，B互斥，则 B．若事件A，B相互独立，则A，B不互斥 C．若，则事件A，B相互独立 D．若事件A，B相互独立，则事件A，B至少有一个发生的概率为 【答案】ABC 【分析】利用互斥事件概率的加法公式计算可判断A；利用独立事件与互斥事件的定义可判断B；利用独立事件的定义计算可判断C；利用对立事件概率的性质计算可判断D. 【详解】对于A，若事件A，B互斥，则，故A正确； 对于B，若事件A，B相互独立，则， 所以事件A，B能同时发生，故A，B不互斥，故B正确； 对于C，由于，所以，而. 因此事件，B相互独立，从而事件A，B相互独立，故C正确； 对于D，“事件A，B至少有一个发生”的对立事件为“事件A，B都不发生”，即“事件”， 又因为事件A，B相互独立， 所以事件A，B至少有一个发生的概率，故D不正确. 故选：ABC. 类型七、相互独立事件 判断事件是否相互独立的方法 (1)定义法:若事件A的发生对事件B的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的(2)公式法:若对两事件A，B有P(AB)=P(A)P(B)，则事件A，B相互独立: 例7．（多选）(24-25高一下·河南新乡·期末)连续抛掷一枚硬币两次，事件表示“第一次硬币正面朝上”，事件表示“第二次硬币反面朝上”，事件表示“两次硬币都正面朝上”，事件表示“两次硬币朝上的情况不同”，则（  ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】BD 【分析】借助相互独立事件的定义逐项验证即可得. 【详解】，，，， 对A：，， 故与不相互独立，故A错误； 对B：，，有， 故与相互独立，故B正确； 对C：， 故与不相互独立，故C错误； 对D：，，有，’ 故与相互独立，故D正确； 故选：BD. 变式7-1．（多选）(24-25高一上·河北保定唐县第一中学·期末)下列命题正确的是（    ） A．若事件，，两两独立，则成立. B．若事件，，两两互斥，则成立 C．若事件，相互独立，则与也相互独立. D．若，，则事件，相互独立与，互斥可以同时成立. 【答案】BC 【分析】利用互斥事件的概率公式可判断选项A；举反例判断选项B；利用事件相互独立的判定公式判断选项C，利用事件的独立性质和互斥判断选项D. 【详解】对于A选项，考虑投掷两个骰子，记事件：第一个骰子的点数为奇数，事件：第二个骰子点数为奇数，事件：两个骰子的点数之和为奇数，于是有， 可以看出事件，，两两独立，但不互相独立，所以，因此A错误； 对于B，若事件，，两两互斥，则，与互斥， 所以，因此B正确； 对于C，若事件，相互独立，则， 又，，则，因此C正确； 对于D，若，，事件相互独立， 则，若互斥，，则，因此D不正确. 故选：BC. 变式7-2．(24-25高一下·山东济南·期末)袋中有5个大小质地完全相同的小球，其中白球编号为1，2，红球编号为3，4，5．从中有放回地依次随机摸出两个小球． (1)求至少一个是白球的概率； (2)设事件A为“第一次是白球”，事件B为“两个小球的编号之和为6”，判断A与B是否相互独立，并说明理由． 【答案】(1) (2)A与B是相互独立的，理由见解析 【分析】（1）由对立事件概率公式、独立乘法公式即可求解； （2）由古典概型概率计算公式和独立事件的定义求解即可. 【详解】（1）由于有放回地依次随机摸出两个小球，所以每次摸球的结果互相独立， 故至少一个是白球的概率为； （2）因为事件A为“第一次是白球”， 事件B为“两个小球的编号之和为6”，即为 所以事件为“第一次编号为1且第二次编号为5”或者“第一次编号为2且第二次编号为4”， 所以， 注意到， 所以， 而， 从而， 所以A与B是相互独立的. 变式7-3．(24-25高一下·广东汕头潮南区·期末)一个箱子里有6个大小颜色相同的小球，编号为，从中有放回地抽取2次（每次取1个球）.设事件：“第一次取出的球的号码大于3”，事件：“两次取出的球的号码之和为偶数”. (1)求事件的概率； (2)判断事件与事件是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1) (2)事件与事件相互独立. 【分析】（1）根据题意求出样本空间以及事件的样本点，利用古典概型公式即可求解； （2）先求事件与事件的样本点，进而求，根据事件的独立性的定义即可求解. 【详解】（1）由题意有：设表示第一次取得小球号码，表示第二次取得小球号码，表示2次取得小球号码， 则共有36个样本点，共有18个样本点， 所以； （2） 共有18个样本点， 共有个样本点， 所以，，所以， 所以事件与事件相互独立. 类型八、相互独立事件的概率 例8． (24-25高一下·广东广州五校（实、执信、广雅、二中、六中）·期末)甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，并约定规则如下：在每个回合中，若发球方赢球，则得1分，并且下一回合继续由其发球；若发球方输球，则双方均不得分，且下一回合交换发球权；比赛持续三回合后结束，若最终甲乙得分相同，则为平局.已知在每回合中，甲获胜的概率均为 ，各回合比赛结果相互独立，第一回合由甲发球.则甲乙两人在比赛中平局的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，把所求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用概率的加法公式和乘法公式列式求解. 【详解】设“第回合甲胜”，则，设事件“甲乙两人平局”， 依题意，甲乙两人在比赛中平局只有与两种情况，即， 因此 . 故选：D 变式8-1．(25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔第八中学校·月考)某中学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的概率依次为，m，n，且他是否通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则 . 【答案】/0.7 【分析】根据给定条件，利用独立事件同时发生的概率公式及对立事件的概率，列式求解. 【详解】由至少通过一个社团考核的概率为，得三个社团都没有通过的概率为， 依题意，，则，所以. 故答案为： 变式8-2．(25-26高二上·湖北楚天协作体·月考)在一次机器狗搜索演习中，只机器狗组成一个搜索小队，每只机器狗独立发现特定目标的概率均为，且互不影响.若搜索小队中至少有一只机器狗发现目标，则搜索任务成功.要使搜索任务成功的概率超过，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】应用对立事件的概率求法及独立乘法公式可得搜索小队中至少有一只机器狗发现目标的概率为，再由求的范围，即可得. 【详解】由题设，每只机器狗不能发现目标的概率为， 所以搜索小队中至少有一只机器狗发现目标的概率为， 令，则，而， 所以，故的最小值是4. 故答案为：4 变式8-3．(24-25高一下·湖南长沙宁乡·期末)设样本空间含有等可能的样本点，若事件是的子集，且互相独立，其中 则= . 【答案】 【分析】先计算，而互相独立，得，再由进行求解． 【详解】因为，所以， 而互相独立，得， 则， 故答案为： 类型九、概率综合解答题 例9． (25-26高一上·湖南衡阳衡阳县第三中学·月考)在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，同一组中数据用该组区间中间值作代表值． (1)60分以下的成绩视为不及格，求不及格的考生人数； (2)求该组数据的众数和第一四分位数； (3)在本次测试分数为，的考生中，使用分层随机抽样的办法从中抽取5人，再从这5人中随机挑选3人，求恰好有一名学生分数在区间的概率． 【答案】(1) (2)众数为；第一四分位数为 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图读取分以下学生的频率，进而求解不及格的考生人数； （2）根据众数与百分位数的定义计算即可； （3）借助分层抽样的性质得到分数为，的考生抽取的人数，进而借助古典概率进行求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，成绩在分以下的考生的频率为， 因此可得：不及格的考生人数为：人. （2）由频率分布直方图可知，成绩处于的考生人数最多，故该组数据的众数为； 设该组数据的第一四分位数为， 由于前两组的频率和为， 前三组的频率和为， 故数据的第一四分位数位于之间， 因此可得：，解得： 即数据的第一四分位数为. （3）根据分层抽样，由，， 可得：抽取的5名考生中有名成绩位于中，这3名考生分别为，，； 抽取的5名考生中有名成绩位于中，这2名考生分别为，； 则从这人中随机挑选人的不同情况有：、、、、、、、、、，共种情况. 其中恰有一名学生分数在区间的情况有：、、、、、，共6种情况. 故恰好有一名学生分数在区间的概率为. 变式9-1．某市在旅游旺季时，为应对景区可能出现人流量过大的情况，规定：当人流量达到景区最大承载量的80%时，将对该景区采取局部限流措施；当人流量达到景区最大承载量的100%时，将对该景区采取完全限流措施．小明计划假期去该市甲、乙、丙三个旅游景区旅行，他调查了甲、乙、丙三个旅游景区在去年同期30天的限流措施情况，见下表：          景区限流情况累计天数 不限流 局部限流 完全限流 甲景区累计天数 21 7 2 乙景区累计天数 18 4 8 丙景区累计天数 15 9 6 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三个景区限流情况相互独立． (1)小明某天到甲景区旅游，估计小明遇到完全限流的概率． (2)小明任选两天，分别到乙、丙两景区游览，估计小明在两个景区至少遇到一次限流（包括局部限流和完全限流）的概率． (3)小明计划在一天内从甲、乙、丙三个景区中选择两个景区，并分别在上午和下午游览．若存在以下两种情况之一，则不能完成游览： （ⅰ）在上午的游览中遇到局部限流，且在下午的游览中遇到完全限流； （ⅱ）在上午的游览中遇到完全限流． 请帮助小明制定游览计划，使他完成游览的概率最大． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）由表格中数据求出频率即可. （2）利用相互独立事件及对立事件的概率求解. （3）按上下午选择景区情况分类，利用相互独立事件及对立事件的概率求出概率并比较大小得解. 【详解】（1）由数表知，天中，甲景区完全限流的天数是2，所以小明遇到完全限流的概率为. （2）由数表知，乙景区不限流的概率为，丙景区不限流的概率为， 所以小明在两个景区至少遇到一次限流的概率 （3）若小明上午选甲景区，下午选乙景区能完成游览的概率； 若小明上午选甲景区，下午选丙景区能完成游览的概率； 若小明上午选乙景区，下午选甲景区能完成游览的概率； 若小明上午选乙景区，下午选丙景区能完成游览的概率； 若小明上午选丙景区，下午选甲景区能完成游览的概率； 若小明上午选丙景区，下午选乙景区能完成游览的概率， 而最大，即小明上午选甲景区，下午选丙景区能完成游览的概率最大. 变式9-2．抽取某车床生产的8个零件，编号为，，…，，测得其直径（单位：cm）分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间内的零件为一等品． (1)从上述非一等品的零件中，有放回地依次随机抽取2个，求至少包含一个直径为1.48的零件的概率； (2)从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一等品零件共有5个，非一等品有3个，直径分别为1.48，1.47，1.53，编号分别为，，，利用列举法可求至少包含一个直径为1.48的零件的概率； （2）等品零件的编号为，，，，，从这5个一等品零件中不放回地依次随机抽取2个，列举出样本空间以及符合条件的事件的样本点，从而可得答案. 【详解】（1）由所给数据可知，一等品零件共有5个，非一等品有3个，直径分别为1.48，1.47，1.53，编号分别为，，， 则从中随机有放回地依次抽取2个，样本空间，共9个样本点， 其中不包含的有4个样本点，故至少包含一个直径为1.48的零件的概率为 ． （2）一等品零件的编号为，，，，，从这5个一等品零件中不放回地依次随机抽取2个，样本空间 ，共20个样本点． 设“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”为事件B，则，共8个样本点． 所以 ． 变式9-3．(24-25高一下·广东清远·期末)某校数学建模社团招聘社长职位分笔试与面试两个环节，在笔试中有两轮答题：第一轮从类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分.若两轮总分不低于60分则进入面试环节.小红和小明参加此次招聘活动，已知小红对类每个问题的答对的概率均为0.5.在类的5个问题中，小明只能答对4个问题，在类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响. (1)求小明在第一轮得40分的概率； (2)求小红两轮总分得60分的概率； (3)试判断小红和小明谁更有机会进入面试环节？ 【答案】(1) (2) (3)小明谁更有机会进入面试环节. 【分析】（1）对A类的5个问题进行编号：，设小明只能答对4个问题的编号为：，列出所有的样本空间，即可求出小明在第一类得40分的概率； （2）小红两轮总分得60分，只能有两种得分情况：小红第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分或当小红第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分，求对应事件的概率再求和即可得解. （3）依题意能够晋级复赛，则第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分；或第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答对一题得分，第二轮答对两题得分；分别求出小红和小明晋级复赛的概率，进行比较得出结论. 【详解】（1）对A类的5个问题进行编号：，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答， 则有共种， 设小明只能答对4个问题的编号为：， 则小明在第一轮得40分，有共种， 则小明在第一轮得40分的概率为：； （2）设“小红两轮总分得60分”为事件，“小红第一轮答错一题得分， 第二轮答对两题得分”为事件;“小红当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分”. 则, ; . （3）由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为， 则小明在第一轮得0分的概率为：， 依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分 当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时， 小红和小明晋级复赛的概率分别为： ； ； 当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时， 小红和小明晋级复赛的概率分别为： ；； 当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时， 小红和小明晋级复赛的概率分别为： ；； 当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时， 小红晋级复赛的概率分别为： ； 小红晋级复赛的概率为：； 小明晋级复赛的概率为：； ， 小明更有机会进入面试环节. 类型十、随机抽样与分成抽样 ①定义:在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样. ②应用范围:当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样注意:分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比 例10． (24-25高一下·福建福州福九联盟·期末)用抽签法从学号为1到50的50名学生（其中含学生李华）中不放回抽取5名学生进行问卷调查，每次抽取一个号码，共抽取5次，设李华第一次被抽到的概率为，第五次被抽到的概率为，则（    ） A．a = ， B．a = ， C．a = ， D．a = ， 【答案】B 【分析】由题意结合简单随机抽样的特征即可确定实数，的值. 【详解】由简单随机抽样的定义知，每个个体在每次抽取中都有相同的可能性被抽到， 因为每次抽取一个号码，所以李华第一次被抽到的可能性为， 第五次被抽到的可能性为. 即李华同学在每次抽样中被抽到的可能性都是，所以，. 故选：B. 变式10-1．为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中型血、型血、型血、型血的人数比为，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中型血的人数比型血的人数多，则 . 【答案】 【分析】计算出样本中型血、型血的人数，结合题意可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为感染人群中型血、型血、型血、型血的人数比为， 所以，抽取样本量为的样本中，型血的人数为， 型血的人数为， 所以，，解得. 故答案为：. 变式10-2．(22-23高一下·新疆喀什·期末)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200、400、300、100件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法，从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从甲种型号的产品抽取 件. 【答案】12 【分析】利用分层抽样的定义直接求解即可. 【详解】由题意知分层比为，且总抽量为件 故甲产品应抽件 故答案为：12 变式10-3．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样调查，先将650名学生进行编号：001，002，…，649，650．从中抽取50个样本，下面提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是 ． 32 21 18 34 29  78 64 54 07 32  52 42 06 44 38  12 23 43 56 77  35 78 90 56 42 84 42 12 53 31  34 57 86 07 36  25 30 07 32 86  23 45 78 89 07  23 68 96 08 24 32 56 78 08 43  67 89 53 55 77  34 89 94 83 75  22 53 55 78 32  45 77 89 23 45 【答案】623 【分析】根据随机表数据的读取方法确定前6个编号，即可得. 【详解】按照随机数表的数据，三位一组进行读数，只取001到650内的数，重复的数只取一次． 从第5行第6列开始向右读取数据， 第一个数是253， 第二个数是313， 第三个数是457， 下一个数是860，不符合， 下一个数是736，不符合， 下一个数是253，重复，不符合， 第四个数是007， 第五个数是328， 第六个数是623． 故答案为：623 类型十一、数据的数字特征 四分位数： 即把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值就是四分位数其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等 例11． (24-25高一下·贵州遵义航天高级中学·月考)已知样本容量为5的样本平均数为3，方差为，将数据9加入原样本得到样本容量为6的新样本，若新样本的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设原样本为，，，，，根据平均数和方差的计算公式，可得，，再利用公式计算新样本的平均数和方差即可. 【详解】设原样本为，，，，， 则：， . 所以， . 故选：B 变式11-1．一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（    ） A．极差 B．中位数 C．平均数 D．众数 【答案】C 【分析】根据极差、中位数、平均数、众数的定义，结合题设、特例和各项描述依次分析其正误. 【详解】A，由题意，去掉一个最大值后，剩下的数据中可能有数据等于原来的最大值，此时极差不变，A错误； B，中位数不一定改变，如原数据为1，2，2，3，中位数为2，去掉3后，数据为1，2，2，中位数还是2，B错误； C，设原平均数为 ， 假设去掉最大值后平均数不变，则， 所以，解得， 由原数据不全相等，可得，矛盾， 所以平均数一定改变，C正确； D，众数不一定改变，如数据为2，2，3，4，众数为2，去掉4后，众数仍为2，D错误． 故选：C 变式11-2．已知甲、乙两名同学在高二的6次数学周测的成绩（单位：分）统计如图，则下列说法不正确的是（    ） A．甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数 B．若甲、乙成绩的平均数分别为，，则 C．甲成绩的极差小于乙成绩的极差 D．甲成绩比乙成绩稳定 【答案】A 【分析】由折线图甲乙同学成绩的分布情况结合统计相关知识即可作出判断. 【详解】对于A：由折线图可知，甲的中位数大于90，乙同学的中位数小于90， 所以甲的中位数大于乙的中位数，故A错误； 对于B，由折线图可知，甲同学的平均成绩高于乙同学的平均成绩，B正确； 对于C，由折线图可知，甲成绩的极差小于乙成绩的极差，C正确； 对于D，由折线图可知，甲成绩波动性小于乙成绩的波动性， 所以甲成绩比乙成绩稳定，D正确. 故选：A. 变式11-3．(25-26高三上·陕西商洛镇安中学·模拟)已知一组数据按从小到大的顺序排列为，若该组数据的第60百分位数与这组数据的中位数相等，则实数的值为 . 【答案】6 【分析】计算出这组数据的第60百分位数和中位数，根据题意可得答案. 【详解】因为，所以这组数据的第60百分位数是， 又这组数据的中位数为，所以，得. 所以实数的值为6. 故答案为：6. 类型十二、统计图 例12．（多选）(24-25高一下·广东河源·)2025年4月23日，在第四届全民阅读大会上正式发布了2024年度中国数字阅读报告.统计了我国近五年数字阅读用户规模和网民规模数据，如图所示，则（    ） A．2024年，我国数字阅读用户规模占网民规模的五成以上 B．近五年，我国数字阅读用户规模的增长量比网民规模的增长量大 C．从2020年至2024年，我国数字阅读用户规模逐年递增 D．从2020年至2024年，我国网民规模的增长率逐年递增 【答案】ABC 【分析】根据条形图，逐项判断即可. 【详解】对于A，根据条形图，2024年，我国数字阅读用户规模为6.7亿，网民规模为11.1亿，数字阅读用户规模约占网民规模的，故A正确； 对于B，近五年，我国数字阅读用户规模的增长量为亿，网民规模的增长量为亿， 数字阅读用户规模的增长量大于网民规模的增长量，故B正确； 对于C，根据条形图，可以看出，从2020年至2024年，我国数字阅读用户规模在逐年递增，故C正确； 对于D，根据条形图，从2020年至2021年，我国网民规模的增长率为， 从2023年至2024年，我国网民规模的增长率为，增长率减小了，故D错误. 故选：ABC. 变式12-1．(24-25高一下·山东聊城·期末)某校高一年级为了解学生近期的数学学习情况，组织了一次数学阶段测试.从所有学生的数学成绩中随机抽取400名学生的数学成绩作为样本，整理数据并分成，，，，，这6组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值，并估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数（四舍五入取整数）； (2)从所抽取的数学成绩在，内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样抽取n名学生，若这n名学生数学成绩的平均数为126分，方差为50，且这n名学生中数学成绩在内的只有1名，其数学成绩为136分，求这n名学生中数学成绩在内的学生数学成绩的平均数与方差. 【答案】(1)，中位数为99分， (2)平均数为124分，方差为36 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，再确定中位数所在区间，列式求解. （2）求出，利用分层抽样平均数、方差公式列式求解. 【详解】（1）由频率分布直方图知，，解得； 由，， 得这400名学生数学成绩的中位数，由，得， 所以估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数为99分. （2）依题意，，解得， 设这6名学生的数学成绩分别为，，，，，136， 由这6名学生的数学成绩的平均数为126分，得， 解得，因此； 设，，，，的方差为，由这6名学生的数学成绩的方差为50， 得，解得， 所以所求学生数学成绩的平均数为124分，方差为36. 变式12-2．(24-25高一下·山东烟台栖霞第一中学·月考)某电视台有一档益智答题类综艺节目，每期节目从现场编号为01～80的80名观众中随机抽取10人答题.答题选手要从“科技”和“文艺”两类题目中选一类作答，一共回答10个问题，答对1题得1分. (1)若采用随机数表法抽取答题选手，按照以下随机数表，从下方带点的数字2开始向右读，每次读取两位数，一行用完接下一行左端，求抽取的第6个观众的编号. 1622779439   4954435482 1737932378    8735209643 8426349164 8442175331   5724550688 7704744767    2176335025    83921206761 (2)某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50人，其平均年龄为38岁，方差为2，高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该学校教师年龄的平均数和方差. 【答案】(1) (2)平均数为，方差为 【分析】（1）根据随机数表中数字的读取方法，得到读取的数字，即可得到答案； （2）设中级职称教师的人数年龄的平均数为，方差为，可得，，再设中级职称教师的人数年龄的平均数为，方差为，求得，，结合分层抽样方差的计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，结合随机数表中数字的读取方法， 可得读取的数字编号依次为：， 所以抽取的第6个观众的编号为. （2）解：设中级职称教师的人数年龄的平均数为，方差为，可得，， 设中级职称教师的人数年龄的平均数为，方差为， 因为高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38岁， 可得， ， 则该学校教师年龄的平均数（岁）， 方差为. 变式12-3．(23-24高一上·浙江台州玉环楚门中学·)为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示． 大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表 一周诗词诵背数量 3首 4首 5首 6首 7首 8首 人数 10 10 15 40 25 20 请根据调查的信息分析： (1)活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为______． (2)估计大赛结束后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数； (3)选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据统计图表中的数据可以求得这组数据的中位数，得到答案； （2）根据表格中的数据，结合样本估计总体的知识分析，即可求解； （3）根据统计图表和表格中的数据，可以分别计算得出比赛前后的中位数和平均数，进而得到结论. 【详解】（1）解：本次调查的学生有：（名）， 背诵4首的有：（人）， 把这些数据从小到大排列，中位数第60和61个数的平均数， 所以这组数据的中位数为（首）. （2）解：根据题意，可得（人）， 即估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的有850人. （3）解：活动启动之初一周诗词诵背数量的中位数为， 平均数为（首） 大赛比赛后一个月时一周诗词诵背数量的中位数为6首， 平均数为（首）， 由此，比赛前后的中位数和平均数看，学生在大赛之后“一周诗词诵背数量”都好于活动之初，根据样本估计总体，说明这次活动效果明显. 类型十三、用样本估计总体 例13． (25-26高一上·河北邯郸武安第六中学、第十中学·)某社区组织了以“奔向幸福，‘毽’步如飞”为主题的踢毽子比赛活动，初赛结束后有甲、乙两个代表队进入决赛，已知每队有5名队员，按团体总数排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀.下表是两队各队员的比赛成绩. 1号 2号 3号 4号 5号 总数 甲队 103 102 98 100 97 500 乙队 97 99 100 96 108 500 经统计发现两队5名队员踢毽子的总个数相等，按照比赛规则，两队获得并列第一. 学习统计知识后，我们可以通过考查数据中的其它信息作为参考，进行综合评定： (1)甲、乙两队的优秀率分别为_____________、________________； (2)甲队比赛数据的中位数为___________个；乙队比赛数据的中位数为__________个； (3)分别计算甲、乙两队比赛数据的方差； (4)根据以上信息，你认为综合评定哪一个队的成绩好？简述理由. 【答案】(1)60%，40%； (2)100；99； (3)；18 (4)甲队的成绩好，理由见解析 【分析】（1）根据甲队和乙队每人踢100个以上(含100)的人数，除以总人数，即可求出甲乙两队的优秀率； （2）根据中位数的定义先把数据从小到大排列，找出最中间的数即可； （3）根据平均数的计算公式先求出甲和乙的平均数，再根据方差公式进行计算即可； （4）分别从甲和乙的优秀率、中位数、方差，进行比较，即可得出答案. 【详解】（1）甲队的优秀率为：， 乙队的优秀率为：. 故答案为：；. （2）甲队5名队员比赛成绩按从小到大的顺序排列为：97，98，100，102，103， 所以甲队比赛数据的中位数为100； 乙队5名队员比赛成绩按从小到大的顺序排列为：96，97，99，100，108， 所以乙队比赛数据的中位数为99. 故答案为：100；99. （3）甲、乙两队比赛数据的平均数均为（个） . . （4）综合评定甲队的成绩好，理由如下： 因为甲队的优秀率比乙队高；甲队的中位数比乙队大；甲队的方差比乙队低，比较稳定，综合评定甲队比较好. 变式13-1．(24-25高一下·广东东莞·期末)某班级举办“以赛促学，挑战自我”数学竞赛活动，活动后将参赛的40名学生成绩分成5组：①，②，③，④，⑤．通过统计分析，得到如图所示的频率分布直方图，已知①组、②组的频率之和为，①组和⑤组的频率相同． (1)估计此次考试成绩的众数、平均数； (2)已知②组学生成绩的平均数和方差分别为64和50，④组学生成绩的平均数和方差分别为84和70，据此计算②组和④组所有学生成绩的方差． 参考公式：，其中为总样本平均数． 【答案】(1)众数的估计值为75，平均数的估计值为73 (2)②组和④组所有学生成绩的方差为140． 【分析】（1）根据频率分布直方图众数及平均数定义计算求解； （2）应用分层抽样平均数及方差公式计算求解即可. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以考试成绩的众数的估计值为75， 平均数的估计值为． （2）记②组、④组的平均数与方差分别为， 则，由题意得②组、④组分别有14人、6人， 所以②组、④组学生成绩的平均数为， 所以②组、④组学生成绩的方差为 ， 所以②组和④组所有学生成绩的方差为140． 变式13-2．某教育局组织一地区的小学、初中、高中三个学段的学生参加“防溺水”网络知识问答，并按学段人数比例分层随机抽样，从中抽取220名学生，对其分数进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中a的值，并估计该地区所有学生知识问答分数的众数； (2)分数位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的最低分数； (3)教育局的工作人员在此次问答分数中抽取了10名同学的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，方差，若剔除其中的最高分98和最低分86，求剩余8个分数的平均数与方差． 参考数据：，，． 【答案】(1)，众数约为75分 (2)88分． (3)89.5，21． 【分析】（1）利用频率之和为1列方程求解；根据最高矩形横坐标的中点可确定众数； （2）利用频率分布直方图求90百分位数即可； （3）根据平均数及方差的计算公式计算即可得解. 【详解】（1）由， 解得． 由题图可知，众数为75， 用样本估计总体，知该地区所有学生知识问答分数的众数约为75分． （2）前4组的频率之和为， 前5组的频率之和为， 故90%分位数落在第5组，设为x，则，解得， 即“防溺水达人”的最低分数为88分． （3）由题意，剩余8个分数的平均数为． 因为这10个分数的方差， 所以， 所以剩余8个分数的方差 . 即剩余8个分数的平均数与方差分别为89.5，21． 变式13-3．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期末)某高校体检随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间[160，165]，[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示． (1)求和频率分布直方图中身高在175cm及以下的学生人数； (2)估计该校100名学生身高的下四分位数（结果保留到个位数）． (3)已知落在区间[170，175）的样本平均数是173，方差是8，落在区间[175，180）的样本平均数是178，方差是6，求两组样本成绩合并后的平均数和方差． 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：记总的样本平均数为，样本方差为，则． 【答案】(1)；人 (2) (3)； 【分析】（1）利用频率分布直方图中长方形面积之和为1，易求出，进而利用频率分布直方图可求身高在175cm及以下的学生人数； （2）根据下四分位数概念结合频率分布直方图计算即可； （3）根据平均数公式计算可得，根据题中给的参考公式代入数据计算可得. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得， 身高在175cm及以下的学生人数（人）. （2）的人数占比为，的人数占比为， 所以该校100名学生身高的下四分位数即分位数落在， 设该校100名学生身高的分位数为， 则，解得， 故该校100名生学身高的下四分位数约为168. （3）由频率分布直方图知， 这100名学生的身高在的有， 身高在的有人， 所以， ， 所以两组样本成绩合并后的平均数为，方差为． 压轴专练 一、单选题 1．一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行，老师在黑板上写出2，3，4，…，2026，共2025个正整数，然后裁判随意擦去一个数，接下来由乙、甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去．若最后剩下的两个数为互质数（公因数只有1的两个非零自然数叫作互质数，如2和3是互质数，9和10是互质数），则判甲胜；否则判乙胜．按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据裁判擦去的是奇数还是偶数分类考虑，分析得出若擦去的是奇数，则乙一定获胜；若擦去的是偶数，则甲一定获胜，由此根据古典概型概率公式计算即得． 【详解】由于甲、乙都非常聪明，所以他们获胜的关键要看裁判擦去哪个数． 注意2，3，4，…，2026中有1012个奇数，1013个偶数． 若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜．理由如下： 乙不管甲擦去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后剩下两个数一定都是偶数， 从而所剩两数不是互质数，故乙胜． 若裁判擦去的是偶数，则甲一定获胜．理由如下： 设裁判擦去的是2m，则将余下的数配成1012对，每对数由一奇一偶的相邻两数组成， 如，，…，，，…，， 这样，不管乙擦去什么数，甲只要擦去所配对中的另一个数，最后剩下两个相邻的整数，它们为互质数， 故甲必获胜．所以甲获胜的概率为裁判擦去的是偶数的概率，即为． 故选：C 2．(24-25高一下·湖北武汉第二中学·月考)已知某比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为，平均数为，随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为，平均数为，对新数据和原数据，下面说法正确的是（ ） A．两组数据的极差不可能相等 B．两组数据的中位数不可能相等 C．若，则两组数据的方差不可能相等 D．若，两组数据的第百分位数可能相等 【答案】C 【分析】根据极差、中位数、方差、百分位数的求法，通过举反例或对计算公式、所得数据的分析判断各项的正误. 【详解】A，若随机删去任一轮的成绩，恰好不是最高成绩和最低成绩，此时新数据的极差等于原数据的极差，A错误； B，不妨设，当时，若随机删去的成绩是，此时新数据的中位数等于原数据的中位数，B错误； C，若，即删去的数据恰为平均数，根据方差的计算公式，分子不变，分母变小，此时方差会变大，C正确 D，在按从小到大的顺序排列的个数据中， 此时原数据的分位数为第三个数和第四个数的平均数，即， 删去一个数据后的个数据，按从小到大的顺序排列，可得， 此时新数据的分位数为第三个数，即或，而，则， 显然新数据的分位数不等于原数据的分位数，D错误． 故选：C 3．甲、乙两个人玩一种游戏，他们在两张纸上各写一个数字，分别记为，其中必须是集合中的元素，如果满足，我们就称两人是“友好对”．现在任意找两人玩这种游戏，则他们是“友好对”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型问题概率的计算公式，求出相应的事件和样本空间所对应的样本点个数即可，而事件所对应的样本点个数可以用列举法和树形图来求解． 【详解】解法1：样本空间的样本点个数为36，满足要求的样本点分别为：｛，，，，， ，，，，，，，，，，｝，共16个， 所以他们是“友好对”的概率为． 解法2：样本空间的样本点个数为36，当或时，满足条件的的取法各有2种； 当时，满足条件的的取法各有3种， 所以满足要求的样本点共有个，所以他们是“友好对”的概率为， 解法3：将两人各写一个数字的事件对应到网格线的交点个数，即， 由可得，因为， 所以由图可得落在直线或上的点共有16个，所以他们是“友好对”的概率为. 故选：D． 4．(24-25高一上·山东潍坊寿光第一中学·期末)一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外无差异.不放回地取两次，每次取出一个.事件“两次取出球的标号为1和4”，事件“第二次取出球的标号为4”，事件“两次取出球的标号之和为5”，则（   ） A． B． C．事件与互斥 D．事件与相互独立 【答案】D 【分析】利用古典概率公式分别计算，，，，再利用互斥事件的定义和相互独立事件的概率公式逐一判断四个选项即可得正确选项. 【详解】设采用不放回方式从中任意摸球两次，每次取出一个球， 全部的基本事件有：，共个， 事件发生包含的基本事件有：，有个，，A错误； 事件发生包含的基本事件有：，有3个，， 事件发生包含的基本事件：，有4个，， 事件发生包含的基本事件：有个，，B错误； 事件发生包含的基本事件：，有2个，事件与不互斥，C错误； 由，与相互独立，D正确. 故选：D 5．(24-25高一下·北京通州区·期末)已知一组样本数据16，，14，15，13的平均数为15，则该组样本数据的方差为（    ） A．2.0 B．2.1 C．2.2 D．2.4 【答案】A 【分析】根据样本数据的平均数和方差公式计算即可. 【详解】因为该组样本数据的平均数为15，所以，解得， 则该组样本数据的方差为， 故选：A. . 6．(24-25高一下·新疆哈密部分学校·期末)在一次随机试验中，三个事件A，B，C发生的概率分别是0.4，0.5，0.6，则下列选项正确的是（    ） A．是必然事件 B．与是互斥事件 C． D． 【答案】C 【分析】通过举反例说明A和B不正确；通过交事件的性质、并事件的概率的求法判断C和D. 【详解】对于A，若，则故A不正确； 对于B，若，则故B不正确； 对于C，由得，故C正确； 对于D，，而， 所以，故D不正确. 故选：C. 7．(24-25高一下·山东青岛第二中学·期末)若，则为整数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用列举法求出样本空间，列举出满足条件的样本点，然后可得概率. 【详解】从中任取两个数的样本空间为： ，共25个. 使为整数的样本点有，共8个. 所以为整数的概率为. 故选：C 8．(24-25高一下·湖南永州·期末)一个袋子中有2个红球，4个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.记事件A：第一次取到红球，事件B：第二次取到绿球，事件C：两次取到同色球，事件D：两次取到异色球，则（    ） A．A与B互斥 B．A与C相互独立 C．C与D互为对立事件 D．B与D相等 【答案】C 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义即可判断AC；利用事件独立性的定义即可判断B；列出事件的样本空间即可判断D. 【详解】设2个红球为，4个绿球为，所以 ，， ，，， 由，所以A与B不互斥，故A错误； ， 因为，所以A与C不独立，故B错误； 由，所以C与D互为对立事件，故C正确； 显然，故D错误. 故选：C. 二、多选题 9．已知一组数据：12，31，24，33，22，35，45，25，16，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（    ） A．中位数不变 B．平均数不变 C．标准差不变 D．第三四分位数不变 【答案】AD 【分析】根据中位数、平均数、标准差及分位数的定义，对应原数据和去掉12和45后的数据做分析对比，即可得. 【详解】将原数据按从小到大的顺序排列为12，16，22，24，25，31，33，35，45，其中位数为25， 平均数是， 方差是， 由，得原数据的25%分位数是第3个数22， 由，得原数据的75%分位数是第7个数33． 将原数据去掉12和45，得16，22，24，25，31，33，35，其中位数为25， 平均数是， 方差是， 由，得新数据的25%分位数是第2个数22， 由，得新数据的75%分位数是第6个数33， 故中位数和25%，75%分位数不变， 又四分位数为25%，50%，75%分位数，50%分位数为中位数，故四分位数不变， 平均数与方差改变，即平均数与标准差改变． 故选：AD 10．2024年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一，奖牌榜第二的优异成绩．首金是由中国两名运动员（记为甲、乙）组成的组合在10米气步枪混合团体赛中获得，两人在决赛中14次射击环数如图，则（    ）    A．运动员甲的平均射击环数低于10.6 B．运动员乙射击环数的80%分位数和众数均为10.4 C．运动员甲射击环数的标准差小于运动员乙射击环数的标准差 D．运动员乙射击环数的极差小于运动员甲射击环数的极差 【答案】AC 【分析】根据折线图确定各数据特征后判断各选项. 【详解】对于A，由题知，运动员甲的射击环数有2次是10.8，5次是10.6，其余都是10.6以下，所以运动员甲的平均射击环数低于10.6，所以A正确； 对于B，由于，故80%分位数是从小到大排列的第12个数10.7，运动员乙射击环数最多的为10.4，所以众数为10.4，所以B错误； 对于C，由于运动员乙的射击环数更分散，故标准差更大，所以C正确； 对于D，运动员乙射击环数的极差为，运动员甲射击环数的极差为，所以D错误. 故选：AC. 11．(24-25高一上·山东潍坊寿光第一中学·期末)下列说法正确的是（   ） A．已知数据的极差为6，方差为2，则数据，，…，的极差和方差分别为12，8 B．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C．，且 D．随机事件、，若，且，则、为互斥事件 【答案】ACD 【分析】求出新数据的极差、方差判断A；求出第70百分位数判断B；利用平均数及求和公式计算判断C；利用概率的性质，结合互斥事件的意义判断D. 【详解】对于A，不妨令，则，， 因此新数据组的极差为，方差为，A正确； 对于B，所给数据由小到大排列为：12，13，14，15，17，19，23，24，27，30， 由，得第70百分位数为，B错误； 对于C，， ，C正确； 对于D，， 则， 而，因此，即、为互斥事件，D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．已知某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费．某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为．现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．则这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为 ，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为 ． 【答案】 【分析】①“丈夫在科目二考试中第i次通过”记为事件（，2，3，4，5），“妻子在科目二考试中第i次通过”记为事件，记事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，事件“妻子参加科目二考试不需要交补考费”，事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”，先利用对立事件的概率、互斥事件的加法结合独立事件的乘法公式求得，，再由利用独立事件的乘法公式计算即得； ②记事件“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”，事件“妻子参加科目二考试需交补考费200元”，事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”，先由，利用对立事件的概率结合独立事件的乘法公式求得，，再由利用互斥事件的加法和独立事件的乘法计算即得答案. 【详解】这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第i次通过”记为事件（，2，3，4，5）， “妻子在科目二考试中第i次通过”记为事件， 则，． 记事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”， 事件“妻子参加科目二考试不需要交补考费”， 事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”， 则， ， ． 记事件“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”， 事件“妻子参加科目二考试需交补考费200元”， 事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”， 则， ， ． 因此这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为． 故答案为：；． 13．(24-25高一下·湖南邵阳新邵县·期末)由甲、乙、丙、丁组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由其中一人猜一个成语，已知甲猜对乙未猜对的概率为，乙猜对丙未猜对的概率为，丙猜对丁未猜对的概率为，甲、丁都猜对的概率为，在每轮活动中，四人猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙、丙都猜对的概率是 . 【答案】 【分析】依据独立事件性质得到四个人猜对的概率，再得到乙、丙都猜对的概率. 【详解】设甲、乙、丙、丁猜对的概率依次为， 依据独立事件的性质，可得，解得， 所以，乙、丙都猜对的概率为， 故答案为：. 14．(24-25高一下·天津四校·期末)2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，为激发民众的爱国热情和民族自豪感，某地举办相关知识竞答活动.在决赛中，每轮活动由甲、乙各答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙在两轮活动中恰好答对一个问题的概率为 ；两人在两轮活动中共答对3个问题的概率为 . 【答案】 【分析】设事件甲第轮答对为，事件乙第轮答对为，，设事件乙在两轮活动中恰好答对个问题为，，则，结合互斥事件的概率加法公式和独立事件定义求，设事件甲在两轮活动中恰好答对一个问题为，，根据概率加法公式和独立事件定义求，再求可得结论. 【详解】设事件甲第轮答对为，事件乙第轮答对为，， 则相互独立，且，， ，， 设事件乙在两轮活动中恰好答对个问题为，， 则，其中事件，互斥， 所以， 所以，故乙在两轮活动中恰好答对一个问题的概率为， 设事件甲在两轮活动中恰好答对一个问题为，， 则，其中事件，互斥， 所以， 所以， 则，， 事件两人在两轮活动中共答对3个问题可表示为，其中事件互斥，事件相互独立，事件相互独立， 所以， 所以两人在两轮活动中共答对3个问题的概率为， 故答案为：；. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $