专题06 相似三角形重难点题型汇编(八大题型）-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版）

专题06 相似三角形重难点题型汇编 【考点01：比例的性质】................................................................................................................1 【考点02：黄金分割】...................................................................................................................2 【考点03：平行线分线段成比例】..............................................................................................7 【考点04：相似多边形】..............................................................................................................8【考点05：相似三角形的性质】..............................................................................................9 【考点06：相似三角形的判定】...................................................................................................12 【考点07：相似三角形的性质与判定】.................................................................................14 【考点08：相似三角形的应用】...............................................................................................18 【考点09：位似变换】...................................................................................................................21 【考点01：比例的性质】 1．已知，是不等于0的实数，，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则下列各式不成立的是（  ） A． B． C． D． 3．如果，那么 ． 4．如果，那么 ． 5．已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求． 6．已知， (1)求代数式的值； (2)如果，分别求出，，的值． 【考点02：黄金分割】 1．《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是（   ） A． B． C． D． 2．2024年6月30日，中国音乐小金钟全国二胡展演河南选拔活动在郑州市虹韵音乐厅成功举行．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处（黄金分割：短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长的比，该比值为）时，奏出来的音调最和谐、悦耳．如图，一把二胡的琴弦的长为，千斤线绑在点处（点为线段上靠近点的黄金分割点），则的长为 ． 3．黄金分割点是指一条线段被分为两部分，使较长部分与整体线段的比值等于较短部分与较长部分的比值的点．20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，．已知为2米，则线段的长为 米．（结果保留根号） 4．关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形． (1)求黄金分割数； (2)如图，在黄金矩形中，长，则矩形的面积 ； (3)如图，在正方形中，是边的中点，以为圆心，线段长为半径作弧，交的延长线于点，作矩形，试说明矩形是黄金矩形． 5．综合与实践——黄金矩形． 宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调匀称的美感，它常见于艺术、建筑、自然界中，今天我们利用纸片来折出黄金矩形，创造数学美！ 如图1，矩形纸片的宽，小明按如下步骤操作． 第一步：如图2，沿折叠．使点落在长边上的点处，连接，得正方形； 第二步：对折正方形，使边与重合，得折痕，并展开，如图3，则； 第三步：连接，沿折叠，使点落在延长线上的点处，如图4，则的长为①__________； 第四步：过点折叠纸片，得折痕，使，交于点，并展开，如图5，则矩形为黄金矩形． (1)补全小明操作过程中①所缺的内容__________； (2)小明发现，在图5中，除了黄金矩形外，还有另一个黄金矩形，请找出这个矩形，并给予证明； (3)小明进一步探究，在黄金矩形中折去正方形，留下的矩形为黄金矩形．类似于“勾股树”．黄金矩形也能不断“生长”，可以在图6中继续折出更多的黄金矩形、黄金矩形，……如图7.若用弧线将折得的不断分割的黄金矩形的分割点连接起来，便会形成一条曲线，通常被称为“黄金螺线”．自然界的很多植物、建筑、艺术作品中都有“黄金螺线”的影子．若，记的弧长分别为，请探究满足的数量关系． 6．综合与实践：黄金分割 背景材料： 古希腊数学家、天文学家欧多克索斯曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题，这个相等的比就是黄金分割比．黄金分割被广泛应用于各领域． 基础应用： （1）贝多芬《第五交响曲》第一乐章中存在一个显著的结构转折点（称为黄金分割点），该位置将乐章分为前后两部分，其时间比接近黄金分割比．已知柏林爱乐乐团终身首席指挥卡拉扬1963年某次演奏中，这个显著的结构转折点出现在第185秒，则该版本的总时长为_____秒；（保留整数） （2）杠杆平衡原理：当杠杆平衡时满足：动力动力臂=阻力阻力臂，即．其中，分别为动力，阻力，，分别为动力臂，阻力臂．研究发现，当阻力臂与动力臂的比接近黄金分割比，杠杆的操作最省力且稳定． 如图1，杠杆的支点左侧阻力臂长，右侧动力臂长．该杠杆是否符合黄金分割省力设计_____；（填“是”或“否”）若在杠杆左侧悬挂一个的重物，则右侧需要施加的力_____；若将支点向左侧移动，使，则新的动力臂_____cm． （3）作法证明： 如图2，作已知线段的黄金分割点，方法如下： ①过点作，且；②连接，在上截取； ③在上截取，则点就是线段的黄金分割点，请说明理由． 拓展应用： 黄金矩形：的矩形． （4）如图3，正方形，尺规作黄金矩形． 要求：点，分别在射线，上．（不写步骤，保留作图痕迹） 7．【探究与证明】 【问题情境】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④，请证明矩形和矩形是黄金矩形． 【考点03：平行线分线段成比例】 1．如图是某花架及其侧面示意图，已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，，，，，则的长为（　） A． B． C． D． 3．如图，若，则下列各式错误的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，直线，直线分别交、、于点A、B、C，直线分别交、、于点D、E、F，与相交于点H，如果，那么的值等于（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点在边上，且，过点作 交于点．若，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【考点04：相似多边形】 1．下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形 2．如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，一块矩形绸布的长，宽，按图中所示的方式将它截成相同的四面矩形彩旗，且使截出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么的值是（    ） A． B．4 C． D．8 4．如图，在矩形中，，点分别在边上，且，若矩形 矩形，且面积比为，则长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．18 5．如图，已知矩形与矩形相似，，则的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，在矩形中，在上取一点E，沿将向上折叠，使B点落在上的点F处，，若四边形与矩形相似，则的长为（　　） A． B． C． D． 【考点05：相似三角形的性质】 1．如图，在中，，分别是边，上的点，，且相似比为，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，且，若的面积为12，则的面积为（    ） A． B．3 C．6 D．24 3．如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，的周长为2，则的周长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．32 4．如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，当与相似时，长为（    ） A．4 B．1 C．1或4 D．2 5.如图，在平面直角坐标系中，，其中点的坐标为，点的坐标为，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，一个等边三角形在另一个更大的等边三角形内部，它们之间的区域可以分成三个全等的梯形．内部三角形的边长是大三角形边长的．问一个梯形的面积与内部三角形的面积之比是多少？ A． B． C． D． 7．如图，在中，点，，分别在边，，上，连接，，已知四边形是平行四边形，．若的面积为3，则平行四边形的面积为（   ） A．9 B． C． D． 8．如图，点O是的两条中线和的交点，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 【考点06：相似三角形的判定】 1．如图所示，每个小正方形的边长均为，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ）． A．B． C． D． 2．如图，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 4.如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 5．如图，为的对角线，若点E、F分别是边上的点，连接，若，．求证：． 6．将两个全等的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子（图中所有的点、线在同一平面内）．求证： (1)； (2)． 7．如图，中弦、相交于点P，连接，，，若添加一个条件使得，甲添加的条件是：；乙添加的条件是：． (1)甲、乙添加的条件中，能使的是______（选填“甲”“乙”“都对”或“都不对”）； (2)选择一个正确的条件加以证明；若都不对，则添加一个正确的条件并加以证明． 【考点07：相似三角形的性质与判定】 1．如图，在正方形中，点E是边上的任意一点，作于F． (1)求证：； (2)已知正方形的边长，连接，当时，求的长．（结果保留根号） 2．如图，在中，于E，于F，与分别相交于点． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是菱形． 3．如下图． (1)判断与是否相似，并说明理由． (2)若，求的度数． 4．中，点是边上一点，连接并延长交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的值． 5．如图1，在中，，于点D，点O是边上一点，连接交于F，交边于点E． (1)求证：； (2)如图2，当O为的中点，时，求的值． 6．如图，已知在梯形中，，对角线与交于点，点是边边上的中点，连接交于点，并满足． (1)求证：； (2)求证：． 7．如图，在平行四边形中，E为边上一点，且，在上取一点F，使． (1)求证：； (2)若，，求的值． 8．如图，已知在中，，点、、分别为边、、上一点，连接和，且． (1)求证：； (2)连接，如果点是中点，，求的长． 9．如图，正方形的边长为6，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 10．【问题背景】在平行四边形中，是边上一点，延长至点，使得，连接，延长交于点． 【特例感知】（1）如图1，若四边形是正方形，求证：． 【深入研究】（2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长； 【拓展提升】（3）如图3，若四边形是矩形，，点在的延长线上且满足，当时，求的长． 11．阅读下列材料： 如图，点在直线上，且，则，又，故．像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形． 请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．可证______，进而可证______． (2)如图，在中，点在上，，，，，则点到边的距离为______． (3)如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点．若，，，，求的长． 【考点08：相似三角形的应用】 1．我国学者墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（　　） A． B． C． D． 2.如图，数学兴趣小组利用标杆测量学校古树的高度，标杆高，测得，，则古树的高度是（   ） A． B． C． D． 3．如图，雨后操场有一洼积水，小明在B处站定后，通过水洼P点正好观察到操场旗杆顶部C，小明的眼睛离地面高度为米，他离P点的距离为2米，旗杆底端D离P点12米，点B、P、D在同一水平直线上，则旗杆的高度是（   ） A．6米 B．8米 C．9米 D．12米 4．为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了下面两种测量方法． (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为__________； (2)如图2，小李站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； 5．如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为，由物理知识可知，且图中点A、B、C、D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求手电筒灯泡到地面的高度． 6．学科实践--测量物体的高度 活动课题：借助标杆测量校园内路灯、国旗杆的高度．活动工具：标杆、皮尺、激光仪等工具． 方案设计及问题解决（图中各点均在同一竖直平面内）： (1)笃行组进行路灯测量（如图1），在路灯旁的水平空地上直立一根高2米的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过．测量数据：米，米．计算图1中路灯的高度． (2)缜密组想直接用笃行组的方法进行图2中国旗杆高度的测量，操作中发现：由于国旗杆底部台阶影响，无法测得线段的长，因此不能求得国旗杆高度．于是对笃行组的方案作出补充：在如图2中仍先直立一根高2米的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过，A，测得线段米；再直立一根同样高度的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过，A．并测得米，计算国旗杆的高度． 7．如图，小明在晚上由路灯走到路灯．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯的底部．已知小明的身高是1.6米，两个路灯的高度都是8米，且． (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是多少？ 【考点09：位似变换】 1．如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，若的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第三象限内作的位似图形，相似比为，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，点的坐标为，与是位似图形，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，边在x轴上，边在y轴上，如果矩形与矩形关于点O位似，且位似比为，那么点的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 5．如图，中，两个顶点在轴上方，点的坐标是，以点为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，得到，并把放大到原来的2倍，设点的对应点的横坐标为2，则点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)在轴右侧，以原点为位似中心，画出，使它与位似，且相似比为（点，，的对应点分别为点）； (2)在（1）的条件下，求的面积． 7．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； (3)判断和是否是位似图形（直接写结果），若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相似三角形重难点题型汇编 【考点01：比例的性质】................................................................................................................1 【考点02：黄金分割】...................................................................................................................4 【考点03：平行线分线段成比例】...............................................................................................14 【考点04：相似多边形】..............................................................................................................18【考点05：相似三角形的性质】..............................................................................................22 【考点06：相似三角形的判定】...................................................................................................28 【考点07：相似三角形的性质与判定】.................................................................................33 【考点08：相似三角形的应用】...............................................................................................51 【考点09：位似变换】...................................................................................................................58 【考点01：比例的性质】 1．已知，是不等于0的实数，，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质进行求解即可． 【详解】解：A. 由得，故该选项不正确，不符合题意；     B. 由得，即，故该选项不正确，不符合题意；     C. 由得，即，故该选项正确，符合题意；     D. 由得，即，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2．已知，则下列各式不成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键．由已知条件，可设，（其中），代入各选项逐一验证是否成立． 【详解】解：∵， ∴设，（）． 对于A：，成立． 对于B：，成立． 对于C：，不成立． 对于D：，成立． ∴不成立的是C． 故选：C． 3．如果，那么 ． 【答案】 【分析】根据已知比例关系，将所求分式拆分为两个分式的和，利用分式加法法则进行计算． 本题考查了比例性质，求代数式的值，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：由 ，得 ． 故答案为： ． 4．如果，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：∵， ∴， 设，（），则 ∴， 故答案为：． 5．已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求． 【答案】(1)12，8，24 (2)24 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． （1）设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求解得到k,然后求解即可； （2）根据比例中项的定义列式求解即可． 【详解】（1）解：设 ，则， ∵， ∴， 解得，， 所以，，，； （2）解：∵线段x是线段、c的比例中项， ∴， ∴． 6．已知， (1)求代数式的值； (2)如果，分别求出，，的值． 【答案】(1) (2)，，． 【分析】本题考查了比例的性质，代数式求值，一元一次方程，熟练掌握设法是解题的关键． （1）设，得到，，，代入化简即可解答； （2）利用设法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：设， ，，， ； （2）设， ，，， ， ， 解得， ，，． 【考点02：黄金分割】 1．《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知，因为点为的黄金分割点， 所以． 因为， 所以， 所以， 故选：C． 2．2024年6月30日，中国音乐小金钟全国二胡展演河南选拔活动在郑州市虹韵音乐厅成功举行．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处（黄金分割：短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长的比，该比值为）时，奏出来的音调最和谐、悦耳．如图，一把二胡的琴弦的长为，千斤线绑在点处（点为线段上靠近点的黄金分割点），则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割中线段的比例关系是解题的关键． 根据黄金分割的定义，已知点为线段上靠近点的黄金分割点，即为长段，利用黄金分割比例关系求出的长度． 【详解】解：∵点是线段上靠近点的黄金分割点， ∴． ∵， ∴． 故答案为： 3．黄金分割点是指一条线段被分为两部分，使较长部分与整体线段的比值等于较短部分与较长部分的比值的点．20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，．已知为2米，则线段的长为 米．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割，数学常识，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵E为边的黄金分割点，，为2米， ∴米， 故答案为：． 4．关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形． (1)求黄金分割数； (2)如图，在黄金矩形中，长，则矩形的面积 ； (3)如图，在正方形中，是边的中点，以为圆心，线段长为半径作弧，交的延长线于点，作矩形，试说明矩形是黄金矩形． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，黄金分割数，解题的关键是根据题意理解黄金分割数和黄金矩形的定义． （1）将代入，解方程即可得解； （2）根据黄金矩形的定义列式求得矩形的宽的长，再根据矩形面积公式计算即可； （3）设正方形的边长为，根据中点的性质可得，利用勾股定理可表示出的长，进而得到的长，从而表示出，根据黄金矩形的定义即可得证． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得． 该方程的正根称为黄金分割数， 黄金分割数为 ； （2）解：宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，长， ，即， ， 矩形的面积为； 故答案为：； （3）证明：设正方形的边长为， 四边形是正方形， ，， 是边的中点， ， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是黄金矩形． 5．综合与实践——黄金矩形． 宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调匀称的美感，它常见于艺术、建筑、自然界中，今天我们利用纸片来折出黄金矩形，创造数学美！ 如图1，矩形纸片的宽，小明按如下步骤操作． 第一步：如图2，沿折叠．使点落在长边上的点处，连接，得正方形； 第二步：对折正方形，使边与重合，得折痕，并展开，如图3，则； 第三步：连接，沿折叠，使点落在延长线上的点处，如图4，则的长为①__________； 第四步：过点折叠纸片，得折痕，使，交于点，并展开，如图5，则矩形为黄金矩形． (1)补全小明操作过程中①所缺的内容__________； (2)小明发现，在图5中，除了黄金矩形外，还有另一个黄金矩形，请找出这个矩形，并给予证明； (3)小明进一步探究，在黄金矩形中折去正方形，留下的矩形为黄金矩形．类似于“勾股树”．黄金矩形也能不断“生长”，可以在图6中继续折出更多的黄金矩形、黄金矩形，……如图7.若用弧线将折得的不断分割的黄金矩形的分割点连接起来，便会形成一条曲线，通常被称为“黄金螺线”．自然界的很多植物、建筑、艺术作品中都有“黄金螺线”的影子．若，记的弧长分别为，请探究满足的数量关系． 【答案】(1) (2)另一个黄金矩形是矩形，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质及勾股定理可算得答案； （2）根据黄金矩形的定义及正方形的性质，可得四边形为黄金矩形； （3）在黄金矩形中，设，则，利用题中给出的信息，分别求出，然后分别验证选项是否成立即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质可得，， 故答案为：； （2）图5中还有黄金矩形， 证明：， ， ， 矩形是黄金矩形； （3）解：在黄金矩形中，设，则， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，正方形的性质，黄金矩形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6．综合与实践：黄金分割 背景材料： 古希腊数学家、天文学家欧多克索斯曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题，这个相等的比就是黄金分割比．黄金分割被广泛应用于各领域． 基础应用： （1）贝多芬《第五交响曲》第一乐章中存在一个显著的结构转折点（称为黄金分割点），该位置将乐章分为前后两部分，其时间比接近黄金分割比．已知柏林爱乐乐团终身首席指挥卡拉扬1963年某次演奏中，这个显著的结构转折点出现在第185秒，则该版本的总时长为_____秒；（保留整数） （2）杠杆平衡原理：当杠杆平衡时满足：动力动力臂=阻力阻力臂，即．其中，分别为动力，阻力，，分别为动力臂，阻力臂．研究发现，当阻力臂与动力臂的比接近黄金分割比，杠杆的操作最省力且稳定． 如图1，杠杆的支点左侧阻力臂长，右侧动力臂长．该杠杆是否符合黄金分割省力设计_____；（填“是”或“否”）若在杠杆左侧悬挂一个的重物，则右侧需要施加的力_____；若将支点向左侧移动，使，则新的动力臂_____cm． （3）作法证明： 如图2，作已知线段的黄金分割点，方法如下： ①过点作，且；②连接，在上截取； ③在上截取，则点就是线段的黄金分割点，请说明理由． 拓展应用： 黄金矩形：的矩形． （4）如图3，正方形，尺规作黄金矩形． 要求：点，分别在射线，上．（不写步骤，保留作图痕迹） 【答案】（1）484；（2）否；100；200；（3）见解析；（4）见解析 【分析】（1）根据，计算得出的值，进一步计算即可求解； （2）由，可判断该杠杆是否符合黄金分割省力设计；根据公式，代入数据计算即可求解；设将支点向左侧移动，则新的阻力臂长，新的动力臂长，由题意得，计算即可求解； （3）设，则，求得，求得，，计算的值，即可求解； （4）如图，作出的中点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，在延长线上截取，连接，则四边形是黄金矩形． 【详解】解：（1）由题意得， 解得， ， 则该版本的总时长为484秒； 故答案为：484； （2）∵， ∴该杠杆不符合黄金分割省力设计； ∵，，，， ∴； 设将支点向左侧移动， 则新的阻力臂长，新的动力臂长， 由题意得， 解得， ∴新的动力臂长， 故答案为：否；100；200； （3）设，则， ∴， 由作图知，， ∴， ∴， ∴点就是线段的黄金分割点； （4）如图，作出的中点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，在延长线上截取，连接，则四边形是黄金矩形． 设正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是黄金矩形． 【点睛】本题考查黄金分割，尺规作图，矩形的判定和性质，正方形的性质，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握黄金分割的定义，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 7．【探究与证明】 【问题情境】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④，请证明矩形和矩形是黄金矩形． 【答案】(1) (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了黄金分割，黄金矩形，折叠与矩形的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握黄金分割的定义． （1）根据四边形是正方形得，由折叠的性质得，，在中，根据勾股定理得即可得； （2）四边形是菱形，由折叠的性质可知，，，证明四边形为平行四边形，由，即可证明； （3）根据黄金矩形的定义证明即可得． 【详解】（1）解：由题知四边形为正方形，且， ∴，， 又∵矩形与矩形相等， ∴， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可知，，， 又∵四边形为矩形， ∴，则， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形； （3）证明：∵，，， ∴， 则， 故四边形为黄金矩形， ∵，，， ∴， ∴， 故四边形为黄金矩形． 【考点03：平行线分线段成比例】 1．如图是某花架及其侧面示意图，已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握定理，根据定理列出比例式； 根据，列出，求出的长即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，，，，，则的长为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到,进而代入已知数据求出的长． 【详解】解：， ，即， 解得：， 故选：C． 3．如图，若，则下列各式错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由平行判断成比例的线段，解题关键是正确列出比例式． 根据由平行判断成比例的线段，正确列出比例式，再对四个式子逐一作出判断． 【详解】解：∵， ∴，，， 不能推得，故A、B、C正确，D错误， 故选：D． 4．如图，直线，直线分别交、、于点A、B、C，直线分别交、、于点D、E、F，与相交于点H，如果，那么的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理可求出的值． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， 又， 设， ∴， ∴， 解得，， 所以，的值为， 故选：D． 5．如图，在中，点在边上，且，过点作 交于点．若，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式求出，即可得出结果．本题主要考查了平行线分线段成比例定理；由平行线分线段成比例定理得出比例式求出是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， ， ； 故选：B． 6．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出比例式是解此题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求值即可． 【详解】解：直线， ， ∵，，， ， ． 故选：B． 【考点04：相似多边形】 1．下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形，根据相似图形的定义逐项判断即可． 【详解】因为两个矩形的对应角相等，对应边不一定成比例，可知两个矩形不一定相似，所以A不符合题意； 因为两个菱形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，可知两个菱形不一定相似，所以B不符合题意； 因为两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，可知两个等腰三角形不一定相似，所以C不符合题意； 因为两个等腰直角三角形的对应角相等，对应边成比例，可知两个等腰直角三角形相似，所以D符合题意． 故选：D． 2．如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质．由相多三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，即可求解． 【详解】解：因为两个图形相似： 解得：，，； ， 观察四个选项，D选项符合题意； 故选：D． 3．如图，一块矩形绸布的长，宽，按图中所示的方式将它截成相同的四面矩形彩旗，且使截出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么的值是（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】此题考查了相似多边形的性质，一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．由截出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可． 【详解】解：使截出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同， 即， ， 解得或（舍去）， ， 故选：B． 4．如图，在矩形中，，点分别在边上，且，若矩形 矩形，且面积比为，则长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查相似图形的性质，熟练掌握及运用其性质是解题的关键．根据相似图形的对应边成比例，面积比等于相似比的平方，先求出相似比，再结合矩形的边长关系可得答案． 【详解】解：四边形为矩形， ， 矩形 矩形，且面积比为， ， ， ． 故选：B 5．如图，已知矩形与矩形相似，，则的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查相似矩形的性质，掌握利用相似多边形对应边成比例求出矩形边长，进而计算线段长度是解题的关键． 先确定两个矩形的边长关系，再根据相似矩形的对应边成比例求出的长度，进而得出的长． 【详解】解：点的坐标为，四边形和四边形是矩形， ，， ，， ， 矩形与矩形相似， ，即， ， ． 故选：B． 6．如图，在矩形中，在上取一点E，沿将向上折叠，使B点落在上的点F处，，若四边形与矩形相似，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质可得：，根据折叠的性质可知，，可证四边形是正方形，因为四边形与矩形相似，可得，可得方程，解方程即可求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ， 根据折叠的性质可知，， 四边形是正方形， ， 设，则， 四边形与矩形相似， ∴四边形矩形相似， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 经检验：是分式方程的解，且符合题意， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了图形的翻折、矩形的性质、正方形的判定和性质、相似多边形的性质，解决本题的关键是根据相似多边形的性质得到对应边成比例，根据对应边成比例求出边长． 【考点05：相似三角形的性质】 1．如图，在中，，分别是边，上的点，，且相似比为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方；由相似比为，可求出，即可求解. 【详解】解：∵，且相似比为， ∴， ∴. 故选：A. 2．如图，已知，且，若的面积为12，则的面积为（    ） A． B．3 C．6 D．24 【答案】B 【分析】根据，且，可得到两个三角形的相似比为，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求的面积． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， 又∵的面积为12， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，解题的关键是掌握以上知识点． 3．如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，的周长为2，则的周长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．32 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似图形的周长比等于相似比是解题关键． 根据题意，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， 且和是以点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴和的周长之比为， 的周长为2，则的周长为8． 故选：C． 4．如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，当与相似时，长为（    ） A．4 B．1 C．1或4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解决本题的关键． 根据点是边的中点可得，然后根据相似三角形的性质进行分类讨论即可． 【详解】解：∵点是边的中点，， ∴， 根据题意得当时， ∴， ∴， 解得． 当时， ∴， ∴， 解得． 故选C． 5.如图，在平面直角坐标系中，，其中点的坐标为，点的坐标为，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了相似三角形的性质，根据相似得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．如图所示，一个等边三角形在另一个更大的等边三角形内部，它们之间的区域可以分成三个全等的梯形．内部三角形的边长是大三角形边长的．问一个梯形的面积与内部三角形的面积之比是多少？ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似，利用相似图形的相似比求对应的面积比是解题的关键，相似图形的面积比等于相似比的平方． 【详解】解：延长、和相交于点，如下图所示： 四边形为等腰梯形， ， 在和中， ， ． ， ，， ， ， 故选：． 7．如图，在中，点，，分别在边，，上，连接，，已知四边形是平行四边形，．若的面积为3，则平行四边形的面积为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．利用平行四边形的性质先说明、，再利用相似三角形的性质求出、、的面积，最后利用面积的和差关系得结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 同理可得， ， ， ， ，． ， ，， ， ． 故选：B． 8．如图，点O是的两条中线和的交点，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中位线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．先得出为的中位线，推出，，再利用，即可求解． 【详解】解：∵点、分别为、的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【考点06：相似三角形的判定】 1．如图所示，每个小正方形的边长均为，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ）． A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，先计算出三边的边长，再分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可判断求解，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：由网格可知，，，， 、三边从小到大依次为，，，三边跟不成比例，三角形阴影部分与不相似，该选项不合题意； 、三边从小到大依次是，，，三边跟成比例，三角形阴影部分与相似，该选项符合题意； 、三边从小到大依次是，，，三边跟不成比例，三角形阴影部分与不相似，该选项不合题意； 、三边从小到大依次是，，，三边跟不成比例，三角形阴影部分与不相似，该选项不合题意； 故选：． 2．如图，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟记相关判定定理即可求解． 【详解】解：∵与中，， A. ，∴能判定； B. ，∴不能判定；     C. ，∴，∴能判定； D. ，∴能判定． 故选：B． 3．如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；故A不符合题意； 当时，；故B不符合题意； 当，即时，；故D不符合题意； 当，不能判定，故C符合题意； 故选C． 4.如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．由已知求得，根据相似三角形的判定即得答案． 【详解】证明：，， ， ， ， ． 5．如图，为的对角线，若点E、F分别是边上的点，连接，若，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，正确利用平行四边形的性质及题中所给条件，找到证明相似所需要的条件是解题的关键．由得，得，由得，由得，即可证明结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ， ， ． 6．将两个全等的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子（图中所有的点、线在同一平面内）．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，证明是解答本题的关键． （1）由和是等腰直角三角形可证明，再由是的一个外角得，根据相似三角形的判定定理可得结论． （2）根据得出，根据等腰直角三角形的性质可得，代入比例式，即可得证． 【详解】（1）证明∵和是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵是的一个外角， ∴， ∴． （2）证明：∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 7．如图，中弦、相交于点P，连接，，，若添加一个条件使得，甲添加的条件是：；乙添加的条件是：． (1)甲、乙添加的条件中，能使的是______（选填“甲”“乙”“都对”或“都不对”）； (2)选择一个正确的条件加以证明；若都不对，则添加一个正确的条件并加以证明． 【答案】(1)都对 (2)见解析 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，三角形相似的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）甲：由同弧所对的圆周角相等，可知，又，故能证明；乙：根据对江边成比例，结合，可证； （2）选择甲，由同弧所对的圆周角相等，可知，又，故能证明； 选择乙：利用和，可证． 【详解】（1）解：当时，则， ， ， ； 当时， ， 又， ； 故答案为：都对； （2）解：选择甲： 当时，则， ， ， ； 选择乙： 当时， ， 又， ； 【考点07：相似三角形的性质与判定】 1．如图，在正方形中，点E是边上的任意一点，作于F． (1)求证：； (2)已知正方形的边长，连接，当时，求的长．（结果保留根号） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由正方形的性质易证； （2）连接交于点P，则，，由已知得，则可求得，从而由即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接交于点P， ∵四边形是正方形，边长为4， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，含30度角直角三角形的性质及勾股定理等知识，掌握这些知识是关键． 2．如图，在中，于E，于F，与分别相交于点． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）根据平行四边形的性质可得．从而得到，再由可得，然后结合三角形外角的性质可得．从而得到，最后根据菱形的判定即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，， ∴． ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 3．如下图． (1)判断与是否相似，并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1)相似．理由见解析 (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． （1）根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可证得； （2）由相似三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：相似．理由如下： ， ． （2）解：由（1），得． 又， ． 4．中，点是边上一点，连接并延长交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定； （1）根据平行四边形的性质得出，结合，即可证明； （2）证明得出，进而得出，根据平行四边形的性质可得即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．如图1，在中，，于点D，点O是边上一点，连接交于F，交边于点E． (1)求证：； (2)如图2，当O为的中点，时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用等角的余角相等求得，，即可证明； （2）作，交的延长线于G，推出，证明．再证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图2，作，交的延长线于G． ∵O为的中点，， ∴． 由（1）有， ∴， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．如图，已知在梯形中，，对角线与交于点，点是边边上的中点，连接交于点，并满足． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． （1）由，且，得，则，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，则； （2）先证明，得，则，由，得，所以，则根据相似三角形的性质可求证． 【详解】（1）证明：∵点是边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．如图，在平行四边形中，E为边上一点，且，在上取一点F，使． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质等，找出相似三角形是解题的关键． （1）由可得，由三角形外角的性质可得，结合可得，进而可得，即可证明； （2）设，则，根据推出，可求x的值，再证，可得． 【详解】（1）证明：平行四边形中，， ， ，， ， ， 又 ， ； （2）解： ， 设，则， ，， 由（1）知， ， ， ， 解得（负值舍去）， ，． ， ， ，， ， 又平行四边形中，， ， ， 又 ， ， ， ， ． 8．如图，已知在中，，点、、分别为边、、上一点，连接和，且． (1)求证：； (2)连接，如果点是中点，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）可知，设，，然后可得，则有，进而可得，最后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴； （2）解：如图， 由（1）可知：， ∴， 设，且， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 9．如图，正方形的边长为6，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由正方形的性质以及勾股定理可得，证明，可得，从而得到，即可解答； （2）根据题意可得，从而得到，由相似三角形的性质得，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵正方形的边长为6， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长是． 10．【问题背景】在平行四边形中，是边上一点，延长至点，使得，连接，延长交于点． 【特例感知】（1）如图1，若四边形是正方形，求证：． 【深入研究】（2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长； 【拓展提升】（3）如图3，若四边形是矩形，，点在的延长线上且满足，当时，求的长． 【答案】证明见详解 的长为 或 【分析】（1）根据正方形的性质可证，得，结合对顶角相等即可求证； （2）如图所示，过点G作，交于点M，且当G为中点，可证，得是中位线，再证，根据相似三角形的性质即可求解； （3）根据题意，是直角三角形，设,则,运用勾股定理可得的值，再证，根据相似三角形的性质列式求解． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，且，， ∴， ∴， ∵， ∴； 解：∵四边形是菱形， ∴， 如图，过点G作，交于点M，且当G为中点时， ∵， ∴， ∴， ∴点M是中点， 则， ∴是的中位线， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 即， 整理得， 解得（不符合题意，舍去），， ∴的长为； 解：设则， 在中，， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴, 即， 整理得， 解得，， 检验，当时，原分式方程的分母有意义， ∴或． 【点睛】本题考查相似形综合应用，主要考查正方形，菱形，矩形的性质，勾股定理，中位线的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合运用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 11．阅读下列材料： 如图，点在直线上，且，则，又，故．像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形． 请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．可证______，进而可证______． (2)如图，在中，点在上，，，，，则点到边的距离为______． (3)如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点．若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】()由可证，由可证，进一步可证； ()过点作于点，过点作，交延长线于点，由等腰三角形三线合一，得，进一步证得，可证，于是，得解点到的距离为； ()以点为端点，作线段，交延长线于点，则，可证，于是，得，从而求得． 【详解】（1）解：， ∴， ∵， ， ∴， ∴ 在与中， ， ∴； （2）过点作于点，过点作，交延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 即点到的距离为； （3）以点为端点，作线段，交延长线于点， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴，. ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质；添加辅助线构造全等三角形，相似三角形得到线段之间的数量关系是解题的关键． 【考点08：相似三角形的应用】 1．我国学者墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形性质和判定，根据题意证明，结合高之比等于相似比得到，再结合蜡烛火焰的高度是，进行求解，即可解题． 【详解】解： 与交于点O，， ， 点O到的距离为，点O到的距离为， ， 蜡烛火焰的高度是， ， 解得， 故选：A． 2.如图，数学兴趣小组利用标杆测量学校古树的高度，标杆高，测得，，则古树的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键．先根据题意得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的值． 【详解】解： ，， ， ， ， ，，， ， ， ， 古树的高度是， 故选：C． 3．如图，雨后操场有一洼积水，小明在B处站定后，通过水洼P点正好观察到操场旗杆顶部C，小明的眼睛离地面高度为米，他离P点的距离为2米，旗杆底端D离P点12米，点B、P、D在同一水平直线上，则旗杆的高度是（   ） A．6米 B．8米 C．9米 D．12米 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，镜面反射的基本性质，根据题意得出三角形相似是解题的关键．根据题意由镜面反射的性质可推出，再根据相似三角形的对应边成比例即可解答． 【详解】解：根据题意可知，，， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴米， 即旗杆的高度是9米． 故选：C． 4．为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了下面两种测量方法． (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为__________； (2)如图2，小李站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； 【答案】(1)11.3 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质，理解题意是解答的关键． （1）影长恰好等于自己的身高，可知是等腰直角三角形，由平行投影性质可知，是等腰直角三角形，即可求得； （2）利用已知判定，结合相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵影长恰好等于自己的身高， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 则， 故答案为：11.3； （2）解：如图， 由反射定律可知， 又， ∴， ∴，即， 解得， 答：旗杆高度为12米． 5．如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为，由物理知识可知，且图中点A、B、C、D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求手电筒灯泡到地面的高度． 【答案】(1)3 (2) 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． （1）直接利用相似三角形的判定与性质得出的长； （2）根据相似三角形的性质列方程进而求出的长． 【详解】（1）解：由题意可得：， 则， 则， 即， 解得：． （2）解：， ， 光在镜面反射中的入射角等于反射角， ， 又， ， ， ， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 6．学科实践--测量物体的高度 活动课题：借助标杆测量校园内路灯、国旗杆的高度．活动工具：标杆、皮尺、激光仪等工具． 方案设计及问题解决（图中各点均在同一竖直平面内）： (1)笃行组进行路灯测量（如图1），在路灯旁的水平空地上直立一根高2米的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过．测量数据：米，米．计算图1中路灯的高度． (2)缜密组想直接用笃行组的方法进行图2中国旗杆高度的测量，操作中发现：由于国旗杆底部台阶影响，无法测得线段的长，因此不能求得国旗杆高度．于是对笃行组的方案作出补充：在如图2中仍先直立一根高2米的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过，A，测得线段米；再直立一根同样高度的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过，A．并测得米，计算国旗杆的高度． 【答案】(1)路灯的高度为5.8米 (2)米 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和应用．解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例求出相应的线段的长度． （1）根据可知，根据米，米，米，可知，从而可求的长度； （2）首先根据可知，根据米，米，，从而可得，根据可知，根据又米，米，，可得，等量代换可得，整理可得． 【详解】（1）解：， ， ， 米，米，米， 米， ， 解得：米； （2）解： ， ， ， 又米，米， ， 整理得：， ， ， ， 又米，米，， ， ， 解得：． 即国旗杆的高度为米． 7．如图，小明在晚上由路灯走到路灯．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯的底部．已知小明的身高是1.6米，两个路灯的高度都是8米，且． (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是多少？ 【答案】(1)两个路灯之间的距离25米 (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明，利用相似比可进行求解； （2）当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为，证明，利用相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）解：根据题意得米，米，米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴米， 即两个路灯之间的距离25米； （2）解：如图，当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为， ∵， ∴， ∴，即， ∴米， 答：当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米． 【考点09：位似变换】 1．如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，若的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是位似图形的性质，解题关键是熟练掌握位似图形的性质． 根据题意得出，进而利用两个相似三角形的周长比等于相似比，求解即可得出答案． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ， 位似比为， ， 又的周长为， ． 故选：． 2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第三象限内作的位似图形，相似比为，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或. 根据位似图形的坐标性质解答． 【详解】解：∵与是位似图形，相似比为，点的坐标为，且点在第三象限， ∴点的坐标为，即， 故选：B． 3．如图，点的坐标为，与是位似图形，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形中位似中心的确定，“位似图形对应点的连线经过位似中心” ，据此即可求解． 【详解】解：如图，作直线交直线于点， ∴点的坐标为，与是位似图形， ∴位似中心的坐标为． 故选：C 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，边在x轴上，边在y轴上，如果矩形与矩形关于点O位似，且位似比为，那么点的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形性质、矩形的性质，熟练掌握位似的性质、矩形的性质是解答本题的关键． 由图可得，根据位似的性质可得点的坐标． 【详解】解：由图可得，， 矩形与矩形关于点位似，且相似比为， 点的坐标是或，即或． 故选：B． 5．如图，中，两个顶点在轴上方，点的坐标是，以点为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，得到，并把放大到原来的2倍，设点的对应点的横坐标为2，则点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质、相似三角形的判定与性质、点坐标与图形、熟练掌握位似图形的性质是解题关键．过点作轴于点，过点作轴于点，先求出，，再根据位似图形的性质可得点在同一条直线上，且，然后证出，根据相似三角形的性质可得的长，则可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵点的坐标是，点的对应点的横坐标为2， ∴，， ∵以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，得到，并把放大到原来的2倍， ∴点在同一条直线上，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵点位于第二象限， ∴点的横坐标为， 故选：D． 6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)在轴右侧，以原点为位似中心，画出，使它与位似，且相似比为（点，，的对应点分别为点）； (2)在（1）的条件下，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题主要考查了作位似图形，相似三角形的性质， 对于（1），连接，并延长至，使，同理得到点，再依次连接可得答案； 对于（2），先求出，再根据相似比可得面积比，进而得出答案. 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作的三角形； （2）解：，，， ， ∵与的相似比为， ∴与的面积比为， ∴面积． 7．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； (3)判断和是否是位似图形（直接写结果），若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)和是关于点为位似中心的位似图形 【分析】本题主要考查了位似变换以及平移变换，根据图形变换的性质得出对应点坐标是解题关键． （1）利用平移变换规律得出对应点坐标，进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点坐标，进而得出答案； （3）利用位似图形的性质得出位似中心，进而得出答案． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示， （3）解：和是关于点为位似中心的位似图形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $