第4章 相似三角形能力提升测试卷-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版）

第4章 相似三角形能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1． 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如果，下列等式中变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，小正方形的边长均为，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 4．如图，，，，，则的长为（　） A． B． C． D． 5．如图，若，则下列各式错误的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ） A． B．4 C． D．5 7．如图，在所在平面上任意取一点O（与点A、B、C不重合），连接、、，分别在、、上取点、、，再连接、、得到，则下列说法不正确的是（   ） A．若与是位似图形，则这两个三角形相似 B．若与是相似图形，则这两个三角形也是位似图形 C．若、、分别是、、的中点，则与的周长比为 D．若与是位似图形，则 8．如图，雨后操场有一洼积水，小明在B处站定后，通过水洼P点正好观察到操场旗杆顶部C，小明的眼睛离地面高度为米，他离P点的距离为2米，旗杆底端D离P点12米，点B、P、D在同一水平直线上，则旗杆的高度是（   ） A．6米 B．8米 C．9米 D．12米 9．如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，，则的长为(   ) A． B． C． D． 10．如图，在中，平分，于点，为的中点，连接延长交于点．若，，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．如图，矩形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 12．如图，在中，，，，的顶点在上运动，且，，为线段的中点，连接，在点运动过程中，线段长度的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 二.填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．如图，，，延长交于，且，则的长 ． 14．如图，平面直角坐标系中，，，，以为位似中心，把在点同侧按相似比放大，放大后的图形记作，则的坐标为 ． 15．定义：顶角为的等腰三角形叫做“黄金三角形”，它的一个底角的平分线与腰的交点即为这条腰的黄金分割点．如图，在中，，，，点M是边上一点，若是“黄金三角形”，则的长为 ． 16．如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，则此时液面的宽度为 ． 三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图，在中，D，E分别在上，于点G，于点F，．求证：． 18．（8分）如图，小明利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图中标出和的位似中心点的位置，并写出点的坐标． (2)若以点为位似中心，请在方格图中画出的位似图形，且与的相似比为，并写出点的对应点的坐标． 19．（8分）如图，在中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，求的面积． 20．（8分）在学完相似的知识后，数学老师将同学们分成两组，利用相似的知识测量校园内物体的高度． (1)第一小组的同学测得身高米的小明影子长为米，同一时刻，同一水平面上，测得校园内旗杆的影子长为18米，求旗杆的高度； (2)如图，第二小组的同学利用标杆测量操场边一棵树的高度，小丽在处竖立了一根标杆，小华从处走到处时，站立在处恰好看到标杆顶端和树的顶端在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点在一条直线上，，根据以上测量数据，求出树的高度． 21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点的坐标分别为． (1)求过点的直线的函数表达式； (2)过点作直线，使，与轴相交于点，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如果点、分别是线段和上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似，如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 22．（10分）（请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过作，交的延长线于． 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图3，已知中，，，平分，求的周长． 23．（10分）在中，，点D是边上一点，，，和交于点E． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，猜想和之间的数量关系，并证明你的结论； (3)在（2）的情况下，如果，，，求的长． 24．（10分）如图1，在直角边长为4的等腰直角三角形中，，点D、E分别是边上的中点，连接．将绕点A逆时针方向旋转，旋转角为． (1)如图1，求出的长； (2)如图2，在旋转过程中，试求出的值； (3)如图3，当绕点A逆时针旋转至C、D、E三点在同一条直线上时，求线段的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 相似三角形能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1． 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如果，下列等式中变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例的性质，需熟练掌握比例式的变形与交叉相乘法． 根据比例的基本性质，对每个选项进行变形验证，判断是否与已知条件一致． 【详解】解：∵， 对于A：，正确，不符合题意； 对于B：，正确，不符合题意； 对于C：，是原式的倒数，正确，不符合题意； 对于D：由 得 ，而 等价于 ，与已知矛盾，故不正确，符合题意； 故选：D． 2．如图，小正方形的边长均为，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．在中，，，，根据两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，对各选项进行判定即可． 【详解】在中，，，， 在B、C、D选项中的三角形都没有，而在A选项中，三角形的钝角为，它的两边分别为和， ， A选项中的三角形与相似， 故选：A． 3．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【答案】B 【分析】根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例．本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项正确； C、，故C选项错误； D、，故D选项错误． 故选：B． 4．如图，，，，，则的长为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到,进而代入已知数据求出的长． 【详解】解：， ，即， 解得：， 故选：C． 5．如图，若，则下列各式错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由平行判断成比例的线段，解题关键是正确列出比例式． 根据由平行判断成比例的线段，正确列出比例式，再对四个式子逐一作出判断． 【详解】解：∵， ∴，，， 不能推得，故A、B、C正确，D错误， 故选：D． 6．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，证明，即可求解． 【详解】解：∵五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7．如图，在所在平面上任意取一点O（与点A、B、C不重合），连接、、，分别在、、上取点、、，再连接、、得到，则下列说法不正确的是（   ） A．若与是位似图形，则这两个三角形相似 B．若与是相似图形，则这两个三角形也是位似图形 C．若、、分别是、、的中点，则与的周长比为 D．若与是位似图形，则 【答案】B 【分析】本题考查位似图形与相似图形的关系、位似图形的性质（对应边平行、周长比等于位似比），运用逐一分析验证法．解题关键是明确位似图形是特殊的相似图形，且位似图形具有对应边平行、对应顶点连线交于位似中心等性质；易错点是混淆相似图形与位似图形的关系（误认为相似图形一定是位似图形）． 分别根据位似图形与相似图形的关系对四个选项进行分析判断即可． 【详解】选项A：位似图形是特殊的相似图形，所以若与是位似图形，则这两个三角形相似，A正确． 选项B：相似图形不一定是位似图形，位似图形需要对应顶点的连线相交于一点（位似中心），而相似图形不一定满足这一条件，所以若与是相似图形，不一定是位似图形，B错误． 选项C：若、、分别是、、的中点，则与是位似图形，位似比为，根据相似三角形的性质，周长比等于位似比，所以与的周长比为，C正确． 选项D：若与是位似图形，根据位似图形的性质，对应边平行，所以，D正确． 故选：B． 8．如图，雨后操场有一洼积水，小明在B处站定后，通过水洼P点正好观察到操场旗杆顶部C，小明的眼睛离地面高度为米，他离P点的距离为2米，旗杆底端D离P点12米，点B、P、D在同一水平直线上，则旗杆的高度是（   ） A．6米 B．8米 C．9米 D．12米 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，镜面反射的基本性质，根据题意得出三角形相似是解题的关键．根据题意由镜面反射的性质可推出，再根据相似三角形的对应边成比例即可解答． 【详解】解：根据题意可知，，， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴米， 即旗杆的高度是9米． 故选：C． 9．如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，，则的长为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，设，则，，再证明，利用相似比得到，进而根据勾股定理求得，根据，求得，从而得到的长，然后利用勾股定理计算出的长，根据矩形的性质即可得出． 【详解】解：四边形为矩形， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， 即， （负值舍去）， ， ， ， ∴， ∴， 故选：B． 10．如图，在中，平分，于点，为的中点，连接延长交于点．若，，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定和性质，等边对等角，平行线的判定等． 由直角三角形斜边中线的性质，可得，由等边对等角可得，结合平分推出，进而可得，证明，可得，由此可解． 【详解】解：，为的中点， ， ， 平分， ， ． ， ，， ， ， ， ， 故选：C． 11．如图，矩形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转及点的坐标、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是根据旋转的性质发现规律，总结规律． 过点作轴于点，证明，利用对应线段成比例求出线段的长度，求出点的坐标，然后根据周期规律进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 由勾股定理得， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据图形的旋转可知，每旋转4次为一个周期， ∴， 当第2026次旋转结束时，点D在第四象限， 此时，点D与初始点关于原点对称， ∴此时该点的坐标为， 故选：B． 12．如图，在中，，，，的顶点在上运动，且，，为线段的中点，连接，在点运动过程中，线段长度的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用相似进行转化先得出，是的中点，可得 ，再根据当时，最短，此时最短，根据直角三角形的面积以及相似三角形的性质，求得的最小值，即可得出的最小值． 【详解】解：连接，如图所示： ， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵中， ∴， ∴，即， ∵是的中点， ∴ ， ∵，即， ∴， ∴当时，最短，此时最短， 当时，的面积 ， ∴ ， ∴， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上中线的性质、三角形面积的计算等知识，解决问题的关键是利用垂线段最短得到线段的最小值． 二.填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．如图，，，延长交于，且，则的长 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，作出辅助线是解题关键．过D作的平行线交于G，利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：过D作的平行线交于G， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14．如图，平面直角坐标系中，，，，以为位似中心，把在点同侧按相似比放大，放大后的图形记作，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标与位似图形、点坐标的中点公式，熟练掌握点坐标与位似图形是解题关键．取的中点为点，则，再根据位似图形的性质可得，从而可得，然后设点的坐标为，点的坐标为，利用点坐标的中点公式求解即可得． 【详解】解：如图，取的中点为点， ∴， ∵以为位似中心，把在点同侧按相似比放大，放大后的图形记作， ∴， ∴， 设点的坐标为，点的坐标为， ∵，，，即点B是的中点， ∴，解得， ∴， 又∵点为的中点， ∴，解得， ∴点的坐标为， 故答案为：． 15．定义：顶角为的等腰三角形叫做“黄金三角形”，它的一个底角的平分线与腰的交点即为这条腰的黄金分割点．如图，在中，，，，点M是边上一点，若是“黄金三角形”，则的长为 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，黄金分割；可求出，当为的顶角时，取的中点D，连接，则，可证明是“黄金三角形”，再证明得到，进一步证明，可得；当点M与点D重合时，也是“黄金三角形”，此时． 【详解】解：∵在中，，， ∴； 如图所示，当为的顶角时，取的中点D，连接， ∴； ∵在中，， ∴， ∴，， ∴，， ∴是“黄金三角形”； ∵， ∴点M是线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点M与点D重合时，也是“黄金三角形”， ∴此时； 综上所述，的长为1或， 故答案为：1或． 16．如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，则此时液面的宽度为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质． 如图，作于E，则，由题意知，，，则，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：如图，作于E，则， 由题意知，，， ∴． 又∵， ∴． ∴． 即． 解得，． 答：液面的宽度为． 故答案为：9． 三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图，在中，D，E分别在上，于点G，于点F，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先根据于点，于点，以及，得出，再结合，则，故，即可作答． 【详解】证明：∵于点，于点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 18．（8分）如图，小明利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图中标出和的位似中心点的位置，并写出点的坐标． (2)若以点为位似中心，请在方格图中画出的位似图形，且与的相似比为，并写出点的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的位似变换，涉及位似中心的确定、位似图形的绘制以及根据位似关系确定点的坐标． （1）连接、，交点即为； （2）根据位似变换的性质，以为位似中心，按照位似比确定、的位置，从而绘制出，根据图形即可确定点的坐标． 【详解】（1）如图，点即为所求，点的坐标为； （2）如上图，即为所求，点的坐标为． 19．（8分）如图，在中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过，，证明，又，即可得证； （2）由（1）可知，，然后利用对应边成比例，即可得到的长度，然后利用求得面积． 【详解】（1）证明：∵是斜边上的高， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 20．（8分）在学完相似的知识后，数学老师将同学们分成两组，利用相似的知识测量校园内物体的高度． (1)第一小组的同学测得身高米的小明影子长为米，同一时刻，同一水平面上，测得校园内旗杆的影子长为18米，求旗杆的高度； (2)如图，第二小组的同学利用标杆测量操场边一棵树的高度，小丽在处竖立了一根标杆，小华从处走到处时，站立在处恰好看到标杆顶端和树的顶端在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点在一条直线上，，根据以上测量数据，求出树的高度． 【答案】(1)12米 (2)米 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据同一时刻，同一水平面，人的身高人的影子旗杆的高度旗杆的影子，即可得出答案； （2）过点作，垂足为，交于点，接着证明，利用求得答案即可． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为米，根据题意得， 解得， 答：旗杆的高度为12米． （2）解：如图，过点作，垂足为，交于点， 则 ∴四边形，四边形都是矩形， 则， ， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：树的高度为8.8米． 21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点的坐标分别为． (1)求过点的直线的函数表达式； (2)过点作直线，使，与轴相交于点，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如果点、分别是线段和上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似，如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式等知识． （1）待定系数法求一次函数解析式即可． （2）过点作交轴于，则，再证明，由相似三角形的性质得出，进而求出的值，再根据数轴求出，进而可求出点D的坐标． （3）根据相似三角形的性质，分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 直线的解析式为； （2）解：过点作交轴于， ， ∵， ∴， ∴， 即． ∵，， ， ． 点的坐标为 （3）解：， ． 1．若，如下图： 则 解得： 2 ．若，如下图： 则 解得： 综上所述：符合要求的的值为或． 22．（10分）（请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过作，交的延长线于． 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图3，已知中，，，平分，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键． （1）过作，交的延长线于，则，，再证出，根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证； （2）先利用勾股定理可得，再根据（1）的结论可得的长，然后利用勾股定理可得的长，最后根据三角形的周长公式求解即可得． 【详解】（1）证明：如图2，过作，交的延长线于， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵在中，，， ∴， ∵在中，平分， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∴的周长为． 23．（10分）在中，，点D是边上一点，，，和交于点E． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，猜想和之间的数量关系，并证明你的结论； (3)在（2）的情况下，如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)10 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）过点作交于点，利用全等三角形的判定证明，再利用全等三角形的性质即可证明； （2）过点作交于点，利用相似三角形的判定证明，再利用相似三角形的性质即可得出结论； （3）根据等角对等边得到，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，再结合（2）中的结论即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作交于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，过点作交于点， ∵， ∵， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 由（2）得，， ∴． 24．（10分）如图1，在直角边长为4的等腰直角三角形中，，点D、E分别是边上的中点，连接．将绕点A逆时针方向旋转，旋转角为． (1)如图1，求出的长； (2)如图2，在旋转过程中，试求出的值； (3)如图3，当绕点A逆时针旋转至C、D、E三点在同一条直线上时，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义和性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、三角形中位线的性质等知识，正确理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）结合题意，利用勾股定理解得的值，然后结合“点D、E分别是边上的中点”，即可获得答案； （2）首先证明，，进而证明，然后根据相似三角形的性质即可获得答案； （3）首先结合图1确定，的值以及，再分点在之间和点在之间两种情况讨论，结合勾股定理解得的长度，然后计算线段的长即可． 【详解】（1）解：∵为直角边长为4的等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∵点D、E分别是边上的中点， ∴； （2）∵点D、E分别是边上的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：如图1， 根据题意可知，为直角边长为4的等腰直角三角形，，点D、E分别是边上的中点， 则，，， ∴， 若绕点A逆时针旋转至C、D、E三点在同一条直线上，可分两种情况讨论， ①当点在之间时，如下图， 此时， ∴， ∴； ②当点在之间时，如下图， 此时， ∴， ∴． 综上所述，线段的长为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $