专题07 相似三角形常考五大模型-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版）

专题07 相似三角形常考五大模型 【模型01：(双)A字型相似】....................................................................................................1 【模型02：(双)8型相似】......................................................................................................12 【模型03：母子型相似】.......................................................................................................19 【模型04：旋转相似】.........................................................................................................43 【模型05：K字型相似】........................................................................................................63 【模型01：(双)A字型相似】 1．如图，中，，，点为中点，连接并延长交于点，且有，过点作于点． (1)求证：； (2)求的值； (3)若，直接写出的长为________． 【答案】(1)见详解 (2)2 (3) 【分析】（1）根据，得出，根据，得出，即可证明． （2）根据点为的中点，得出，根据，得出，设，则，根据，得出，根据，得出，从而得； （3）由（2）知，，则，证明，得出，求出，，证明，得出，由（2）知，设，则，则，从而求出，在 中，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， 在与中，， ． （2）解：∵点为的中点， ， ， ， 设，则， ， ， ∵， ∴， ； （3）解：由（2）知，， ， ， ， ， 即， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）知，设，则， ， 即， 解得：或（舍去）， ， 在 中， ． 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程，平行线分线段成比例等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 2．如图：，分别交，，于点E、F、G，已知，，，．求，的长． 【答案】， 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定：平行于三角形一边的直线与其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似三角形的对应边成比例.在中根据得到，利用对应边成比例求出，在中根据得到，利用对应边成比例求出，，从而求出. 【详解】解：∵中，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵中，， ∴ ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴. 故答案为：，. 3．如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接，它们相交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质． （1）根据平行四边形性质证明，然后利用相似三角形的对应边成比例即可得出结论； （2）根据（1）中结论求出，证明，然后利用相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．如图，已知和相交于点，点在上，． (1)求的长； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，可判定，从而得比例式，再由，利用两组边成比例夹角相等判定，由此再得比例式，即可求得的长； （2）由可知相似三角形的面积比等于相似比的平方，列式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 又， ∴， ， ； （2）解：∵， ∴， ∵， ． 5．中，，点在边上，且． (1)求证：； (2)若面积，面积，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 先利用平行线分线段成比例得到，再结合已知得到，从而得到，从而证明四边形为平行四边形，即可得出结论； 先证明得到，推出，再证明，得到，即可得出结果． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ； （2） ， ， ，， ， ， , ，即， ， 又， ， ． 6．如图，在中，，，，，，，求和的长 【答案】， 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 根据平行线的性质得出和，然后利用相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, 即 解得． ∴，． 7．定义：在中，点D和点E分别在边、边上，且，点D、点E之间的距离与直线与直线间的距离之比称为关于的横纵比．已知，在中，，边上的高长为3，关于的横纵比为，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，理解横纵比的定义是解题的关键． 根据题意作出图形，由平行可得，列出比例式，设，，代入数值求解即可． 【详解】解：如图， ， ，， ， 相似三角形的高的比等于相似比， ， 关于的横纵比为， 设，， ， ， 解得， ． 8．综合与探究 问题情境：如图1，在中，点分别在上，已知，交于点是的中点． 猜想证明：（1）试判断与之间的数量关系，并说明理由． 深入探究：（2）如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值． 拓展应用：（3）如图3，在平行四边形中，，对角线与交于点为上一点，交于点交于点，连结．若平分，则的长为___________． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证明，，根据相似三角形的性质得到，进而证明结论； （2）根据线段垂直平分线的性质求出，根据相似三角形的性质计算，得到答案； （3）延长交于M，连接，过点M作于N，根据直角三角形的性质求出，求出，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可． 【详解】解：（1），理由如下： ， ，， ，， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）延长交于M，连接，过点M作于N，如图③， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理、直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【模型02：(双)8型相似】 1．，AC与BD交于点E，且，，，． (1)求CD的长； (2)求BC的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明. 根据相似三角形的判定得出，进而利用相似三角形的性质解答即可； 根据相似三角形的判定得出，进而利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：， ； ， ， ， ； （2），， ， ， ， ， ，，，， ， 2．四边形中，，与相交于点，且．    (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，角平分线的性质，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明得到，再由等边对等角推出，则可证明，据此可证明结论； （2）可证明，得到；再证明，由角平分线的性质可得点O到的距离等于点O到的距离，设点O到的距离为h，根据，可得，则． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∴点O到的距离等于点O到的距离， 设点O到的距离为h， ∴， ∴， ∴． 3．已知：，AD与BC交于点E，过点E作，交BD于点F． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）利用平行线的判定和性质求得，证明，，推出，，由，即可证明； （2）同理，，求得，变形即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）证明：同理，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 4．如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点，若，， (1)求的值； (2)求的值为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质和全等三角形性质和判定，勾股定理； （1）先证明，根据相似三角形的判定和性质求出，再证明从而得出， （2）求出长度后再通过勾股定理求出长度． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 又∵； ∴ 解得： ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：． （2）解：∵，， ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ ∴． 5．如图，在正方形中，点G是对角线上一点，的延长线交于点E，交的延长线于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明、及是解题的关键． （1）由正方形的性质得，，，则，所以，根据相似三角形的性质即可得证； （2）由，证明，得，由，证明，得，则，代入数据求出，进而可求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6．如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是正方形，得，，，证明，所以，通过平行线性质，等量代换得，从而求证； （）由得，即，通过全等三角形性质可得，然后代入即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， 由（）可知：， ∴， ∴． 【模型03：母子型相似】 1．如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 ． ​ 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的有关知识.由等腰三角形的判定与性质知是等腰三角形的中垂线.根据相似三角形 的对应边成比例、等腰三角形的性质列出比例式，即 ，最后在直角中利用勾股定理来求的值． 【详解】，四边形是正方形, ， 又∵平分交于, ，, ， 在 和 中, ， ， 即 ， 即 , 即 ， 故答案为： ． 2．如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先利用同角的余角相等证出，再利用两角判定法证得即可； （2）由（1）可得，再根据相似三角形的性质得到，然后将已知线段代入，即可求得的值． 【详解】（1）证明：在中，，于点， ，， ， ， ； （2）解：， ， ，， ． 3．如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）根据两角对应相等的两个三角形相似即可求证； （）由已知可得，再根据相似三角形的性质解答即可求解； 本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 4．如图中，厘米，厘米，是的中点，点从出发，以厘米/秒（）的速度沿匀速向点运动，点同时以1厘米/秒的速度从出发，沿匀速向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为秒． (1)若，，求的值； (2)设点在上，四边形为平行四边形，若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由中，厘米，厘米，是的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，即可求得与的长，又由，，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得的值； （2）过点作于，由四边形为平行四边形，易证得，又由得到，再由相似三角形的性质即可得方程 解此方程即可求得答案． 【详解】（1）解：（1）在中，厘米，厘米，是的中点， ． ， ，， ． ， ， 即， 解得：； （2）过点作于， 四边形为平行四边形， ， ，且， ， ， ． ， ， ， 是等腰三角形． ， ． ， ． 中，厘米，是的中点， 是等腰三角形， ， ， ，且， ， ， 即， 解得：， ． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质以及等腰三角形的性质等知识．注意数形结合思想与方程思想的应用是解题的关键． 5．如图，在菱形中，连接对角线，点在边上，过点作交于点，连结交于点． (1)若，，求的度数． (2)若，，求的长． (3)求证∶ ． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上内容以及熟练进行中间比转化证明比例式是解题关键． （1）由菱形性质知，由知，，由菱形对角相等可得，从而． （2）由，可得，则，，由，可得，，因为，则，再证明，，从而． （3）由菱形性质证明，再证明，列出比例式，由（2）中知，故，化为乘积式即． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， 由菱形对角相等可得， ； （2）解：， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， 故； （3）证明：由菱形性质知， ， ， ， ． ， ， ， 由（2）中知， ， ． 6．如图，在中，点D，E分别在边AC，AB上，BD，CE相交于点O，且，求证： (1)； (2)若，，，求BC的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：①相似三角形的对应边的比相等，对应角相等，②两三角形有两组对应边的比相等，且这两边的夹角也相等的两三角形相似． （1）根据两三角形有两组对应边的比相等，且这两边的夹角也相等的两三角形相似推出即可； （2）先证明，再由相似的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）知， ， ，， ，， 又 ， ，又， ， ，即， 解得． 7．如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，得出，证明四边形为平行四边形，得出，则可得出结论；（2）证明，得出，证明，得，则得出结论；（3）证明，得出，设，解方程求出，则可得出答案． 【详解】（1） 在和中， 又 （SAS） 四边形为平行四边形 （2） 又 ，即 ． 又 ，即 （3） ， ． 设，则有 解得（负值舍去） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，利用相似三角形的判定和性质是本题解题的关键． 8.如图1，，，，点从点出发以每秒个单位长度的速度向点运动，点同时从点出发以每秒个单位长度的速度向点运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动． (1)求的长． (2)当以点、、为顶点的三角形与相似时，求的值． (3)如图2，将本题改为点从点出发以每秒个单位长度的速度在上向点运动，点同时从点出发向点运动，其速度是每秒个单位长度，其它条件不变，求当为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1)10 (2)或时，以点、、为顶点的三角形与相似 (3)或或时，为等腰三角形 【分析】(1)根据三角函数解得即可； (2)分①当时和②当时，两种情况利用相似三角形的性质解答即可； (3)分①当时，②当时，③当时，三种情况，利用等腰三角形的性质得出比例解答即可． 【详解】（1）解： （2）解：解：①当时， ， 即， 解得：， ②当时， ， 即， 解得：， 综上所述，或时，以点、、为顶点的三角形与相似， （3）解：①如图3，当时，， 解得：， ②如图4，当时，过点作于， 则∠，， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ③如图，当时，过点作于， 则， ， ， ， ， 即， 解得：， 综上所述，或或时，为等腰三角形 【点睛】本题考查考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，已知正切求边长，解题的关键是掌握辅助线的作法，数形结合，分类讨论思想的应用． 9．如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，交于F． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据，利用三角形内心定义和同弧所对圆周角相等即可解答； （2）如图：连接BE，根据三角形内心定义和同弧所对圆周角相等，从而根据等角对等边即可证明结论； （3）设，则，再证明可得,，再证可得，即，解得，进而得到，然后再利用相似三角形的性质得到关于的方程求得，然后根据等角对等边即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点E是的内心， ∴， ∴． 答：∠CBD的度数为． （2）证明：如图，连接BE， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）解： 设，则， ∵， ∴， ∴,， ∵， ∴， ∴，即，解得 ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴． 答：的长为． 【点睛】本题考查了三角形的内心定义、同弧所对圆周角相等、相似三角形的判定与性质等知识点，解决本题的关键是相似三角形判定与性质的应用． 10．定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【答案】(1)为的理想点,理由见解析 (2)或 【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上． 【详解】（1）解：点是的“理想点”，理由如下： 是中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是的“理想点”； （2）①在上时，如图： 是的“理想点”， 或， 当时， ， ， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，， ， ， ， ②，， 有， “理想点” 不可能在边上， ③在边上时，如图： 是的“理想点”， ， 又， ， ，即， ， 综上所述，点是的“理想点”， 的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义． 11．如图，，动点，分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点从点出发，沿边一直移到点为止，点从点出发沿边一直运动到点为止（点到达点后，点继续运动） (1)请直接用含的代数式表示的长和的长，并写出的取值范围； (2)当等于何值时，与相似？ 【答案】(1)AP=2tcm（），AQ=（16-t）cm（） (2)或 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）分两种情况：当时，当6≤t≤16时，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题可知：AP=2tcm（），AQ=（16-t）cm（） （2）解：当时 ①若QP∥BC，则有△AQP∽△ABC． ∴ 又∵AB=16cm，AC=12cm，AP=2tcm， ∴ 解得：； ②由∠A=∠A，若∠AQP=∠C，则有△AQP∽△ACB． ∴， ∴ 解得：t=6.4（不合题意，舍去） 当6≤t≤16时，点P与点C重合， ∵∠A=∠A，只有当∠AQC=∠ACB，有△AQP∽△ACB． ∴ ∴ 解得： 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的性质是解题的关键． 12．如图：在矩形ABCD中，，，动点Р以的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒． （1）______m，______m，_____m（用含t的代数式表示） （2）t为多少秒时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ （3）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1），，；（2）或；（3）四边形ABQP与CPQ的面积不相等，理由见解析 【分析】（1）根据矩形和勾股定理的性质，计算得，结合题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，根据相似三角形的性质列方程并求解，即可得到答案； （3）过点P作，交BC于点M，通过证明，根据相似比的性质，推导得，根据题意列一元二次方程，根据一元二次方程判别式的性质分析，即可得到答案． 【详解】（1）∵矩形ABCD中，， ∴m ∵动点Р以的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿CB向点B移动， ∴ ， ∴ 故答案为：，，； （2）根据（1）的结论，得 ， ， ， ∵ ∴当，或时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似 当时，得 ∴ ∴； 当时，得 ∴ ∴； （3）如图，过点P作，交BC于点M ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵四边形ABQP与CPQ的面积相等,四边形ABQP面积 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴无解，即四边形ABQP与CPQ的面积不相等． 【点睛】本题考查了代数式、相似三角形、一元二次方程、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形、一元二次方程判别式的性质，从而完成求解． 13．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【答案】（1）见解析；（2）AD=． 【分析】（1）证明△ADC∽△ACB，即可得出结论； （2）证明△BFE∽△BCF，得出BF2=BE•BC，求出BC，则可求出AD． 【详解】（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2=AD•AB． （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，∠A=∠C， 又∵∠BFE=∠A， ∴∠BFE=∠C， 又∵∠FBE=∠CBF， ∴△BFE∽△BCF， ∴， ∴BF2=BE•BC， ∴BC===， ∴AD=． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 14．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，进而求出，再利用相似三角形的性质得出答案即可； （2）由可证，进而得出，再由（1）可证，由此即可得出线段之间关系． 【详解】（1）证明： ，， ， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， AD是△ABC的中线， ， ，即：， ∴． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出是解题关键． 15．如图，已知矩形的两条对角线相交于点O，过点作分别交、于点、． （1）求证：； （2）连接，若．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）易证△BEG∽△AEB，利用对应边成比例即可解决； （2）由（1）的结论及BE=CE，易证明△CEG∽△AEC，从而可得∠CGE=∠ACE，由OB=OC，可得． 【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ABE=90° ∴∠ABG+∠EBG=90° ∵ ∴∠ABG+∠BAG=90° ∴∠EBG=∠BAG ∴Rt△BEG∽Rt△AEB ∴ ∴ （2）由（1）有： ∵BE=CE ∴ ∴ ∵∠CEG=∠AEC ∴△CEG∽△AEC ∴∠CGE=∠ACE ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD ∴OB=OC ∴∠DBC=∠ACE ∴ 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【模型04：旋转相似】 1．在数学活动课上，某兴趣小组准备了两张矩形纸片和来探究图形旋转的性质，先将顶点固定，然后使矩形纸片绕点C旋转．已知，，，，，分别是矩形和的对角线，连接，． 【尝试初探】 （1）如图1，在矩形纸片的旋转过程中，试探究的值； 【深入探究】 （2）如图2，当的中点恰好在的延长线上时，交于点，交于点，求的长； 【拓展延伸】 （3）当时，请直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质得到，再利用相似三角形的判定与性质证明即可得出结论； （2）连接，利用相似三角形的判定与性质得到，则，设，则，利用勾股定理求得值；利用等腰三角形的判定与性质和平行线的判定定理得到，则，求得，再利用相似三角形的判定与性质解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：画出符合题意的图形，利用勾股定理求得，利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【详解】解：（1）四边形和四边形为矩形，，，，， ， ． ，， ， ， ． ，， ， ， ； （2）连接，如图， 为的中点， ， 的中点恰好在的延长线上， ， ， ，， ， ， ， 设，则， ， ， ． ， ，， ， ， ， ， ． ， ， ． ， ， ， ， ． （3）的面积为或．理由如下： ①连接，，过点作于点，如图， ， ， ， 由（1）知：， ． 设，则， ， ， ． ， 的面积； ②连接，，过点作于点，如图， ， ， ， ． 由（1）知：， ， 的面积． 综上，的面积为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，分类讨论的思想方法，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2．综合与实践 如图1，在正方形中，，在上取一点G，使得，以为边作正方形，连接，． 【问题发现】 （1）的值是_______，直线，所夹锐角的度数是________． 【拓展探究】 （2）如图2，正方形绕点C顺时针旋转时，上述结论是否成立?若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在旋转过程中，当点G到直线的距离为时，请直接写出的长． 【答案】（1），；（2）成立，见解析；（3）或 【分析】（1）连接，连接交于O，延长交于H，通过证明，可得，，即可求解； （2）通过证明，可得，，，，即可求解； （3）分两种情况讨论，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，连接，连接交于O，延长交于H， ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴由勾股定理得， ∴，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：，； （2）结论仍然成立，理由如下：如图2，连接，连接交于O，延长交于H， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，， 而， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴结论仍然成立； （3）当点在右侧，过点G作交延长线于点，则 ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在左侧，过点于点，则 ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述：或． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，证明三角形相似是解题的关键． 3．【问题背景】数学课上，王老师让大家将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形． 【初步感受】 （1）①展示1：如图1，和都是等腰直角三角形，，的理论依据是 ； ②展示2：如图2，和都是等腰直角三角形，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图3，在等腰直角三角形中，，点D为边上一点，以为一边作正方形，连接，求证：； 【迁移拓展】 （3）如图4，在四边形中，点E为对角线上一点，且，其中，求的长． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3） 【分析】（1）①证明，即可解答；②根据等腰直角三角形的性质可得，，可证明，即可解答； （2）连接，结合正方形的性质以及等腰直角三角形的性质可得，，可证明，即可解答； （3）延长交于点M，根据，可得 ，可证明，从而得到，再由，可得，即可解答． 【详解】（1）解：①∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为： ②∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）如图，延长交于点M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要查了正方形的性质以及等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，利用类比思想解答是解题的关键． 4．【综合与实践】 正方形纸片的边长为2，点分别在边上，且，连接． （1）如图1，时，点到的距离是___________； 【转一转】 （2）将图1中的绕点旋转，使它的两边分别交边，于点，，连接，如图2，点到的距离是否发生变化？说明理由； 【探一探】 （3）连接正方形对角线，若图2中的的边，分别交于点，，如图3，当点是边的三等分点时，求的长． 【答案】（1）2；（2）点到的距离不变，仍是2，见解析；（3）的长为或 【分析】（1）利用正方形的性质证明，由全等三角形的性质得出，由三线合一的性质得出，再证明，由全等三角形的性质即可得出． （2）将顺时针旋转至的位置，由旋转的性质和正方形的性质证明，由全等三角形的性质即可得出答案． （3）由正方形的性质进一步证明，由相似三角形的性质得出，再根据情况分两种情况求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，为对角线， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴，即， 又， ∴， ∴， 即点到的距离是2． （2）点到的距离不变，仍是2． 理由如下： 如图，将顺时针旋转至的位置． ． ， ． ． ， ． 点到的距离为2， 点到的距离为2． （3）四边形是正方形，边长为2， ，． ， ． ． ． ． 由题意可知点是边的三等分点． 当时，； 当时，． 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形综合问题，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 5．如图，在中，点在的延长线上，，为边上一动点，连接，将绕点旋转得到． (1)如图，当点落在边上时，若，求的长． (2)如图，当为的中点，点与点重合时，与交于点，求的值． (3)在（）的条件下，若的面积为，请直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)的面积为． 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由旋转性质可知，则有，，所以，证明，根据相似三角形的性质得出，然后根据即可求解； （）过作，交于点，则有，由性质得，又为的中点，得出，同理证明，由，则，然后代入即可求解； （）根据相似三角形的性质和面积和差即可求解． 【详解】（1）解：∵绕点旋转得到， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过作，交于点， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，即， 由（）知：即，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（）得：， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 6．已知中，．现将绕点旋转至． (1)如图1，连接，，求证：． (2)如图2，在绕点旋转过程中，点的对应点恰好落在的中线的延长线上． ①求证：； ②求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）首先求出，得到，然后推出，即可证明； （2）①由得到，然后求出，得到，然后等量代换求解即可； ②延长交于点，连接，根据题意证明出，得到，然后证明出四边形是矩形，勾股定理求出，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1），． ， ， ，即， ； （2）①根据（1）得， ， 是边上的中线 ， ， ， ，即， ； ②延长交于点，连接， 由①知，，， 在和中 ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， ， 由（1）知 ， ． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 7．如图1，在矩形中，，点分别在边，上（均不与端点重合），且，以和为边作矩形，连接，．矩形绕点A顺时针旋转，如图2，连接． 【问题探究】研究旋转过程中，与的数量关系． （1）特殊化． ①当时，与的数量关系为_______； ②当时，请仅就图2求出与之间的数量关系； （2）从特殊到一般． 旋转过程中，与的数量关系为_______； 【拓展延伸】在矩形中，．若，当矩形旋转至三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）或 【分析】（1）①当时，连结，矩形和矩形都是正方形，可证明，即可根据相似三角形的性质求得答案； ②连结，根据勾股定理可求得，，进一步证明，即可根据相似三角形的性质求得答案； （2）当，时，根据（1）的方法，同样可求得，进一步证明，即可根据相似三角形的性质求得答案； （3）分两种情况讨论： ①点N在矩形内部时，连结，根据勾股定理，可求得，，即得答案； ②点N在矩形外部时，连结，同理可求得另一个答案． 【详解】解：（1）①当时，如图，，，连结， 则矩形和矩形都是正方形， 和都是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ； 故答案为：； ②连结， 当时， ，， 在中，， ， 同理， ， 矩形绕点A顺时针旋转， ， ， ， ， ； （2）当，时， 由（1）可知，， ， 同理， ， 矩形绕点A顺时针旋转， ， ， ， ， ； 故答案为：； （3）当，，，且矩形旋转至三点共线时，分两种情况讨论： ①点N在矩形内部时，连结， ，，，， ，，， 在中，， 在中，， ； ②点N在矩形外部时，连结， 由①知，，， ； 由①②可知，或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，图形旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据图形运动过程中画出符合题意的图形是解题的关键． 【模型05：K字型相似】 1．如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为2或4． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论； （2）根据，得到，进而求出解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ，即， 解得或， 的长为2或4． 2．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线）分别与x轴，y轴，线段，直线交于点E，F，P，Q． (1)当时，求证：． (2)探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2) (3)时，时，时， 【分析】（1）根据，求出与交点的坐标，即可求解； （2）先求出直线的表达式为，再联立直线与直线求出，再求出点，利用坐标系中两点距离公式求出，结合即可求解； （3）证明，得到或，分四种情况画图求解． 【详解】（1）证明：由知，， 则， 则点、的坐标分别为：， 当时，，则， 即点， ； （2）解：， 理由： 设直线的表达式为：， 将代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 联立上式和得， 解得． 即点， 同理（1）可得，点， ， ， ； （3）解：分别过点作轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， 设点，由（2）知，点、的坐标分别为：、， ①若，如图2，则， 当时， ， ， ， 联立方程组：， 解得：， ∴时，， ②若，如图3， 当时， ， ， ， 联立方程组：， 解得：． 时，； ③若，当时， 如图4，， AI， ， ， ， 联立方程组：， 解得：， ； ④的情况不存在， 综上，时，时，时，． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形相似、平行四边形的性质等知识点，分类求解是解题的关键． 3．如图，，，E是上一点，使得； (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)当时，请写出线段之间数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)线段之间数量关系：，理由见解析． 【分析】此题主要考查学生对相似或全等三角形判定与性质的理解和掌握，本题符合“一线三等角”模型． （1）先根据同角的余角相等可得，利用两角相等证明三角形相似即可； （2）先根据勾股定理得出，再根据，列比例式可得结论； （3）先根据，证明，可得，证明，则，同理可得：，相加可得结论． 【详解】（1）证明：，， ，， ，， ， ， ． （2）解：中， ，， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． （3）解：线段之间数量关系：， 理由是：如图，过作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ． 4．如图1，正方形和正方形，连接． (1)[发现]：当正方形绕点旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由； (3)[应用]：在(2)情况下，连接点在上方，若 ，且 ，，求的长． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3) 【分析】（1）先判断出，进而得出，，再利用等角的余角相等即可得出结论； （2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出，得出，，再利用等角的余角相等即可得出结论； （3）先求出，进而得出，即可得出四边形是平行四边形，进而得出，求出的长，借助（2）得出的相似，即可得出结论． 【详解】（1）解：，，理由如下： 四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， ； 如图2，延长交于，交于， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2），，理由如下： 如图3，延长交于，交于， 四边形与四边形都为矩形， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图4，设与的交点为， ， ， 在中，， ， 根据勾股定理得：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 点，，在同一条直线上，如图5， ， 在中，根据勾股定理得， ， 由（2）知，， ， 即， ． 【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握正方形得性质和矩形的性质，证明和是解本题的关键． 5．（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）结论仍成立； 理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）, , , 是等腰直角三角形    是等腰直角三角形 又 即 解得． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键． 6．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 【答案】【探究】3；【拓展】4或． 【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； 拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】探究：证明：∵是的外角， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：； 拓展：∵AC=BC， ∴∠A=∠B， ∵∠CPB是△APC的外角， ∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA， ∵∠A=∠CPE， ∴∠ACP=∠BPE， ∵∠A=∠B， ∴△ACP∽△BPE， 当CP=CE时，∠CPE=∠CEP， ∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B， ∴CP=CE不成立； 当PC=PE时，△ACP≌△BPE， 则PB=AC=8， ∴AP=AB-PB=128=4； 当EC=EP时，∠CPE=∠ECP， ∵∠B=∠CPE， ∴∠ECP=∠B， ∴PC=PB， ∵△ACP∽△BPE， ∴， 即， 解得：， ∴AP=ABPB=， 综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似三角形常考五大模型 【模型01：(双)A字型相似】....................................................................................................1 【模型02：(双)8型相似】......................................................................................................4 【模型03：母子型相似】.......................................................................................................6 【模型04：旋转相似】.........................................................................................................13 【模型05：K字型相似】.......................................................................................................17 【模型01：(双)A字型相似】 1．如图，中，，，点为中点，连接并延长交于点，且有，过点作于点． (1)求证：； (2)求的值； (3)若，直接写出的长为________． 2．如图：，分别交，，于点E、F、G，已知，，，．求，的长． 3．如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接，它们相交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．如图，已知和相交于点，点在上，． (1)求的长； (2)如果，求的值． 5．中，，点在边上，且． (1)求证：； (2)若面积，面积，求． 6．如图，在中，，，，，，，求和的长 7．定义：在中，点D和点E分别在边、边上，且，点D、点E之间的距离与直线与直线间的距离之比称为关于的横纵比．已知，在中，，边上的高长为3，关于的横纵比为，求的长． 8．综合与探究 问题情境：如图1，在中，点分别在上，已知，交于点是的中点． 猜想证明：（1）试判断与之间的数量关系，并说明理由． 深入探究：（2）如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值． 拓展应用：（3）如图3，在平行四边形中，，对角线与交于点为上一点，交于点交于点，连结．若平分，则的长为___________． 【模型02：(双)8型相似】 1．，AC与BD交于点E，且，，，． (1)求CD的长； (2)求BC的长． 2．四边形中，，与相交于点，且．    (1)求证：； (2)若，求证：． 3．已知：，AD与BC交于点E，过点E作，交BD于点F． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，求证：． 4．如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点，若，， (1)求的值； (2)求的值为______． 5．如图，在正方形中，点G是对角线上一点，的延长线交于点E，交的延长线于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 6．如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接．求证： (1)； (2)． 【模型03：母子型相似】 1．如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 ． ​ 2．如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 3．如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 4．如图中，厘米，厘米，是的中点，点从出发，以厘米/秒（）的速度沿匀速向点运动，点同时以1厘米/秒的速度从出发，沿匀速向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为秒． (1)若，，求的值； (2)设点在上，四边形为平行四边形，若，求的长． 5．如图，在菱形中，连接对角线，点在边上，过点作交于点，连结交于点． (1)若，，求的度数． (2)若，，求的长． (3)求证∶ ． 6．如图，在中，点D，E分别在边AC，AB上，BD，CE相交于点O，且，求证： (1)； (2)若，，，求BC的长． 7．如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 8.如图1，，，，点从点出发以每秒个单位长度的速度向点运动，点同时从点出发以每秒个单位长度的速度向点运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动． (1)求的长． (2)当以点、、为顶点的三角形与相似时，求的值． (3)如图2，将本题改为点从点出发以每秒个单位长度的速度在上向点运动，点同时从点出发向点运动，其速度是每秒个单位长度，其它条件不变，求当为何值时，为等腰三角形． 9．如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，交于F． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，求的长． 10．定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 11．如图，，动点，分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点从点出发，沿边一直移到点为止，点从点出发沿边一直运动到点为止（点到达点后，点继续运动） (1)请直接用含的代数式表示的长和的长，并写出的取值范围； (2)当等于何值时，与相似？ 12．如图：在矩形ABCD中，，，动点Р以的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒． （1）______m，______m，_____m（用含t的代数式表示） （2）t为多少秒时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ （3）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 13．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 14．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 15．如图，已知矩形的两条对角线相交于点O，过点作分别交、于点、． （1）求证：； （2）连接，若．求证：． 【模型04：旋转相似】 1．在数学活动课上，某兴趣小组准备了两张矩形纸片和来探究图形旋转的性质，先将顶点固定，然后使矩形纸片绕点C旋转．已知，，，，，分别是矩形和的对角线，连接，． 【尝试初探】 （1）如图1，在矩形纸片的旋转过程中，试探究的值； 【深入探究】 （2）如图2，当的中点恰好在的延长线上时，交于点，交于点，求的长； 【拓展延伸】 （3）当时，请直接写出的面积． 2．综合与实践 如图1，在正方形中，，在上取一点G，使得，以为边作正方形，连接，． 【问题发现】 （1）的值是_______，直线，所夹锐角的度数是________． 【拓展探究】 （2）如图2，正方形绕点C顺时针旋转时，上述结论是否成立?若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在旋转过程中，当点G到直线的距离为时，请直接写出的长． 3．【问题背景】数学课上，王老师让大家将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形． 【初步感受】 （1）①展示1：如图1，和都是等腰直角三角形，，的理论依据是 ； ②展示2：如图2，和都是等腰直角三角形，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图3，在等腰直角三角形中，，点D为边上一点，以为一边作正方形，连接，求证：； 【迁移拓展】 （3）如图4，在四边形中，点E为对角线上一点，且，其中，求的长． 4．【综合与实践】 正方形纸片的边长为2，点分别在边上，且，连接． （1）如图1，时，点到的距离是___________； 【转一转】 （2）将图1中的绕点旋转，使它的两边分别交边，于点，，连接，如图2，点到的距离是否发生变化？说明理由； 【探一探】 （3）连接正方形对角线，若图2中的的边，分别交于点，，如图3，当点是边的三等分点时，求的长． 5．如图，在中，点在的延长线上，，为边上一动点，连接，将绕点旋转得到． (1)如图，当点落在边上时，若，求的长． (2)如图，当为的中点，点与点重合时，与交于点，求的值． (3)在（）的条件下，若的面积为，请直接写出的面积． 6．已知中，．现将绕点旋转至． (1)如图1，连接，，求证：． (2)如图2，在绕点旋转过程中，点的对应点恰好落在的中线的延长线上． ①求证：； ②求的长． 7．如图1，在矩形中，，点分别在边，上（均不与端点重合），且，以和为边作矩形，连接，．矩形绕点A顺时针旋转，如图2，连接． 【问题探究】研究旋转过程中，与的数量关系． （1）特殊化． ①当时，与的数量关系为_______； ②当时，请仅就图2求出与之间的数量关系； （2）从特殊到一般． 旋转过程中，与的数量关系为_______； 【拓展延伸】在矩形中，．若，当矩形旋转至三点共线时，请直接写出线段的长． 【模型05：K字型相似】 1．如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 2．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线）分别与x轴，y轴，线段，直线交于点E，F，P，Q． (1)当时，求证：． (2)探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，，，E是上一点，使得； (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)当时，请写出线段之间数量关系，并说明理由． 4．如图1，正方形和正方形，连接． (1)[发现]：当正方形绕点旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由； (3)[应用]：在(2)情况下，连接点在上方，若 ，且 ，，求的长． 5．（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 6．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $