专题01 指、对、幂数的大小比较必考七类问题（举一反三专项训练）高一数学人教A版必修第一册

专题01 指、对、幂数的大小比较必考七类问题（举一反三专项训练） 【人教A版】 【类型1 利用函数的性质比较大小】 2 【类型2 中间值法比较大小】 2 【类型3 作差法、作商法比较大小】 3 【类型4 构造函数法比较大小】 4 【类型5 数形结合比较大小】 4 【类型6 利用基本不等式比较大小】 5 【类型7 放缩法比较大小】 5 知识点1 指、对、幂数比较大小的一般方法 1．单调性法 当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同时，如和，利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同时，如和，利用指数函数单调性比较大小. 2．中间值法 当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定． 3．作差法、作商法 (1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小； (2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法. 4．估算法 (1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间； (2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小. 5．构造函数法 构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小. 6．放缩法 (1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数； (2)指数和幂函数结合来放缩； (3)利用均值不等式的不等关系进行放缩. 【类型1 利用函数的性质比较大小】 1．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·云南曲靖·期末）下列大小关系，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广东广州·期末）已知，则的大小顺序为 . 6．（24-25高一上·全国·课前预习）比较下列各组数的大小． (1)与； (2)与； (3)，与． 【类型2 中间值法比较大小】 7．（25-26高三上·重庆·阶段练习）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．（2025高二下·天津南开·学业考试）设，，，则的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 9．（24-25高一上·北京·期中）比较，，的大小关系，结果为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·陕西汉中·期末）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知，，，则、、的大小关系为 ．（用连接） 12．（25-26高一·全国·随堂练习）已知，，． (1)比较x，y的大小； (2)比较y，z的大小． 【类型3 作差法、作商法比较大小】 13．（24-25高一上·宁夏银川·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2025·重庆·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高三上·福建龙岩·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 16．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一上·上海·单元测试）已知，，，则与的大小关系是 ． 18．（24-25高三·全国·对口高考）（1）比较与的大小； （2）已知，比较与大小 【类型4 构造函数法比较大小】 19．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知，，，则实数的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高二下·云南玉溪·期中）已知实数满足，，，则（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高三下·江西·阶段练习）已知实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D．a，b的大小无法判断 23．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 24．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【类型5 数形结合比较大小】 25．（2025·江西·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D．无法确定 26．（24-25高一上·浙江台州·期中）已知，，满足，则（   ） A． B． C． D． 27．（2024·全国·模拟预测）已知，则实数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 28．（2024·广东茂名·一模）已知均为大于0的实数，且，则大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知正实数a，b，c满足，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 30．（24-25高一上·山东潍坊·期末）若，则，，大小关系为 . 【类型6 利用基本不等式比较大小】 31．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）若，，，则、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）设，则（   ） A． B． C． D． 33．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）我们知道当或时，.若，则（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高一上·湖北黄冈·阶段练习）设，，，则（   ） A． B． C． D． 35．（24-25高二下·浙江温州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 36．（24-25高二上·安徽·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【类型7 放缩法比较大小】 37．（2025·四川乐山·三模）若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 38．（2025·四川宜宾·一模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 39．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 40．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 41．（24-25高二下·广东广州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 42．（24-25高三上·黑龙江黑河·阶段练习）已知分别满足下列关系：，则的大小关系（从小写到大） . 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 指、对、幂数的大小比较必考七类问题（举一反三专项训练） 【人教A版】 【类型1 利用函数的性质比较大小】 2 【类型2 中间值法比较大小】 4 【类型3 作差法、作商法比较大小】 6 【类型4 构造函数法比较大小】 9 【类型5 数形结合比较大小】 12 【类型6 利用基本不等式比较大小】 17 【类型7 放缩法比较大小】 19 知识点1 指、对、幂数比较大小的一般方法 1．单调性法 当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同时，如和，利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同时，如和，利用指数函数单调性比较大小. 2．中间值法 当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定． 3．作差法、作商法 (1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小； (2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法. 4．估算法 (1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间； (2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小. 5．构造函数法 构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小. 6．放缩法 (1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数； (2)指数和幂函数结合来放缩； (3)利用均值不等式的不等关系进行放缩. 【类型1 利用函数的性质比较大小】 1．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用指数函数和对数函数的单调性比较大小即可. 【解答过程】因为在上单调递增，且， 所以，得，即， 因为在上单调递减，且， 所以，即， 因为在上单调递减，且， 所以，即， 所以. 故选：A. 2．（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据指数及对数函数的单调性即可得出判断． 【解答过程】因为在单调递增，所以，即， 因为在上单调递增，所以，即， 因为在单调递减，所以，即， 所以， 故选：A． 3．（24-25高一上·云南曲靖·期末）下列大小关系，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】应用幂函数，指数函数及对数函数单调性判断各个选项即可. 【解答过程】因为是增函数，，所以，A错误； 因为是增函数，，所以，B错误； 因为，C选项正确； 因为，D选项错误； 故选：C. 4．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据对数函数单调性可得，再由指数函数以及幂函数性质可判断，可得结论. 【解答过程】因为，所以，可得； 则，即， 又，即， 易知指数函数单调递减，可得， 又幂函数单调递增，可知， 即可得； 因此可得. 故选：D. 5．（24-25高一上·广东广州·期末）已知，则的大小顺序为 . 【答案】 【解题思路】根据指数函数以及对数函数的单调性，分别判断出三个数的范围，在由指数化成根式比较的大小，可得答案. 【解答过程】因为， 又， 而，则，则， 所以，. 故答案为：. 6．（24-25高一上·全国·课前预习）比较下列各组数的大小． (1)与； (2)与； (3)，与． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据的单调性比较出大小； （2）利用对数函数单调性和中间值比较出； （3）利用指数函数和对数函数单调性和中间值比较出大小 【解答过程】（1）因为函数在上是增函数，又，所以． （2）由于，所以． （3）因为，， 所以． 【类型2 中间值法比较大小】 7．（25-26高三上·重庆·阶段练习）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】通过中间值0和1，即可比较大小. 【解答过程】因为， 所以， 故选：B. 8．（2025高二下·天津南开·学业考试）设，，，则的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据指数函数和对数函数的单调性，借助中间值和，比较大小即可求解. 【解答过程】因为指数函数在上单调递增，所以，即； 因为对数函数在上单调递增，所以，即； 因为对数函数在上单调递增，所以，即， 所以，即. 故选：B. 9．（24-25高一上·北京·期中）比较，，的大小关系，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用指数函数，对数函数的性质，在中插入中间值进行比较. 【解答过程】根据指数函数的性质知， 因为是增函数，所以，故； 因为是减函数，所以， 于是，即. 故选：B. 10．（24-25高一上·陕西汉中·期末）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用换底公式，由对数函数的单调性，利用中间值法，可得答案. 【解答过程】由，则， 由函数在上单调递增，即，则， 由，则. 故选：B. 11．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知，，，则、、的大小关系为 ．（用连接） 【答案】 【解题思路】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【解答过程】因为指数函数在上为减函数，则， 指数函数在上为增函数，则， 对数函数在上为增函数，则， 因此，. 故答案为：. 12．（25-26高一·全国·随堂练习）已知，，． (1)比较x，y的大小； (2)比较y，z的大小． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用对数函数的单调性，和中间值1比较大小，即可判断； （2）利用对数函数的单调性，以及对数式的运算，和中间值比较大小，即可判断. 【解答过程】（1）因为，所以，即 因为，所以，即， 所以； （2），且，所以， ，所以， 所以. 【类型3 作差法、作商法比较大小】 13．（24-25高一上·宁夏银川·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】通过两式作差可判断大小. 【解答过程】因为，所以， 所以，，所以， 综上. 故选：D. 14．（2025·重庆·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用对数函数单调性比较和的大小，再根据作商法比较的大小可得答案. 【解答过程】因为，，， 所以， 又， 所以，所以. 故选：B. 15．（24-25高三上·福建龙岩·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用作差法、对数的运算性质、对数函数的性质比较即可. 【解答过程】 ，则， ， 则，所以. 故选：B. 16．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用对数的运算与换底公式比较，利用中间数，分别作差比较，从而得解. 【解答过程】因为，， 又因为，，所以， 又因为， 因，，故，所以，即， 又，因，，故， 所以，即，所以， 故. 故选：D. 17．（24-25高一上·上海·单元测试）已知，，，则与的大小关系是 ． 【答案】 【解题思路】利用作差法，结合换底公式可比较大小. 【解答过程】 ， 因为， 所以，，，， 所以，即， 故答案为：. 18．（24-25高三·全国·对口高考）（1）比较与的大小； （2）已知，比较与大小 【答案】（1）；（2） 【解题思路】（1）利用作商法，分类讨论即可； （2）利用做差法、换底公式以及不等式的性质分析即可. 【解答过程】（1）因为， 所以， 所以①当时，， 所以， ②当时，， 即， 所以， ③当时，， 即， 所以， 综上所述：当，. （2） ， 因为，所以， 所以， 由 ， 所以， 所以， 即， 故. 【类型4 构造函数法比较大小】 19．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】构建函数，，利用两函数的单调性进行比较. 【解答过程】由是上的减函数，所以有，则； 函数为上的减函数，所以有， 所以，故. 故选：D. 20．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知，，，则实数的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用中间变量法得到，利用构造函数法得到即可. 【解答过程】因为，， 所以，而，， 故我们构造指数函数，得到， 由指数函数性质得在上单调递减， 因为，所以，综上可得，故C正确. 故选：C. 21．（24-25高二下·云南玉溪·期中）已知实数满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由对数函数单调性得，构造函数，由函数的单调性得及，即可得出判断． 【解答过程】由对数函数单调性得，， 构造函数，则， 因为和单调递增，所以单调递增， 因为，即，所以， 又，所以，即， 所以， 故选：A． 22．（24-25高三下·江西·阶段练习）已知实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D．a，b的大小无法判断 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，构造函数，利用单调性并借助媒介数比较大小. 【解答过程】函数在上单调递增，且，则由，得， 又，所以. 故选：A. 23．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，构造函数并判断其单调性，借助函数单调性比较大小即可. 【解答过程】令，，显然函数在上都递增，则函数在上递增， 而，，， 又，因此 所以. 故选：C. 24．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用对数函数的性质确定与“0”和“1”的大小关系，再结合对数换底公式与对数运算性质构造函数，确定函数在区间上的单调性即可比较大小，得出结论. 【解答过程】易知， 又， 故设，则， 又在区间上单调递增，故在区间上单调递减， 即，所以，综上，． 故选：C. 【类型5 数形结合比较大小】 25．（2025·江西·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【解题思路】令，，构造函数，作出函数图象，即可比大小. 【解答过程】因为， 所以， 因为， 所以，可得， 令，， 所以， 设，，， 作出它们的图象如图： 由图可知.故选项A正确. 故选：A. 26．（24-25高一上·浙江台州·期中）已知，，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用指数、对数函数单调性结合函数图象，可限定出各数值的取值范围，可得结论. 【解答过程】根据单调递增可得， 由单调递增可得， 由可知是函数和图象交点的横坐标， 如下图所示： 由图可知.因此可得. 故选：A. 27．（2024·全国·模拟预测）已知，则实数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到，得到，求出，根据单调性得到，从而得到答案. 【解答过程】令，其在R上单调递减， 又， 由零点存在性定理得， 则在上单调递减， 画出与的函数图象，    可以得到， 又在R上单调递减，画出与的函数图象，    可以看出， 因为，故，故， 因为，故， 由得，． 综上，． 故选：D． 28．（2024·广东茂名·一模）已知均为大于0的实数，且，则大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，将问题转化为函数与直线的交点的横坐标的关系，再作出图像，数形结合求解即可. 【解答过程】解：因为均为大于0的实数， 所以， 进而将问题转化为函数与直线的交点的横坐标的关系， 故作出函数图像，如图， 由图可知 故选：C. 29．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知正实数a，b，c满足，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由已知条件分析出是函数与交点的横坐标，是函数与交点的横坐标，是函数与交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出图像，由图像得出，再画出的图像，分析出，利用不等式的性质即可判断出答案． 【解答过程】， ， ，， 是函数与交点的横坐标， 是函数与交点的横坐标， 是函数与交点的横坐标， 如下图所示，则，且， 选项A： ，且 ， ，故A错误； 选项B： ，且， ，故B错误； 选项C： ，且， ，故C正确； 选项D： ， ， 又， ，故D错误； 故选：C． 30．（24-25高一上·山东潍坊·期末）若，则，，大小关系为 . 【答案】 【解题思路】先由可得，，，由，得，，在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，结合图象可得结果. 【解答过程】由，得当时，，当时，，则， 由，得当时，，则， 由，得当时，，则， 由，得，， 因此为和图象交点的横坐标，为和图象交点的横坐标， 在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，如图所示， 由图得，所以. 故答案为：. 【类型6 利用基本不等式比较大小】 31．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）若，，，则、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用作差法、换底公式、基本不等式可得出、、的大小关系. 【解答过程】因为 ，即， ，即，因此，. 故选：A. 32．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据对数函数的性质、对数的运算法则及基本不等式判断即可. 【解答过程】因为， ， 又，，所以， ， 且，所以， 所以. 故选：A. 33．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）我们知道当或时，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由结合基本不等式和对数运算可知，由题意结合对数的运算性质可判断，即可得出答案. 【解答过程】因为， ， 所以， 因为，所以，所以， 所以. 故选：B. 34．（24-25高一上·湖北黄冈·阶段练习）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据对数函数的性质判断，作商法结合基本不等式可判断. 【解答过程】因为，又，所以， 所以，即， 又因为， 所以， 所以，所以. 故选：B. 35．（24-25高二下·浙江温州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先判断出，，然后根据作差法结合基本不等式比较. 【解答过程】由题意，，，， 由换底公式，， ， 由于，根据基本不等式，， 故，即，于是. 故选：A. 36．（24-25高二上·安徽·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由于都为正数，可用作除法，结合基本不等式和对数性质比较大小. 【解答过程】，即. ,即. 综上知道. 故选：D. 【类型7 放缩法比较大小】 37．（2025·四川乐山·三模）若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用放缩法可得，利用作商比较法可得，进而可得，可得结论. 【解答过程】， 所以则， 又， 所以，所以. 故选：D. 38．（2025·四川宜宾·一模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据得到，根据得到，由得到. 【解答过程】 ， ， ， ， ， ， . 故选：D. 39．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】首先，而，然后，即可得出结论. 【解答过程】由得， 而. 故选：C. 40．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】采用放缩法和中间值比较大小，得到. 【解答过程】因为， ，故， ， 所以. 故选：A. 41．（24-25高二下·广东广州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据指数函数及对数函数的单调性判断指数式和对数式的大小关系. 【解答过程】因为，所以， ， ， 所以. 故选：B. 42．（24-25高三上·黑龙江黑河·阶段练习）已知分别满足下列关系：，则的大小关系（从小写到大） . 【答案】 【解题思路】先分别求出，与可通过作差可比较大小，可以通过放缩再和作商比较出大小. 【解答过程】因为，所以， = ， 所以即， 所以，故有 故答案为：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $