第四章 数列（举一反三单元测试·拔尖卷）高二数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列（举一反三单元测试·拔尖卷） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·甘肃酒泉·阶段练习）已知数列的通项公式是，则下列各数是的项的是（    ） A．18 B．20 C．32 D．66 2．（5分）（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）设等差数列的前项和分别为．若，则（   ） A． B． C． D．2 3．（5分）（24-25高二上·上海青浦·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 4．（5分）（24-25高二上·广东清远·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的称为三角形数，第二行的称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为（    ） A．22 B．26 C．35 D．51 5．（5分）（25-26高二上·湖北黄冈·阶段练习）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：“把100个面包分给5个人，使每个人所得面包数成等差数列，且使最大的三份之和的是较小的两份之和，求最小的一份的数量.”此题中，若要使得每个人获得的面包数都是整数个，则题中的面包总数“100”可以修改为（    ） A．122 B．121 C．120 D．110 6．（5分）（25-26高二上·江苏·阶段练习）数列满足，则数列的前9项和为（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（25-26高二上·福建龙岩·阶段练习）已知数列满足，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高二上·黑龙江·期末）在等比数列中，，，，成等差数列.若，且对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最大项为 10．（6分）（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．数列是递减数列 B．当时，最大 C．使得成立的最小自然数 D．中的最小项为 11．（6分）（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）有一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列（当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618）．在现代物理、准晶体结构、股市研究等领域，斐波那契数列都有应用，现将数列中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C．，，若数列为等比数列，公比为q，则 D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·全国·单元测试）设等差数列的前项和为，若，则 ． 13．（5分）（25-26高二上·上海·阶段练习）数列满足，n为正整数.若数列是严格增数列，则实数a的取值范围为 . 14．（5分）（25-26高二上·全国·期末）已知数列满足，，且，若表示不超过x的最大整数（例如，），记，则数列的前2026项和为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·全国·课后作业）写出下列各数列的一个通项公式： (1)； (2)； (3)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…． 16．（15分）（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明： (1)； (2)． 17．（15分）（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列为等差数列，公差，的部分项恰为等比数列，若． (1)求； (2)设数列满足：，求数列的前n项和． 18．（17分）（25-26高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 19．（17分）（24-25高二上·云南昆明·期末）对于，若数列满足，则称这个数列为“数列”． (1)已知数列1，，2m是“数列”，求实数m的取值范围． (2)是否存在首项为的等差数列为“数列”，且其前项和使得恒成立？若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由． (3)已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”，若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列（举一反三单元测试·拔尖卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·甘肃酒泉·阶段练习）已知数列的通项公式是，则下列各数是的项的是（    ） A．18 B．20 C．32 D．66 【答案】B 【解题思路】由题可知当是64的因数时，是整数，计算依次判断即可. 【解答过程】因为， 所以当是64的因数1，2，4，8，16，32，64时，是整数， 当或时，，故D错误； 当或时，，故C错误； 当或时，，故B正确； 当时，，故A错误． 故选：B． 2．（5分）（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）设等差数列的前项和分别为．若，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】先对目标式合理变形得到，再结合题意求值即可. 【解答过程】由题意得， 因为，所以，故A正确. 故选：A. 3．（5分）（24-25高二上·上海青浦·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，探讨从变到不等式左边增加的部分即可得解. 【解答过程】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 增加的项为，共有项. 故选：B. 4．（5分）（24-25高二上·广东清远·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的称为三角形数，第二行的称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为（    ） A．22 B．26 C．35 D．51 【答案】C 【解题思路】类比三角形数和正方形数得到五边形数，再由从第二项起，后项与前项的差依次为求解. 【解答过程】解：如图， 称为五边形数， 从第二项起，后项与前项的差依次为， 所以五边形数的第5项为， 故选：C. 5．（5分）（25-26高二上·湖北黄冈·阶段练习）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：“把100个面包分给5个人，使每个人所得面包数成等差数列，且使最大的三份之和的是较小的两份之和，求最小的一份的数量.”此题中，若要使得每个人获得的面包数都是整数个，则题中的面包总数“100”可以修改为（    ） A．122 B．121 C．120 D．110 【答案】C 【解题思路】根据等差数列的求和公式及通项公式列方程求首项及公差可得解. 【解答过程】假设等差数列的公差为，首项为最小的一份，100修改为： 则，解得，， 因为要使得每个人获得的面包数都是整数个， 所以是的正整数倍，结合选项可知. 故选：C. 6．（5分）（25-26高二上·江苏·阶段练习）数列满足，则数列的前9项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据已知条件求出数列的通项公式，再得到数列的通项公式，最后利用裂项相消法求出其前项和. 【解答过程】数列满足①, 当时，； 当时，②， ①②得，， 又因为，不满足上式， 故， 当时，， 设数列的前9项和为, 则 ， 故选：. 7．（5分）（25-26高二上·福建龙岩·阶段练习）已知数列满足，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由递推公式结合等比数列定义可得数列的通项公式，则可计算出，再结合数列单调性计算即可得. 【解答过程】，所以， 所以是以为首项、2为公比的等比数列， 所以， 所以， 若数列是递增数列，则恒成立， 所以 恒成立， 所以恒成立，所以， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 8．（5分）（24-25高二上·黑龙江·期末）在等比数列中，，，，成等差数列.若，且对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设等比数列的公比为，根据，，成等差数列列方程，即可解得公比，即可得通项公式，进而得，然后分是奇数或是偶数讨论，利用数列的单调性求最值即可. 【解答过程】设等比数列的公比为，依题意，，即， 又，则，化简得，因为， 所以，解得，所以. 因此，. 当为偶数时，由，得，又， 所以对任意的偶数都成立， 因为单调递减，所以当时有最大值， 故； 当为奇数时，由，得，又， 所以对任意的奇数都成立， 因为单调递增，且当时，，故， 综上所述，. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最大项为 【答案】ACD 【解题思路】对于A，分，讨论可得；对于B、C，借助，得为递减数列，即，结合，得 ；对于D，由BC知当时，，当时，，即可得的最大项. 【解答过程】对于A，由等比数列性质可得， 若，因为，所以 ，不满足， 若，因为，所以，不满足， 所以，故A正确； 对于B、C，因为，为递减数列，所以， 又，所以 ，故B错误、C正确； 对于D，由B，C可得当时，，当时，， 所以的最大值为，故D正确． 故选：ACD. 10．（6分）（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．数列是递减数列 B．当时，最大 C．使得成立的最小自然数 D．中的最小项为 【答案】AB 【解题思路】根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质，结合已知条件，分析数列的单调性、前项和的最值、时的最小值以及的最小项即可. 【解答过程】对于：因为，所以， 因为，所以，所以， 且0，所以数列是递减的等差数列， 且， 则当时，最大，故正确； 对于C:由上述分析可知，当时，递减， 且， 所以使得成立的最小自然数，故错误； 对于：因为当时，，所以； 当时，，，所以； 当时，，所以； 且， 则有， 所以，即， 所以中的最小项为，故D错误. 故选：AB. 11．（6分）（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）有一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列（当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618）．在现代物理、准晶体结构、股市研究等领域，斐波那契数列都有应用，现将数列中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C．，，若数列为等比数列，公比为q，则 D． 【答案】BD 【解题思路】根据题中给出的信息，运用列举法分别求出数列中的项，发现数列是周期为6的周期数列，然后利用周期性即可判断选项AB，利用等比数列的定义结合新定义即可判断选项C，利用，列举，然后相加即可判断选项D． 【解答过程】由题意，斐波那契数列：， 各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为， 可得数列的各项分别为， 所以数列是周期为6的周期数列． 因为，所以，故A错误； 因为，且， 所以 ，故B正确； ，，若数列为等比数列，公比为q， 则，又， 则， 则，且，则，且，故C错误； 因为，，…，，， 将上面各式相加得， ， 即， 则， 即，故D正确， 故选：BD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·全国·单元测试）设等差数列的前项和为，若，则 ． 【答案】 【解题思路】设公差为，应用等差数列前项和公式求解. 【解答过程】设等差数列的公差为， 由，得 ，解得， 则 ． 故答案为：. 13．（5分）（25-26高二上·上海·阶段练习）数列满足，n为正整数.若数列是严格增数列，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】由题意列不等式即可求解. 【解答过程】由题意若数列是严格增数列，则当且仅当，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 14．（5分）（25-26高二上·全国·期末）已知数列满足，，且，若表示不超过x的最大整数（例如，），记，则数列的前2026项和为 . 【答案】2027 【解题思路】先根据等差数列定义得出等差数列通项，再结合累加法计算得出所以，结合函数新定义计算求和. 【解答过程】因为，所以. 因为，，所以，所以数列是首项为4，公差为2的等差数列，故， 由累加法可知当时， ， 所以，又也符合该式，所以， 所以， 当时，， 当时，，此时， 所以的前2026项和为. 故答案为：2027. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·全国·课后作业）写出下列各数列的一个通项公式： (1)； (2)； (3)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）（2）根据分子分母各自的规律即可求解， （3）根据奇偶性，结合即可求解. 【解答过程】（1）数列的奇数项为负，偶数项为正．把看成，则各项的绝对值的分母依次为可写成， 分子依次为可化为，可写成． 所以数列的一个通项公式为． （2）数列可写成，，所以数列的一个通项公式为． （3）将数列变形为，， 所以数列的一个通项公式为． 16．（15分）（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）记，验证当时，等式成立；假设当时，等式成立，然后证明出当时，等式成立，利用数学归纳法可证得结论成立； （2）记，验证当时，等式成立；假设当时，等式成立，然后证明出当时，等式成立，利用数学归纳法可证得结论成立. 【解答过程】（1）证明：记， 当时，则有，等式成立， 假设当，等式成立，即， 则， 这说明当时，等式成立， 故对任意的，. （2）证明：设， 当时，，等式成立， 假设当时，等式成立， 即， 所以， ， 这说明当时，等式成立， 所以，对任意的，. 17．（15分）（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列为等差数列，公差，的部分项恰为等比数列，若． (1)求； (2)设数列满足：，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设等差数列的首项为，进而根据得，此时可得，，进而得； （2）结合（1）得，进而根据错位相减法求解即可. 【解答过程】（1）解：根据题意，设等差数列的首项为， 因为的部分项恰为等比数列，且， 所以成等比数列，即， 所以，整理得， 所以，， 所以， 所以的部分项构成的等比数列的首项为，公比为， 所以，其通项公式为， 又因为，所以， 因为，所以 （2）解：因为由（1）得， 所以 所以， ， 两式相减得：， 所以，. 18．（17分）（25-26高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【解题思路】（1）根据题目条件利用等比数列定义即可得证． （2）运用错位相减求和法求，根据数列单调性处理不等式恒成立，进而求出实数的取值范围． 【解答过程】（1）证明：因为， 所以． 因为，所以． 又，所以，即证得是首项为1，公比为2的等比数列． （2）①由（1）可得，则， ， ， 两式相减得：， 即， 所以，则． ②因为不等式对任意的正整数恒成立， 所以 对任意的正整数恒成立， 即， 设在为增函数， 所以. 故实数的取值范围为 19．（17分）（24-25高二上·云南昆明·期末）对于，若数列满足，则称这个数列为“数列”． (1)已知数列1，，2m是“数列”，求实数m的取值范围． (2)是否存在首项为的等差数列为“数列”，且其前项和使得恒成立？若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由． (3)已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”，若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)答案见解析 【解题思路】（1）根据题意得到，且，再解不等式组即可； （2）首先假设存在等差数列符合要求，从而得到成立，再分类讨论和的情况，即可得到答案. （3）首先设数列的公比为q，则，根据题意得到，从而得到为最小项，再利用“数列”的定义得到，或，，再分类讨论即可得到答案. 【解答过程】（1）由题意得，且，解得， 所以实数m的取值范围是． （2）不存在．理由：假设存在等差数列符合要求，设公差为d，则， 由得． 由题意，得对均成立，即． 当时，； 当时，恒成立， 因为，所以，与矛盾， 所以这样的等差数列不存在． （3）设数列的公比为q，则． 因为的每一项均为正整数，且， 所以在中，为最小项. 同理，中，为最小项. 由为“数列”，只需，即． 又因为不是“数列”，且为最小项， 所以，即． 由数列的每一项均为正整数，可得， 所以或． 当时，，则． 令，则， 又， 所以为递增数列，即， 因为， 所以对于任意的，都有，即数列为“数列”． 当时，，则． 因为，所以数列不是“数列”． 综上所述，当时，，数列为“数列”； 当时，，数列不是“数列”． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $