第四章 数列（举一反三讲义·培优篇）高二数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列全章十大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【人教A版】 题型1 数列的最大（小）项 1．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（   ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解题思路】设数列的最大项为,由求解. 【解答过程】设数列的最大项为.则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：A. 2．（25-26高二上·四川成都·阶段练习）已知数列的通项公式为，前项和为，则下列结论错误的是（    ） A．的最小项是，最大项是 B．当时，最小 C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意得，进而得的单调性，即可判断A，当时，，即可判断B，由即可判断C，由，即可判断D. 【解答过程】由题意有， 所以在单调递减数列，当时，，当时，， 又，所以的最小项是，最大项是，故A正确； ，当时，，所以当时，最小，故B正确； 由，所以，故C错误； 由，，所以，故D正确. 故选：C. 3．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知数列的通项公式为，则中最小项的值为 . 【答案】 【解题思路】由通项公式得，，根据二次函数的性质确定最小项的值. 【解答过程】由，又，而， 当时，，当时，， 所以中最小项的值为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·江苏·期中）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的最大项． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据求出通项公式； （2）求出，当时，计算出，，当时，，从而得到数列的最大项. 【解答过程】（1）中，令得， 当时，， 其中， 故 （2）当时，， 当时，， 则， 当时，， 当时，，，故， 故时，的最大项为， 又，故数列的最大项为. 5．（24-25高二下·贵州黔东南·阶段练习）已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列中的最大项和最小项． 【答案】(1)； (2)最大项为，最小项为. 【解题思路】（1）根据题干已知条件并结合公式，即可计算出数列的通项公式. （2）由（1）可得数列是单调递增数列，进而求出负数项、正数项对应的n值，再由单调性求出数列中的最大项和最小项. 【解答过程】（1）数列中，， 当时，， 当时，，满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，，则数列是单调递增数列， 由，得，即当时，，当时，， 而，因此当时，，且数列单调递减，即； 当时，，且数列单调递减，即， 所以数列中的最大项为，最小项为. 题型2 等差数列的判定与证明 1．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】先假设数列是等差数列，结合等差数列的性质设出其首项及公差，计算可得数列亦为等差数列，举出恰当的数列的通项公式，使是等差数列，但不是等差数列即可得. 【解答过程】若数列是等差数列，可设其首项为，公差为， 则，则， 即数列是以为首项，为公差的等差数列； 若数列是等差数列，取，则，符合要求， 但数列不为等差数列， 故“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知是无穷数列，，则“对任意的，都有”是“是等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据充分性和必要性的判断，直接论证即可. 【解答过程】对任意的，都有， 令，可以得到，因此是公差为的等差数列； 若，则，，，可得， 故“对任意的，都有”是“是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（24-25高二上·广东深圳·期末）若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ） A． B． C．（为常数） D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，结合等差数列的定义和特殊数列，逐项判定，即可求解. 【解答过程】因为数列为等差数列，设公差为，可得， 对于A中，例如：等差数列，则， 此时数列不是等差数列，所以A符合题意； 对于B中，数列中，可得，所以数列为常数列， 所以数列一定是等差数列，所以B不符合题意； 对于C中，数列中，可得（常数）， 所以数列一定是等差数列，所以C不符合题意； 对于D中，数列中，可得， 所以数列一定是等差数列，所以D不符合题意. 故选：A. 4．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知正项数列的前项和为，且满足，． (1)证明数列为等差数列，并求出它的通项公式； (2)求的值． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【解题思路】（1）利用可得，然后整理得，即可证明数列为等差数列，然后求通项即可； （2）利用裂项相消求和即可. 【解答过程】（1）由可得， 相减可得， 所以，可得， 因为为正项数列，所以，， 则，数列为等差数列，且公差为2， 故． （2）因为， 所以． 5．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）已知数列的前项和为，，. (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【解题思路】（1）由递推关系变形可得，结合等差数列定义证明结论，利用等差数列通项公式求出数列的通项公式，再根据和的关系求数列的通项公式； （2）由（1）计算，判断数列的单调性，令的最大值小于即可求解. 【解答过程】（1）由得，又， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列， ∴，即 ∴当时，， 又不满足上式，所以. （2）由（1）知， ∴ ∴当时，； 当时，，即 所以的最大值为， 依题意，即，解得或. 所以实数的取值范围是：. 题型3 等差数列的前n项和及其最值 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）数列是等差数列，，记是的前9项和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据已知求公差，进而求，应用等差数列的前n项和公式及等差数列的性质求. 【解答过程】由题设，数列的公差，则，且. 故选：A. 2．（24-25高二上·陕西西安·期末）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据等差数列的性质，可以判断数列的特点，确定何时最大. 【解答过程】因为数列为等差数列， 由 ； 由 . 所以. 所以等差数列是首项为正数的递减数列，且前6项为正，从第7项开始为负数. 所以最大. 故选：B. 3．（25-26高二上·江苏·阶段练习）等差数列的前n项和为，则 ． 【答案】 【解题思路】根据等差数列的通项公式和前项和公式求解即可. 【解答过程】设等差数列的公差为， 则，解得， 所以， 故答案为：. 4．（25-26高二上·甘肃陇南·阶段练习）记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 【答案】(1) (2)，的最小值为 【解题思路】（1）根据等差数列性质可得，进而可得公差和通项公式； （2）根据等差数列求和公式求，再根据的符号性分析最值. 【解答过程】（1）因为为等差数列的前项和，且，， 则，即，可得公差， 所以数列的通项公式为. （2）因为，则， 令，解得， 可知当时，；当时，； 所以的最小值为. 5．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）等差数列前项和为，对任意正整数，均有，． (1)求及； (2)在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，求的值． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）设，根据可求出的值，由已知条件得出，可求出的值，即可得出数列的通项公式，结合等差数列的求和公式可求出； （2）利用等差数列的定义求出的表达式，结合等差数列的定义推导出数列为等差数列，结合等差数列的求和公式可求出的值. 【解答过程】（1）因为数列为等差数列，不妨设， 由可得，故，解得， 所以， 对任意的，，则，即，即， 所以，解得，故，， 所以，合乎题意， 综上所述，，. （2）在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列， 这个等差数列、、、，则，， 所以， 当时，，故数列为等差数列， 所以. 题型4 等比数列的判定与证明 1．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）设数列，都是等比数列，则在4个数列，，，中，一定是等比数列的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解题思路】取，可判断；取 ，可判断；利用等比数列的定义可判断，. 【解答过程】对于，不妨取，则数列、都是等比数列， 但对任意的，，故数列不是等比数列； 对于，不妨取，则数列、都是等比数列， 但当时，，故数列不是等比数列； 设等比数列、的公比分别为，其中， 对任意的，， 对于，，即数列为等比数列； 对于，，故为等比数列， 故，一定是等比数列. 故选：B. 2．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知数列的前n项和为且满足． (1)求，值； (2)证明数列为等比数列并求其通项公式． 【答案】(1)，； (2)证明见解析，. 【解题思路】（1）根据给定的递推公式，取求解. （2）利用，结合等比数列定义推理并求出通项. 【解答过程】（1）数列的前n项和为，由得，解得， ，解得， 所以，. （2）当时，，则当时，， 两式相减得，整理得，而， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列，通项公式. 3．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知为数列的前n项和，，且且. (1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式; (2)若，记为数列的前n项和，求证：. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【解题思路】（1）当时，可得，进而两式相减，可得，进而可得是等比数列，可求通项公式； （2）利用裂项相消法可求得，进而可证结论. 【解答过程】（1）当时，；当时，； 当时，，可得， 两式相减并整理得，所以. 又，所以，又，满足上式， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以； （2）由（1）知=， 所以 . 因为，所以递增，所以，即. 4．（24-25高三下·全国·开学考试）设数列的前n项和，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）由可得，再通过化简结合等比数列的定义即可证明； （2）先结合（1）求出，再根据时，求出，最后验证即可. 【解答过程】（1）， ， 即， 即， 即， 即， 又， 数列是以首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）知：， 即， 当时，， ， 又也适合上式， 故. 5．（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知数列中，，且满足（）． (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)令，为数列的前n项和，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）由题意，可得，结合等比数列的定义即可证明； （2）由（1），根据等比数列的通项公式计算即可求解； （3）由（2）可得，利用裂项相消求和法可得，结合作差法即可证明. 【解答过程】（1）由题意知，所以， 由于，故，故， 故数列是以3为首项，公比为3的等比数列； （2）由（1）可知是以3为首项，公比为3的等比数列， 所以，故 （3）由（2）知． 所以， 故 ， 由于，故， 又， 故，所以. 题型5 等比数列的前n项和及其最值 1．（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知是等比数列的前n项和，若，则（   ） A．1022 B．1023 C．1024 D．1025 【答案】B 【解题思路】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到方程组，解得首项和公比，代入等比数列的前n项和公式可求； 【解答过程】设等比数列的公比为，由题意可得解得 则 故选：B. 2．（2025·北京西城·一模）设等比数列的前项和为，前项的乘积为．若，则（   ） A．无最小值，无最大值 B．有最小值，无最大值 C．无最小值，有最大值 D．有最小值，有最大值 【答案】D 【解题思路】利用基本量法，可求出公比满足，根据前项和与前项积的定义进行讨论计算，可以得出有最小值，而有最大值. 【解答过程】由已知，是等比数列，，即，可得， 若，则，可计算当时，， 结合，可得即为的最小值， 同理，当，，当，，可知的最小值为， 综上可得，有最小值. 由可得，， 根据等比数列的性质，，必有满足对于所有，， 因为一定是正负交替出现，可得一定存在最大值. 综上，对于满足已知条件的等比数列，满足有最小值，有最大值. 故选：D. 3．（25-26高三上·福建·开学考试）记为公比大于1的等比数列的前项和，若，，则 . 【答案】 【解题思路】由条件解得基本量和，再由前项和公式即可得. 【解答过程】设等比数列的公比为，由，得，即. 再由，得，即，解得或（舍去）, . 所以. 故答案为：. 4．（24-25高二上·青海西宁·期末）在公比大于0的等比数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】运用等比数列的性质公式构造方程计算，得到通项公式，结合求和公式求和即可. 【解答过程】（1）设等比数列的公比为，由题意得 所以，解得（舍去），   所以． （2）由于，则． 5．（24-25高二上·广东广州·期末）记为等比数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式及前项和； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用等比数列的通项公式和前项和公式，结合已知条件求出等比数列的首项和公比，进而得到通项公式和前项和公式；（2）对于数列的前项和，通过错位相减法来求解. 【解答过程】（1）设等比数列的公比为. 已知，可得 ①. 又已知，可得 ②. 将①代入②得：，即， ③. 由①得，代入③得：，，，解得或. 因为，所以，则. 把代入，得，. 那么数列的通项公式. 前项和. （2）已知，. 则 ④. ⑤. 由④ - ⑤得： . . 等比数列（）的首项为，公比为，项数为项，其和为. 所以. 则. 则数列的前项和. 题型6 等差、等比数列的综合应用 1．（24-25高二上·甘肃定西·阶段练习）已知数列为等比数列，若，且与的等差中项为，则数列的公比（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【解题思路】根据等比数列下标和性质求出，再由等差中项的性质求出，从而求出公比. 【解答过程】等比数列中，又，所以，显然， 所以，又与的等差中项为，所以，即， 所以，则，所以. 故选：A. 2．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知递增的等比数列的前项和为，若是与的等差中项，则（    ） A．21 B．21或57 C．21或75 D．57 【答案】A 【解题思路】由题意列方程求得等比数列的首项和公比，根据等比数列的前n项和公式，即可求得答案. 【解答过程】设等比数列的公比为q， 由是与的等差中项，得， 解得或， 当时，，满足题意， 当时，，此时等比数列是递减数列，不合题意； 故，，则， 故选：A. 3．（24-25高二上·重庆·期末）若5是与的等差中项，3是与的等比中项，则 . 【答案】 【解题思路】根据等差中项和等比中项的定义列式计算即可. 【解答过程】由已知，， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据给定条件，结合等比、等差数列通项列出方程组求解作答； （2）利用错位相减法求和. 【解答过程】（1）依题有， 因为，解得：，，. 数列是等差数列，设其公差为，， 解得：，. （2）数列的前项和记为，则， 因为， 所以， ， 两式相减有 ， 所以. 5．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知等差数列中，，公差;等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记比较与的大小. 【答案】(1)，； (2)； (3)，当时，. 【解题思路】（1）根据题意得到方程组，求出公差和公比，得到通项公式； （2）利用分组求和法进行求解； （3）作差法得到，从而得到，当时，. 【解答过程】（1）因为， 依题意， 故，由得， 解得或2， 因为，所以，， 故， 其中，故公比， 所以； （2）， 故 ； （3） 所以 当时，，当时，， 所以，当时，. 题型7 数列求和 1．（25-26高二上·江苏·阶段练习）数列满足，则数列的前9项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据已知条件求出数列的通项公式，再得到数列的通项公式，最后利用裂项相消法求出其前项和. 【解答过程】数列满足①, 当时，； 当时，②， ①②得，， 又因为，不满足上式， 故， 当时，， 设数列的前9项和为, 则 ， 故选：. 2．（24-25高二上·江苏淮安·期末）数列满足，，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用累乘法求出通项公式，再由错位相减法求和即可. 【解答过程】由可得， 累乘可得， 即，所以，也符合该式，故. 所以，① ，② ①②可得， 因此，. 故选：D. 3．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）数列中，且满足，，则数列的前2024项的和为 . 【答案】 【解题思路】根据题意得到，，，，以及，，，分别是公比为的等比数列，再分奇偶讨论，结合分组求和计算即可. 【解答过程】解析：由，，得，，得 所以，，，以及，，，分别是公比为的等比数列， 当为奇数时，，当为偶数时， 所以，当为奇数时，， 当为偶数时，， . 故答案为：. 4．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）依次得，，即可求解； （2）由等差数列求和公式、裂项相消法即可求解. 【解答过程】（1）由可得， 由可得，，公差， 故. （2）由（1）得， 故 则. 5．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列为等差数列，公差，的部分项恰为等比数列，若． (1)求； (2)设数列满足：，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设等差数列的首项为，进而根据得，此时可得，，进而得； （2）结合（1）得，进而根据错位相减法求解即可. 【解答过程】（1）解：根据题意，设等差数列的首项为， 因为的部分项恰为等比数列，且， 所以成等比数列，即， 所以，整理得， 所以，， 所以， 所以的部分项构成的等比数列的首项为，公比为， 所以，其通项公式为， 又因为，所以， 因为，所以 （2）解：因为由（1）得， 所以 所以， ， 两式相减得：， 所以，. 题型8 数列与不等式综合 1．（24-25高二上·河北唐山·期末）数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由，两边同时减构造等比数列，求出代入，分离参数转化为求得最小值问题，求解即可得到实数的取值范围. 【解答过程】因为，所以， 所以，所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以，所以， 由恒成立，得恒成立， 令，由于，显然关于单调递增， 所以当时，，所以. 故选：B. 2．（2025·陕西西安·二模）已知数列满足，，，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求得数列的通项公式，进而可得，进而分为偶数与奇数两种情况求得，进而可得，求解即可. 【解答过程】因为数列满足，， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 因为不等式恒成立，即， 所以， 所以，， 所以解得，所以的取值范围为. 故选：D. 3．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】由已知根据递推关系可得，由此可知，根据裂项相消法即可求解. 【解答过程】当时，， 因为， 当时，， 两式相减可得，即，当时不适合此式， 所以，所以， 当时，， 当时，， 若对任意恒成立， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 4．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）根据已知得到，应用等比数列的定义判断证明即可； （2）由（1）得到数列的通项公式，利用分组求和、等比数列前n项和公式求和； （3）由（2）得到数列的通项公式，对进行放缩得，应用裂项相消法证明结论. 【解答过程】（1）由题可得，，所以， 又，则，则， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列； （2）由（1）知，所以， 所以. （3）由（2），则， 所以． 令，则， 的前项和为； 令，则， 的前项和为， 所以， 因为，所以，当时等号成立， 而，所以. 5．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：； (3)若不等式对任意的都成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）通过与的关系，消去，推导出数列的递推关系，确定数列类型，进而求出通项公式． （2）先对通项进行裂项，再利用裂项相消法求出和，最后通过放缩即可证明不等式． （3）构造函数，分析其单调性求出最值，将不等式恒成立问题转化为最值问题，进而求出参数范围． 【解答过程】（1）因为，所以①， 当时，②， 则得，， 整理得， 又数列为正项数列，即， 所以，即，即公差； 当时，有，又，则，解得. 综上，数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，其通项公式为. （2）证明：由（1）可知，则， 所以， 综上，. （3）由（1）可知，令， 则， 所以 ， 所以，即在上递减， 所以， 所以，即，解得. 综上，实数的取值范围为. 题型9 数列与其他知识交汇 1．（25-26高二上·福建漳州·阶段练习）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先确定，再利用倒序相加法求和即可. 【解答过程】由题意得，设， ， 设， 倒序得， 两式相加得到，解得，故只有A正确. 故选：A. 2．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知数列的前n项和，若，且数列满足，若集合中有三个元素，则实数λ的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先利用与的关系式求得，进而求得，利用作差法分析得数列中的项的情况，再利用集合中元素的个数即可得解. 【解答过程】由题意知， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 因为，所以， 所以， 则， 当时，； 当时，，即； 又， ， 则数列中的项从大到小排列为， 因为集合中有三个元素，所以. 故选：A. 3．（24-25高二下·广东珠海·期末）已知非零数列，点在函数的图象上，则数列的前2024项和为 . 【答案】 【解题思路】根据等差数列的定义求得数列的通项公式，进而可得数列的通项公式，利用裂项相消法求和. 【解答过程】由已知条件，可得， 所以①，， 因为点在函数的图象上， 所以，将①代入可得，, 化简得，，， 当时，由，则，得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，， 因为， 所以， 故答案为: . 4．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调减区间； (2)如果函数在上的零点从小到大排列后构成数列，求的前12项和. 【答案】(1). (2) 【解题思路】（1）化简的解析式，利用整体代入法求得的单调递减区间. （2）根据三角函数的零点、等差数列前项和公式以及分组求和法来求得的前12项和. 【解答过程】（1）. 令 得. 因此，函数的减区间是. （2）函数的最小正周期为， 当时，， 令，即， 故或，解得或， 所以函数在上的零点分别为，. 所以数列是以为首项，为公差的等差数列； 数列是以为首项，为公差的等差数列， 则 所以的前12项和为. 5．（24-25高二上·上海·期中）已知点是指数函数图像上一点，等比数列的前项和为，数列的首项为，且数列的前项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式 (3)若数列前项和为，问的最小正整数是多少？ 【答案】(1) (2) (3)72 【解题思路】（1）先设函数，由等比数列的前n项和为求出，再求出，进一步求出公比，确定其通项公式； （2）分解因式为，结合条件判断为等差数列，再利用当，求. （3）裂项求得数列的前n项和为，求解关于n的不等式可得最小正整数. 【解答过程】（1）设指数函数，则，即，． ， ． 又数列成等比数列，，． 又公比，． （2）， 又，，， 故为首项为1、公差为1的等差数列，． 当，，当时也满足， （3），则 由 ，得，即， 则最小正整数为72. 题型10 数列新定义问题 1．（25-26高二上·福建莆田·阶段练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列是一阶等比数列，则该数列的第项是（ ） A． B．16 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据数列特征可知数列为等比数列，进而得到，利用累乘法可求得，代入即可. 【解答过程】记数列为，设， 则，，，，， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ， ， . 故选：C. 2．（24-25高二上·广东广州·期末）设为正整数，数列是公比不为1的等比数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的3个数都能构成等比数列，则称数列是可分数列．现有下列3个命题：①数列是可分数列；②数列是可分数列；③数列是可分数列．其中是真命题的为（    ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 【答案】C 【解题思路】根据可分数列的定义即可验证结论. 【解答过程】对于①，由于从数列中删去两项后，剩余的项可被平均分为组， 能构成等比数列，所以数列是可分数列，故①正确； 对于②，由于从数列中删去两项后，剩余的项， 平均分为2个组后不可能构成等比数列，所以数列是不可分数列，故②错误； 对于③，由于从数列中删去两项后， ，项后的顺序不变，依次三项可构成等比数列， 所以数列是可分数列，故③正确. 故选：C. 3．（24-25高二上·山东滨州·期末）定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差.设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为1，，则数列的前项和 . 【答案】 【解题思路】根据定义可得为等差数列，即可得，进而根据裂项相消法求和即可得解. 【解答过程】由题意可知：，又，故为等差数列， 故，故， 故， 故数列的前项和， 故答案为：. 4．（24-25高三上·云南·阶段练习）对于数列，若存在正整数，使得对任意的，都有（为常数），则称数列从第项起为 “等差比数列”. (1)已知数列满足，试判断数列是否为 “等差比数列”，若是，求出的值；若不是，请说明理由. (2)若数列从第项起为 “等差比数列”，，，求数列的通项公式. (3)在（2）的条件下，设数列的前项和为，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)是， (2)（） (3) 【解题思路】（1）根据“等差比数列”定义计算求解； （2）应用“等差比数列”定义，可判断为等差数列，故可求通项； （3）应用等差数列前n项和公式计算求参即可. 【解答过程】（1）已知，则，. 所以数列是 “等差比数列”，. （2）因为数列从第项起为 “等差比数列”，所以时，. 所以，故， 整理得到：，故， 所以为常数列，故， 而，故即，故， 故，故为等差数列，其首项为，公差为， 故. （3），由得，即对任意的成立. 因为的最小值为，所以，即实数的取值范围是. 5．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中．对于正整数，称为数列的k阶差分数列，其中．已知数列满足，数列满足． (1)求数列的通项公式． (2)若数列的前n项和为，证明：． (3)若对恒成立，求λ的取值范围． 【答案】(1)，； (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据定义及等差数列的定义得，再应用累加法求的通项公式，同理得到，由等比数列的定义求的通项公式； （2）根据已知得，应用错位相减法及等比数列前n项和公式求，即可证结论. （3）由（1）得到对恒成立，构造数列，确定其最大项即可求解； 【解答过程】（1）因为，所以， 所以是公差为1的等差数列，所以. 因为，所以，所以，即. 因为， 所以. 因为，所以. 因为， 所以，所以. 因为，所以，所以. 因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，即. （2）因为，所以，则， 所以， 故. （3）由（1）， 可化成： 即对恒成立， 令， 则， 当时，，当时，， 所以中最大项为， 所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列全章十大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【人教A版】 题型1 数列的最大（小）项 1．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（   ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 2．（25-26高二上·四川成都·阶段练习）已知数列的通项公式为，前项和为，则下列结论错误的是（    ） A．的最小项是，最大项是 B．当时，最小 C． D． 3．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知数列的通项公式为，则中最小项的值为 . 4．（24-25高二上·江苏·期中）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的最大项． 5．（24-25高二下·贵州黔东南·阶段练习）已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列中的最大项和最小项． 题型2 等差数列的判定与证明 1．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知是无穷数列，，则“对任意的，都有”是“是等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高二上·广东深圳·期末）若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ） A． B． C．（为常数） D． 4．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知正项数列的前项和为，且满足，． (1)证明数列为等差数列，并求出它的通项公式； (2)求的值． 5．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）已知数列的前项和为，，. (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 题型3 等差数列的前n项和及其最值 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）数列是等差数列，，记是的前9项和，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·陕西西安·期末）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏·阶段练习）等差数列的前n项和为，则 ． 4．（25-26高二上·甘肃陇南·阶段练习）记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 5．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）等差数列前项和为，对任意正整数，均有，． (1)求及； (2)在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，求的值． 题型4 等比数列的判定与证明 1．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）设数列，都是等比数列，则在4个数列，，，中，一定是等比数列的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知数列的前n项和为且满足． (1)求，值； (2)证明数列为等比数列并求其通项公式． 3．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知为数列的前n项和，，且且. (1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式; (2)若，记为数列的前n项和，求证：. 4．（24-25高三下·全国·开学考试）设数列的前n项和，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式. 5．（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知数列中，，且满足（）． (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)令，为数列的前n项和，证明：． 题型5 等比数列的前n项和及其最值 1．（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知是等比数列的前n项和，若，则（   ） A．1022 B．1023 C．1024 D．1025 2．（2025·北京西城·一模）设等比数列的前项和为，前项的乘积为．若，则（   ） A．无最小值，无最大值 B．有最小值，无最大值 C．无最小值，有最大值 D．有最小值，有最大值 3．（25-26高三上·福建·开学考试）记为公比大于1的等比数列的前项和，若，，则 . 4．（24-25高二上·青海西宁·期末）在公比大于0的等比数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 5．（24-25高二上·广东广州·期末）记为等比数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式及前项和； (2)若，求数列的前项和． 题型6 等差、等比数列的综合应用 1．（24-25高二上·甘肃定西·阶段练习）已知数列为等比数列，若，且与的等差中项为，则数列的公比（    ） A． B．2 C． D．4 2．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知递增的等比数列的前项和为，若是与的等差中项，则（    ） A．21 B．21或57 C．21或75 D．57 3．（24-25高二上·重庆·期末）若5是与的等差中项，3是与的等比中项，则 . 4．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)，求数列的前n项和. 5．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知等差数列中，，公差;等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记比较与的大小. 题型7 数列求和 1．（25-26高二上·江苏·阶段练习）数列满足，则数列的前9项和为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏淮安·期末）数列满足，，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）数列中，且满足，，则数列的前2024项的和为 . 4．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 5．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列为等差数列，公差，的部分项恰为等比数列，若． (1)求； (2)设数列满足：，求数列的前n项和． 题型8 数列与不等式综合 1．（24-25高二上·河北唐山·期末）数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西西安·二模）已知数列满足，，，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 4．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 5．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：； (3)若不等式对任意的都成立，求实数的取值范围． 题型9 数列与其他知识交汇 1．（25-26高二上·福建漳州·阶段练习）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知数列的前n项和，若，且数列满足，若集合中有三个元素，则实数λ的取值范围（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东珠海·期末）已知非零数列，点在函数的图象上，则数列的前2024项和为 . 4．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调减区间； (2)如果函数在上的零点从小到大排列后构成数列，求的前12项和. 5．（24-25高二上·上海·期中）已知点是指数函数图像上一点，等比数列的前项和为，数列的首项为，且数列的前项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式 (3)若数列前项和为，问的最小正整数是多少？ 题型10 数列新定义问题 1．（25-26高二上·福建莆田·阶段练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列是一阶等比数列，则该数列的第项是（ ） A． B．16 C． D． 2．（24-25高二上·广东广州·期末）设为正整数，数列是公比不为1的等比数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的3个数都能构成等比数列，则称数列是可分数列．现有下列3个命题：①数列是可分数列；②数列是可分数列；③数列是可分数列．其中是真命题的为（    ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 3．（24-25高二上·山东滨州·期末）定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差.设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为1，，则数列的前项和 . 4．（24-25高三上·云南·阶段练习）对于数列，若存在正整数，使得对任意的，都有（为常数），则称数列从第项起为 “等差比数列”. (1)已知数列满足，试判断数列是否为 “等差比数列”，若是，求出的值；若不是，请说明理由. (2)若数列从第项起为 “等差比数列”，，，求数列的通项公式. (3)在（2）的条件下，设数列的前项和为，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围. 5．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中．对于正整数，称为数列的k阶差分数列，其中．已知数列满足，数列满足． (1)求数列的通项公式． (2)若数列的前n项和为，证明：． (3)若对恒成立，求λ的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $