第四章 数列（举一反三讲义·基础篇）高二数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列全章十三大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【人教A版】 题型1 求数列的通项或项 1．（24-25高二上·山东烟台·期末）若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据数列前项的规律，分别分析数列的符号规律和数值规律，进而得出数列的通项公式. 【解答过程】观察数列的前项，可以发现奇数项为正，偶数项为负. 根据当为偶数时结果为，当为奇数时结果为；当为奇数时结果为，当为偶数时结果为，可知该数列的符号规律可以用来表示. 分母依次为3,5,7,9，得该数列分母的通项公式为. 结合上述对符号规律和数值规律的分析，可知该数列的通项公式为. 故选：A. 2．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知数列，，，，，…，，…，则该数列的第40项是（    ） A． B． C．11 D．5 【答案】C 【解题思路】利用观察法求出数列的通项公式，进而求出第40项. 【解答过程】依题意，所给数列的通项公式为， 所以该数列的第40项. 故选：C. 3．（25-26高二上·甘肃·阶段练习）已知数列满足，，则数列的通项公式是 . 【答案】 【解题思路】根据题意可得，再利用累乘法求解． 【解答过程】，，即， ， 满足上式，所以. 故答案为：． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的通项公式为． (1)计算的值； (2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是数列的第10项． 【解题思路】（1）利用给定的递推公式，代值计算即可. （2）利用方程的正整数解即可得解. 【解答过程】（1）数列中，，， 所以. （2）若为数列中的项，则， 即，整理得，而，解得， 所以是数列的第10项. 5．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，问是否存在正整数m，使得成立，并说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析. 【解题思路】（1）由通项公式与前n项和关系可得通项公式； （2）由（1）可得，由作差法可判断数列单调性，据此可完成判断. 【解答过程】（1）当时，， 当时，. 又注意到，符合上式，则； （2）即判断是否成立，由（1）可得，， 则 ，则当时，；时，. 则在时，取最大值，则，因， 则不存在正整数m，使得成立. 题型2 数列的单调性的判断 1．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】利用充分条件、必要条件的定义，结合数列的单调性判断即可. 【解答过程】因对于数列，取，显然不是递增数列， 所以“”不是“为递增数列”的充分条件， 若为递增数列，则， 所以“”是“为递增数列”的必要条件， 所以“”是“为递增数列”的必要而不充分条件， 故选：B. 2．（24-25高二上·广东·期末）在数列中，，记，若数列为递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由递推关系可得，求得，不等式恒成立等价于恒成立，讨论的奇偶即可求出. 【解答过程】由，得，即， 而，则，即，， 由数列为递增数列，得任意的恒成立， 则，即恒成立， 当为奇数时，恒成立，数列单调递增，的最小值为1，则， 当为偶数时，恒成立，数列单调递减，的最大值为，则， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 3．（25-26高二上·上海·阶段练习）数列满足，n为正整数.若数列是严格增数列，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】由题意列不等式即可求解. 【解答过程】由题意若数列是严格增数列，则当且仅当，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·广东梅州·期末）已知数列满足. (1)求和； (2)证明：数列为单调递增数列. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据与的关系可得，即可求解； （2）利用作商法即可证明. 【解答过程】（1）因为①， 当时，. 当时，②， 由①-②得，所以， 当时，，所以也满足， 当时，， 故，. （2）由（1）知，，易知， 则， 又对一切恒成立，所以， 即对一切恒成立， 所以数列为单调递增数列. 5．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知为正项数列的前n项的乘积，且，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，求实数k的取值范围； 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据，可得，两式相除可得，两边取对数并构造常数列，即可求得答案. （2）由（1）的结论，求出，再根据单调数列的意义列式求解即得. 【解答过程】（1）由为正项数列的前n项的乘积，得，由，得， 于是，即，两边取对数得， 即，整理得， 因此数列是常数列，即，于是， 所以. （2）由（1）知，， 由数列为递增数列，得， 即，而数列是递减数列，，当且仅当时等号， 所以实数k的取值范围是. 题型3 等差数列的基本量的求解 1．（24-25高二上·新疆昌吉·期末）在等差数列中，则等于（   ） A． B．15 C．25 D． 【答案】B 【解题思路】利用等差数列的通项公式求出即可. 【解答过程】设等差数列的公差为， 因为， 则，解得. 故选：B. 2．（24-25高二下·辽宁大连·期中）在等差数列中，，，则的公差为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【解题思路】由等差数列的通项公式列方程求解. 【解答过程】设等差数列的公差为，则， 解得，所以数列的公差为2. 故选：B. 3．（24-25高二上·山西·阶段练习）在等差数列中，，，则的公差为 . 【答案】1 【解题思路】根据等差数列的性质求解. 【解答过程】因为为等差数列，所以， 由，得，所以， 又，所以的公差为. 故答案为：1. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中， (1)已知，，求和d； (2)已知，公差，，求n； (3)已知，，求的通项公式． 【答案】(1)，． (2) (3)． 【解题思路】（1）由，结合，求出公差，再利用，把代入求出； （2）由，把，公差，，代入求出； （3）由，把，，代入得到关于的方程组，求解即可得到的通项公式. 【解答过程】（1）因为，所以公差． 由，所以， 故，． （2）由，，公差，，得， 解得． （3）由已知可得，解得 所以． 5．（25-26高二上·全国·课后作业）在等差数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，求d； (3)已知，，，求n. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据等差数列通项公式代入计算即可； （2）根据等差数列通项公式代入计算即可； （3）根据等差数列通项公式代入计算即可； 【解答过程】（1）由知：； （2）因为，，所以，所以， 解得； （3）由知：，解得. 题型4 利用等差数列的性质计算 1．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）等差数列中，若，则等于（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【解题思路】利用等差数列的性质和通项公式即可求解. 【解答过程】在等差数列中，有，所以， 公差， 所以， 故选：C. 2．（24-25高二上·北京·阶段练习）在等差数列中，若，则的值为（    ） A．6 B．16 C．24 D．60 【答案】C 【解题思路】根据等差数列下标和的性质即可求的值，根据通项公式计算即可得出结果. 【解答过程】由等差数列的性质：，设等差数列的公差为， 而. 故选：C. 3．（24-25高二上·广西南宁·期中）在等差数列中，若，则的值为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】D 【解题思路】由等差数列下标和的性质求得，进而可得的值. 【解答过程】由已知，， 所以，故． 故选：D. 4．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知数列是等差数列，且满足，则等于（    ） A．45 B．60 C．75 D．90 【答案】A 【解题思路】利用等差数列下标和性质计算即可求得结果. 【解答过程】由等差数列性质计算可得，即， 所以可得. 故选：A. 5．（24-25高二上·山西太原·阶段练习）在等差数列中，若，则的值为 ． 【答案】40 【解题思路】根据等差数列的性质即可求解. 【解答过程】由可得，故， 则， 故答案为：40. 题型5 等差数列的通项公式 1．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由等差数列通项公式可求. 【解答过程】数列中，，， 所以数列是首项，公差的等差数列， 所以. 故选：A. 2．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知在等差数列中，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用等差数列的下标性质求出公差，进而得通项公式. 【解答过程】设等差数列公差为d， 由题意：，故，即，解得； 故等差数列的公差为，通项公式为； 故选：A. 3．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）在等差数列中，若，则的通项公式为 . 【答案】 【解题思路】根据等差数列基本量的计算得公差，即可求解. 【解答过程】由可得公差， 故， 故答案为：. 4．（24-25高二下·广西钦州·期末）在等差数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用等差数列的性质求出公差，进而求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和即得. 【解答过程】（1）在等差数列中，由，，得公差， 所以的通项公式为. （2）由（1）得， 所以数列的前项和. 5．（24-25高三下·四川乐山·期末）设等差数列的前n项和为，且，（为常数） (1)求a的值； (2)求的通项公式； (3)若，求数列的前n项和 【答案】(1)0 (2) (3) 【解题思路】（1）利用的关系可求得； （2）由（1）可得； （3）由（2）可得，利用裂项相消法可求得. 【解答过程】（1）当时，， 当时，， 因为是等差数列，则时也应满足，即， 又，所以，解得； （2）由（1）得； （3）， 题型6 等差数列前n项和的性质 1．（24-25高二上·广西南宁·期末）在等差数列中，为其前项的和，若，则为（    ） A．42 B．48 C．60 D．72 【答案】A 【解题思路】利用等差数列片段和的性质，结合等差数列的定义即可求解. 【解答过程】为等差数列，所以也为等差数列， 因为， 所以， 所以. 故选：. 2．（24-25高二上·甘肃甘南·期中）等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，可得，再利用等差数列前项和公式，结合等差数列性质计算即得. 【解答过程】等差数列，的前项和分别为，，由，得， . 故选：C. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，，其前n项和为，若，则 ． 【答案】 【解题思路】由等差数列前n项和的性质,知也为等差数列，由题意得其公差，，根据等差数列的通项公式可得，即可求解. 【解答过程】由等差数列前n项和的性质可知，数列也为等差数列， 设其公差为d，则由， 可得，即． 又， 所以， 所以． 故答案为：. 4．（24-25高二·全国·课后作业）等差数列{an}中，前m项的和为30，前2m项的和为100，试求前3m项的和． 【答案】210 【解题思路】根据题意得到，，成等差数列求解即可 【解答过程】记数列的前项和为， 由等差数列前项和的性质知：，，成等差数列， 则，解得. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）（1）在等差数列中，，求的值； （2）在等差数列中，，，求． 【答案】（1）1； （2）. 【解题思路】（1）利用等差数列的前项和公式及项的性质化简后，代入即得； （2）利用等差数列的片段和的性质得到新的等差数列，由等差数列的前项和公式求出新数列的公差，通过求新数列的第11项即可求出. 【解答过程】（1）∵为等差数列，∴，， ∴． （2）∵数列为等差数列， ∴，，，…，也成等差数列， 设其公差为d，由此数列的前10项之和为， 即（*）． 又∵，代入（*）式，解得， ∴， ∴． 题型7 等差数列的应用 1．（2025·广东广州·模拟预测）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（   ） A．升 B．升 C．升 D．升 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用等差数列前项和公式计算即得. 【解答过程】依题意，竹子自下而上的各节装米量构成等差数列， 则，， 所以这根竹子的装米量为（升）. 故选：B. 2．（24-25高二下·河南·阶段练习）《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】C 【解题思路】根据题意，设每排的座位数构成等差数列，其中且，利用等差数列的求和公式，列出方程，即可求解. 【解答过程】由题意，设每排的座位数构成等差数列，其中，公差， 再设播放厅最多可以建的座位的排数为， 可得，即， 解得或（舍去），即播放厅最多可以建的座位的排数为. 故选：C. 3．（24-25高二上·重庆·期末）某中学募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款2250元，他们第1天只得到10元，之后采取了积极的措施，从第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多20元，则这次募捐活动共进行的天数为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【解题思路】由题意可得每天募捐款构成了一个以10元为首项，以20元为公差的等差数列，设共募捐了n天，然后建立关于n的方程，求出n即可． 【解答过程】由题意可得，第一天募捐10元，第二天募捐30元， 募捐款构成了一个以10元为首项，以20元为公差的等差数列， 设共募捐了n天，则， 化为，解得， 故选：C． 4．（24-25高二上·全国·随堂练习）“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（注：六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为（    ） A．3.4升 B．2.4升 C．2.3升 D．3.6升 【答案】A 【解题思路】根据题意建立数列模型，由等差数列定义可求得首项和公差，即可求出结果. 【解答过程】设从下至上各节的容积分别为， 由题意知为等差数列，公差为， 因为，即， 解得 所以． 故选：A. 5．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层空心球.最内层的空心球上有2个雕孔，向外每层雕孔依次增加固定的数量.制作3个层数分别为3，6，m的鬼工球，其中6层的鬼工球比3层的鬼工球多出30个雕孔，3个鬼工球之间的雕孔数相差最多为36，则 .    【答案】2 【解题思路】根据等差数列的通项公式及求和公式计算求解即可. 【解答过程】设向外每层雕孔依次增加固定的数量为，所以每层雕孔数为等差数列， 所以由6层的鬼工球比3层的鬼工球多出30个雕孔，得出，所以， 所以，所以，因为6层的鬼工球比3层的鬼工球多出30个雕孔，所以或， 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； 故答案为：2. 题型8 等比数列的基本量的求解 1．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）在等比数列中，已知，，则公比（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用等比数列的性质可求得的值，再由，即可求得的值. 【解答过程】在等比数列中，已知，，可得， 所以，解得. 故选：D. 2．（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知数列是公比为的等比数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由等比数列通项公式即可求解. 【解答过程】由题意得，由，得. 故选：B. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）在等比数列中，，且，则公比 ． 【答案】2 【解题思路】根据等比数列的基本量计算求解得出公比. 【解答过程】依题意得， 两式相除得，所以， 即. 利用试根法分解因式得，解得． 故答案为：2. 4．（24-25高二上·山东临沂·阶段练习）在等比数列中. (1)若它的前三项分别为，，，求； (2)若，，，求； 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据等比数列的前三项求出公比，再用等比数列的通项公式即可求解. （2）根据等比数列的通项公式列方程求出首项即可. 【解答过程】（1）设等比数列的公比为， 因为，，所以. （2）因为是等比数列，又，，， 所以，即，解得 5．（24-25高二上·全国·课前预习）在等比数列中： (1)若，，求和； (2)若，，求． 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）（2）根据题意结合等比数列的通项公式列式求解即可. 【解答过程】（1）因为，则，解得， 当时，； 当时，． 综上所述：或. （2）因为，则，即． 又因为，则，即． 两式相除得，所以． 题型9 等比数列性质的应用 1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在等比数列中，若，，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据等比数列的性质可得，即可求解. 【解答过程】等比数列中，，则， 故. 故选：C. 2．（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．32 D．64 【答案】C 【解题思路】利用等比数列的性质求解即可. 【解答过程】设等比数列的公比为， 则， 即，解得， 所以． 故选：C． 3．（24-25高二上·安徽·阶段练习）在等比数列中，若，则 . 【答案】 【解题思路】利用等比数列的性质可得答案. 【解答过程】由，得，所以. 故答案为：. 4．（24-25高二下·全国·课后作业）已知为等比数列． (1)若，，求 (2)若，求的值． 【答案】(1)5 (2)10 【解题思路】（1）将带入条件等式，配方可求得 （2）利用带入求解． 【解答过程】（1）因为，所以＞0． 因为 所以. （2）根据等比数列的性质，得 所以 所以. 5．（24-25高二下·全国·课后作业）已知{an}为等比数列． (1)等比数列{an}满足，求； (2)若，，求； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用等比数列的性质求解即可. （2）利用等比中项和等比数列的性质求解即可. （3）利用等比数列的性质以及对数的运算求解即可. 【解答过程】（1）在等比数列中， ，， . （2）由等比中项， ， ，， ， 即， ，. （3）由等比数列的性质， ， . 题型10 等比数列的通项公式 1．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】应用化简得出数列是等比数列，再应用等比数列通项公式计算求解. 【解答过程】因为，则， 当时，作差得，所以， 所以，所以，因为，当时，， 数列是以为首项以为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为. 故选：D. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）在正项数列中，，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先证明数列为等比数列，再根据首项和公比求数列的通项公式. 【解答过程】因为，所以，即， 则数列是等比数列，公比为． 又因为，所以或（舍去）， 则数列的通项公式为． 故选：A. 3．（24-25高二上·福建福州·期末）已知等比数列满足，则数列的通项公式 ． 【答案】 【解题思路】根据等比数列通项公式即可得到方程组，解出即可. 【解答过程】由题意得，结合，解得， 则. 故答案为：. 4．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知是首项为1的等比数列，数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据条件得到方程，求出公比，从而得到通项公式； （2）先得到，裂项得到，进而求和即可. 【解答过程】（1）设的公比为，根据题意，当时，． 即，解得．所以． （2）因为，所以， 方程两边都除以得． 所以． 于是． 5．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知等比数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，为数列的前项和，若，求正整数的值． 【答案】(1) (2)10 【解题思路】（1）设出等比数列的公比，结合已知列出方程组，即可求出通项公式. （2）由（1）的结论求出，再利用裂项相消法求和即可得解. 【解答过程】（1）设数列的公比为，则，解得，则， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）知， 所以． 由，得，解得， 所以满足的正整数的值为10． 题型11 等比数列前n项和的性质 1．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段练习）已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为（   ） A．81 B．145 C．256 D．273 【答案】D 【解题思路】根据等比数列的性质，计算即可得出答案. 【解答过程】因为等比数列，，， 所以成等比数列， 因为，，所以， 所以， 所以. 故选：D. 2．（24-25高二下·江西·期末）已知是等比数列的前项和，，，则（   ） A．14 B．28 C．35 D．49 【答案】D 【解题思路】根据等比数列前项和的性质，求出的值，进而求出结果. 【解答过程】由是等比数列的前项和，由题易知均不为， 且是等比数列， 因为，所以，可得， 所以， 则，解得，则. 故选：D. 3．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知等比数列的前n项和为，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解题思路】利用等比数列的片段和的性质可求的值. 【解答过程】因为是等比数列，所以成等比数列， 因为，所以，即 故选：D. 4．（24-25高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】根据等比数列的性质得到奇数项为，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可． 【解答过程】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得. 故选：B. 5．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）设各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则 ． 【答案】21 【解题思路】由成等比数列，可得，代入即可得出答案. 【解答过程】因为是各项均为正数的等比数列， 所以成等比数列，所以， 解得：. 故答案为：. 题型12 等比数列的应用 1．（24-25高二上·河南安阳·期末）洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 【答案】C 【解题思路】借助等比数列求和公式求出首项，然后利用等比数列通项公式基本量的运算求解即可. 【解答过程】由题意，从下往上“浮雕像”的数量成等比数列，设为， 则，公比，所以， 所以，所以第4层“浮雕像”的数量为. 故选：C. 2．（24-25高二上·江苏南京·期末）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（   ） A．3盏 B．5盏 C．7盏 D．9盏 【答案】A 【解题思路】设塔顶共有灯盏，根据题意，各层灯数构成以为首项，2为公比的等比数列，根据等比数列求和公式计算可得. 【解答过程】设塔顶共有灯盏，根据题意，各层灯数构成以为首项，2为公比的等比数列， 所以，解得. 故选：A. 3．（24-25高二上·河南·阶段练习）《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 【答案】A 【解题思路】根据题意，蒲生长长度与莞生长长度都构成了等比数列，利用等比数列的求和公式得到关于的不等式，解之即可得解. 【解答过程】由题意，蒲第一天长高三尺，以后蒲每天长高前一天的一半， 所以蒲生长长度构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和为， 又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍， 则莞生长长度构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和为， 由题意得，即，则， 令，则，，解得，即， 又，，所以需要经过的时间最少为3天. 故选：. 4．（2025·四川内江·一模）年月日是第个植树节，为加快建设美丽内江、筑牢长江上游生态屏障贡献力量，我市积极组织全民义务植树活动．现有一学校申领到若干包树苗（每包树苗数相同），该校个志愿小组依次领取这批树苗开展植树活动．已知第组领取所有树苗的一半又加半包，第组领取所剩树苗的一半又加半包，第组也领取所剩树苗的一半又加半包．以此类推，第组也领取所剩树苗的一半又加半包，此时刚好领完所有树苗．请问该校共申领了树苗多少包？（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设原有树苗有包，求出第组到第组所领取树苗的包数，结合等比数列求和公式可得出关于的等式，解之即可. 【解答过程】设原有树苗有包，第组领取包， 第组领取包， 第组领取包， ， 以此类推可知，第组领取包， 由题意可得， 即，解得. 故选：B. 5．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）某大型商场计划设计一个停车场，根据地形，设计6排停车位，靠近商场的第1排设计7个停车位，从第2排开始，每排设计的停车位个数是上一排的2倍加1，则设计的停车位的总数是 . 【答案】498 【解题思路】根据给定条件，每排停车位的个数构成数列，求出递推公式，利用构造法求出通项公式，再结合等比数列前n项和求解. 【解答过程】依题意，每排停车位的个数排成一列构成数列， 于是，即， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，则，即， 所以设计的停车位总数为. 故答案为：498. 题型13 数学归纳法 1．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．k项 D．1项 【答案】B 【解题思路】根据数学归纳法的知识即可判断出增加的项数. 【解答过程】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 故增加的项数为：. 故选：B. 2．（24-25高二上·上海·期中）用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】只须求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果． 【解答过程】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： 故选：D． 3．（24-25高二上·上海嘉定·期中）利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 . 【答案】 【解题思路】利用数学归纳法的性质分析式子前后的变动情况，再求解答案即可. 【解答过程】由题意，时，左边为； 时，左边为； 从而增加两项为，且减少一项为， 故左边应增乘的因式为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：，． 【答案】证明见解析 【解题思路】根据题意，先证时，命题成立，假设时，命题也成立，当时，由，即可证明. 【解答过程】当时，左边， 右边，命题成立； 假设时，命题成立，即， 则当时， ， 所以时命题成立， 综上，． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）观察下列各式： 总结出一般规律，并用数学归纳法证明你所得到的结论. 【答案】，证明见解析； 【解题思路】根据规律得到，再应用数学归纳法求证即可. 【解答过程】观察各式，可得一般规律， 用数学归纳法证明如下： 当时，左边，右边，等式成立； 假设 时，等式成立，即， 那么当时， 故时，等式也成立. 综上，等式对于一切正整数n都成立. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列全章十三大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【人教A版】 题型1 求数列的通项或项 1．（24-25高二上·山东烟台·期末）若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知数列，，，，，…，，…，则该数列的第40项是（    ） A． B． C．11 D．5 3．（25-26高二上·甘肃·阶段练习）已知数列满足，，则数列的通项公式是 . 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的通项公式为． (1)计算的值； (2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由． 5．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，问是否存在正整数m，使得成立，并说明理由. 题型2 数列的单调性的判断 1．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二上·广东·期末）在数列中，，记，若数列为递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海·阶段练习）数列满足，n为正整数.若数列是严格增数列，则实数a的取值范围为 . 4．（24-25高二上·广东梅州·期末）已知数列满足. (1)求和； (2)证明：数列为单调递增数列. 5．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知为正项数列的前n项的乘积，且，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，求实数k的取值范围； 题型3 等差数列的基本量的求解 1．（24-25高二上·新疆昌吉·期末）在等差数列中，则等于（   ） A． B．15 C．25 D． 2．（24-25高二下·辽宁大连·期中）在等差数列中，，，则的公差为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．（24-25高二上·山西·阶段练习）在等差数列中，，，则的公差为 . 4．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中， (1)已知，，求和d； (2)已知，公差，，求n； (3)已知，，求的通项公式． 5．（25-26高二上·全国·课后作业）在等差数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，求d； (3)已知，，，求n. 题型4 利用等差数列的性质计算 1．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）等差数列中，若，则等于（    ） A． B．0 C． D．1 2．（24-25高二上·北京·阶段练习）在等差数列中，若，则的值为（    ） A．6 B．16 C．24 D．60 3．（24-25高二上·广西南宁·期中）在等差数列中，若，则的值为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 4．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知数列是等差数列，且满足，则等于（    ） A．45 B．60 C．75 D．90 5．（24-25高二上·山西太原·阶段练习）在等差数列中，若，则的值为 ． 题型5 等差数列的通项公式 1．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知在等差数列中，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）在等差数列中，若，则的通项公式为 . 4．（24-25高二下·广西钦州·期末）在等差数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 5．（24-25高三下·四川乐山·期末）设等差数列的前n项和为，且，（为常数） (1)求a的值； (2)求的通项公式； (3)若，求数列的前n项和 题型6 等差数列前n项和的性质 1．（24-25高二上·广西南宁·期末）在等差数列中，为其前项的和，若，则为（    ） A．42 B．48 C．60 D．72 2．（24-25高二上·甘肃甘南·期中）等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，，其前n项和为，若，则 ． 4．（24-25高二·全国·课后作业）等差数列{an}中，前m项的和为30，前2m项的和为100，试求前3m项的和． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）（1）在等差数列中，，求的值； （2）在等差数列中，，，求． 题型7 等差数列的应用 1．（2025·广东广州·模拟预测）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（   ） A．升 B．升 C．升 D．升 2．（24-25高二下·河南·阶段练习）《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 3．（24-25高二上·重庆·期末）某中学募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款2250元，他们第1天只得到10元，之后采取了积极的措施，从第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多20元，则这次募捐活动共进行的天数为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 4．（24-25高二上·全国·随堂练习）“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（注：六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为（    ） A．3.4升 B．2.4升 C．2.3升 D．3.6升 5．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层空心球.最内层的空心球上有2个雕孔，向外每层雕孔依次增加固定的数量.制作3个层数分别为3，6，m的鬼工球，其中6层的鬼工球比3层的鬼工球多出30个雕孔，3个鬼工球之间的雕孔数相差最多为36，则 .    题型8 等比数列的基本量的求解 1．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）在等比数列中，已知，，则公比（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知数列是公比为的等比数列，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）在等比数列中，，且，则公比 ． 4．（24-25高二上·山东临沂·阶段练习）在等比数列中. (1)若它的前三项分别为，，，求； (2)若，，，求； 5．（24-25高二上·全国·课前预习）在等比数列中： (1)若，，求和； (2)若，，求． 题型9 等比数列性质的应用 1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在等比数列中，若，，则（   ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．32 D．64 3．（24-25高二上·安徽·阶段练习）在等比数列中，若，则 . 4．（24-25高二下·全国·课后作业）已知为等比数列． (1)若，，求 (2)若，求的值． 5．（24-25高二下·全国·课后作业）已知{an}为等比数列． (1)等比数列{an}满足，求； (2)若，，求； (3)若，，求的值． 题型10 等比数列的通项公式 1．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）在正项数列中，，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建福州·期末）已知等比数列满足，则数列的通项公式 ． 4．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知是首项为1的等比数列，数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 5．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知等比数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，为数列的前项和，若，求正整数的值． 题型11 等比数列前n项和的性质 1．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段练习）已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为（   ） A．81 B．145 C．256 D．273 2．（24-25高二下·江西·期末）已知是等比数列的前项和，，，则（   ） A．14 B．28 C．35 D．49 3．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知等比数列的前n项和为，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（24-25高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）设各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则 ． 题型12 等比数列的应用 1．（24-25高二上·河南安阳·期末）洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 2．（24-25高二上·江苏南京·期末）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（   ） A．3盏 B．5盏 C．7盏 D．9盏 3．（24-25高二上·河南·阶段练习）《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 4．（2025·四川内江·一模）年月日是第个植树节，为加快建设美丽内江、筑牢长江上游生态屏障贡献力量，我市积极组织全民义务植树活动．现有一学校申领到若干包树苗（每包树苗数相同），该校个志愿小组依次领取这批树苗开展植树活动．已知第组领取所有树苗的一半又加半包，第组领取所剩树苗的一半又加半包，第组也领取所剩树苗的一半又加半包．以此类推，第组也领取所剩树苗的一半又加半包，此时刚好领完所有树苗．请问该校共申领了树苗多少包？（  ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）某大型商场计划设计一个停车场，根据地形，设计6排停车位，靠近商场的第1排设计7个停车位，从第2排开始，每排设计的停车位个数是上一排的2倍加1，则设计的停车位的总数是 . 题型13 数学归纳法 1．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．k项 D．1项 2．（24-25高二上·上海·期中）用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海嘉定·期中）利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 . 4．（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：，． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）观察下列各式： 总结出一般规律，并用数学归纳法证明你所得到的结论. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $