18.1 分式及其基本性质 同步练习 课件 -2025-2026学年 人教版八年级数学上册

该初中数学课件围绕分式展开，涵盖分式的定义、有意义及值为零的条件、基本性质、约分与通分等核心知识点。从“从分数到分式”引入，建立分数与分式的联系，逐步过渡到性质学习，再应用性质进行约分通分，形成连贯的学习支架。 其亮点在于结合教材改编题、一题多变及“两山”理念植树等实际情境，培养学生用数学眼光观察现实世界、用数学思维推理运算、用数学语言表达实际意义的能力。如用分式表示每株树苗价格，通过纠错改错提升批判性思维，学生能深化理解，教师可丰富教学手段。

18.1 分式及其基本性质 18.1.2 分式的基本性质 第2课时 分式的约分与通分 八年级上 第十八章 分式 知识点1　分式的约分与最简分式 1. 分式 约分的结果为(　D　) A. 4 B. C. D. 2. 下列分式是最简分式的是(　C　) A. B. C. D. D C 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 基础题 教材改编练 3. (教材例4改编)分式 中分子和分母的公因式为 ⁠. 4. 将 化成最简分式，结果是 　​ 　. 3x2y2 ​ 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 (1) ； 解：(1)原式＝－ ； (2) ； 解：(2)原式＝ ； 5. 约分： 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 (3) ； 解：(3)原式＝－ ； (4) . 解：(4)原式＝ . 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 知识点2　分式的通分与最简公分母 6. 分式 与 的最简公分母是(　D　) A. 3xy B. 3x2y C. 6xy D. 6x2y D 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 变式1　改为通分过程中的运算 分式 与 通分时， 的分子、分母要同乘以(　A　) A. a B. 2 C. a＋2 D. a2＋2a A 7. (教材练习第2题改编) 一题多变 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 变式2　改为通分后比较大小 先通分，再比较大小： .(填“＞”“＜”或“＝”) 8. (教材习题第7题改编)分式 ， ， 的最简公分母是 ，将它们 通分后，分式 通分的结果是 　​ 　. 3ab ​ 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 9. 通分： (1) ， ； 解：(1)∵分式 和 的最简公分母是(x＋2)(x－2)， ∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ； 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 (2) ， ； 解：(2)∵分式 和 的最简公分母是2x(x－y)， ∴ ＝ ＝ ， ＝ ； 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 (3) ， ， . 解：(3)∵分式 ， 和 的最简公分母是2x(x＋3)(x－3)， ∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ＝ . 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 10. 已知最简分式 与－ (m，n为常数，且n≠0)的最简公分母为 x6y2，则m，n的值分别为(　B　) A. 4，2 B. 6，2 C. 6，4 D. 3，4 B 中档题 能力提升练 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 11. (教材习题第6题改编)某同学将分式 约分后得到最简分式 ， 则原分式的分子A是 ⁠. 12. ， ， 的最简公分母是 ⁠. 2x2－6x 6x2y2z 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 13. (教材习题第10题改编)如图，某小区有两块草坪，图①是半径为m的 圆形草坪，中间有一个半径为2n的同心圆花坛，图②是长为m＋2n，宽 为m的长方形草坪，设两块草坪的面积分别为S1，S2，则两块草坪的面积 比约为 .(π取3) ​ 第13题图 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 14. 先约分，再求值： ，其中 ＝3. 解：原式＝ ＝ ＝x－y＋1， ∵ ＝3，∴x－y＝ ， ∴原式＝ ＋1＝ . 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 15. (教材习题第7题改编)已知两个分式：M＝ ，N＝ ，A是分 式M的分子和分母的公因式，B是这两个分式的最简公分母. (1)通分： ， ； 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 解：(1)∵3x2－3＝3(x2－1)＝3(x＋1)(x－1)， ∴分式M的分子和分母的公因式为(x＋1)，M和N的最简公分母为 3(x＋1)(x－1)， ∴A＝x＋1，B＝3(x＋1)(x－1)， ∴ ＝ ， ＝ ， ∴ 和 的最简公分母为6(x＋1)(x－1)， ∴这两个分式通分后分别为 ＝ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ＝ ； 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 (2)若 ＝3，求MN的值. 解：(2)由(1)可知A＝x＋1，B＝3(x＋1)(x－1)， ∵ ＝3，即 ＝3(x－1)＝3， 解得x＝2， ∴MN＝ · ＝ · ＝ ＝ . 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 16. (中考新考法·结论开放)数学课结束后，李华和张强进行的对话如 下图： 第16题图 拔高题 思维拓展练 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 (1)你觉得张强说的对吗？请说明理由； 解：(1)张强说的对.理由如下： 假设张强的年龄为 x岁，则根据李华 的描述可列式为 ， ∴原式 ＝ ＝ ＝x－2， ∴所得的结果为 x－2，用所得的结果加上2，得x－2＋2＝x， ∴张强说的对，所得的结果加上2就是年龄数； (2)仿照上述方式，编制一个猜身高的题目，与同学们交流分享. 解：(2)题目：张强对李华说，用你的身高厘米数的平方减去9，所得的结 果除以你的身高厘米数与3的差，告诉我结果，我就知道你的身高了.若李 华给出的结果为162，求李华的身高. 解：设李华的身高为x厘米， 则根据张强的描述可列式为 ， ∴原式＝ ＝x＋3， ∴所得的结果为x＋3. ∵李华给出的结果为162，∴x＝162－3＝159， ∴李华的身高为159厘米. (答案不唯一，合理即可) 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 第16题图 18.1 分式及其基本性质 18.1.2 分式的基本性质 第1课时 分式的基本性质 八年级上 第十八章 分式 知识点　分式的基本性质 1. 若等式 ＝ 成立，则x应满足的条件是(　C　) A. x＝0 B. x＝1 C. x≠0 D. x＝1或x＝0 C 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 基础题 教材改编练 2. (教材例2改编)已知x≠±1，把分式 变形为分式 ，下列变形方 法正确的是(　D　) A. 分子与分母同时乘整式(x＋1) B. 分子与分母同时乘整式(x－1) C. 分子与分母同时除以整式(x＋1) D. 分子与分母同时除以整式(x－1) 3. 下列分式中，与分式 相等的是(　C　) A. B. C. D. D C 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 4. 已知a≠0，m≠0，n≠0，且m≠n，则下列分式变形正确的 是(　D　) A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ D 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 5. 填空： (1) ＝ ＝ ； (2) ＝ ＝ ； (3) ＝ ＝ . 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 6. 不改变分式的值，使下列分式的分母不含“－”号. (1) ；　　　　　 解：(1)原式＝ ； (2) . 解：(2)原式＝ . 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 7. (教材练习第3题改编)不改变分式的值，把下列分式的分子与分母的各 项系数均化为整数. (1) ；　　　　　 解：(1) ＝ ＝ ；(答案不唯一) (2) ； 解：(2) ＝ ＝ ；(答案不唯一) 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 (3) ； 解：(3) ＝ ＝ ；(答案不唯一) (4) . 解：(4) ＝ ＝ .(答案不唯一) 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 8. 若关于x的等式 ＝ 成立，求m的值. 解：m的值为3. 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 9. 若将分式 中的x，y都扩大为原来的10倍，则分式的值(　B　) A. 扩大为原来的10倍 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 不变 B 中档题 能力提升练 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 10. 分式 可变形为(　B　) A. － B. － C. － D. B 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 11. (教材习题第5题改编)不改变分式 的值，使分子、分母最高次项 的系数为正数，下列结果正确的是(　C　) A. B. C. D. C 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 12. (教材练习第2题改编)小张学习分式的性质时，将 中的x和y都 扩大到原来的2倍，得到的分式的值不变，请你推测□表示的代数式可以 是(　D　) A. 5 B. y C. 2y D. y2 D 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 13. 下列变形：① ＝ ；② ＝ ；③ ＝ ； ④ ＝ .其中不正确的是 .(填序号) ①②④ 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 (1) 与 ，其中a≠b； 解：(1)相等.理由如下： ∵a≠b， ∴ ＝ ＝ ； 14. (教材习题第4题改编)判断下列各组分式是否相等，并说明理由. 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 (2) 与 ，其中xyz≠0. 解：(2)不相等.理由如下： ∵xyz≠0，∴x≠0，y≠0，z≠0， ∴ ＝ ＝－ ， ∴－ ≠ . 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 15. 若 ＝ (m≠0，n≠0)，求 的值. 解：设 ＝ ＝k(k≠0)， 则m＝3k，n＝2k. 将m＝3k，n＝2k代入 中， 得 ＝ ＝ ， ∵k≠0，∴k2＞0， ∴将 的分子、分母同时除以k2，分式的值不变，即 ＝ . 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 16. 下面是小可错题本上的一道习题，请你指出小可的出错原因，并帮他 写出正确的过程. 拔高题 思维拓展练 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 题目：请运用分式的基本性质，写出分式 变形为整式(x－y)的过程. 错解：分式 的分子、分母同时乘(x－y)， 得 ＝ ＝ ， 再给分式 的分子、分母同时除以(x2－y2)，得 ＝ x－y， 即 ＝x－y. 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 解：错误原因：∵(x－y)的值可能等于0，∴分式的分子、分母不能同时 乘(x－y)， 正确过程：∵ ＝ ，根据分式有意义的条件可知，x＋ y≠0， ∴分式 的分子、分母同时除以(x＋y)， 得 ＝x－y，即 ＝x－y. 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 18.1 分式及其基本性质 18.1.1 从分数到分式 第十八章 分式 八年级上 知识点1　分式的定义 1. 下列代数式中，属于分式的是(　B　) A. B. C. D. 2. 如图，李老师在黑板上写出四个代数式，其中是分式的有(　B　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第2题图 B B 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 基础题 教材改编练 知识点2　分式有意义的条件 3. (教材例1改编)要使分式 有意义，则x需要满足的条件是(　D　) A. x＝4 B. x＝－4 C. x≠4 D. x≠－4 4. 无论x取何值，下列分式总有意义的是(　D　) A. B. C. D. D D 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 5. (教材练习第3题改编)x满足什么条件时，下列分式有意义？ (1) ；　　 解：(1)要使分式 有意义， 则分母3x＋2≠0，即x≠－ ， ∴当x≠－ 时，分式有意义； 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 (2) ；　　 解：(2)要使分式 有意义， 则分母x2－4≠0，即x≠±2， ∴当x≠±2时，分式有意义； 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 (3) . 解：(3)要使分式 有意义， 则分母5x－y≠0，即x≠ ， ∴当x≠ 时，分式有意义. 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 知识点3　分式值为零的条件11考 6. (教材习题第11题改编) 一题多变 变式1　改为求x的值 若分式 的值为0，则x的值为(　C　) A. －2 B. 0 C. 2 D. C 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 变式2　改为结合绝对值 若分式 的值为0，求x的值. 解： 　(关键点：在利用分式的值为0求参数值时，要注意分子的值为0， 分母的值不为0这一前提条件)　 要使分式 的值为0， 则有｜x｜－5＝0且 x＋5≠0，解得x＝5. 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 知识点4　根据实际问题列分式3考 　　2025年是“绿水青山就是金山银山”理念提出20周年，为进一步落实 这一理念，建设更高水平的生态环境，某林木种植基地进行植树增绿项 目.请完成第7～8题： 主题情境 “两山”理念20周年 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 7. (教材练习第4题改编)在采购的树苗中，有一批马尾松树苗，其采购清 单如图所示，则分式 表示的实际意义是 ⁠ ⁠. 第7题图 每株马尾松树苗的价格(表述 不唯一，合理即可) 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 8. 购买树苗后，基地决定先将马尾松种植在面积为S平方米的一个长方形 基地中，已知马尾松的种植间距为1.2米，若该基地的长边一行最多可以 种下x棵树，则该基地的宽为 米. ​ 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 9. 已知x＝1时，分式 无意义，则“◇”可以是(　D　) A. 2x B. x－2 C. x2＋1 D. x2＋2x－3 D 中档题 能力提升练 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 ②若P有意义，则Q一定有意义. A. 只有①正确 B. 只有②正确 C. ①②都正确 D. ①②都不正确 10. 已知：P＝ ，Q＝ ，关于下列两个说法，判断正确的是(　D　) ①若Q的值为0，则P无意义； D 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 11. (教材复习题第6题改编)若分式 的值为0，则x的值为 ⁠. 12. 　　　 《梦溪笔谈》中有一段关于行军运粮的 记载，其大意为：在行军中，每个民夫最多可以携带6斗(1斗＝10升)粮 食，一个士兵最多可以携带1斗粮食，每个士兵和民夫平均每天各消耗2升 粮食.若每个士兵雇佣n个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的 情况下，背负的粮食最多可以支持 天的行军. 2 ​ 数学文化 行军运粮 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 解：根据题意得，x2－6x＋9＋2m＝(x－3)2＋2m≠0，对任意的实数x都 成立， ∵(x－3)2≥0，∴2m＞0，即m＞0， ∴m的取值范围为m＞0. 13. (教材习题第3题改编)无论x取何值，分式 总有意义，求m的取值范围. 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 14. (中考新考法·纠错改错)在学习完分式的概念后，老师出了一道题：当 m取哪些整数时，分式 的值是整数？小明的解答如下： 解：当m－1＝1，3，即m＝2，4时， 分式 的值是整数. 上述解法是否有误？若有误请说明错误的原因，并写出正确解答. 解：上述解法有误，错误的原因是没有考虑到分母的值为－1，－3时，分 式 的值也是整数的情况，正确解答过程如下： 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 解：若使分式 的值是整数，则m－1是3的约数， ∵3的约数有±1，±3， ∴当m－1＝±1时，解得m＝0或m＝2； 当m－1＝±3时，解得m＝－2或m＝4. 综上所述，当m为－2或0或2或4时，分式 的值是整数. 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 15. 已知分式 (a，b为常数)满足表格中的信息. x的取值 1 4 分式的值 无意义 0 拔高题 思维拓展练 (1)求a，b的值； 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 解：(1)∵当x＝1时，分式无意义， ∴2＋b＝0，解得b＝－2； ∵当x＝4时，分式的值为0， ∴可列方程组为 解得 综上所述，a＝4，b＝－2； 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 x的取值 1 4 分式的值 无意义 0 (2)当x＝0时，求分式 的值. 解：(2)由(1)可知a＝4，b＝－2，∴原分式为 ， ∴当x＝0时， ＝－2. ∴分式 的值为－2. 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 x的取值 1 4 分式的值 无意义 0 $