16.3 乘法公式 同步练习 课件 -2025-2026学年 人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦八年级上册“乘法公式”，涵盖平方差公式、完全平方公式及添括号法则，通过几何图形面积验证公式导入，衔接整式乘法基础，以例题、变式练习为支架，构建从具体到抽象的学习路径。 其特色在于融合几何直观与抽象能力，通过图形拼接推导平方差公式、阴影面积验证完全平方公式，培养数学眼光。设置停车场改建等实际应用及中考变式题，提升运算能力与模型意识，助力学生理解公式本质，教师教学更具层次性和针对性。

16.3 乘法公式 16.3.1 平方差公式 第十六章 整式的乘法 八年级上 知识点1　平方差公式的几何验证 1. (教材思考改编) 如图①，阴影部分的面积可以表示为 ，将图①沿虚线裁剪，拼接为图②，图②中阴影部分的面积可以表示 为 ，由图①到图②的变化过程可以得到的数学公式是⁠ ⁠. (a＋b)(a－b) a2－b2 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 基础题 教材改编练 第1题图 知识点2　平方差公式 2. 计算(x－3)(x＋3)的结果是(　B　) A. x2＋9 B. x2－9 C. 9－x2 D. x2－3 3. 下列各式中，能用平方差公式计算的是(　C　) A. (x＋y)(y＋x) B. (2a－b)(2b＋a) C. (a＋4)(4－a) D. (－x－2)(x＋2) B C 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 4. 填空： (1)(－x＋y)(－x－y)＝ ⁠； (2)(4－xy)(4＋xy)＝ ⁠. 5. 已知a2－2＝0，则代数式(a－1)(a＋1)的值为 ⁠. x2－y2 16－x2y2 1 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 (1)(3x－5y)(3x＋5y)； 解：(1)原式＝9x2－25y2； (2)( x－2)(－2－ x)； 解：(2)原式＝－ x2＋4； (3)(4＋a2)(2－a)(2＋a)； 解：(3)原式＝16－a4； (4)(4x＋y)(y－4x)－(2y－x)(2y＋x). 解：(4)原式＝－15x2－3y2. 6. 计算： 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 知识点3　平方差公式的运用 7. (教材习题第5题改编)为缓解居民停车的压力，某小区现将一片长方形 草坪的宽增加10 m，长减少10 m，改建成一个正方形停车场.若改建后正 方形停车场的边长为2a m，则原长方形草坪的面积为(　D　) A. (2a＋10)m2 B. (2a－10)m2 C. (4a2＋100)m2 D. (4a2－100)m2 D 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 8. (教材习题第1题改编)利用平方差公式计算下列各式： (1)1.01×0.99 ＝(1＋ )×(1－ ⁠) ＝ 2－ ⁠2 ＝ ⁠； 0.01 0.01 1 0.01 0.999 9 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 (2)2 0252－2 024×2 026. 解：(2)原式＝2 0252－(2 025－1)×(2 025＋1) ＝2 0252－(2 0252－12) ＝2 0252－2 0252＋1 ＝1. 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 9. 若x2－y2＝7，则(x＋y)2(x－y)2的值为(　C　) A. 14 B. 21 C. 49 D. 56 10. (教材练习第1题改编)已知(x－my)(x＋my)＝x2－16y2，则(m＋2)(m－ 2)的值为(　A　) A. 12 B. 14 C. 15 D. 16 C A 中档题 能力提升练 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 11. 若x＋y＝30，则(x＋y＋5)(x＋y－5)＝ ⁠. 12. (教材复习题第8题改编) 875 一题多变 变式1　改为求方程的解 方程(x＋4)(x－4)＝x2＋2x的解为 ⁠. x＝－8 变式2　改为求不等式的特殊解 不等式(2x＋3)(2x－3)＜4(x2＋3x)的最小整数解为 ⁠. 0 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 13. (中考新考法·阅读理解题)定义一种新运算： ＝ad－bc，已知实 数m满足 ＝17，则m的值为 ⁠. 14. 如图，大正方形ABCD的边长为b，小正方形KGHI的边长为a，已 知S阴影部分＝16，且小正方形的面积为4，则大正方形ABCD的面积 为 ⁠. －7 36 第14题图 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 15. 先化简，再求值： (1)2x(x－2)＋(2－x)(4＋2x)，其中x＝－2； 解：(1)原式＝2x2－4x＋2(2－x)(2＋x) ＝2x2－4x＋2(4－x2) ＝2x2－4x＋8－2x2 ＝8－4x， 将x＝－2代入，得原式＝8－4×(－2)＝8＋8＝16； 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 (2)已知a2－2b2＝5，求代数式(a＋b)(a－b)＋(2a＋3b)(2a－3b)的值. 解：(2)原式＝a2－b2＋(2a)2－(3b)2 ＝a2－b2＋4a2－9b2 ＝5a2－10b2， ∵a2－2b2＝5，∴原式＝5(a2－2b2)＝5×5＝25. 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 16. (中考新考法·补充思路过程)数学中的很多问题利用合适的方法可以将 复杂问题简单化.例如计算(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)时，小刚同学想到 用一个“引子”就可以使这个式子的计算有规律，思路如下： 拔高题 思维拓展练 解：∵2－1＝1， ∴(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1) ＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1) ＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1) ＝( )(24＋1)(28＋1) ＝(28－1)(28＋1) ＝( ). 24－1 216－1 (1)根据小刚同学的解题思路，将上述过程补充完整； 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 (2)计算：(1＋ )(1＋ )(1＋ )(1＋ )(1＋ ). 解：(2)原式＝2×(1－ )(1＋ )(1＋ )(1＋ )(1＋ )(1＋ ) ＝2×(1－ )(1＋ )(1＋ )(1＋ )(1＋ ) ＝2×(1－ )(1＋ )(1＋ )(1＋ ) ＝2×(1－ )(1＋ )(1＋ ) ＝2×(1－ )(1＋ ) ＝2×(1－ ) ＝2－ . 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 16 16.3 乘法公式 16.3.2 完全平方公式 第1课时 完全平方公式 八年级上 第十六章 整式的乘法 知识点1　利用图形验证完全平方公式 1. (教材思考改编)如图，阴影部分面积可以表示为 ，还可表 示为 ，由此可以得到的数学公式是 ⁠ ⁠. 第1题图 (a－b)2 a2－2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2ab ＋b2 基础题 教材改编练 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 知识点2　完全平方公式 2. 计算(a－3)2的结果为(　B　) A. a2－9 B. a2－6a＋9 C. a2－12a＋9 D. a2＋12a＋9 3. 计算：(1)(5－3a)2＝ ⁠； (2)(3y＋2z)2＝ ⁠. 4. (教材练习第1题改编)若(x＋2a)2＝x2＋8x－4b，则a＝ ， b＝ ⁠. B 25－30a＋9a2 9y2＋12yz＋4z2 2 －4 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 (1)( a－b)2；　　　　 解：(1)原式＝ a2－ ab＋b2； (2)(－y＋xy)2； 解：(2)原式＝y2－2xy2＋x2y2； (3)(2x＋3)(－2x－3). 解：(3)原式＝－4x2－12x－9. 5. 计算： 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 6. 先化简，再求值：(2a－5b)2－(2a＋b)(－b＋2a)，其中a＝1， b＝2. 解：原式＝4a2－20ab＋25b2－(2a＋b)(2a－b) ＝4a2－20ab＋25b2－(4a2－b2) ＝4a2－20ab＋25b2－4a2＋b2 ＝26b2－20ab， 将a＝1，b＝2代入，得原式＝26×22－20×1×2＝64. 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 知识点3　完全平方公式的运用 7. 　　　 年画是春节最具代表性的文化符号之一. 如图，小明要用木板为一幅正方形年画制作边框，其中年画的边长为 20 cm，边框每条边的宽度为x cm，则制作边框的木板面积(不计接缝) 为 cm2.(用含x的代数式表示) 第7题图 (4x2＋80x) 传统文化 民间艺术 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 8. (教材例4改编)利用完全平方公式简便运算： (1)5.12； 解：(1)原式＝(5＋0.1)2 ＝25＋2×5×0.1＋0.01 ＝26.01； 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 (2)2012＋99×101. 解：(2)原式＝(200＋1)2＋99×101 ＝2002＋400＋1＋(100－1)(100＋1) ＝40 000＋400＋1＋10 000－1 ＝50 400. 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 9. (教材复习题第8题改编)已知(x＋4)2＝9，则代数式x2＋8x＋20的值 为(　B　) A. 12 B. 13 C. 18 D. 27 10. 三个连续自然数的平方和减去2一定(　B　) A. 能被2整除 B. 能被3整除 C. 能被4整除 D. 能被5整除 B B 中档题 能力提升练 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 11. (教材阅读与思考改编)如图为“杨辉三角”系数表，其排列规律：两 腰上的数都为1，其余各数为它上方的左右两数之和.由此我们可以得到 (a＋b)n(n为非负整数)的展开式的系数规律. 第11题图 (1)“杨辉三角”中，第5排左起第3个数是 ⁠； 6 (2)观察这些系数的规律，请直接写出(a＋b)5＝ ⁠ ⁠. a5＋5a4b＋10a3b2＋ 10a2b3＋5ab4＋b5 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 12. 　　　　　　 已知a＋b＝8，ab＝12. (1)求a2＋b2的值； 解：(1)∵a＋b＝8，ab＝12， ∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝82－2×12＝40； (2)求(a－b)2的值； 解：(2)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝82－4×12＝16； (3)求a－b的值； 解：(3)由(2)得(a－b)2＝16，则a－b＝4或a－b＝－4； 一题多设问 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 (4)求a2－b2的值. 解：(4)∵a2－b2＝(a＋b)(a－b)，由(3)知，a－b＝4或a－b＝－4， ∴当a－b＝4时，a2－b2＝8×4＝32； 当a－b＝－4时，a2－b2＝8×(－4)＝－32. 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 13. (综合与实践·乘法公式探究) 有一张边长为a厘米的正方形木板，现需 要将边长增加b厘米，木工师傅设计了如图①所示的三种方案： 第13题图① 上述三种方案都可以利用图形面积关系来验证完全平方公式.如方案一： 大正方形的面积可以看成(a＋b)2，也可以看成a2＋ab＋b(a＋b)＝a2＋ 2ab＋b2，故(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. 拔高题 思维拓展练 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 【公式验证】 (1)请根据方案二、方案三，分别写出公式的验证过程； 方案二：大正方形的面积可以看成(a＋b)2， 也可以看成a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2， 故(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2； 方案三：大正方形的面积可以看成(a＋b)2， 也可以看成a2＋2× ×(a＋a＋b)b＝a2＋2ab＋b2， 故(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2； 大正方形的面积可以看成(a＋b)2， 大正方形的面积可以看成(a＋b)2， 解答下列问题： 第13题图① 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 【公式应用】 (2)若边长a，b之间的关系为a－b＝4，ab＝12，求a＋b的值； 解：(2)∵a－b＝4，∴(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝16， ∵ab＝12，∴a2＋b2＝(a－b)2＋2ab＝16＋2×12＝40， ∴(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝40＋2×12＝64， 由题意可知，a，b均为正数，即a＋b＞0， ∴a＋b＝8； 第13题图① 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 【拓展迁移】 (3)将两块大小相等、形状相同的直角三角板AOB，COD(∠AOB＝ ∠COD＝90°)按图②所示的方式放置，A，O，D在同一直线上，连接 AC，BD，若AD＝10，S△AOC＋S△BOD＝40，求阴影部分的面积. 第13题图② 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 解：(3)根据题意，得∠AOC＝∠BOD＝90°且OA＝OC，OB＝OD. 设OA＝OC＝m，OB＝OD＝n， ∵AD＝10，S△AOC＋S△BOD＝40， 即m＋n＝10， m2＋ n2＝40，∴m2＋n2＝80， ∴阴影部分的面积为2× mn＝ ＝ ＝10. 第13题图② 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 16.3 乘法公式 16.3.2 完全平方公式 第2课时 添括号法则 八年级上 第十六章 整式的乘法 知识点1　添括号法则 1. 已知－a＋b－c＝－(　　)，则填在括号里能使等式成立的是(　B　) A. a＋b－c B. a－b＋c C. a＋b＋c D. a－b－c 2. (教材练习第1题改编)不改变式子a＋(－b＋c)的值，将括号前的 “＋”变成“－”，结果正确的是(　A　) A. a－(b－c) B. a－(b＋c) C. a－(－b＋c) D. a－(－b－c) B A 基础题 教材改编练 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 3. 填空： (1)a＋5b－4c＝a＋(　5b－4c　)； (2)a－(3b－2c)＋1＝a＋2c－(　3b－1　). 4. 已知x2－y＝2，则5－x2＋y的值为 ⁠. 5. 已知ab＝3，a＋b＝4，求(a－1)(b－1)的值. 解：(a－1)(b－1)＝ab－a－b＋1 ＝ab－(a＋b)＋1， ∵ab＝3，a＋b＝4， ∴原式＝3－4＋1＝0. 5b－4c 3b－1 3 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 知识点2　添括号法则在乘法公式中的应用 6. (教材练习第2题改编)运用平方差公式计算(x＋y－z)(x－y＋z)，下列 变形正确的是(　D　) A. [x＋(y－z)]2 B. [(x＋y)－z]2 C. [(x＋y)－z][(x－y)＋z] D. [x＋(y－z)][x－(y－z)] D 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 7. 计算： (1)(a＋b＋c)(a－b－c)； 解：(1)原式＝a2－b2－c2－2bc； (2)(－x－2y＋1)(x＋2y＋1)； 解：(2)原式＝－x2－4xy－4y2＋1； 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 (3)(m－n－1)2； 解：(3)原式＝m2－2mn＋n2－2m＋2n＋1； (关键点：增减括号时需注意若括号前为正号，括号内不变号；若括号前 为负号，括号内需变号) (4)(a－3b＋2c)(2c－a＋3b). 解：(4)原式＝4c2－a2＋6ab－9b2. 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 8. 请根据小明的计算过程，完成下面的任务： 　(2x＋y－z)(－2x＋y＋z) ＝[y＋(2x－z①)][y－(2x＋z②)] ＝… (1)老师指出小明的计算过程有误，出错的序号是 ，应改正为⁠ ⁠； ② 2x－z 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 (2)请你将改正后的计算过程补充完整. 解：(2)改正后的计算过程如下： (2x＋y－z)(－2x＋y＋z) ＝[y＋(2x－z)][y－(2x－z)] ＝y2－(2x－z)2 ＝y2－(4x2－4xz＋z2) ＝y2－4x2＋4xz－z2. 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 9. 下列添括号，正确的是(　D　) A. a＋b－c＝a＋(b＋c) B. －3x＋6y－3＝－3(x＋2y＋1) C. p－q＋2m＝p－(－q＋2m) D. 10－2x＋y2＝(10－2x)＋y2 D 中档题 能力提升练 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 10. 计算(－m＋n＋3)(m－n＋3)的结果是(　C　) A. m2－2mn＋n2＋9 B. －m2＋2mn＋n2－9 C. －m2＋2mn－n2＋9 D. m2－2mn－n2－9 C 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 变式1　改为求代数式的值 已知(2－x＋y)(2＋x－y)＝－20，则代数式(x－y)2的值为 ⁠. 24 11. (教材习题第3题改编) 一题多变 变式2　改为求字母的值 已知(x－99)(x－101)＝24，则x的值为 ⁠. 105或95 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 12. 先化简，再求值： (1)(x－3y)2－(x＋3y＋5)(x＋3y－5)，其中x＝－1，y＝2； 解：(1)原式＝－12xy＋25， 当x＝－1，y＝2时，原式＝－12×(－1)×2＋25＝49； (2)(a＋b＋c)(a＋b－c)＋(a－b＋c)(－a＋b＋c)，其中ab＝ . 解：(2)原式＝4ab， 当ab＝ 时，原式＝4× ＝2. 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 13. 已知a，b满足(3a－3b＋5)(5－3a＋3b)＝25，求a，b的数量关系. 解：∵(3a－3b＋5)(5－3a＋3b) ＝[5＋(3a－3b)][5－(3a－3b)] ＝52－(3a－3b)2 ＝25－(3a－3b)2， ∴25－(3a－3b)2＝25，∴(3a－3b)2＝0， ∴3a－3b＝0，即3a＝3b， ∴a＝b. 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 14. 已知A＝3x＋2y－9，B＝3x－2y－9，求当A·B＋4y2的值最小 时，x的值. 解：A·B＋4y2＝(3x＋2y－9)(3x－2y－9)＋4y2 ＝[(3x－9)＋2y][(3x－9)－2y]＋4y2 ＝(3x－9)2－(2y)2＋4y2 ＝(3x－9)2－4y2＋4y2 ＝(3x－9)2， ∵(3x－9)2≥0， ∴A·B＋4y2的最小值为0，此时3x－9＝0，解得x＝3， ∴当A·B＋4y2的值最小时，x的值为3. 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 15. (代数推理) 若m≠0，Q＝(m2－m＋1)(m2＋m＋1)，P＝(m＋1)2 (m－1)2，猜想Q与P的大小关系，并证明你的猜想. 解：Q＞P. 证明如下： Q＝(m2－m＋1)(m2＋m＋1) ＝[(m2＋1)－m][(m2＋1)＋m] ＝(m2＋1)2－m2 ＝m4＋m2＋1， P＝(m＋1)2(m－1)2 ＝(m2－1)2 ＝m4－2m2＋1， 拔高题 思维拓展练 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 Q－P＝m4＋m2＋1－(m4－2m2＋1)＝3m2， ∵m≠0，∴m2＞0，即3m2＞0， ∴Q＞P. 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15 $