15.3 等腰三角形 同步练习 课件 -2025-2026学年 人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形（含等边三角形）的性质、判定及含30°角直角三角形性质，通过教材改编题、生活情境导入，以基础题→中档题→拔高题递进，构建从性质到判定的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于融合传统文化（古建筑梁架）与生活情境（平板保护壳、扶梯），通过一题多变、一题多解及解题方法总结，培养几何直观、推理意识与应用意识。学生提升数学思维与实践能力，教师可灵活适配分层教学需求。

15.3 等腰三角形 15.3.1 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 第十五章 轴对称 八年级上 知识点1　等腰三角形的性质：等边对等角 1. 在△ABC中，若AB＝AC，∠B＝65°，则∠A的大小为(　A　) A. 50° B. 55° C. 60° D. 65° A 基础题 教材改编练 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 2. 如图，△ABC是等腰三角形，AC＝BC，D是BC延长线上一点.若 ∠ACD＝140°，则∠A的度数为(　C　) A. 35° B. 40° C. 70° D. 140° 第2题图 C 3. (教材练习第1题改编)已知等腰△ABC的一个角为52°，则其底角的度 数为 ⁠. 52°或64° 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 4. (教材练习第3题改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC上一 点，连接BD，BD＝BC. 若∠C＝2∠A，则∠BDC的度数为 ⁠. 第4题图 72° 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 5. 如图，已知等腰△ABC和等腰△BCD有一条公共边BC，且AB＝ AC，BD＝BC，BD∥AC，若∠A＝48°，求∠D的度数. 第5题图 解：∵AB＝AC，∠A＝48°， ∴∠ACB＝∠ABC＝ (180°－∠A)＝66°， ∵BD∥AC， ∴∠DBC＝180°－∠ACB＝180°－66°＝114°， ∵BD＝BC， ∴∠D＝∠DCB＝ (180°－∠DBC)＝33°. 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 知识点2　等腰三角形的性质：“三线合一” 6. 　 　 如图①是我国古建筑梁架示意图，其顶部 可看作等腰△ABC(如图②)，已知AB＝AC，则下列不能说明BD＝CD 的是(　C　) 　　　 第6题图 C 传统文化 古建筑 A. AD⊥BC B. ∠BAD＝∠CAD C. ∠B＝∠C D. △ABD≌△ACD 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 7. (教材习题第12题改编) 变式1　改为已知高求线段长 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BC＝6，则CD的长 为 ⁠. 变式1题图 3 一题多变 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 变式2　改为已知中线求角度 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的中线，若∠B＝50°，则 ∠DAC的度数是 ⁠. 变式2题图 40° 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 8. 　 　如图，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形内一点， 连接DA，DB，DC，且DB＝DC. 求证：AD⊥BC. 第8题图 一题多解法 证明：在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD(SSS)， ∴∠BAD＝∠CAD， 又∵AB＝AC， ∴AD⊥BC. 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 9. (教材练习第3题改编)如图，在△ABC中，D是边AB的中点，点E在 边AC上，连接BE，DE. 若DE＝AD，∠C＝70°，则∠CBE的度数 为(　B　) A. 10° B. 20° C. 25° D. 30° 第9题图 B 中档题 能力提升练 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 10. (教材复习题第5题改编)如图是由两根带凹槽的木棒PA，PB组成的三 等分角器，两根木棒在P点相连，并可绕点P转动，C点固定，O，A可 在槽内滑动，已知OA＝OC＝PC. 若∠AOB＝45°，则∠P的度数 为 ⁠. 第10题图 15° 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 11. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D是AB的中点， P是边AC上一动点，连接DP，将△ABC沿DP所在直线折叠，点A的对 应点为点F，DF与AC相交于点E(点E不与点C重合).若△ADE是以AE 为腰的等腰三角形，则∠DEC的度数为 ⁠. 第11题图 60°或105° 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 12. (教材习题第10题改编)如图，在△ABC中，D为BC边的中点，过点A 作EF∥BC，且AE＝AF，DE＝DF. 第12题图 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 证明：(1)如解图，连接AD， ∵在△EFD中，DE＝DF，AE＝AF， ∴∠E＝∠F，DA⊥EF， ∵EF∥BC，∴AD⊥BC， 又∵D为BC的中点，∴AD为BC的垂直平分线， ∴AB＝AC，∴∠B＝∠C； 求证：(1)∠B＝∠C； 第12题解图 (2) EG＝FH. 第12题图 证明：(2)由(1)知∠E＝∠F，∠B＝∠C， ∵EF∥BC， ∴∠E＝∠GDB，∠F＝∠HDC， ∴∠GDB＝∠HDC， ∵D为BC的中点，∴BD＝CD. 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 在△GDB和△HDC中， ∴△GDB≌△HDC(ASA)， ∴GD＝HD， ∵DE＝DF， ∴DE－GD＝DF－HD， ∴EG＝FH. 第12题图 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 13. (中考新考法·补充证明过程)历史上，有许多数学家对“等边对等角” 这一定理进行了证明.下面让我们对这一证明的演变进行探究. (1)如图①，古希腊数学家帕普斯将等腰△ABC“外化”出另一个相同的 △ACB ，然后利用全等来证明，请写出他的证明过程； 第13题图 拔高题 思维拓展练 (1)证明：在△ABC和△ACB中， ∴△ABC≌△ACB(SAS)， ∴∠ABC＝∠ACB； 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 (2)如图②，数学家欧几里得的部分证明过程如下，请补充证明过程. 证明：在等腰△ABC两腰的延长线上取两点D，E，使得BD＝CE，并 连接CD，BE. ∵AB＝AC， BD＝CE， ∴AD＝AE. 在△ACD和△ABE中， … 第13题图 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 (2)解：补充证明过程如下： ∴△ACD≌△ABE(SAS)，∴CD＝BE，∠D＝∠E， 在△CBD和△BCE中， ∴△CBD≌△BCE(SAS)，∴∠CBD＝∠BCE， ∴∠ABC＝∠ACB. 第13题图 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 15.3 等腰三角形 15.3.1 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的判定 第十五章 轴对称 八年级上 知识点1　等腰三角形的判定 1. 在△ABC中，已知∠B＝∠C，则(　A　) A. AB＝AC B. AC＝BC C. AB＝BC D. ∠A＝90° A 基础题 教材改编练 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 2. 如图，已知AC和BD相交于点O，AB∥DC，OA＝OB＝4，若OC ＝3，则BD的长为(　C　) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 第2题图 C 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 3. 　　　 如图是一个自带支架的平板保护壳及 其简易图，若∠ACB＝∠ABC，AB＝12 cm，则AC的长为 cm. 　　　 第3题图 12 平板保护壳 日常生活 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 4. 如图，在△ABC中，∠B＝∠C，分别在边AB，AC上取点D，E， 使BD＝CE，连接DE，若∠A＝48°，则∠AED的度数为 ⁠. 第4题图 66° 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 5. (教材习题第6题改编)如图，一艘船从点A出发，沿正东方向行驶，在 点A处测得灯塔C在北偏东58°方向上，船继续行驶50海里到达B处，此 时测得灯塔C在北偏东26°方向上，则BC之间的距离为 海里. 第5题图 50 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 6. (教材练习第1题改编)如图，在△ABC中，D是边BC上的点，连接 AD. 若∠C＝∠B，∠ADC＝2∠B，∠BAC＝3∠B，则图中的等腰三 角形有 个. 第6题图 3 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 7. (教材习题第2题改编)如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB上 的点，连接DE并延长至点F，连接BF，使得∠ABF＝∠A. 已知 DE∥BC，AC＝BC，求证：△BEF是等腰三角形. 第7题图 证明：∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠BEF， ∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠A，∴∠BEF＝∠A， 又∵∠ABF＝∠A，∴∠ABF＝∠BEF， ∴BF＝EF，即△BEF是等腰三角形. 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 8. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC ＝ 90°，AD⊥BC于点 D，若BC＝8，求△ABC的面积. 第8题图 解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°， ∴BD＝AD＝CD， ∵BC＝8，∴AD＝4， ∴S△ABC＝ BC·AD＝ ×8×4＝16. 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 知识点2　用尺规作等腰三角形 9. (教材例3改编)如图，作一个以AB为底边，底边上的高CD＝AB的等 腰三角形.(不写作法，保留作图痕迹) 第9题图 解：如解图所示的等腰△ABC即为所求作. 第9题解图 第9题解图 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 10. 　 如图，将长方形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为 点E，EC与AD相交于点F，若AF＝4，BC＝6，则EF的长为(　B　) A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 第10题图 B 中档题 能力提升练 一题多解法 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 11. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，E为AB的中点，连接DE. 若∠A＝36°，则∠ADE的度数为 ⁠. 第11题图 54° 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 12. (教材复习题第6题改编) 变式1　改为求边长 如图，在△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，且B，C，E三点 共线，BA的延长线和ED的延长线交于点F，且AC∥EF，已知四边形 ACDF的周长为24，则EF的长为 ⁠. 变式1题图 12 一题多变 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 变式2　改为求三角形周长 如图，在△ABC中，BC＝10，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN 经过点O，与AB，AC分别相交于点M，N，且MN∥BC，若△AMN 的周长为12，则△ABC的周长为 ⁠. 变式2题图 22 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 13. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，过CA延长线上一点D作DE⊥BC于 点E，交AB于点F，已知F为AB的中点. 第13题图 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 (1)求证：△ADF为等腰三角形； (1)证明：∵DE⊥BC， ∴∠B＋∠BFE＝90°，∠C＋∠D＝90°， (关键点：证明三角形为等腰三角形，不仅可以直接从两边相等出发，也可以证明两个底角相等，从而证明两腰相等) ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠BFE＝∠D. ∵∠BFE＝∠AFD，∴∠D＝∠AFD， ∴AD＝AF，∴△ADF为等腰三角形； (2)若EF＝3，求DE的长. (2)解：如解图，过点A作AG∥BC交DE于点G， ∵AG∥BC，DE⊥BC， ∴∠AGF＝∠BEF＝90°，∠GAF＝∠EBF. ∵F为AB的中点，∴AF＝BF， 第13题解图 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 第13题图 在△AFG和△BFE中， ∴△AFG≌△BFE(AAS)， ∴GF＝EF， 由(1)可知AD＝AF， ∵∠AGF＝90°，∴DG＝GF， ∴DG＝GF＝EF， ∴DE＝DG＋GF＋EF＝3EF＝9. 第13题解图 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 解题方法 利用“角平分线＋平行线”构造等腰三角形 方法指导 过角的平分线上一点作角的一边的平行线，可以得到相等的角，再根据等 角对等边，可以得到等腰三角形.如图，BD平分∠ABC，AD∥BC，则 AB＝AD，△ABD是等腰三角形. 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 方法活用 1. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于 点E. 若DE＝3，AB＝7，则AE的长为 ⁠. 第1题图 4 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 2. 如图，在△ABC中，AO平分∠BAC，CO平分∠ACB，连接OB且 ∠ABO＝∠ACB. 若AB＝6，AC＝10，则OB的长为 ⁠. 第2题图 4 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 15.3 等腰三角形 15.3.2 等边三角形 第1课时 等边三角形的性质与判定 第十五章 轴对称 八年级上 知识点1　等边三角形的性质 1. 已知△ABC是等边三角形，则∠A的度数为(　B　) A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° B 基础题 教材改编练 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 2. (教材练习第2题改编)如图，△ABC是等边三角形，CD为AB边上的中 线，AC＝4，则AD的长为 ，∠ACD的度数为 ⁠. 第2题图 2 30° 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 3. 如图，△ABC是等边三角形，点D在AB边上，若∠BCD＝13°，则 ∠ADC的度数为 ⁠. 第3题图 73° 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 4. 如图，在等边△ABC中，点D在边AC上，DE⊥AB，垂足为E，连 接BD. 若DE＝BE，则∠BDC的度数为 ⁠. 第4题图 105° 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 5. 如图，D，E分别是等边△ABC的边AB，AC上的点，CD，BE相交 于点O，且∠DOB＝60°，求证：AD＝CE. 第5题图 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AC＝BC. ∵∠DOB＝60°，∴∠EBC＋∠BCD＝60°. 又∵∠BCD＋∠ACD＝60°，∴∠EBC＝∠ACD， 在△ADC和△CEB中， ∴△ADC≌△CEB(ASA)， ∴AD＝CE. 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 知识点2　等边三角形的判定 6. 下列说法不正确的是(　D　) A. 三边相等的三角形是等边三角形 B. 三个角都相等的三角形是等边三角形 C. 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形 D. 有一个角为60°的三角形是等边三角形 D 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 7. (教材例4改编)如图，在等边三角形ABC中，已知D，E分别是边 AB，AC的中点，连接DE. 若BC＝6，则DE的长为 ⁠. 第7题图 3 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 8. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点 D，延长AD至点E，使得AE＝AC，连接CE，则△AEC的周长 为 ⁠. 第8题图 9 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 9. (教材复习题第11题改编)如图，在△ABC中，D为边AC上的一点，过 点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AB于点F. 已知CE＝BF，DE ＝EF，∠DEF＝60°，求证：△ABC是等边三角形. 第9题图 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 证明：∵DE⊥BC，EF⊥AB， ∴∠DEC＝∠EFB＝90°， 在△DEC和△EFB中， ∴△DEC≌△EFB(SAS)，∴∠C＝∠B. ∵∠DEF＝60°，∠DEB＝90°， ∴∠FEB＝∠DEB－∠DEF＝90°－60°＝30°， 第9题图 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 ∴在Rt△EFB中，∠C＝∠B＝180°－∠EFB－∠FEB＝180°－90° －30°＝60°， ∴∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－60°－60°＝60°， 即∠A＝∠B＝∠C， ∴△ABC是等边三角形. 第9题图 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 10. (教材复习题第6题改编)如图，将一个等边△ABC纸片沿BC向右平移2 cm后得到△DEF，若AB＝6 cm，则两个三角形重叠部分的周长 为(　C　) A. 6 cm B. 9 cm C. 12 cm D. 15 cm 第10题图 C 中档题 能力提升练 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 11. 如图，小琼将长方形纸片ABCD对折后展开，折痕为EF，H为CD边 上一点，再将△BCH沿BH翻折，点C恰好落在EF上的点G处，则 ∠BHC的度数为(　D　) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 第11题图 D 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 12. 　　　 如图①是一个折叠熨衣架，图②是其侧面 示意图，支架AB与CD交于点O，OD＝OB，熨烫板水平线MN与地面 水平线l平行，∠DOB＝60°，AC＝25 cm，DO＝40 cm，那么熨衣架 的支架CD长为 cm. 　　　 第12题图 65 日常生活 熨衣架 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 13.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，点E在DA的延长线上，AB⊥ED，连接BE，从下面①②③中选取两个作为条件，另外一个作为结论，并证明结论是否成立. 第13题图 ①BE＝ED；②AD＝CD；③∠E＝60°. 选择的条件： ⁠； ①③ 证明的结论： .(填序号) ② 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 证明如下： 证明：∵BE＝ED，∠E＝60°. ∴△EBD是等边三角形，∴∠EBD＝60°. 又∵AB⊥ED，即∠BAD＝90°，AB是ED边上的高， ∴BA平分∠EBD，∴∠ABD＝ ∠EBD＝30°. 又∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABD＝30°， ∴∠BAC＝180°－∠C－∠ABD＝120°， ∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝120°－90°＝30°， ∴∠C＝∠DAC， ∴AD＝CD. (答案不唯一) 第13题图 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 14. (中考新考法·教材素材拓展)已知△ABC为等边三角形. (1)如图①，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E. 求证：△ADE为 等边三角形.针对此题，课本给出了如下的证明方法： 图① 第14题图 拔高题 思维拓展练 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C. ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C. ∴∠A＝∠ADE＝∠AED. ∴△ADE为等边三角形. 请你用另一种方法证明此题； 证明：(1)∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝∠C＝∠A＝60°， ∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE，∴△ADE为等腰三角形， 又∵∠A＝60°， ∴△ADE为等边三角形； 图① 第14题图 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 (2)如图②，△ABC，△ADE仍是等边三角形，连接CE且点D，E，C在 同一条直线上，连接BD，求证：BD＝CE. 图② 第14题图 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 证明：(2)∵△ABC，△ADE是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝60°， 又∵∠DAB＝∠DAE－∠BAE，∠EAC＝∠BAC－∠BAE， ∴∠DAB＝∠EAC. 在△DAB和△EAC中， ∴△DAB≌△EAC(SAS)， ∴BD＝CE. 图② 第14题图 8 9 10 11 12 13 7 6 5 4 3 2 1 14 15.3 等腰三角形 15.3.2 等边三角形 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 第十五章 轴对称 八年级上 知识点1　含30°角的直角三角形的性质 1. (教材探究改编)在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，已知AB＝ 3，则AC的长为 (　A　) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 2. 在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，AB＝10，则BC的长 为(　B　) A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 A B 基础题 教材改编练 8 9 10 11 7 6 5 4 3 2 1 3. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠C＝ 30°，BD＝2，则BC的长为(　C　) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 第3题图 C 8 9 10 11 7 6 5 4 3 2 1 4. 如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，CD是AB 边上的高.若S△ABC＝6，则△ADC的面积为 ⁠. 第4题图 3 8 9 10 11 7 6 5 4 3 2 1 5. (教材习题第7题改编)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC的垂直平 分线DE交AB于点E，垂足为D，连接CE，∠B＝30°，若BE＝4，求 AE的长. 第5题图 解：∵DE是BC的垂直平分线， ∴∠B＝∠ECD，BE＝CE，∠BDE＝∠CDE＝90°， ∵∠B＝30°，BE＝4，∴∠ECD＝30°，CE＝4， ∵∠A＝90°，∴∠ACB＝90°－∠B＝90°－30°＝60°， ∴∠ACE＝∠ACB－∠ECD＝60°－30°＝30°， ∴在Rt△ACE中，AE＝ CE＝2. 8 9 10 11 7 6 5 4 3 2 1 6. 如图，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝60°，AC⊥BD于 点C. ∠ABD的平分线BE交AD于点E，交AC于点F. 第6题图 8 9 10 11 7 6 5 4 3 2 1 (1)求证：AF＝EF； (1)证明：∵∠BAD＝90°，∠ABD＝60°， ∴∠D＝180°－∠BAD－∠ABD＝180°－90°－60°＝30°， ∵AC⊥BD，∴∠ACD＝∠BCF＝90°， ∴∠CAD＝90°－∠D＝90°－30°＝60°， ∵BE平分∠ABD， ∴∠ABE＝∠DBE＝ ∠ABD＝ ×60°＝30°， ∴在Rt△BCF中，∠CFB＝∠BCF－∠DBE＝90°－30°＝60°， ∴∠AFE＝∠CFB＝60°， ∵∠AFE＝∠CAD＝60°，∴△AEF是等边三角形， ∴AF＝EF； 第6题图 8 9 10 11 7 6 5 4 3 2 1 (2)若CF＝5，求DE的长. 第6题图 (2)解：由(1)可知∠DBE＝∠ABE＝30°， ∵∠BCF＝90°，CF＝5，∴BF＝2CF＝10. ∵∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝90°－60°＝30°， ∴∠BAC＝∠ABE， ∴AF＝BF＝10， 由(1)可知AF＝EF， ∴EF＝AF＝10，∴BE＝BF＋EF＝20. ∵∠DBE＝∠D＝30°， ∴DE＝BE＝20. 8 9 10 11 7 6 5 4 3 2 1 知识点2　含30°角的直角三角形性质的应用 7. (教材例5改编)如图是某屋顶框架的结构示意图，其中AB＝AC＝ 4 m，AD⊥BC于点D，∠BAC＝120°，则AD的长为(　B　) A. 1 m B. 2 m C. 3 m D. 4 m 第7题图 B 8 9 10 11 7 6 5 4 3 2 1 8. 如图是某商场扶梯的简易图，已知扶梯BC全长约为50 m，从一楼直达 六楼，AB，CD分别表示一楼、六楼地面的水平线.若∠CBA＝150°， 则乘坐扶梯从一楼到六楼垂直上升的距离约为(　C　) A. 50 m B. 30 m C. 25 m D. 20 m 第8题图 C 8 9 10 11 7 6 5 4 3 2 1 9. 在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，尺规作图痕迹如图所示，若 AB＝15，则点D到AC边的距离为(　C　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 第9题图 C 中档题 能力提升练 8 9 10 11 7 6 5 4 3 2 1 10. 如图，是一副叠放在一起的三角板，若AC＝24，则阴影部分的面积 为 ⁠. 第10题图 72 8 9 10 11 7 6 5 4 3 2 1 11. (中考新考法·阅读理解题)定义：在等边△ABC中，D，E，F分别是 边AB，BC，CA上的动点，若△DEF与△ABC形状相同，即△DEF也是 等边三角形，则称△DEF是△ABC的子三角形. 8 9 10 11 7 6 5 4 3 2 1 已知：如图，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是边AB，BC，CA 上的动点，且AD＝BE＝CF. 求证：△DEF是△ABC的子三角形. 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∵AD＝BE＝CF， ∴AF＝BD＝CE， … 第11题图 第11题图 解：(1)补全剩余证明过程如下： ∴△DAF≌△EBD≌△FCE，∴DF＝ED＝FE， ∴△DEF是等边三角形， ∴△DEF是△ABC的子三角形； 8 9 10 11 7 6 5 4 3 2 1 (1)请根据上述证明思路，补全剩余证明过程； (2)若FE⊥BC，AB＝12，求CE的长. 第11题图 解：(2)∵FE⊥BC，∠C＝60°， ∴∠EFC＝90°－∠C＝90°－60°＝30°. ∵∠BED＋∠DEF＝90°，∠EFC＋∠C＝90°，∠DEF＝∠C＝60°， ∴∠BED＝∠EFC＝30°， ∵∠B＝60°， 8 9 10 11 7 6 5 4 3 2 1 ∴在△BDE中，∠BDE＝180°－∠B－∠BED＝ 180°－60°－30°＝90°. 设BD＝CE＝x，则BE＝2x， ∴BC＝AB＝BE＋CE＝12＝3x，解得x＝4， ∴CE的长为4. 第11题图 8 9 10 11 7 6 5 4 3 2 1 解题方法 构造含30°角的直角三角形解决问题 方法指导 图形中含有特殊角度：15°，30°，60°的角，考虑构造含30°角的直角 三角形解决问题. (1)如图①，利用30°角直接构造直角三角形； (2)如图②，利用含有15°角的三角形外角构造直角三角形； (3)如图③，利用等边三角形(60°角)的角平分线构造直角三角形. 　　 　　 8 9 10 11 7 6 5 4 3 2 1 方法活用 1. 如图，在△ABC中，∠A＝150°，AB＝14，AC＝10，则△ABC的面 积为 ⁠. 第1题图 35 8 9 10 11 7 6 5 4 3 2 1 2. 如图，△ABC为等边三角形，AD是BC边上的高，AC的垂直平分线 EF分别交AC于点E，交AD于点F. 若DF＝1，则AF的长为 ⁠. 第2题图 2 8 9 10 11 7 6 5 4 3 2 1 $