1.5三角函数的应用 同步自主达标测试题 2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册

2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册《1.5三角函数的应用》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．如图是梯子两梯腿张开的示意图，米，梯腿与地面的夹角，则梯子顶端离水平地面的高度可表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图，拦水坝的横断面是梯形，高米，斜面坡度为，则斜坡的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图，在两条平行线，之间放置一个边长为m的正方形纸片，该纸片与平行线的较大夹角为，则，间的距离为（  ） A． B． C． D． 4．为测量大楼的高度，小明测得斜坡（A，B，C，D在同一平面内），坡度，坡底C到大楼底部A的水平距离，在D处测得大楼顶部B的仰角为，则大楼的高度为（    ） A． B． C． D． 5．如图，小文准备测量自己所住楼房与对面楼房的水平距离，他在对面楼房处放置一个的标杆，然后他在A处测得C点的俯角β为，再测得D点的俯角α为，则两幢楼房之间的水平距离大约为（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 6．如图，是斜靠在墙上的长梯，与地面夹角为，当梯顶下滑到时，梯脚滑到，此时与地面的夹角为，若，，则　　 A．2 B． C． D． 7．图1是某款篮球架，图2是其部分示意图，立柱垂直地面，支架与相交于点A，支架交于点G，米，米，，则立柱的高为（    ）米 A． B． C． D． 8．某同学利用数学知识测量建筑物的高度，他从点出发沿着坡度为的斜坡步行米到达点处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为．若为水平的地面，点在同一平面内，建筑物和测角仪与水平方向垂直，若米，则此建筑物的高度约为（　　）（精确到米，参考数据：，，） A．米 B．米 C．米 D．米 二、填空题（满分24分） 9．当为锐角，且时，的取值范围是 ． 10．某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算，得的长为 m． 11．如图所示，通过测量可以求得某市在冬至日正午时分的太阳入射角为，因此在规划建设楼高为的小区时，两楼间的距离最小为 才能保证不挡光．（，结果精确到）    12．如图，在某山坡前有一电视塔，小明在山坡的坡脚点处测得电视塔顶端的仰角为，在点处小明沿山坡向上到达点处，测得电视塔顶端的仰角为，已知山坡坡度，请你计算电视塔的高度为 ． 13．如图，要在宽为22米的灵州大道两边安装路灯，路灯的灯臂长2米，且与灯柱成角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线与灯臂垂直，当灯罩的轴线通过路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱的高度应当设计为 米（结果保留根号）．    14．如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，，的最大仰角为a．当时，则点A到桌面的最大高度是 15．物理实验课，教师指导学生进行一次光的折射实验，如图所示．光线在水面点处，经折射后到盆底点处，法线与盆底交于点．光线的入射角为，折射角为．若规定“”为折射率，则光在水中的折射率约为．当时，测得，则的长为 ． 16．台风是一种破坏性极强的自然灾害．如图，点A是东方市，台风中心位于东方市的南偏东方向，距离为240千米的点B 处，已知台风中心沿北偏西的方向移动， 一段时间后台风中心移动到东方市的南偏东方向的点C处，此时台风中心移动的路径 的长度为 千米 ． 三、解答题（满分72分） 17．如图，彩旗旗杆用，两根钢丝固定在地面上，点A，B，C，D在同一平面内，，，，． (1)求旗杆部分的长． (2)求钢丝的总长度．（结果保留根号） 18．图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 19．如图是某超市的购物车，从正面看其示意图如图2所示，已知，，． (1)求证：； (2)若，，，求的长．（结果保留整数．参考数据：） 20．图1是某款沙滩椅，图2是该款沙滩椅放置在水平地面上的示意图．已知，可通过调试与的夹角来调整靠背高度． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)若此时，求点到地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，， ，，） 21．如图，这是小伟同学为准备实验考试组装的制取氧气的实验装置．已知试管，，试管倾斜角为，实验时，导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且垂直，平行（点C，D，N，F在同一条直线上）．经测量得，，，，请求出铁架杆与水槽之间的水平距离．（结果精确到，参考数据：，，） 22．某海域发生事故，故障船只位于处（位置如图），位于观测站的北偏西方向，甲、乙两艘救援船分别从两地同时出发，甲在地位于观测站的正北方向处，乙在地位于观测站的北偏西方向，两船均以直线航行前往事故点处救援，15分钟后两船同时到达处． (1)求甲船的航行速度； (2)计算乙船从处航行到处的距离． （参考数据：，结果保留一位小数） 23．人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．如图所示，点B为学校所在地，点D为歌乐山一寺庙，D点位于点B的北偏西方向．D点位于小雨家点A的北偏东方向．D点位于小瑜家点C的北偏西方向．又点A位于点B的正西方向，C点位于点B的正北方向，已知小雨家离学校的距离公里．（参考数据：，，） (1)求小雨家A离寺庙D的距离（结果保留根号）； (2)甲、乙、丙三人邀约小雨和小瑜去寺庙D处看桃花，他们三人同时从学校出发，为了接A处的小雨，甲驾车以每小时60公里的速度从学校出发走路线①，为了接C处的小瑜，乙驾车以每小时50公里的速度从学校出发走路线②，（接人时间忽略不计）丙骑共享电动自行车以每小时30公里的从学校出发走路线③，请通过计算说明，甲、乙、丙三人谁最晚达目的地D点？（结果精确到0.01） 参考答案 1．A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用．根据计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴在中，， ∴米， 故选：A． 2．B 【分析】根据坡度求出的长度，再利用勾股定理求出． 【详解】解：∵坡度，米， ∴米， ∴（米），故B正确． 故选：B． 【点睛】此题考查已知正切值求边长，勾股定理求直角三角形边长，熟记坡度定义求出是解题的关键． 3．D 【分析】本题考查解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的性质与判定．如图，过B作于点E，与交于点F，则，证明，得，解便可得结果． 【详解】解：如图，过B作于点E，与交于点F，则，    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 即两条平行线间的距离为， 故选：D． 4．C 【分析】过点作交的延长线于点，在中，利用坡度和勾股定理，可求出和的长，过点作于点，利用矩形对边相等，求出和的从，再在中，利用特殊角的三角函数值，求出的长，从而利用求出的长． 【详解】解：过点作交的延长线于点，   斜坡的坡度， 设，则， 在中，米， 由勾股定理得：， ， 解得：，（舍） 米，米， 过点作于点，则四边形是矩形， 米，米， 在中，， ， 米， 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角，解直角三角形的应用—坡度坡角，勾股定理，矩形的性质，三角函数，构造直角三角形和熟练运用三角函数定义是解题关键． 5．D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．延长交水平线于点E，可得四边形是矩形，设米，在和中，利用锐角三角函数的定义分别表示出，然后列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：延长交水平线于点E， 则四边形是矩形， ∴， 设， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∵米， ∴， ∴， 解得：， ∴（米）， ∴两座楼房之间的水平距离大约为9米， 故选：D． 6．B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．根据题意可得：，然后在中，根据锐角三角函数的定义可设 ，则 ，从而利用勾股定理可得，再利用线段的和差关系可得，，然后根据题意可得： ，从而在中，利用勾股定理列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：， 在中，， 设 ，则 ， ， ，， ，， 由题意得： ， 在中，， ， 解得：， ，，， ， 故选：B． 7．A 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．先在中利用直角三角形的边角间关系表示出，再利用线段的和差关系得结论． 【详解】解：， ． 在中， ， ． ． 故选：A． 8．B 【分析】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，由坡度的定义和勾股定理得出的长，再由等腰直角三角形的性质得出的长，然后由锐角三角函数定义求出的长，即可得出答案，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，过作于， 则， ∵， ∴设米，则米， ∴米， ∵米， ∴， 解得， ∴， ∴米， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， 故选：． 9． 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性．根据及即可求解， 熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键，此题基础题，比较简单，也是一道常考试题. 【详解】解：，且，，为锐角， ， 故答案为： 10． 【分析】本题考查直角三角形的三角函数应用，掌握利用三角函数求直角三角形的边长，结合线段和差关系求解是解题的关键． 通过构建直角三角形，利用三角函数求出相关线段长度，再结合线段之间的关系求出的长． 【详解】解：如图，易得． ，， ． ， 是等腰直角三角形， ． ， ． 11． 【分析】由题意可知，光线，楼和地面构成一个直角三角形．已知角和对边，求邻边，用正切，即可求出两楼间的距离． 【详解】解：由题意知，光线，楼和地面构成一个直角三角形， ∴楼高÷楼间距， ∴楼间距； 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用．正确的识图，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键． 12． 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，再根据已知可设 ，则 ，在中，利用勾股定理进行计算可求出，的长，然后设 ，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点作，垂足为，则四边形是矩形， ∴，， 山坡的坡度， ， 设 ，则 ， 在中，， ， ， 解得：， ，， 设 ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， 电视塔的高度约为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，勾股定理，矩形的判定及性质，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 13． 【分析】本题考查了相似三角形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．延长，交于点．解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：如图，延长，交于点．   ，，米，， （米），（米）， 米． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是添加辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形解决问题． 过点作于，过点作于，利用解直角三角形可得，，根据点到桌面的最大高度，即可求得答案． 【详解】如图，过点作于，过点作于， 在中，， 在中，， 点到桌面的最大高度， 故答案为：． 15．80 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．先根据折射率、特殊角的函数值求出的值，再利用直角三角形的边角间关系得结论． 【详解】解：∵， ∴， 当时， ， 在中， ∵，， ∴． 故答案为：80． 16．240 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的知识是解题关键． 根据题意可得，得到，过点C作于H点，利用等腰三角形的性质结合锐角三角函数的知识求解即可． 【详解】解：根据题意可得：，， 则， ∴， 过点C作于H点， ∴， 则在直角三角形中，千米． 故答案为：240． 17．(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用； （1）利用的正切解题即可； （2）在中运用勾股定理求出长，在中运用角所对的直角边等于斜边的一半求出长即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，， ∴； （2）解：， 在中，, ∴， ∴钢丝的总长度为． 18． 【分析】过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，可得是矩形，即得，，得到，，，再分别解、，求出即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，则， ∵， ∴， ∴是矩形， ，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ∵， ， 在中，， ， ， 答：台灯的旋钮到桌面的距离约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，解题关键是通过作垂直构造直角三角形求解． 19．(1)见解析； (2)的长为． 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理的应用． （1）根据三边长度，利用勾股定理的逆定理，可证明结论； （2）在中求长，在中，利用三角函数求得结果． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ， ∴； （2）解：如图2，过C点作于F点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴（）， ∵在中，， ∴（）， 答：的长为． 20．(1)直角三角形，理由见解析 (2)48厘米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是： （1）根据勾股定理的逆定理判断即可； （2）在中，根据正切的定义求出，结合三角形外角的性质求出，过H作于M，在中，根据正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：是直角三角形， 理由：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：在中，， 又， ∴， ∵， ∴， 过H作于M， ∴（厘米）， 即点H到地面的高度为48厘米． 21．铁架杆与水槽之间的水平距离约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．过点作于点，作于点，先在中，解直角三角形可得的长，再根据矩形的判定与性质可得的长，然后解直角三角形可得的长，最后根据求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点， ∵，， ∴， ∵试管倾斜角为， ∴， ∴在中，， ， ∵， ∴， ∵，平行， ∴， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴在中，， ∵垂直，，， ∴在中，， ∴， 答：铁架杆与水槽之间的水平距离约为． 22．(1) (2) 【分析】本题考查了三角函数的应用. （1）根据题意可知，根据三角函数计算即可； （2）过点作，交的延长线于点，根据等腰三角形的判定和性质得到，设，过点作于点，得矩形，求出，根据计算即可. 【详解】（1）解：根据题意可知， ， ， 答：甲船的航行速度为． （2）解：如图，过点作，交的延长线于点， ， 是等腰直角三角形， ． 设， 过点作于点，得矩形， ， ． 在Rt中，， ， ， ， ， ． 答：乙船从处航行到处的距离约为. 23．(1)公里 (2)丙最晚达目的地D点 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点D作交于点，在取点，使，得，设，可求出，得出，在中由列方程求出，，在中由勾股定理可求出公里； （2）过点作于点，得出四边形是矩形，得，在取点，使，得，设，则根据求出，由分别求出公里，公里，公里，公里，分别求出三条路线用时，再进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解：过点D作交于点，在取点，使，如图， 根据题意得， ∵， ∴ ∴ 设则 ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得，， ∴ ∴ 在中，, 答：小雨家A离寺庙D的距离为公里； （2）解：过点作于点，则得出四边形是矩形， ∴， 在取点，使， 根据题意得， ∴ ∴， 设，则 ∴, ∴， ∴ ∴， 在中，公里， 在中， ∴公里， 又公里， ∴①用时为小时； ②用时为小时； ③用时为小时， ∵， ∴丙最晚达目的地D点． 学科网（北京）股份有限公司 $