1.4解直角三角形 同步自主达标测试题 2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册

2025-2026学年北师大版(2012)九年级数学下册《1.4解直角三角形》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分) 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=m,那么边AC的长为() A.msinB B.mcosB C.mtanB D.无法确定 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,sinA=号，则AB的值为() A.8 B.9 C.10 D.12 3.在△ABC中，AB=AC,sinB=寻，且△ABC的周长为36，则此三角形的面积为() A.12 B.24 C.48 D.96 4.如图，在△ABC中，AC⊥BC,∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且 BD=BA,则tan∠DAC的值为( D A.2+V3 B.2-V5 c.3+5 D.3-V5 5.如图，在△ABC中，AB=4,∠B=60°，sinC=号，则AC的长为() A.2 B.3 c.2W5 D.3W5 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，边D点作AB的垂线交AC于 点B,AC=16,c0sA=青，则AB为() B E A.号 B.10 C.25 D.15 7.如图，A1B1是线段AB在投影面上的正投影，己知AB=30cm,∠ABB1=110°，则 投影A1B1的长为() A.30sin20°cm B.30cos20°cm C.30c0s110°cm D.30tan20°cm 8.如图，位于云贵两省交界处的北盘江大桥，目前为世界第一高的钢桁梁斜拉桥，为了测 量北盘江大桥的高度，一测量员在桥面测得A、B两，点相距140米，BC⊥AB,∠BAC的 正切值约为4，如果普通楼房每层高约为2.8米，则水面C到北盘江大桥桥面AB的距离大约 相当于普通楼房的层数是() A.180层 B.200层 C.220层 D.240层 二、填空题（满分24分） 9.Rt△4BC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=V2,则AC= 10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=24,cosA=号，则BC= 11.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=5,BC=8cosB=,那么DC的长 是 12.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E,cosA=,BE=4,则DE的长为 13.如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的 点F处，若CD=3BF,则tan∠EDF= B F 14.如图，△ABC为等边三角形，点D为△ABC外的一点，∠ADC=60°，AD=8, BD=47,则△BCD的面积为一 15.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,BD=青BC,若动点E以 1cms的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒(0<t<5), 连接DE,当△BDE是直角三角形时，t的值为 B ch 16.如图，△A0B在平面直角坐标系内，点B的坐标为(7,0)， ∠A0B=45°，tanzAB0=青，若反比例函数y=奈(k≠0)的图象经过点A,则k的 值是 B 三、解答题（满分72分） 17.解直角三角形 (1)LC=90°，AB=5V2,BC=5: 2∠C=90°，AC=2,BC=V6 18.己知：如图，AC是△ABD的高，BC=3cm,∠BAC=30°，∠DAC=45°.求 AD B D 19.在三角形ABC中，∠A=60°，b=4,c=5, b 60 A B (1)求三角形ABC的面积. (2)求角A的对边a的长. 20.如图，已知△ABD中，AC⊥BD,BC=8,CD=4,cos∠ABC=号，BE为AD边 上的中线 (1)求AC的长； (2)求△BED的面积. 21.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC的中点，AD⊥BC,垂足为点D,己知 AC=9,cosC=月 E D (1)求线段AE的长； (2)求sin∠DAE的值. 22.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(≠0)与反比例函数 y=罗(m≠0)的图象交于A(-6,t、B(12,s)两点，过点A作AD⊥x轴于D, coS∠AOD=是 B (1)求一次函数与反比例函数的解析式： (2E是y轴上一点，且△A0E是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标. 23.已知：如图，△ABC中，AB=AC,设∠BAC=a,点D是直线BC上一动点，连 接AD,将线段AD绕点A顺时针旋转a至AE,连接DE、BE,过点E作EF⊥BC,交直 线BC于点F.探究如下： E E 图① 图② 图③ (1)若《=60°时， 如图①，点D在CB延长线上时，易证：BF=DF+BC; 如图②，点D在BC延长线上时，试探究线段BF、DF、BC之间存在怎样的数量关系，请 写出结论，并说明理由. (2)若=120°，点D在CB延长线上时，如图③，猜想线段BF、DF、BC之间又有怎样 的数量关系？请直接写出结论，不需要证明 参考答案 1.A 【分析】如图，∠C=90,AB=m,结合sinB=指， 再代入数据可得答案. 【详解】解：如图，∠C=90°，AB=m, B 而sinB=指 :AC=AB.sinB msin B 故选：A. 【点晴】本题考查的是锐角三角函数的应用，掌握利用锐角三角函数值求解三角形的边长是 解题的关键. 2.C 【分析】根据三角函数值确定BC和AB的关系，再利用勾股定理求解即可， 【详解】：∠C=90°，sinA=号， 器=，即BC=号AB, :∠C=90°，AC=6, .BC2+AC2=AB2,AB)+62=AB2. 解得，AB=10(负值舍去)， 故选：C. 【点睛】本题考查了解直角三角形，解题关键是明确三角函数的意义，准确得出直角三角形 边之间的关系 3.C 【分析】过A作AD⊥BC于D,设AD=3a,则AB=5a=AC, 由勾股定理可得BD=4a,再由△ABC的周长为36，可得a=2,然后根据三角形的面积 公式求出即可. 本题考查了解直角三角形、三角形的面积、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，关键是 得出关于a的方程和构造直角三角形 【详解】解：过A作AD⊥BC于D, B :sinB=-寻， .可设AD=3a,则AB=5a=AC, 由勾股定理得：BD=VAB2-AD2=4a, :AB=ACAD⊥BC, ·BC=2BD=8a, :△ABC的周长为36， 5a+5a+8a=36, 解得：a=2, BC=8a=16,AD=3a=6, ·△ABC的面积是专BC×AD=青×16×6=48， 故选：C 4.A 【分析】本题考查了解直角三角形，利用锐角三角函数的概念解直角三角形问题是解决本题 的关键， 通过解直角△ABC得到AC与BC、AB间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求 tan∠DAC的值. 【详解】解：：在△ABC中，AC⊥BC,∠ABC=30°， AB=2AC,BC==3AC, BD=BA DC=BD+BC=(2+3)AC, ta2DAc=器=24s=2t5 AC 故选：A. 5.D 【分析】本题考查了解直角三角形，正确作辅助线构造直角三角形是解题的关键.过点A 作AD⊥BC于点D,解直角三角形得AD=AB·sinB=2V3,根据sinC-器-号即可求 解. 【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D, B D 则∠ADB=∠ADC=90°， :∠B=60°，AB=4, AD=A8:sinB=4×sin600=4×号=25， :sinC=号， sinC=架=， 即渠=， 解得：AC=3V5, 故选：D. 6.C 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是能根据直角三角形中的三角函数求出各个量 根据在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=16,CosA=青，可得AB、BC的长，从而 求得AD的长；由ED⊥AB,从而可以推得AE的长. 【详解】解：：在Rt△ABC中，∠ACB=90°， c0sA=指， AC=16,cosA=, 指=， .AB=20, :D是AB的中点， :AD=3AB=10, ED⊥AB, .∠EDA=90°， “c0sA=是=是=号， AE=罗， 故选：C. 7.B 【分析】本题考查正投影，解直角三角形，过B点作BC⊥AA,利用锐角三角函数求出 BC的长即可. 【详解】解：如图，过B点作BC⊥AA1, B B :A1B1是线段AB在投影面上的正投影， A1B1⊥AA1,A1B1⊥BB1 :四边形A1B1BC是矩形， &A1B1=BC,∠CBB1=90°， ∠ABB1=110°， ∠ABC=∠ABB1-∠CBB1=110°-90°=20°， :BC=AB·cos∠ABC=30cos20°cm, ·A1B1=BC=30cos20°cm, 故选B, 8.B 【分析】根据A、B两点相距140米，BC⊥AB,∠BAC的正切值约为4，可求出BC的长度， 普通楼房每层高约为2.8米，用BC的长度除以2.8，由此即可求解