专题14解直角三角形的五种常见类型练习2025—2026学年北师大版数学九年级下册

专题14解直角三角形的五种常见类型 类型一　已知两直角边解直角三角形 1.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，如果a＝5，b＝10，解这个直角三角形.（角度精确到1°） 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，b＝5，解这个直角三角形. 类型二　已知一直角边和斜边解直角三角形 3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知a＝5，c＝5，解这个直角三角形. 4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，过点C作直线MC使得∠BCM＝∠BAC，求点B到直线MC的距离. 类型三　已知一直角边和一锐角解直角三角形 5.在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3，求BC的长. 6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，D为AC边上一点，∠BDC＝45°，求AD的长. 类型四　已知斜边和一锐角解直角三角形 7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，c＝10，解这个直角三角形. 8.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，与BC相交于点D，且AB＝4，求AD的长. 类型五　已知非直角三角形中的边（或角或三角函数值）解直角三角形 9.如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝4，求AB和BC的长. 10.如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝135°.当AC＝4时，求BC的长（说明：解题中如果需要作辅助线，请用尺规作图法作出这条辅助线，保留作图痕迹，不用写作法）. 11.如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DC⊥AC，且tan ∠BCD＝.求∠A的三个三角函数值. 12.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝，BE＝2. （1）求CD的长； （2）求四边形ABCD的面积. 答案： 1.解：∵∠C＝90°，a＝5，b＝10， ∴c＝＝＝5， ∴sin A＝＝＝，sin B＝＝＝， 由计算器可以求得∠A≈27°，∠B≈63°. 由上可得∠A≈27°，∠B≈63°，c＝5. 2.解：∵∠C＝90°，a＝5，b＝5， ∴c＝＝＝10，∴a＝c， ∴∠A＝30°，∠B＝60°. 3.解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，c＝5， ∴b＝＝＝5， ∴a＝b，∴∠A＝∠B＝45°，∴b＝5，∠A＝∠B＝45°. 4.解：如图，在Rt△ABC中， BC＝＝3，过点B作BE⊥MC，垂足为E， ∵∠ACB＝∠BEC＝90°，∠BCM＝∠BAC， ∴△ACB∽△CEB，∴＝，∴＝， ∴BE＝，∴点B到直线MC的距离是. 5.解：在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3，∴AC＝2AB＝6. ∵AB2＋BC2＝AC2，∴BC＝＝＝3，故BC的长为3. 6.解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3， ∴AB＝6，AC＝3. ∵∠BDC＝45°，∴∠DBC＝45°，∴CD＝BC＝3， ∴AD＝AC－CD＝3－3. 7.解：∵∠C＝90°，∠B＝45°，∴∠A＝90°－45°＝45°，∴a＝b. ∵sin A＝，∴a＝10·sin 45°＝5，∴b＝5. 8.解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝90°－30°＝60°，AC＝AB＝×4＝2. ∵AD平分∠BAC，∴在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴AD＝＝＝4. 9.解：作AD⊥BC于点D，如图， ∵∠C＝45°，AD⊥BC， ∴△ADC为等腰直角三角形. ∵AC＝4，∴AD＝DC＝AC＝2. 在Rt△ADB中，∵∠B＝30°， ∴AB＝2AD＝4，BD＝＝2， ∴BC＝BD＋DC＝2＋2. 综上，AB＝4，BC＝2＋2. 10.解：如图，过点A作BC的垂线，垂足为M， ∵∠ACB＝135°， ∴∠ACM＝45°， ∴AM＝CM. 在Rt△ACM中， cos∠ACM＝， ∴＝，则CM＝2.∴AM＝2. 在Rt△ABM中，tan B＝，∴＝，则BM＝2， ∴BC＝BM－CM＝2－2. 11.解：如图，过点D作DE∥AC交BC于点E，又由DC⊥AC，可得∠ACD＝∠CDE＝90°， 设DE＝x，由tan ∠BCD＝＝，可得CD＝3x， ∵DE∥AC，点D是AB的中点，∴＝＝，∴AC＝2x， 在Rt△ACD中，AD＝＝＝x， 故sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝. 12.解：（1）如图，过点D作DH⊥AC于点H， ∵∠CED＝45°，∴∠EDH＝45°， ∴∠HED＝∠EDH，∴EH＝DH. ∵EH2＋DH2＝DE2，DE＝， ∴EH2＝1，∴EH＝DH＝1. 又∵∠DCE＝30°，∠DHC＝90°，∴DC＝2. （2）∵在Rt△DHC中，DH2＋HC2＝DC2， ∴12＋HC2＝22，∴HC＝. ∵∠AEB＝∠CED＝45°，∠BAC＝90°，BE＝2， ∴AB＝AE＝2，∴AC＝2＋1＋＝3＋， ∴S四边形ABCD＝S△BAC＋S△DAC ＝×2×（3＋）＋×1×（3＋） ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$