1.3三角函数的计算 同步自主达标测试题 2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册

2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册《1.3三角函数的计算》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列各式的值等于的是（    ） A． B． C． D． 2．为锐角，且，则的范围是（   ） A． B． C． D． 3．如果的、满足，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 4．在中，若，，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形 5．已知是关于x的方程的一个实数根，则锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 6．已知，用计算器求的大小，下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，是的边的中点，，，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 8．如图，在中，平分，．若，，，则线段的长为（    ） A．2 B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．若，则锐角的度数是 ． 10．在中，已知．则 ． 11．若，，，则由小到大的顺序为 ． 12．若为锐角，当时，则的值为 ． 13．在中，，，则的度数是 ． 14．已知公式，那么 ； 15．如图，在矩形中，，，是上一点，且，则 ． 16．如图，中，，顶点分别在反比例函数与的图象上，则 °． 三、解答题（满分72分） 17．计算： (1)； (2)． 18．已知是锐角，且． 求的值． 19．计算 (1) (2) 20．先化简，再求代数式的值，其中． 21．（1）在中，，求度数． （2）在中，，求长度． 22．亲爱的同学们，在我们进入高中以后，还会学到三角函数公式：，． 例：． (1)试仿照例题，求出的准确值． (2)已知，试求出的准确值． (3)根据所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出的准确值． 23．已知在，，D、E是边上的点，将绕点A旋转，得到，连接． (1)如图1，当，，求证：； (2)如图2，，与有怎样的数量关系？请你写出这个关系，并说明理由； (3)在（2）的结论下，当添加“，”条件时，判断形状，并加以证明． 参考答案 1．B 【分析】本题考查了特殊角三角函数的混合运算，熟记特殊角三角函数值是解题的关键；根据特殊角三角函数值求解即可． 【详解】解：，， ，； 故选项B正确，其它选项错误； 故选：B． 2．C 【分析】本题主要考查了特殊的三角函数值，解题的关键是熟记特殊三角函数值； 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 3．D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和三角形内角和定理的知识，掌握以上的知是解答本题的关键；本题根据特殊角的三角函数值求得，，然后根据三角形内角和定理的知识，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵、是的内角， ∴，， 由三角形内角和定理，得， 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值求出、的度数，然后判断的形状． 【详解】解：在中， ， ， ， 故为等腰直角三角形． 故选：B． 5．D 【分析】本题考查了根与系数的关系以及特殊角的三角函数值，设方程的另一个根为，根据根与系数的关系求出和锐角的度数． 【详解】解：设方程的另一个根为，则： ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6．A 【分析】本题主要考查计算器的使用，掌握计算器上三角函数的计算方法是解题的关键．已知，一般先按键“”，再按键“”，输入“”，再按键“＝”即可得到结果． 【详解】解：已知，用计算器求锐角A的大小，按键顺序“”，“”，“”，“＝”． 故选：A． 7．D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，求角的正弦值，延长 至点，使，连接，，可证明四边形是平行四边形，得到，则当最大时，最小；过点A作 交的延长线于点，由于，则最大为30度，据此可得答案． 【详解】解：如图，延长 至点，使，连接，． 是的中点， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， 当最大时，最小． 过点A作 交的延长线于点， ∴， 当且仅当 时等号成立，此时最大，， 的最小值为， 故选：D． 8．B 【分析】本题考查了角平分线的性质，解直角三角形，勾股定理．作于点，由角平分线的性质求得，由特殊角的三角函数值求得，求得，，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：作于点， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 故选：B． 9．/70度 【分析】本题考查特殊角的三角函数值．根据特殊角三角函数值，可得的度数，进一步计算可得答案． 【详解】解：由，得 ， 解得， 故答案为：． 10．/45度 【分析】本题考查的是已知锐角的正弦求解锐角的大小，先求解，再进一步可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查锐角三角函数的应用，熟练掌握锐角三角函数的性质及特殊的锐角三角函数值是解题关键．根据锐角三角函数的性质及正弦值与余弦值的关系解答即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据且为锐角，求出，再代入求解即可，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵为锐角，， ∴， ∴ ． 13．/75度 【分析】本题考查特殊角的三角函数、三角形的内角和定理，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．先利用特殊角的三角函数值求得、的度数，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∴． 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，根据题意可得，据此计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，直角三角形的性质，锐角三角函数等，过作于，取的中点，连接，可得四边形是矩形，即得，又由直角三角形的性质可得，即得，由锐角三角函数得到，即得到，最后根据三角形的外角性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，取的中点，连接，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，是中点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 16． 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 过点作轴于点，过点作轴于点，得到，，证明，得到，得出，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 点分别在反比例函数与的图象上， ，， ， ，， ， ， ∴， ∴， ， 故答案为：． 17．(1) (2)1 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，实数运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可； （2）先计算特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：， ， ， ． 18． 【分析】本题考查了特殊角的三角函数和实数的混合运算，熟知特殊角的三角函数值是解题的关键； 先根据是锐角和得出，再代入所求式子结合特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵是锐角，且， ∴， ∴ ． 19．(1) (2)1 【分析】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解决本题的关键． （1）先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘方、乘法，再算加减法，即可求解； （2）先将特殊角三角函数值代入，再利用平方差公式进行分母有理化和完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．， 【分析】本题考查了分式的化简与求值、特殊角三角函数的混合运算、分母有理化，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先根据分式的运算法则化简式子，代入特殊角的三角函数值求出的值，再代入化简后的式子即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 21．（1）（2）或 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值求解； （2）通过作高将转化为两个直角三角形，利用角的性质和勾股定理求出相关线段长度，再分两种情况计算的长度． 【详解】解：（1）在中，，， ∴； （2）如图，作于点， 在中，， ∴， ， 在中，， ∴， ∴； 如图，作交的延长线于点， 在中，， ∴， ， 在中，, ∴， ∴； 综上，的长为或． 22．(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照例题，将拆分为，利用两角和的余弦公式计算； （2）利用正切的定义，结合和的结果计算； （3）构造含角的直角三角形，通过线段关系计算正切值． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． （3）解：如图所示． 设，则， ． 【点睛】本题考查两角和的三角函数公式与直角三角形的应用，掌握利用两角和的公式拆分角度计算三角函数值，通过构造直角三角形结合线段关系求解正切值是解题的关键． 23．(1)见解析 (2)．理由见解析 (3)是等腰直角三角形；证明见解析 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，然后求出，从而得到，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）根据旋转的性质可得，再利用“边边边”证明和全等，然后根据全等三角形对应角相等求出，然后求出，从而得解； （3）证明，然后根据，可得，再进一步解答即可． 【详解】（1）证明：∵绕点A旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：．理由如下， 在和中： ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：是等腰直角三角形，理由如下， 由旋转可得：，， ∵，， ∴， ∴， 由（2）知，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $