1.2 300、450、600角的三角函数值 同步自主达标测试题 2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册

2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册《1.2 300、450、600角的三角函数值》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列求三角函数值，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算的值是（    ） A． B．1 C． D．3 3．在中，所对的边分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 5．若，则的正切值h的范围是（   ） A． B． C． D． 6．点关于原点对称的点的坐标是（      ） A． B． C． D． 7．按如图所示的运算程序，能使输出y值为的是（    ） A． B． C． D． 8．在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C、D都在网格的顶点上，且、相交于点O，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．若，则 ． 10．计算： ． 11．在中，若，则的度数是 12．用表示这三个数中最小的数，则 ． 13．在中，，延长至点，使线段满足，则 ． 14．因为，，所以，由此猜想：当为锐角时，有，由此可知： ． 15．在正方形网格中，A，B，C，D，E均为格点，则 ． 16．如图，在中，，用直尺和圆规按照下列步骤作图：①分别以B、C两点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于两点；②过两弧的交点作直线，交于点D；③连接，则 ．      三、解答题（满分72分） 17．计算： (1)； (2)． 18．计算： (1) ； (2) ． 19．（1）化简求值： 其中 （2）先化简，再求代数式的值，其中． 20．如图，在中，． (1)实践与操作：作的平分线（不写作法，保留作图痕迹）； (2)应用与计算：记的平分线交于点D，E是上一点，且．若，，求的面积． 21．某小组同学对三角比展开主题研究活动，现在邀请你参加． 【问题提出】 （1）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围，正确的是______． A．    B．    C．    D． 【问题分析】 （2）余弦值、、的三角比分别是______、_______、____．你发现它们的分布特点是随着角度的______（选填“增大”或“减小”）而减小． 【综合运用】 （3）写出下列角度的正弦值的取值范围． ，． 22．在中，，点在射线上运动，在左侧作，过点作线段，使，交于点，连接． (1)【操作发现】 若，如图（1）所示， ①请利用无刻度的直尺和圆规补全图形；（不写作法，保留作图痕迹） ②，的数量关系为_______，直线，的位置关系为______； (2)【类比探究】 如图（2）所示，若，则（1）中，的数量关系和位置关系是否仍然成立？请说明理由； (3)【拓展延伸】 如图（3），若，，当是以为腰的等腰三角形时，求线段的长． 参考答案 1．解：A. ，故该选项正确，符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 2．解；， 故选：C． 3．解：， 又，即， 可得， 所对的边分别为， ， ， ，， ， 故选：B． 4．B 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，先根据，求出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数，由特殊角的三角函数值即可得出的值， 【详解】解：如图： ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：正确理解正切的定义和记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 利用锐角正切随角度的增大而增大得到，然后根据特殊角的三角函数值对各选项进行判断． 【详解】解：， ， 即 故选：D． 6．B 【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，求特殊角三角函数值，先求出点M的坐标，再根据关于原点对称的点横纵坐标对互为相反数进行求解即可． 【详解】解：∵点M的坐标为，即， ∴点关于原点对称的点的坐标是， 故选：B． 7．C 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，根据流程图以及特殊角的三角函数在，逐一判定选项，即可得到答案． 【详解】A. ，时，，不符合题意； B. ，时，，不符合题意； C. ，时，，符合题意； D. ，时，，不符合题意； 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，锐角三角函数，熟练掌握知识点是解题的关键，连接，，证明是等腰直角三角形，四边形是平行四边形，利用特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】如图，连接，， 根据题意，得，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故选B． 9． 【分析】先利用求出，再根据负整数指数幂的定义求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解分式方程、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式的运算等知识，准确计算是解题的关键． 10．/ 【分析】根据特殊角的三角函数值以及绝对值的意义进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的计算，熟练掌握特殊角的三角函数值以及绝对值的意义是解题的关键． 11． 【分析】根据非负数的性质求出和的度数，然后求出的度数． 【详解】解：由题意得， 则， ∴ 则． 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 12． 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 分别得出各个三角函数的值，再比较大小，即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：． 13． 【分析】根据，可求出，，的长，然后根据特殊角的三角函数的计算方法即可求解． 【详解】解：根据题意，作图如下，，，    ∴， ∴，， ∴，， ∵，且， ∴是等腰三角形， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查含角的直角三角形的性质，特殊角的三角形函数值的计算方法，掌握以上知识是解题的关键． 14．/ 【分析】当为锐角时有．把代入计算即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，本题是信息题，按照一般地当为锐角时有去答题．同时熟记特殊角的三角函数值也是解题的关键． 15．1 【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理和特殊角三角函数值，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答．根据题意，连接、，然后利用勾股定理的逆定理，可以判断的形状，从而可以求得的度数，再求出正切值即可． 【详解】解：连接、， 则， ∵， ∴， 设小正方形的边长为1， 则，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， ∴， 故答案为：1． 16．/ 【分析】依据作图可知：垂直平分，即可得到，进而得出，再根据是的外角，即可得到的度数． 【详解】解：由作图可得，垂直平分， ， ， 是的外角， ， ∴， 故答案为：．    17．（1）解： ； （2）解： ． 18．（1）解：原式 ； （2） . 19．（1）解：原式 ， ∵ ， ∴原式 ． （2）解： ， ， 原式． 20．解：（1）如图所示，即为所求． （2）解：∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴． 21．解：（1），，，, 又 且为锐角， ； 故选C． （2）由，，可得，它们的三角比分别为 ，，；通过观察可知，它们的三角比会随角度的增大而减小； 故答案为：，，，增大； （3）由锐角正弦函数的增减性可知，锐角的正弦值会随角度的增大而增大 ，， 又，，， ，． 22．（1）解：①如图，即为所求作图形， ； ②∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， 故答案为：；； （2）解：，的数量关系不成立，位置关系成立，理由如下， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）， ∴，， ∴，的相等关系不成立， ，即， ∴，的垂直关系成立； （3）解：∵在中，，，，， ∴，，，， 如图，当时， ∴，， ∴， ∴（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）， ∴， 又∵， ∴； 如图，当时， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）， ∴， ∴． 综上所述，的长为或． 学科网（北京）股份有限公司 $