1.1锐角三角函数同步自主达标测试题 2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册

2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册《1.1锐角三角函数》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分32分） 1．在中，，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则的余弦值（    ）． A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍 2．在中，，如果，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 3．在中，，，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，6个全等的小正方形放置在中，则的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 6．如图，直线与、轴分别交于、两点，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，在矩形中，，点分别在边上．连接，将四边形沿翻折，点分别落在点处．则的值是（    ） A． B． C． D． 8．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（满分32分） 9． （选填“>”或“=”或“<”）． 10．如果方程的两个根分别是的两边长，最小的角为，那么的值为 ． 11．我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为10，“边长正度值”为6，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于 ． 12．如图，在中，，，，点是的中点，则的长为 ． 13．如图，在中，，若，则 ． 14．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C都在格点上，则的值为 ． 15．如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点A落在处，若的延长线恰好过点C，则= ． 16．如图，点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数 的图象上，且， ． 三、解答题（满分56分） 17．如图中，，试求出的三个三角函数值． 18．如图，正方形的边长为1，延长边到点E，使，连接，的度数是多少？试利用这个图形求出角的正切的值． 19．如图，在中，点是边上一点，且． (1)求的长． (2)求的值． 20．如图，在中是对角线AC、BD的交点，，，垂足分别为点E、F．若，，求的值． 21．如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)求矩形对角线的长． (2)过点O作于点E，连接．记，求的值． 22．【基础巩固】 （1）如图1，等腰，垂足为点，点为上一点，，延长恰好过点，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图2，等腰，垂足为点，点为上一点，，延长交于点，，求的值； 【拓展提高】 （3）如图3，四边形中，．点在上，，若，求的值（用含有的代数式表示）． 参考答案 1．A 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，求角的余弦值，根据将三角形的各边长度都扩大为原来的2倍后，变化后的三角形和原三角形相似，的度数不变，即可得出结果． 【详解】解：∵将三角形的各边长度都扩大为原来的2倍，变化后的三角形和原三角形相似， ∴的度数不变， ∴的余弦值不变； 故选A． 2．A 【分析】本题考查了正切，熟练掌握正切等于对边与邻边的比是解题的关键； 如图，根据代入求值即可． 【详解】解：如图所示， ∴， 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理解直角三角形． 直接根据题意作出图形，表示出三角形的各边，利用勾股定理求出斜边长，进而利用正弦函数的定义即可得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴设，则， ∴， 则, 故选：D． 4．A 【分析】本题考查三角函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．利用三角函数定义逐项判断即可． 【详解】A、在中，，原结论错误，故此选项符合题意； B、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意； C、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意； D、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 5．B 【分析】本题考查了解直角三角形，几何体的展开图，将求转化为求是解题的关键．由平行线的性质得出，再结合题意即可求解． 【详解】解：如图，由题意可知，， ∴， ∴， 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了求角的正切值，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先分别求得、两点的坐标，再求得，，从而可求得的值． 【详解】解：∵直线与、轴分别交于、两点， 令，得， ∴， ∴， 令，得， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．A 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数等，连接交于点，设，则，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，垂直平分，，，，再利用勾股定理求出即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：连接交于点， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将四边形沿翻折，点分别落在点处， ∴点与点关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8．C 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理及正切的定义，求出相关线段的长度并能根据定义准确计算是正确解答此题的关键． 由折叠可得，设，则，根据勾股定理建立方程求出的长度，进而根据正切即可求解． 【详解】解： 根据题意得，，设，则． 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得， 故， 故选C． 9． 【分析】本题考查锐角三角函数值大小的比较，（1）正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；  （2）余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）；  （3）正切值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 利用正切值随角度的增加而增加即可得出答案． 【详解】解：在锐角三角函数中，正切值随角度的减小而减小，， ， 故答案为：． 10．或 【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理，正弦函数，能熟练利用勾股定理及三角函数求解是解题的关键；解方程求出两根，①当直角边为2，3时，②当斜边为3，由正弦函数即可求解.注意：最小的角A所对的边为最短边. 【详解】解：， ， ，， ，， ①当直角边为2，3时，斜边为，； ②当斜边为3，另一直角边为，； 故答案为：或． 11．或 【分析】本题主要考查对新定义的理解能力、角的余弦的意义，三线合一性质，熟练掌握角的余弦的意义是解答本题的关键．将情况分为或，两种情况来讨论，根据题意求出底边的长进而求出余弦值即可． 【详解】解：如图，在等腰三角形中，，作于，则， 由题意得， 或， 或， 或， 或， 故答案为：或． 12．3 【分析】本题考查了直角三角形的边角间关系及直角三角形斜边上的中线与斜边的关系．掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解决本题的关键． 先根据锐角三角函数的边角间关系，求出的长，再根据直角三角形的斜边中线与斜边的关系得结论． 【详解】  解：在中，   ∵，，   ∴．   ∵M是的中点，   ∴， 故答案为3 13． 【分析】本题考查了求正切，正确的添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点A作于点E，根据等腰三角形的性质，可得，再由，再结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 14．/ 【分析】本题考查了求正切函数，勾股定理的逆定理．连接，利用勾股定理的逆定理求得是直角三角形，，再利用正切函数的定义求解即可． 【详解】解：如图，连接． 根据勾股定理可得， ， ， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故答案为：． 15． 【分析】此题主要考查了矩形与折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，充分利用勾股定理求出线段是解本题的关键．先利用勾股定理求出，进而利用勾股定理建立方程求出，即可求出，最后用三角函数即可得出结论． 【详解】解：由折叠知，，，， ， 在△中，， 设，则， ，， 在△中， 根据勾股定理得， ， ， ， ， 故答案为：． 16．/ 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、反比例函数的比例系数的几何意义及三角函数，解题的关键是证，利用相似和勾股定理求 ． 作辅助线构造直角三角形，通过角的关系证．利用反比例函数的几何意义，结合相似三角形面积比与相似比的关系，得出的值．设、的表达式，用勾股定理求，最后依据三角函数定义算出 ． 【详解】过作轴于，过作轴于． ∵， ∴， ∵， ∴． 且， ∴． 设，，在上，在上， ∴，． ∴， ∴， 设，． 在中， 根据勾股定理． ∴ ． 故答案为：． 17．，， 【分析】本题考查了三角函数的定义，结合已知，先利用勾股定理求出的长，再根据，，即可求解的三个三角函数值． 【详解】解： 中，， ， ，，． 18．， 【分析】本题主要考查正方形的性质及三角函数，熟练掌握正方形的性质及三角函数是解题的关键；由题意易得，，然后根据等腰三角形的性质及外角的性质可得，进而根据正切的定义可进行求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，为对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形的边长为1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴角的正切的值为． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，求一个角的正切值，等腰三角形的三线合一，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）先结合等腰三角形的三线合一，得，则，再把数值代入进行化简，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴在中，． （2）解：∵ ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， 则． 20． 【分析】本题主要考查了利用平行四边形的性质和直角三角形的全等来证明线段相等，并利用三角函数的定义来求解． 根据平行四边形的性质可得，，再根据，，得出，得到，再根据已知条件求出即可得解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ，， ， ， ，， ， ． 21．(1)矩形对角线的长为4 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理以及解直角三角形等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． （1）根据矩形的性质求出，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，求出，求出即可； （2）根据勾股定理求出，然后根据等腰三角形的性质求得，然后解直角三角形求得的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形对角线的长为4； （2）解：由勾股定理，得， ∵，于点E， ∴， ∴． 22．（1）；（2）；（3） 【分析】（1）证明，根据边长成比例即可求解； （2）过点作即可转化为和（1）完全相同的问题； （3）延长交于点．由，可得，设，则．证明，再证，得到比例，即；由（2）可知即可得到答案． 本题考查等腰三角形，三角形相似，直线平行的性质，正切，能够找到各小问之间的相同之处是解题关键． 【详解】解：（1）， ， 又∵， ， 又∵， ， ． （2）如图，过点作，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， ， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 根据（1）可得： ． （3）如图，延长交于点， ，， ， ， ， 设，则， ∵，， ∴， ∴，即， ， 由（2）可知． 学科网（北京）股份有限公司 $